六年级上册数学社团活动

1、六年级数学兴趣活动备课一、 教学目标1在学生掌握义务教育课本所学的课程知识基础上循序渐进、深化拓展学生已学的知识，利用数形结合、比例、方程等方法分析和解决一些数学问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。2通过观察、推理、归纳、类比等数学活动解决现实生活中的数学问题，教给科学的学习方法，拓宽解题思路，体验数学文化的奥妙，并进一步发展空间观念和逻辑思维能力，为他们未来的发展奠定坚实的基础。二、 教学内容周次教学内容单元教学目标篇目出处1不定方程理解不定方程的意义，会用不定方程解答应用题，提高学生分析问题和灵活运用知识解决问题的能力。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程2代数解题理解方程的意义，

2、会正确合理地用方程解答较复杂的应用题。仁华学校奥林匹克数学课本3容斥原理理解和掌握容斥原理的意义和基本结构。通过动手操作让学生自主发现容斥问题的解题思路，会运用学到方法解决实际问题。仁华学校奥林匹克数学课本4圆柱圆锥理解和掌握圆柱和圆锥的体积公式及圆柱的表面积公式并能灵活运用，培养学生的空间想象能力。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程5立体图形通过复习立体图形的表面积和体积公式，加深学生对这些形体之间的内在联系的认识，让学生对所学知识进一步系统化，提高学生解决问题的能力。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程6比和比例（一）理解和掌握比和比例的意义，进一步运用比和比例的知识正确解答应用题，提高学生

3、综合运用知识的能力。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程7比和比例（二）8浓度问题理解溶液、溶剂、溶质三量及浓度、溶液、溶质三量间的关系，会用方程解答浓度问题。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程9时钟问题理解和掌握时针分针重合、垂直、成直线这三种关系，会用恰当的方法解答时钟问题。仁华学校奥林匹克数学课本10牛吃草问题理解和掌握牛吃草问题的解题规律，会正确合理地解答此类应用题。奥数教程11巧解趣题会利用数形结合、比和比例、方程等方法分析、解决一些数学问题，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。仁华学校奥林匹克数学课本、奥数教程12综合测试三、 教学建议1所选的内容要生动有趣，通过实际生动的例子，

4、培养学生对数学的兴趣和爱好，做到活学活用，力求体现“多彩的学习素材，新鲜的教学信息”。2教学时要注重深入浅出，注重做到语句通顺、简明，思路清晰，注重面向全体，循序渐进，注重数学思想的启蒙，力求体现“激进的创新思维，灵活的解题方法”。3在兴趣小组活动中要注重非智力因素的作用，促进学生的全面发展。4及时测查和评价学生的数学能力水平，以便针对学生实际情况及时调整和改进教学。第一周 不定方程经典例题上课了，孙老师一进教室就很有感叹地说：“同学们，你们的年龄大多数都是13岁，而我比你们13岁的小朋友大21岁，请你们说一说孙老师是哪一年出生的？还想知道孙老师的生日吗？请你算一算”。例1 孙老师的生日月份数

5、乘以31，生日的日期数乘以12，想加后得347，求孙老师的生日。【分析与解答】 设孙老师的生日的月份数为X，生日的日期数为Y，依题意列出方程：31X12Y=347因为12Y是偶数，347是奇数，那么31X必定是奇数，X只能取1、3、5、7、9、11。经过试算，本题只有唯一的整数解，即：X=5Y=16所以孙老师的生日为5月16日。 例2 装水瓶的盒子有大、小两种，小的盒子能装4个，大的盒子能装7个，要把41个水瓶装入盒子内，问需要大、小盒子各多少个？（每个盒子都恰好装满）【分析与解答】设小盒子X个，大盒子Y个，那么：4X7Y=41同上例一样，4X是偶数，41是奇数，那么7Y必定是奇数，且X和Y应

6、为正整数，Y只能取1，3，5，经过试算，本题只有唯一的整数解，即：X=5Y=3所以需小盒子5个，大盒子3个。例3 小明准备到商店买2元一支的圆珠笔和9元一支的钢笔，两种笔都要买，并且刚好用40元钱，问小明可以买圆珠笔、钢笔各多少支？【分析与解答】设圆珠笔买X支，钢笔买Y支，那么有：2X9Y=40由于圆珠笔支数、钢笔支数都是自然数，所以只要求出这个不定方程的自然数解即可。又因为2X是偶数，40也是偶数，且偶数偶数=偶数，所以9Y必定是偶数，Y只能取2，4。当Y取2时，X等于11；当Y取4时，X等于2。从上可知，小明可以买11支圆珠笔、2支钢笔或2圆珠笔支、4支钢笔。例4 湘师附小六年级甲、乙两班

7、学生109人，已知甲班男生占甲班学生人数的，乙班女生占乙班学生人数的，则两班共有男生多少人？【分析与解答】设甲班的学生数为11X，乙班的学生数为9Y，依题意有：11X9Y=109变形为9Y=10911X因为左边为自然数，所以X最大等于9。当X=1，2，3，4，6，7，8，9，时，左边均不是9的倍数，只有X=5时，右边等于54，才是9的倍数，此时Y=6，所以X=5，Y=6是这个不定方程的唯一的一组解。从而知甲班学生11×5=55人，乙班有学生9×6=54人，两班共有男生：55×54×（1）=3030=60人。例5 从育才小学毕业的一个学生发现自己1998年

8、的年龄正好等于他出生那一年的年份的末两位数字之和，请问这个学生1998年多少岁？【分析与解答】把这个学生出生的年份数设出来，1998减去出生的年份数等于他的年龄，又知他的年龄等于出生年份数的末两位数字之和，这就可得一个不定方程。设这个学生出生的年份数是年，那么依题意有：1998=XY也就是98（10XY）= XY11X2Y=98由于Y最大是9，所以11X不会小于982×9=80，X=8或者9。X=9时，11X比98大，不符合要求；X=8时，Y=5，XY=85=13从而知这个学生1998年13岁。举一反三1求出不定方程3X5Y=61的整数解。2现有3米和5米的钢管各6根，安装31米长的

9、管道，问怎样接用最省材料？355人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问租大、小船各多少只？（每只船都坐满）4王虎用100元钱买油菜籽、西红柿和萝卜籽共100包，油菜籽每包3元，西红柿每包4元，萝卜籽1元7包，问他每种各买多少包？5甲、乙 两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍，如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍，那么甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？6小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”，小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”7一个三位数除以19所得的商等于这个三位数各位数码之和，这种三位数有多少个？8

10、我国古代有一位著名的数学家张丘建，在他编写的张丘建算经里，曾提出并解决了百钱买百鸡这个有名的数学问题，你会算吗？今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡。问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？融会贯通1小刚要买1元钱的东西，他的储蓄罐中有足够多的1分、2分和5分的硬币，问他有多少种付钱方法？2有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。请问这三张牌的数字分别是多少？3一百马，一百瓦，大马驮叁，中马驮俩，小马驮半拉，问有多少大马、中马和小马

11、？第二周 代数解题经典例题例1 回澜小学六（1）班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班女生有多少人？【分析与解答】设女生有X人，列方程得2X10=302X=30102X=40X=20答：女生有20人例2 小明和哥哥的年龄和是23岁，哥哥比小明大3岁，问小明和哥哥各几岁？【分析与解答】设小明X岁，则哥哥为X3岁，列方程得XX3=232X3=232X=2332X=20X=10答：小明10岁，哥哥13岁。例3 体育路小学六（2）班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，全部坐满。问大船和小船各多少只？【分析与解答】设大船有X只，则小船有10X只。大船坐了6X人，小船

12、坐了4（10X）人。列方程得6X4（10X）=466X404X=462X=46402X=6X=310X=103=7答：大船有3只，小船有7只。例4 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个，平均每天采14个，问这几天当中有几天雨天？【分析与解答】采松子的天数是112÷14=8天设有X天下雨，则有8X天晴天。雨天共采松子12X个，晴天共采松子20（8X）个。列出方程12X20（8X）=11212X16020X=112160112=20X12X48=8XX=6答：这几天当中有6天雨天。例5 人民路小学六（1）班学生合买一件纪念品，如果每人出6角则多出

13、4元8角，如果每人出5角，则少3角，求这个班学生的人数。【分析与解答】设这个班共有学生X人，纪念品的价格是6X48角，也是5X3角，列方程得6X48=5X36X5X =483X=51答：这个班的学生有51人。例6 三个数的平均数是8.6，其中第一个数是9.1，第二个数比第三个数小0.1，求第三个数。【分析与解答】设第三个数为X，则第二个数是X0.1，这三个数的和是9.1X0.1X，列方程得9.1X0.1X=8.6×3X=8.4答：第三个数为8.4。举一反三1男生和女生平均每人植树16.5棵，男生24人，共植树506棵，女生平均每人植树11棵。求男、女生共植树多少棵？2两个水池共贮水4

14、0吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池水的吨数与乙池水的吨数相等。两个水池原来各贮水多少吨？3有两支香，第一支长34厘米，第二支长18厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉2厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的3倍？4一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各多少人？ 5一次会餐时，每人用一个饭碗，两人合用一个菜碗，四人合用一个汤碗，会餐时共用了105个碗，问参加会餐有多少人？6有四个盒子共装了45个小球，但不知道每个盒子里有几个球。如果变动一下：第一个盒子减少2个，第二个盒子增加2个，第三个盒子增

15、加1倍，第四个盒子减少一半，那么这四个盒子里的球就一样多了。请你求出原来每个盒子里各有几个球？融会贯通1某车间计划生产若干套螺丝，每套螺丝由两个螺母和一个螺栓组成，平均每天可生产60个螺栓和80个螺母，几天后螺栓恰好全部生产完毕，而螺母还差320个，求原计划生产多少套螺丝？2小李和师傅共同做一批机器零件，30天完成了任务，已知师傅每天比小李多做2个，而小李在中途请假5天，于是小李完成的零件个数恰好是师傅的一半，求这批零件的总个数。3解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时敌舰已逃离该岛12分钟，敌舰每分钟行1000米，我军快艇每分钟行1360米。如果距敌舰600米处可以开炮射击，解放军快艇从A岛出发

16、经过多少分钟可以开炮射击敌舰？第三 周 容斥原理经典例题例1 江寺小学601班42名学生都订了报纸，订阅中国科技报的有32人，订阅小学生世界报的有27人。有多少人订阅两种报纸？【分析与解答】 假定全班每人只订一份报纸，则全班共有3227=59（人），这比全班实际人数多5942=17（人），说明有17人不是只订一份报纸，而是既订了中国科技报又订了小学生世界报，所以在统计订阅报纸人数时，有17人重复计算了一次，形成了比全班实际人数多了的情况。 322742=17（人）例2 劲松小学603班有40个学生，在一次测验中，答对第一题的28人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。那么两题都不对的有

17、多少人？【分析与解答】 因为答对第一题的28人中有15人同时答对第二题，所以第一题答对，第二题答错（也就是只答对第一题）的学生有2815=13人。同理，第二题答对，第一题答错（也就是只答对第二题）的学生有2315=8人。从全班学生总人数中，减去这两部分学生人数，再减去两题都答对的人数，就能得到两题都不对的学生人数。解 40（2815）（2315）15=4（人）例3 有77名学生参加数学竞赛，分甲乙两张考卷测试，答对甲卷者得60分，答对乙卷者得40分，已知答完考卷后有50人答对甲卷，65人答对乙卷，只有2人甲乙两卷都答错了，这次考试只得40分的有多少人？只得60分的有多少人？得100分的有多少人

18、？【分析与解答】 如图，把全班学生77人用长方形围起来，在这个长方形内，答对甲卷的学生55人用圆A围起来，答对乙卷的学生65人用圆B围起来，圆A圆B之外的部分就表示甲乙两卷都答错的学生2人。至少答对一张考卷的人数：772=75（人）答对两张考卷的人数：50+6575=40（人）只答对甲卷的人数：5040=10（人）只答对乙卷的人数：6540=25（人）例4 在11000的整数中，有多少个数既是5的倍数又是7的倍数？有多少个数既不是5的倍数又不是7的倍数？【分析与解答】 在11000的1000个整数中，可先找出5的倍数的个数和7的倍数的个数，再找出5和7的最小公倍数的倍数的个数，利用重叠问题的规

19、律即可解答。5的倍数的数有【】=200个7的倍数的数有【】=142个5和7的最小公倍数的倍数的数有【】=28个既是5的倍数又是7的倍数的数有200+14228=314个既不是5的倍数又不是7的倍数的数有1000314=686个例5 通过调查，高桥小学602班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说，该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？【分析与解答】该班学生中：不喜欢游泳的有 178%=22%不喜欢玩游戏机的有 180%=20%不喜欢下棋的有 184%=16%不喜欢看小说的有188%=12%那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的

20、22%+20%+16%+12%=70%所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是：170%=30%举一反三1某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人，全班得优的共有多少人？250名学生答A、B两题，其中没答对A题的有12名，而答对A题，没答对B题的有30人，那么A、B两题都答对的有多少人？3.两个部分重叠的正方形，大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，重叠部分也是正方形，边长为1厘米。求这个图形覆盖的面积。4某班共50人，参加书法兴趣小组的有32人，绘画兴趣小组的有28人，其中两种都学的有15人，这个班还有

21、多少人没参加这两项兴趣小组？5工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有19人，求全厂共有多少工人？6一次数学测验，甲答错了题目总数的，乙答错了3道题，两人都答错的题目是题目总数的。求甲、乙都答对的题目数。71至200的自然数中，能被2或3或5整除的数有多少个？8将1至5这5个自然数填入空格内，使横行、竖行上三个数的和相等。9把19这九个数填在图中的方格内，使每一横行、每一竖行和两对角线上的数的和都等于15。融会贯通1

22、在下面的空格中填上适当的数，使任意三个相邻格子中数的和为18。652计算下列图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 4厘米 2厘米3甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次？ 第四周 圆柱和圆锥经典例题例1 一个圆柱的表面积是50平方厘米，底面积是15平方厘米。把2个这样的圆柱拼成一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是多少平方厘米？【分析与解答】将两个完全一样的圆柱体拼成一个大圆柱，体积不发生变化，但表面积变小了。每个底面积是15平方厘米，两个底面积就是15×2=30平方厘米，因此大圆柱的表面积是50×230=70平方厘米。例2

23、有一根圆柱形状的木材，底面直径是16厘米，高是20厘米。沿着它的底面直径，从上向下锯成相等的两块，每块的表面积是多少？【分析与解答】两块新的表面积比原圆柱的表面积多了两个长方形的面积，因此可先求出原圆柱的表面积再加上两个长方形面积，再求它的一半即是每块的表面积。圆柱的表面积：16×3.14×20（16÷2）×3.14×2=1406.72平方厘米新增加的两个面的面积：16×20×2=640平方厘米每块的表面积：（1406.72640）÷2=1023.36平方厘米例3 将长、宽、高分别为20厘米、18厘米、16厘米的长

24、方体木块，削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少？【分析与解答】削成圆柱体有以下三种方法，分别求出圆柱体的体积，进行比较，选择体积最大的一种。以长20厘米，宽18厘米作为圆柱的底面，16厘米作为圆柱的高。在长为20厘米，宽18厘米的长方形内截最大的圆，以宽18厘米作为圆的直径。（18÷2）×3.14×16=4069.44（立方厘米）以长20厘米，宽16厘米作为圆柱的底面，18厘米作为圆柱的高。在长为20厘米，宽16厘米的长方形内截最大的圆，以宽16厘米作为圆的直径。（16÷2）×3.14×18=3617.28（立方厘米）以长18厘米

25、，宽16厘米作为圆柱的底面，20厘米作为圆柱的高。在长为18厘米，宽16厘米的长方形内截最大的圆，以宽16厘米作为圆的直径。（16÷2）×3.14×20=4019.2（立方厘米）将以上三种情况进行比较，以长20厘米，宽18厘米作为圆柱的底面，16厘米作为圆柱的高所作的圆柱的体积最大。例4 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米。问：瓶内现有饮料多少立方分米？1【分析与解答】瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，

26、所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为205=25厘米的圆柱体的体积。推知饮料占容积的=，所以瓶内有饮料：30×=24（立方分米）例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【分析与解答】需要涂漆的面积有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆的面积为：3×3×3.14

27、5;26×3.14×104×3.14×5=307.72（平方厘米）举一反三1把一个直径是4厘米的圆柱体底面分成许多相等的扇形，然后沿直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加6平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2把一个圆柱体沿直径切成若干份，拼成一个长方体，它的宽是5厘米，又知圆柱体的侧面积是37.68平方厘米，这个 圆柱体的体积是多少立方厘米？3一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？4有一个圆柱体木料，高是45厘米，它的侧面积是2826平方厘

28、米，若沿着底面直径把它锯成相等的两块，每块的表面积是多少平方厘米？5把一个长、宽、高分别是6厘米、4厘米、2厘米的长方体削成一个体积最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？（得数保留整数）6一个底面直径为20厘米的圆柱体木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶里的水面将降低多少？ 7有一顶帽子，帽顶部分是圆柱体形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？融会贯通1用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方体形状的钢板，应截取多长的一段圆钢？2圆锥形

29、容器内装的水正好是它的容积的，水面高度是容器高度的几分之几？3有两个盛水的底面半径为10厘米，高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。第五周 立体图形经典例题例1 如图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成，求它的表面积。【分析与解答】求这个立体的表面积，如果一面一面的去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁。如果仔细观察，会发现这立体的上下、左右、前后面的面积分别相等。因此列式为：（987）×2=48（平方厘米）答：它的表面积是48平方厘米。例2 如图，在一个长方体中，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数

30、，求这个长方体的体积。【分析与解答】从图中可以看出，长方体的正面及上面的面积之和恰等于这个长方体的长×（宽高）=209=11×19那么有两种可能：长=11，宽高=19长=19，宽高=11宽和高必是一个奇质数与一个偶质数219=172符合要求11=92不符合要求所以，长=11。长方体的体积是11×17×2=374例3 如图，有一个立方体，边长是5，如果它的左上方截去一个边长分别是5，3，2的长方体，那么它的 表面积减少的百分比是多少？【分析与解答】因为原立方体的表面积是5×5×6=150，而减少的表面积是两块3×2的面积。即减

31、少3×2×2=12，所以减少的百分比是=8例4 一个边长为5厘米的正方体木块，分别从它的上下、前后、左右各面的中心挖通一个横截面是边长为1厘米的长方体的柱孔，求这个有孔木块的体积。【分析与解答】木块的体积=正方体的体积3个长方体柱孔体积2个空的小正方体体积，就是55×1×1×31×1×1×2=112（立方厘米）例5 皮球掉在一个盛有水的圆柱形的水桶中，皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球的的体积浸没在水中。皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？【分析与解答】皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高。

32、这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度。×3.14×6×÷（3.14×30）=（厘米）举一反三1 如图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 2横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少？3 有一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（百分号前保留一位小数） 4将右图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体。问这个正方体的2号

33、面的对面是几号面？ 5一个圆柱体零件的表面积比侧面积大12.56平方分米，高5分米，这个圆柱体的体积是多少？ 6一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防绣漆，一共需涂多少平方厘米？72100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体。它的高是10米，长和宽都是大于10米的整数，问长方体长宽之和是多少米？8 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成右图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米。求所成形体的体积。融会贯通1 如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘

34、米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？2 一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体（如图），问纸盒的容积有多大？ 3一个正方体形状的木块，棱长为1米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？第六周 比和比例（一）经典例题例1 下列个题中的两种量是否成比例？为什么？速度一定，路程和时间。路程一定，速度和时间。路程一定，已走的路程与未走的路程。总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间。同时同地，竿高和影长。长方体体积一定，底面积和高，圆的半径和面积。汽车行驶

35、时每千米的耗油量一定，所行的路程和耗油总量。【分析与解答】成正比例的有：、。成反比例的有：、。不成比例的有、。例2 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程之比依次是123。小龙走各段路程所用时间之比依次是456。已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米。问小龙走完全程用了多少时间？【分析与解答】通常我们要求小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比。上坡、平路、下坡的速度之比是平路速度是3×÷=千米下坡速度是3×÷=6千米走完全程所用的时间÷3÷÷6=10（小时）例3 一块合金内铜和锌的比是23，现在再加入

36、6克锌，共得新合金3 6克。求新合金内铜和锌的比。【分析与解答】铜和锌的比是23时，合金重量是：366=30（克）铜的重量是：30×=12（克）新合金中锌的重量是；3612=24（克）新合金内铜和锌的比是1224=12例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟完成任务时，两人各加工零件多少个？【分析与解答】按比例分配做：因为=95 所以师傅加工：168×=108（个）徒弟加工：168×=60（个）举一反三1一块长方形的地，长和宽的比是32，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？2一块长方形的地，长和宽的比是32，长方形

37、的周长是120米，求这块地的面积？3水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是53，求橘子和苹果各多少筐？4 小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是43，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？5小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下页数的比是37，小刚再读多少页就能读完这本书？6一个长方体，长与宽的比是21，宽与高的比是32，如果长方体的全部棱长之和是220厘米，求长方体的体积。7一班和二班的人数之比是87，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为45。求原来两班的人数各多少？8甲、乙两人

38、的钱数之比是31，如果甲给乙0.6元，则两人钱数之比为21，求两人共有多少钱？融会贯通1商店购进甲、乙两种不同的糖果所用费用之比为21，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克2元。如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？2甲、乙两同学的分数比是54，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是57。甲乙原来各得多少分？3A和B两个数的比是85，每一个数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数？第七周 比和比例（二）经典例题例1 加工一个零件，甲、乙、丙所需时间比为678，现有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，各应加工多少个？【分析与解答

39、】从甲、乙、丙加工一个零件所需的时间比为678，可求出甲、乙、丙3人工作效率比，将要完成3650个零件，按3人工作效率比进行分配，即可求出甲、乙、丙3人各应加工多少个零件。甲、乙、丙3人工作效率比为=282421甲、乙、丙3人各应加工的零件数为3650×=1400（个）3650×=1200（个）3650×=1050（个）例2 一块合金，铜与锌的比是23，现加入铜120克，锌40克，可得合金660克，求新合金中铜与锌的比？【分析与解答】原合金的重量是：660（12060）=500（克）原合金中的铜是：500×=200（克）原合金中的锌是：500×

40、=300（克）新合金中的铜是：200120=320（克）新合金中的锌是：30040=340（克）新合金中铜与锌的比是：320340=1617例3 两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是25，另一块合金中铜与锌的比是13，现将两块合金合成一块。求新的合金中铜与锌的比。【分析与解答】 第一块合金中铜的重量占总重量的几分之几？2÷（2+5）=第二块合金中铜的重量占总重量的几分之几？1÷（1+3）=新合金中铜的重量占总重量的几分之几？（）÷2=新合金中锌的重量占总重量的几分之几？1=新的合金中铜与锌的比是1541例4 甲、乙两人上班，甲比乙多走，而乙比甲走的时间少，求甲

41、、乙两人的速度比是多少？【分析与解答】甲、乙两人的速度比为【（1+）÷1】【1÷（1+）】=1211例5 分数的分子和分母加上M以后，分子与分母的比为197，求M是多少？【分析与解答】用比例解，根据题意列出比例式：（29+M）（5+M）=197（29+M）×7=（5+M）×19 M=9举一反三1 一批零件按53分给师徒两人加工，结果师傅加工了1440只，超额完成20%，徒弟只完成了80%，徒弟加工了多少只？2科技组与作文组人数的比是910，作文组与数学组人数的比是57，已知数学组与科技组共有69人，求数学组比作文组多多少人？3乙的年龄是甲的，丙与乙的比是

42、35，丙的年龄的等于丁的，已知乙今年20岁，求甲、丙、丁各多少岁？4甲、乙两仓库有水泥袋数比是43，甲用了48袋后，甲、乙两仓库水泥袋数的比是23，问两仓库原有水泥各多少袋？5某商店运来梨和苹果共275千克，卖出苹果总数的，梨总数的后，余下的苹果和梨的重量正好相等。运来的梨有多少千克？6 两个瓶子里共装有药片260片，如果将甲瓶药片的装入乙瓶里，甲、乙两瓶药片数量的比是76。原来两个瓶里各装有多少药片？7 直角梯形周长是48厘米，两底的和与两腰和的比是21，一条腰与另一条腰的比是35，求梯形的面积。8长方体的棱长和是216厘米，长、宽、高的比是432，长方体的体积是多少？融会贯通1仓库里原有一

43、批粮食，调出20%后又调入40吨，这时仓库的粮食与原有粮食的比是2825，仓库里现有粮食多少吨？2的分子减去一个数，分母加上这个数后，分数值是，求这个数。3某工厂装电视机。如果每天装20台，15天可完成任务，实际4天就装配了100台。照这样计算，可以提前多少天完成任务？4硬糖每千克5.1元，软糖每千克8.9元，现要求混合后的糖价为每千克5.4元，求硬、软两种糖应取怎样的重量比才合适？第八周 浓度问题经典例题例1 浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？【分析与解答】如果要变成浓度为8%，含糖8克，糖水的总重量是8÷8%=100（克），其中有水1008

44、=92（克）。还要加水9272=20（克）例2 现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？【分析与解答】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中溶质的量。20千克10%的盐水中含盐是20×10%=2（千克）混合成22%时，20千克盐水溶液中含盐的质量：20×22%=4.4（千克）需加入30%盐水溶液的质量是：（4.42）÷（30%22%）=30（千克）例3一容器内有浓度为15%的盐水，若再加入20千克的水，则盐水的浓度变为1

45、0%，问这个容器内原来含盐多少千克？【分析与解答】设容器中原来有盐水X千克，那么加水前后容器中所含盐的重量相等，即：15%×X=（X+20）×10%X=40所以容器中盐水含有盐的重量为：40×15%=6（千克）例4将20%的盐水与5%的盐水混合，配制成15%的盐水600克，需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？【分析与解答】设20%的盐水需X克，则5%的盐水为600X克，那么20%X（600X）×5%=600×15%20%X305%X=9015%X=60X=400600400=200（克）例5 已知甲种酒中含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，

46、丙种酒含纯酒精35%，现将这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5%的酒11千克，乙种酒比丙种酒多3千克，问甲种酒有多少千克？【分析与解答】设丙种酒有X千克，则乙种酒有X+3千克，甲种酒为11XX3=82X千克。（82X）×40%（X+3）×36%+35%X=11×38.5%X=0.5从而甲种酒有82X=7（千克）举一反三1有含糖15%的糖水20千克，要使糖水含糖10%，问需要加水多少千克？2一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，问这时容器内的溶液的浓度是多少？3现有浓度为20%的盐水80克，把这些盐水变为浓度为75%的盐水，问需

47、要加盐多少克？4往浓度为20%，重量为400克的糖水中加多少克水，才可以得到浓度为5%的糖水？5给一块棉田施农药，用含药60%的农药2千克，加清水配制成含药0.5%的药水进行杀虫，需加清水多少千克？6甲、乙两种酒各含酒精70%和55%，要配制含酒精65%的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克？7在浓度为50%的100千克烧碱溶液中，再加入多少千克浓度为5%的烧碱溶液，就可得到浓度为25%的烧碱溶液？8.由浓度是30%的酒精与浓度是60%的酒精混合，制成了50%的酒精30千克，前两种酒精各使用了多少千克？融会贯通1已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数

48、是乙校学生数的42%。那么两校女生总数占两校学生总数的百分之几？2把20克盐放入100克水中，放置三天后杯中的盐水只有100克了，这时盐水的浓度比原来提高了百分之几？3有一种含水量为14.5%的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10%，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？4仓库运来含水量为90%的一种水果100千克，一周后再测，发现含水量降低了，变为80%，现在这批水果的总重量是多少千克？第九周 时钟问题经典例题例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？【分析与解答】2点时，分针指向12，时针指向2，分针在时针后面5×2=10格，因为时针速度是分针的，所以分针走1格，时针走格，分

49、针比时针多走1=格。 即10÷（1）=10（分）例2 在7点到8点之间，时针与分针在什么时候相互垂直？【分析与解答】在7点到8点之间，时针与分针相互垂直有两种情况：顺时针方向看，分针在时针后面15格，从7点开始，分针要比时针多走3515=20格，需20÷（1）=21分逆时针方向看，分针在时针前面15格，从7点开始，分针要比时针多走35+15=50格，需50÷（1）=54分例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？【分析与解答】时针和分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180度角两种情况：时针与分针重合：从3点开始，分针要比时针多走

50、15格，需15÷（1）=16分时针与分针成180度角：从3点开始，分针要比时针多走15+30=45格，需45÷（1）=49分例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片放了多长时间？【 分析与解答】因为开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为30÷（1）=32分例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？【 分析与解答】假设3点以后，时针以相反的方向走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两

51、针所行的距离和是15个格。列式为：15÷（1+）=13分举一反三1时针和分针在9点多少分时第一次重合？2从1点开始，经过多少分钟，分针和时针成直角？3从1点开始，经过多少分，分针与时针成一条直线？4在10点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？53点后，钟面上的分针什么时候恰好在时针与“12”字的中间？6小明做作业的时间不足1小时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？7师傅2点多开始工作，时针与分针正好重合在一起。5点多完工时，时针与分针正好又重合在一起。王师傅工作了多长时间？88点50分以后，经过多长时间，时针与分针第

52、一次在一条直线上？融会贯通1小红8点开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？23点36分，时针与分针形成的夹角是多少度？33点过多少分的时候，时针和分针离“2“的距离相等，并且在“2”的两边？4有一只钟，每小时慢2分，早晨8点时把钟对准，那么当钟面上走到12点时，标准时间是什么时候？第十周 牛吃草问题经典例题例1 牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问供25头牛可吃多少天？【分析与解答】10头牛吃20天吃的草可供多少头牛吃一天？10×20=200（头）15头牛吃10天吃的草可供多少头牛吃一天？15×10=

53、150（头）每天新生的草可共多少头牛吃一天？（200150）可共多少头牛吃一天？÷（2010）=5（头）原有草可共多少头牛吃一天？2005×20=100（头）设25头牛可吃X天。25X=100+5XX=5所以供25头牛可吃5天。例2 有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的泉水相等，如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完，现在12分钟内要抽完水，需要抽水机多少架？【分析与解答】3架抽水机36分钟抽水量：3×36=1085架抽水机20分钟抽水量：5×20=100（头）每分钟涌出的泉水量：（108-100）÷（36-20）=0.5原有的水量：1080.5×36=90设需要抽水机X架。12X=90+0.5×12X=8 所以现在12分钟内要抽完水，需要抽水机8架。例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟，如果同时开7个检票口，那么需多少分钟？【分析与解答】设1人1分钟检票的人数为1份。4个检票口需30分钟的份数：4&#