专题2.2与三角形相关的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

1、玩转压轴题，突破140分之高三敷学选填题高*精品专题2.2与三角形相关的范围问题与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解.二.解题策略类型一结合基本不等式求解问题在:,-二【例1】【湘赣十四校（湖南省长郡中学、 江西省南昌市第二中学等）2019届高三下学期第一次联考】中，角 儿 为。的对边分别为3，£,若2（醛imA-csinBcgA）=力曲道，且30Xcos（B +Q + 9ms铝+ 16# + S < 0恒成立，则的取值范围是（）A H 41B -13【答案】

2、D【解析】_la2-If12(asin4- csirLffcosA) = bsin => 2(_a2 bccosH) = b3 o cosA X. Jj f又.一cos A =b2 + 2c26&c又好+ 2匚£大2笆兄，当且仅当* = 42r时取等号A COSA 芝; n msA E yfl)30永幅(8 + G + 9cdsZA + 16JP + 5 < 5 => 一的配oM + 9(Zcos叼-134-IM3 + 5< 0=IScos-zl 2”心二 16尸 4 < 0设工二COB,即当第 HF，1)时，工值*一 3翻式+10 4至。恒成立

3、设A = (3CUy-4xlS(1613-4) > 9f-= 18 x ： 3：； m 二一二 6尸S7(1)=18-304-16-4 <0可得：本题正确选项：【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosA,将得出的关系式利用基本不等式变形求出 cosA的范围，通过构造函数，应用二次函数的图象和性质，求出 口的范围.【举一反三】1、【江西省上饶中学 2019届高三上学期期中】在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且 ccosB i bcosA =c,当tan（A B）取最大值时，角 C的值为（）. ?r_ 寝_口_ 两A.-B.

4、-C.-D.一2eaX【答案】A【解析】由正弦定理得 克tLdcosB - ssHsinE = 7 sinC = ： sin.G& + A),化简得tanA = 3tanBtan(A 瓦)uruk-tariff=-i+t=StfilLB l+Ntazi?jB当且仅当土 = 3tan£时等号成立，由于 4 > "故以为锐角，故tanB = jtan = 3 ,所以A =5,E =二*C =:.故选A. 33fi32、【安徽省六安市第一中学 2019届高三高考模拟考试（三）】在R8C中，角A, B, C的对边分别为a, b,c,若誓 二:鬻，匕=4,则4A8C的面

5、积的最大值为（）C. 2【答案】A【解析】 在 ABC 中,(2a c) cosB = bcosC,(2sinA- sinC) cosB = sinBcosC,，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC= sin (B+C) = sinA,1约掉sinA可得cosB = 2,即B=-,由余弦定理可得 16= a2+c2-2accosB = a2+c2一acR 右c ac,，acwi6当且仅当a=c时取等号，1 .ABC 的面积 S= 2acsinB=acv'3故选：A.3、【山西省2019届高三考前适应】ABC的内角位的对边分别为工机£ ,若©48匚的

6、面积为F(酸十产,周长为6,则b的最小值是()A. 2B.有C. 3D.【答案】A【解析】因为的面积为(fls + fa-ba)所以,.-整理得 sinU = V3"十匚一'，即 siiJ? = V3cosKt anB = W ,因为旺，所以B二E又因为周长为6,所以a匕+ c = 6 ,即q+e = 6 02?1 = a3 + c1 - ZctccosB = (t1 f c: - ac=(a + c)" - Jar益(ti+日工-3 (个)一3口+公士(6斤 44所以/44%- 12工0 , B >2所以匕的最小值是2 故选A类型二利用消元法求解问题【例2】

7、【安徽省A10联盟2019届高三11月段考】在中，内角儿，的对边分别为由，若川北的面a b一十 一匕值的最大值为A. 2 B . 4 C . 2居 D . 4M【答案】C【解析】. 1 , - 15 = -abstnC = c由题意得， 28cl 4血EC, X c2 = u- + b2 - 2ahcusC,M + b，= / + 2 时 m式，a b / + / /+ 2abcosC AabsinC + 2abcosC.ba ababab=45 刖 C + 2 口M = 2、写si”(? + 的，a b则小的最大值为2曲，故选C2- a bc - 4fl05i n C, - + -广、【指点

8、迷津】利用余弦定理，结合三角形面积出 。可化为二aMG + 2E5。二人；5就“。十鹤,从而可得结果.一般地，利用正弦定理、余弦定理实施边角转化，利用辅助角公式实现“消元”，求得范围.【举一反三】1、【广东省广州市天河区 2019届高三综合测试(二)】在也."。中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若A = 3B,则三的取值范围是() BA (0,3) b (1 c M D M【答案】B【解析】sia4 sin3B £in(2Jff+ 国 sln2BcosB + cosZBzliiBA 38 = slnB slnB 一4 nE sin2sin5co£3

9、£ + cos2B£irL& n=-2)cos2B -+ cas2B = 2cos2B + 1sinJ即 _-b s ioB又从十Be (口由，即43已(立m nZBE(05) nc/NFetSD本题正确选项：一 222、圆x y 1上任意一点P,过点P作两直线分另IJ交圆于 AB两点，且 APB60°,则 PA2 |PB 2的取值范围为【答案】3,6【解析】在nABP中，由正弦定理得:PAPBsin PBAsin PAB2r 2,设 PBA9, 9 0,120又 APB 600,所以PAB120PBA 1209,PA 2sin QPB 2sin120PA

10、2 1PBi22八4sin 024sin120一 一 23 2sin 02.3sincos 4 、3sin2cos2 4 2sin 2e吟，26,76 .42sin 263,6 .答案为：3,63.【云南省2019届高三第一次统一检测】在 “力网中,内角人 平分"拼;交期:于点a, BD = 2,则白小灰；的面积的最小值为（flC对的边分别为 hLABC = c2nT BDA.2njt-tz = - - a333,川）平分幺HC交”;于点I。，由正弦定理可得nDR = tt c(3ABBi)2jt sintr sin(-a)2ttn2sin(- - a)4- a)/. AB =：=s

11、inusina7T 7T在三角形CHD中，3 37TSCHD由正弦定理可得叫+W一口sin(-a)n2比呜+我)A PC nstrt( a)二面积12tt J3S = -ABCsin = 234itn1w月2sm(一 +4) 2srn(- + a) 1 + -cos2a + -sin2u而q33#22y/3 2(2 + cos2a + 占MZn)sina产、2 1J31窑- a) -cos2a + sin2(r - d444(2+ .)=x/3srn2a 十 ccjsZw - 1)25in(2tr + -)-l6n1-* 0 < a < -3itn ,- < 2cr 4-a

12、661rr.26n,当尸时，即6时，A/l僚:面积,最小，最小值为2(2 + 6) = 4 曲故选：类型三与三角形的周长有关的最值问题【例3】【安徽省芜湖市2019届高三上期末】锐角三角形 HBC的内角，u, c的对边分别为d,也，d,已知加血C = y/Ij o = 1,则力0阳周长的最大值为（）A . V3 + 1 B ,+ 1 C. 3 D . 4【解析】依题意，由正弦宇理得 ZsirUsiiaC v'号时， 即噌值=竺，由于三角形为锐角三角形，故4二三,由正弦定理T-三三'一得"二二三sinC 故二角形的周长为 1斗二sitiB + JsinC sLnJ 戢口

13、与 autrv3/n= l + sinfi+sin（-J）.1 + 2如（3 +至，故当后二手 即三角式为等边三角形时，取得最大值为1 + 2 = 3,故选 C.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有 时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而 求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值【举一反三】1、【河北省衡水市第十三中学 2019届高三质检（四）已知&的内角力，B , C的对边分别是a,b 且 （5 +产一（amsR + bcasA） = &比,若的

14、外接圆半径为 学,则的周长的取值范围为（）A .心图b,4C, CMd. Q闽【答案】B【解析】因为（na + 胪一 /）（rcckE + bcos.A） = nbc,所以 2d后门（幻欣+ gnEm"） = absmC ,2cos , sin（月 +B） = siTiC,= 1,匚= ,c = 2n乂 = 2因此F = a' +占* ImbcosC =也，+胪nb = （n +由尸宜+8尸一3区研=+.即 4-4-':一：一，因为 .，所以,，选B.2、在 ABC中，角A, B, C所对应的边分别为 a, b, c,若bc 1, b 280sA 0,则当角B取得最大

15、值时，三角形的周长为（）A. 2 、3 B. 2.2 C. 3 D. 32【答案】A【解析】在 ABC中，由正弦定理得：sinB 2sinCcosA 0 cosA 02c，A 为钝角.，cosAcosC 0 ,由 sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC可得 tanA -3tanC, tanC>0,tanA tanC 2tanC tanB= =21 tanAtanC1 3tan C2<2 J33tanC 2*33tanC当且仅当tanC=Y3时取等号.B取得最大值arctan立 时, 33 c b 1, Ca=2x 1 cos=点./. a+b+c=2+ 33 .故答

16、案为：2+J3 . 6类型四与三角形面积有关的最值问题【例4】在ABC中,a,b,c分别为内角 A, B,C的对边，若1 .b sinC cosA sinAcosC,且 a 2,则 ABC的面积的最大值为【答案】、,2 1【解析】T (2 5 -sinC)cosJ = sinJco弓C j b - cos J sin Cc 口工 < =siiLdtosC >/+ it cos J = sin_4cosC + si tiQ:o-sJ = sin A + Cl = sinB ?cosA =1 o 24n以由正端理得意bsi nJ2cosi;T由余弦定理得1 =9+/2之（2-Ji）近，

17、当且仅当方二£时等号成立。51Axsc =匕匚sinJ W x 2 (2 +工=1 +1 &答案；忑十】【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在1解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中.要在一2b-b- cosA 1的基础上在利用正弦定理得到sinB运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条sinA cosA.对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用,件.【举一反三】1、【陕西省汉中市2019届高三上学期第一次检测】在 川K中，角儿比C的对边分别是。口，若角月/8 成等差数列，且直线 稣 £> 二,|平

18、分圆/ +勿-3 = 0的周长，则4川北面积的最大值为（）A.B .，步 C . 2 D .耶【答案】D 【解析】B = 1因为角儿B工成等差数列，所以'又直线"十寸=4平分圆/ + y<-2y-3 = o的周长，所以直线过圆sill面积的最大值为,故选D.6，一 5 = -acsinif - -at 三角形面积,根据均值不等式,当且仅当a=c = Z时等号成立，可知A/WC2.已知四边形加中，设21即与me。面积分别为“s?,则寸+ 5；的最大值为【解析】因为AB二1, DA=钙,所以5, = %史*幺口95海 =：丽24,在4ABD中，由余弦定理可得,ffD3 -

19、ABC +乩。二 一2RE XADX cqsA = 4 - 2再3A,作 CE± BD 于 E,因为HF = CD =工，所以月就田三:BD7 （旧户一：前工）=1-4GM丹）乂?侬儿二小晒小一如晒叽 所以5三+5? = 出W +字eM ：阳工儿二一;（?5月一甘 十 ： X ：,当但=?时，鹫+#的最大值为：.故答案为：-【解析】3、【河南省焦作市2019届高三三模】如图所示，点 M, N分别在菱形耳1北。的边小0, CD上，|48 = 242ttlABC = -MBN =33,则A&*用的面积的最小值为在菱形川右。中,427rURC = £MBN = 33JTM

20、=所以士MHM3,在岫M口中，上“加九 设£MH八二也0%，则S1MI，且AE = 2. |由正弦定理,在 RT&MBN 中,由正弦定理nZ.jF?'V(7 = + er2ti AMB =-a7T NBC=- ,在AN£f£ 中，6MB MB =-避加-asitiAMB jtsin 3得11F乂书想du 7HM=- x士Z/Z7TSlnu31 13'112i-cos2<r + siiitrcosffjZ串,1 G(1 + cosher) + -sLti2it44Lq加+D+yljtI I rr pr 2k)( tt 便 1/ 町 *3

21、因为6,所以 3 口 "即3j 2 ,所以I 3/2 V 2，所以故答案为：类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c, A C 2B,bsinA 6sinB ,若符合条件的三角 形有两解，则b的取值范围是.【答案】3.3,6【解析】因为A C 2B,A B C ，所以B ,3又 bsinA 6sinB，则 ab 6b ,则 a 6 ,由asinB b a,所以3百 b 6.【指点迷，津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记

22、三角形的正弦 L定理的边角互化和合理应用是解答的关键.【举一反三】1、【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】已知a, b, c分别为小ABC的三个内角a, B, C的对边,已知工C =45", c=V2, a = x,若满足条件的三角形有两个，则 x的取值范围是()A. *<算<1 B. g<x<2 C 1<je<2D.1C的【答案】B【解析】解：在鸟月8c中，由正弦定理得：=,即；- = T,5ijul lire hlilA sin 45"可得：5ilL4 = -JI , 2由题意得：当甘时，满足条件的 ABC有两个，所以正解得：

23、 Z N则a的取值范围是&221故选：B.2、在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,已知A 300,b 2,如果这样的三角形有且只有一个，则a的取值范围为.【答案】a 1或a 2【解析】由题意得，在 ABC中内角A, B,C所对的边分别为a,b,c，由A 300,b 2,所以bsinA 1,所以当a b 2或a 1时，此时满足条件的三角形只有一个.类型六转化成三角函数最值问题【例6】【湖南省湘潭市2019届高三下学期二模】4b4分别为锐角ziabe内角儿笈£的对边，函数P/W = / + J-必有唯一零点，则口的取值范围是（）33A. ”3）B.弓©

24、;1C. 5刃d.（1©【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则/=0,所以匚"=/+帅.22,222*由余弦定理，得匚+口/ 整理得匕-ZabcosC = ab ?b与 广-=1 + 2cosc即1t）- 2。卬式=口，所以。，由正弦定理，得 劭-喜iivlco" = sliM,即帛mC4 + G=对Mm2餐slnX|,所以 sinCcosjl 二 = sM,所以 slnCC -A） = siiM ,所以L -。=/I或广一J十且二m （舍），故C=2A,结合锐角/1ABC,工4 +E =灯，则0（靠一 3月丈二，<2A<-,所以三三,

25、一 =1 + 2 cost? 由u,又因为-<C = 2j4 所以bI < 1 + 2cost? < 2b即口的取值范围是（12）,故选D.【指点迷，津】对于解三角形问题， 通常利用正弦定理进行 边转角”寻求角的关系，利用 角转边”寻求边的关 系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值【举一反三】1.在锐角三角形中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，设B2A,则a的取值范围是（ b锐角，即o30 AB. . 2, 2 C.Q B 2A,由正弦定理-a- sinA2A, A2, 3b /日得:sin BC为锐角,D.(0,2)sinAsinB

26、sinAsin2 AsinA2sinAcosA1,Q B为2cosA0 2A 900 180 3A 90，所以45°,至 cosA 2-3,即 2 2cosA 212cosA_2,则a的取值范围是 _2 _22 b3 ' 2,故选A.2.【江苏省南京市、盐城市 2019届高:模】在4中，若sinC = 2a4cosZ?则cos在 ABC 中，有 25 力 + 85 B + t'os C + 28MB55gse = !|,所以 cos A = cos=1 _sinCcosC =；-Cuin2C4-cos2Q里£2个sin（2C十H当芭,当点呻£ +扣

27、T即U二,时取等.w + 1故答案为:2三.强化训练1 .【陕西省彬州市高 2019届高三上学期第一次监测】在中，三内角乩瓦（:的对边分别为乩£ ,且力* +0,一二氮厘，be =，则角C的大小是（）B-7C.2TTD.JT石【答案】A【解析】> + d - <3优=也*,，cosA="±X =四=迎， zic2 be h由 0 V A< Tt,可得 A二：，be =或江士,1- sinBsinC=V5sf7t2j4 =1亚力（詈一匚）1帆=W，即:duCoisC +- 3!12G =9解得 tan2C=x/3,又。< CM 巴故选：A2.

28、【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考】盘iEC中，角工、B、C所对的边分别为以、b、,且满足a = 4, asinf二 6品口朗，则23c面积的最大值是（）A. W3 B. ZV?C. 8>/3 D. 4【答案】A【解析】由题意可知dsinfi = n/3icos,由正弦定理得 期血4百访E:n室诃灰0的，又由在月醒中，5MB'>0,即喧加二飞怎0劭，即忸1以二4，因为0CA后，所以乩=三3在dWBc：中，由余弦定理可知 心二居十1 一 2bcc3sA ,且足=4,即16=后星+ L 一工乩匚05三=十=+ d 一版w 2bc一辰二方g当且仅当b=u时，等

29、号成立, 3即£三16,所以/Sc7的最大面积为y = -bcsin4 = - X Ifisin-= W5,故选 A. Z233.曲线产=个的一条切线1与v = 4y轴三条直线围成的三角形记为 AOAB,则CMB外接圆面积的最小值A. 8V1Jr B. $（，一点）吓C. 16（72- l）sr D. 16（2-V2）iT【答案】C【解析】设直线1与曲线的切点坐标为（血,4），函数y =三芋的导数为产=詈.则直线1方程为y红出二驾丁（工一期），即y,二丛一京+显，可求直线1与y = x的交点为A与y轴的交点为B（b 土、,在 OAB中,|AB|= = 4xJ-F(2x0-£

30、=M+营-32> 32/5-1)，当且仅当罡妙2=2%2时取等号.由正弦定理可得 OAB得外接圆半径为r = -4 = -lA3, 2 51IL4 5- Z则 OAB外接圆面积S = nr1 =轲ABF=1以隹一 IJti,故选：C.4 .【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知锐角d百BE外接圆的半径为2, AB = 273 ,贝以用周长的最大值为（）A. 4有B. 6V3C, 白曲D, 12x3【答案】B【解析】 锐角外接圆的半径为2, AF = 2谯,二一=2灭,即卫=4, 5iratJsiticsinC =,又。为锐角, 2由正弦定理得 口 二 = G 二4, 式轮由 si

31、ns siic，a= 4sinA, b= 4sinB, c=&与$，a+b+c= 24sinB+4sin 号-B)=6sinB+2和cosB+2/j=46sin (斗三)+需, 6，当B+二=三即B三时，a+b+c取得最大值 4'3 + 2'6 = 6. ,fi 23故选：B.5 .【中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月】在中，月、H、C的对边分别是Q、bc若A二的'a = l,则2b十3c的最大值为()A. 3 B.手 C, 3在 D.手【答案】B【解析】因为4 = 12(T, a = l,设三角形外接圆半径为 R,由正弦定理可得 4= 3 = f =

32、 2况=七七=避，所 SETt A sens 占ETC 仁SLmO 03以b =逅sHtB, c = sinC,故 aa2h4 3c = 5iTiH+V3smc = sm(&0B-O + VslnC = tnC + mjC =+(p).其中小:门 二所以一 , 一.，一6 .【安徽省巢湖市 2019届高三三月份联考】 已知锐角占48亡的角A, B, C的对边分别为a, b, c,且匚=工，三角形ABC的面积I,则小4V的取值范围为()A .学+8B .6+8)C.学力D R)【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作口3 1月H于D , D在边AB上，如图:c因为：又= 所以

33、 =在三角形 ADC中，AD = 以。-6工二加 一 4,在三角形BDC中，BD 二 帆二一小工二也-4,., AD 十田 B 二捕 R = 1,4 + d护-4 = 1,工 aB +产= aa-4 4-&3 -4 + 8 = (Va1 -4)a + Q 取一"十 8 二 Q朋 -4)工 + Cl- 一 货 + 8=2 (Ja工-4J2 2-Ja2 -4 + 9中府二I E (0.1)设t E 质=4 E8.1)；,a2 V = 2/ 2十9结合二次函数的性质得到：心+户名亨,9)故选：D.7.【2019年高考模拟试卷(一)】幺5匕的内角乩B.f所对的边分别是3瓦。.已知晓o

34、sC + *cg4=1,贝姆bB CCL的取值范围为()A. &+8;B.巳+C G1)D.巳！)【答案】D【解析】因为'口才二i,得人 丁一丁产+入二与- =之=1 ,所以胪=flC, 巴QL>c 2ab cz st c21at所以cmB ='心=三当且仅当工=。取等号，且5为三角形内角，所以三wcWJui.2 Q£!2<LC2ac 22故选：D8 .【广东省东莞市2019届高三第二次调研】若占AEC的面积为今迪工+d一1)4，且乙心为钝角，则上E的度数以及-的取值范围为自PA. = &。"巨(L +m)B. (L+ot)C J

35、LR 二的,3+Q0)D. £B =抑，频（2.前>）【解析】解：由余弦定理可得，1cq38=殳殳,工 aa-l- c1 - b2 = 2accosB,S = acsinB =子 c二一M)二 f X SaccosB ,由正弦定理可得,e£i:C sinC5 三殍0 土年C 1 晦（”m）£ tanC < 一怖,2 4故选：C.9 .【贵州省凯里市第一中学 2019届高三下学期模拟考试黄金卷二】在锐角三角形中，已知瓦瓦十分别是角乩昆£的对边，且 后匕二2口肃油；门二4,则且因面积的最大值为（）C. 813A. 2V3【解析】 在AJ1BC中，

36、由正弦定理得sirui再£? = 2必访8 ,用= 24m4仙瓦 解得小二号 1以ABC1为锐角三角形，则cos月=也-而工用=彳由余弦定理得 < 二 .,：二 一 二二二二厂：二.二一;一 ：二16 += b2-c2 > 2be, 16,当且仅当b=4时，等号成立1卢 a S&理仃-re - sinA de s 4V3故选B项.二、填空题10 .【江西省红色七校2019届高三第二次联考】在4464中，角上所对的边分别是+； =4cosC , 且匚=2,则A ABC的周长取值范围为 .【答案】：【解析】由余弦定理得士 + 士 =4日必,整理得/十匹=日主.且宜,即

37、a+bW4当且仅当a=b=2取等，又a+b>c=2,所以 b -a2<b- 厘a+b+cL （4冽故答案为11 .【四川省巴中市2019届高三零诊】 在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知亍谭土则A的取值范围为【答案】（0,二 ,6【解析】由”是得* 暮中，化简得”* NieB*+ff2-c2 $丁脾d 9a H u . . fsa6=十三 £ 卜-：=：3&£3-SOC4甘 4alM 4H 手工 口'-0</<痂 且余弦函数在Q,朋上是递减函数，,fi故答案为（0,12 .【四川省成都石室中学2019届高三二模】四边形ABED中，AB = 3,乙= 6ET,则ED的最大值为.【答案】一m【解析】 设/ ABC= a, / ACB= 3,则在 ABC 中，由余弦定理得 AC2=10- 6cos a由正弦定理得 ”即sin即把巴， 冒 Lnf sirm= 90234 = 6旷，CD-AC3在 BCD 中