2020年北京市高考数学试卷(理科)

1、文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. （5 分）（2015 北京）复数 i （2-i）=（）A. l+2i B. 1 - 2iC. - l+2i D. - 1 - 2i,x-y<02. （5分）（2015北京）若x, y满足< x+y<l ,则z=x+2y的最大值为（）A. 0 B. 1 C.2 D. 223. （5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A. （ -2, 2） B. （ -4, 0） C. （ -4, -4） D. （0, -8）4.

2、（5分）（2015北京）设a,。是两个不同的平面，m是直线且mu a, “m少是一的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. （5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. 25 B. 4m C. 2+2不 D. 56. （5分）（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 ai+a2>。，贝ij a2+a3>0 B.若 ai+a3V0,贝ij ai+a2VoC.若 OVaiVa2,则 a2'% % D.若 ai0,则（a2 - ai） （a? - 33） >07. （5

3、分）（2015北京）如图，函数f （x）的图象为折线ACB,则不等式f （x） 210g2 （x+1） 的解集是（）A. x -IVxWO B. x -IWxWI C. x - l<x<l D. x - 1VxW28. （5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米J、时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市.机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车

4、比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9. （5分）（2015北京）在（2+x） 5的展开式中，x3的系数为 （用数字作答）210. （5分）（2015北京）已知双曲线-y2=l （a>0）的一条渐近线为心+y=0,则 aa=11. （5分）（2015北京）在极坐标系中，点（2, 2L）到直线P （cose+Vine） =6的距离 3为.12. （5 分）（2015北京）在ABC 中，a=4, b=5, c=6,则型显&=.sinC13. （5 分）（2015北京）在aABC 中，点 M, N 满足 AI=2MC，BN=NC> 若MN=xAB+yAC， 则 x=,

5、 y=.14. （5 分）（2015北京）设函数 f （x） = 2',4（x - a） （x- 2a）5 x-l若a=l,则f （x）的最小值为:若f （x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是.三、解答题（共6小题，共80分）15. （13分）（2015北京）已知函数f （x） Win&o旺-拆sin 2A.2 22（I ）求f （x）的最小正周期：（II）求f （x）在区间-n, 0上的最小值.16. （13分）（2015北京）A, B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单 位：天）记录如下：A 组：10, 1L 12, 13, 14, 15, 16B 组；12

6、, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立，从A, B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（I）求甲的康复时间不少于14天的概率；（H）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（ffl）当a为何值时，A, B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17. （14分）（2015北京）如图，在四棱锥A-EFCB中，ZAEF为等边三角形，平面AEF 平而 EFCB, EFBC, BC=4, EF=2a, ZEBC=ZFCB=60°, O 为 EF 的中点.（I ）求证：AO±BE.（n）求二面角F-AE-

7、B的余弦值；（ID）若BE_L平而AOC,求a的值.18. （13分）（2015北京）已知函数f （x）1 - X（I）求曲线y=f （x）在点（0, f （0）处的切线方程：3（H）求证，当 x£ （0, 1）时，f （x）三）；3（HI）设实数k使得f （x） H叶=）对x£ （0, 1）恒成立，求k的最大值.22f19. （14分）（2015北京）已知椭圆C=1 （a>b>0）的离心率为Y2,点P （0, a D21）和点A （m, n） （mWO）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.（I）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m, n表示）：（II）设O为原

8、点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N,问：y轴上是否 存在点Q，使得NOQM=NONQ?若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.,2an? an<1820.（13分）（2015北京）已知数列匕外满足£2*1忘36,且加+1=2%一 36,< n=l, 2,），记集合 M=an n£N*.（I ）若ai=6,写出集合M的所有元素；（H）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（川）求集合M的元素个数的最大值.2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1. （5 分）（2015北京）

9、复数 i （2-i）=（）A. l+2i B. 1 - 2iC. - l+2i D. - 1 - 2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解：原式=2i - i?=2i - （ - 1） =l+2i；故选：A.【点评】本题考查了复数的运算：关键是熟记运算法则.注意i2=-l.,x-y<02. （5分）（2015北京）若x, y满足，x+y<l ,则z=x+2y的最大值为（）A. 0 B. 1 C. W D. 22【分析】作出题中不等式组表示的平而区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移， 即可求出z取得最大值.x-y<0【解答】解：作出不等式组,表示的平面区域，当

10、1经过点B时，目标函数z达到最大值:匾大值=0+2X2.故选：D.【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次 不等式组表示的平而区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.3. （5分）（2015北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A. （ -2, 2） B. （ -4, 0） C. （ -4, -4） D. （0, -8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=l9 y=1,k=0 时，s=x - y=0» t=x+y=2；x=s=0, y=t=21k=l 时，s=x

11、- y= - 2, t=x+y=2：x=s= - 2, y=t=2,k=2 时，s=x - y= - 4, t=x+y=O：x=s= - 4, y=t=O,k=3时，循环终止，输出（x, y）是（-4, 0）.故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目.4. （5分）（2015北京）设a, B是两个不同的平而，m是直线且mu a, "mB"是"aB" 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】并得不到a仇根据面面平行的判定定理，只有a内的两相交直线都平行于

12、B，而。，并且mu a,显然能得到m仇 这样即可找出正确选项.【解答】解：mua, 得不到a仇因为a, B可能相交，只要m和a, B的交线平行 即可得到m仇a仇mua, .,.m和B没有公共点，即aB能得到m仇“mB"是"a 1的必要不充分条件.故选B.【点评】考查线而平行的定义，线面平行的判定定理，而而平行的定义，而面平行的判定定 理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念.5. （5分）（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表而积是（）A.B. 4m C. 2+275 D. 5分析根据三视图可判断直观图为：OA 而ABC, AC=AB, E为BC

13、中点,EA=2, EA=EB= 1, OA=1,： BC_L而 AEO, AC=V5. OE=V5判断几何体的各个而的特点，计算边长，求解面积.【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OAlffil ABC, AC=AB, E 为 BC 中点，EA=2, EC=EB=1, OA= 1»可得 AEJ_BC, BC1OA.运用直线平面的垂直得出：BClifilAEO, AC=VS. OE=VS* Sa ABC=i- X 2 X 2=2» Sa oac=Sa oab=- XM 5X 1.Sa bcoJ- X2xV5=V5. 2依该三棱锥的表面积是2+2V5,故选：C.【点评】本题考

14、查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直 观图，得出几何体的性质.6. （5分）（2015北京）设匕力是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 ai+a2>0，贝ij a2+a3>0 B.若 ai+a3V0,则 ai+a2<0C.若 OVaiVaz，则 a2>&产+ D.若 ai0,则（a2 - ai） （az - 33） >0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.【解答】解：若ai+a2>0，贝ij2ai+d>0, a2+a3=2ai+3d>2d, d>0时，结论成立,即A不正 确：若 ai+a3&l

15、t;0, WiJ ai+a2=2ai+d<0, a2+a3=2ai+3d<2d, dVO 时,结论成立，即 B 不正确:汨）是等差数列，OVaiVaz, 2a2=ai+a3>2J& 二即 C 正确；若 ai0,则（a2 - aj） （a2-a3）= - d20,即 D 不正确.故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.7. （5分）（2015北京）如图，函数f （x）的图象为折线AC北则不等式f（X）210g2 （x+1） 的解集是（）A. x -IVxWO B. x -IWxWI C. x - l<xl D. x - 1VxW2

16、【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集. 【解答】解：由已知f （x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f （x） >log2 （x+1）的X范围是1VxS1；所以不等式f （x） 210g2 （x+1）的 解集是x| - IVxWl:故选c.【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移.8. （5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速

17、度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米J、时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断 各个选项即可.【解答】解：对于选项A,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油 效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误； 对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误， 对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10,故 消耗8升

18、汽油，故C错误，对于选项D,因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确. 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题.二、填空题（每小题5分，共30分）9. （5分）（2015北京）在（2+x） 5的展开式中，x3的系数为40 （用数字作答） 【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3,求出r,然后求解所求数 值.【解答】解：（2+x） §的展开式的通项公式为：Tr+i=c"25 rxr，所求x3的系数为：02 2=40. 故答案为：40.【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力.210. （5

19、分）（2015北京）己知双曲线-y2=l （a>0）的一条渐近线为立x+y=O,则a= aV33 .【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±三，结合条件可得即可得到a的值.aa2【解答】解：双曲线三-尸=1的渐近线方程为丫=土三，a2a由题意可得a解得a4.3故答案为：叵.3【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.11. （5分）（2015北京）在极坐标系中，点（2,三）到直线p （cose川QinO） =6的距离为1 .【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.【解答】解：点P （2,）化为73）.3直线 p （c

20、os9+V3sin9） =6 化为 一 6二0.点P到直线的距离cU卜"5 心十（75）2故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题.12. （5 分）（2015北京）在AABC 中，a=4, b=5, c=6,贝律坦以 1 sinC【分析】利用余弦定理求出cosC, cosA,即可得出结论.【解答】解：ABC 中,a=4, b=5, c=6,AcosC=15-36 2X4X5 8c°sa=25+36-16学2X5X6 4.,.sincJ 否,sinA=-, 84, sin2A 当士.哀h 3"

21、; 故答案为：1.【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础.13. (5分)(2015北京)在AABC中，点M, N满足前=2低，BN=NC，若谣=x'S+yX己 则 X=2，y= -X .-26一【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量而，记表示，然后利用平面向量基本 定理得到X, 丫值.解答解：由已知得到面二前十石片前蒋&4正巧(标-正)弓蕊一正：由平面向量基本定理，得到X=l, y= -1； 26故答案为：L, -1. 26【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数 对(X, y)使，向量等式成立.14. (5 分

22、)(2015北京)设函数 f(X)= 2" 一祗”<1.4(x - a) (x- 2a), x>l若a=l,则f (x)的最小值为-1 :若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 工0<1或给2. -2【分析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h (x) =2、-a, g (x) =4 (x-a) (x-2a),分两种情况讨论，即可求出a的范围.- 1 Yi【解答】解：当a=l时，f (x) = ",4(x-l)(x-2), x>l当 x<l 时，f (x) =2X- 1 为增函数，f (x) A - 1,当 x&g

23、t;l 时，f (x) =4 (x- 1) (x-2) =4 (x2-3x+2) =4 (x-2) 2- h 2当时，函数单调递减，当X>>|时，函数单调递增，故当 X=2时，f (x) min=f () = - h 22设 h (x) =2、- a, g (x) =4 (x - a) (x - 2a)若在xVl时，h (x)=与、轴有一个交点，所以 a>0,并且当 x=l 时，h (1) =2-a>0,所以 0<aV2,而函数g (x) =4 (x-a) (x - 2a)有一个交点，所以2a21,且aVl,所以工WaVl,2若函数h (x) =2、- a在xVl

24、时，与x轴没有交点，则函数g(X)=4 (x - a) (x - 2a)有两个交点，当aWO时，h (x)与x轴无交点，g (x)无交点，所以不满足题意(舍去)，当h (1) =2-aW0时，即a，2时，g (x)的两个交点满足xi=a, x2=2a,都是满足题意的, 综上所述a的取值范围是LwaVl,或a22.2【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算 能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共80分）15. （13 分）（2015北京）已知函数 f （x） Win三：o±-«sin 2.2 22（I ）求f（X）的最小

25、正周期：（II）求f （x）在区间-n, 0上的最小值.【分析】（I）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（X）,再由正弦函数的周期，即可得到所求：（O 由x的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值. 4【解答】解：(I ) f (x) =V2sinAcos2L - V2sin 2A2 22=?-sinx -(1 - cosx)22 兀 ,兀最=sinxcos+cosxsin -=-442=sin (x+) -42则f (x)的最小正周期为2n：(n)由-nwxwo,可得则当x=-"时，sin （x+）取得最小值-1, 44则有f（x）在区间On, o上的最小

26、值为-1-YZ. 2【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查 运算能力，属于中档题.16. （13分）（2015北京）A, B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组；12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立，从A, B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（I ）求甲的康复时间不少于14天的概率：（n）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率：（川）当a为何值时，A, B两组病人康复时间的

27、方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件Ai为"甲是A组的第i个人”，事件R为“乙是B组的第i个人”，由题意可知 P (Ai) =P (Bi) i=l, 2,77(I )事件等价于"甲是A组的第5或第6或第7个人，由概率公式可得；<n)设事件“甲的康复时间比乙的康复时间wC=A4B 1 U A5B1 U A6B1 U A7B1 U A5B2U A6B2 U A7B2 U A7B3 u a6b6u a7b6> 易得 P (C)=iop(A4B1),易得答案：(in)由方差的公式可得.【解答】解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”

28、,由题意可知 P (Ai) =P (Bi)上，i=l, 2,77(I )事件"甲的康复时间不少于14天”等价于"甲是A组的第5或第6或第7个人”，甲的康复时间不少于14天的概率P (A5UA6UA7)=P (As) +P(A6)+P (A7)=刍； 7<n)设事件c为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则 C=A4B 1 U A5B1 U A()B 1 U A7B U A5B2 U A6B2 U A7B2 U A7B3 U A6B6U A7B(V：.P (C) =P (A4B1)+P (A5B1)+P (A6B1) P+ (A7B1) +P (A5B2)+P (A6B2

29、) +P(A7B2)+P (A7B3) +P(a6b6) +P (A7B6)= 10P (A4B1)=10P (A4)P (Bl) =1 49(m)当a为11或18时，A, B两组病人康复时间的方差相等.【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题.17. (14分)(2015北京)如图，在四棱锥A-EFCB中，ZAEF为等边三角形，平面AEF，平面 EFCB, EFBC, BC=4, EF=2a, ZEBC=ZFCB=60°, O 为 EF 的中点.(I )求证：AO±BE.(n)求二面角F - AE - B的余弦值；(m)若BE_L平而AOC

30、,求a的值.【分析】(I )根据线面垂直的性质定理即可证明AO±BE.<n)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F-AE-B的余弦值；(川)利用线而垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：(I) .:AEF为等边三角形，O为EF的中点，AAO1EF,平而 AEFJ_平面 EFCB, AOu 平面 AEF,，AO_L 平而 EFCBAAO1BE.(II)取BC的中点G,连接OG,VEFCB是等腰梯形，AOG1EF,由(I )知AO_L平而EFCB,OGu 平而 EFCB,，OA_LOG,建立如图的空间坐标系，则 OE=a, BG=2, GH=a, (aW2), BH=2

31、 - a, EH=BHtan6O°=V3 C2- a)t则 E (a, 0, 0), A (0, 0, V3a), B (2, «(2一 a), 0),EA= ( - a, 0, V3a)> BE= (a-2, -E(2- d),o),设平面AEB的法向量为n= (x, y, z),则E三次即加“田。，.nBE=0 Q- 2)x+«(a- 2)尸0令 z=l,则 x=V5，y= - 1,即 n= (5/3* - 1, 1 )平面AEF的法向量为需(0, 1, °),则 cos<f，n >=-|m|nI一渔5即二面角F-AE-B的余弦值为

32、-在:5(m)若 BE,平面 AOC,则 BE1OC,即 BEOC=O,VB&= (a-2, - 73(2- a), 0), qc=( -2,近(2- 之)，0),ABE-0C=-2 (a-2) -3 (a-2) 2=0,解得a=A.3【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量 法是解决空间角的常用方法.18. (13分)(2015北京)已知函数f (x) =1占之，1 - x(I)求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程：3(H)求证，当 x£ (0, 1)时，f (x) >2(x+斗)；(HI)设实数k使得f(X)

33、膜肝=)对x£ (0, 1)恒成立，求k的最大值.【分析】(1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.(2)构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.(3)对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围.【解答】解答：(1)因为f (x) =ln (1+x) -In (1 -x)所以又因为f (0) =0,所以曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y=2x.3(2)证明：令 r (x) =f (x) - 2(X+A_)t 则-39 4g1 (x) =f (x) -2 (1+x2) =51- K2因为g' (x) >0 (0<x<l),所

34、以g (x)在区间(0, 1)上单调递增.所以 g (x) >g (0) =0, xG (0, 1),3 即当 (0, 1)时，f (x) >2 (x+").33(3)由(2)知，当 kW2 时，f (x) >k&+江)对 x£(0，1)恒成立. 33当 k>2 时，令 h(x)=f(x) -kQ+上)，则/、c /、1 /1、kx4 " (k - 2)h' (x) =f (x) - k (1+x-)=,所以当0cxe时1- J,h* （x） VO,因此h （x）在区间（0,2.）上单调递减.0<x<3h (x)

35、 <h (0) =0, BP f (x) <k(x+a).33所以当k>2时，f （x） >kx+=r）并非对x£（0，1）恒成立.J综上所知，k的最大值为2.【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明.在高考中属常考题型, 难度适中.2 v 2万19. （14分）（2015北京）已知椭圆C x 、 （a>b>0）的离心率为在，点P （0, a2 b221）和点A （m, n） （mWO）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.（I ）求椭圆c的方程，并求点M的坐标（用m, n表示）：（II）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线P

36、B交x轴于点N,问：y轴上是否 存在点Q，使得NOQM=NONQ?若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由."b=lc V2【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出£歪-求解即可.2一八2.2 la -b +c 、（II）求解得出0）, N（-,0）,运用图形得出tan/OQM=tan/ONQ,迎二 1一口 1+nXM 为2求解即可得出即yQ2=XMXN，方/,根据m, m的关系整体求解. 乙%=1 c V2【解答】解：（I ）由题意得出仁可1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编例.解得：b=l, c=l2.号+y2=l,乙VP (0, 1)和点 A，PA的方程为：y-

37、(m, n), - l<n<l1x, y=0 时，xm=_m ,l-nAM 一1-n(II) ;点B与点A关于x轴对称，点A (m, n) (mO)二点 B (nit - n) (mWO)二直线PB交x轴于点N,AN (0), 1+n存在点 Q，使得NOQM=NONQ, Q (0, yQ), ，tan Z OQM=tan Z ONQ，.Q = N , 即 yq2=xm*xn. +n2=lXM 为 .229 m 个y(r=42,l-n2* Yq= ±V，故y轴上存在点Q,使得NOQM=NONQ, Q (0, 也或Q (0,-血)【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数