高考数学理二轮复习几何体与球切接的问题

1、热点七 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 

2、;首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体 如图所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球

3、，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. （2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的

4、棱长为，球的半径为，这时有.（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.例 1【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【针对练习】1.如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A36B32 C9D8答案及解析：1.B几何体的直观图如图所示为三棱锥，三棱锥中，所以外接球的直径为，则半径，所以外接球的表面积,故选B.

5、1.2 球与长方体例 2 自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值【答案】.【解析】以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径 =例 3【2018届二轮复习专题】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 8 B. 12C. 20 D. 24【答案】C【针对练习】1.已知边长为2的

6、等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将ABC折成直二面角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案及解析：1.D折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选D.2 球与锥体的切接 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1正四面体与球的切接问题  （1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的

7、中心与球心重合；  数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可以利用体积桥证明）  （2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；  数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可用正四面体高减去内切球的半径得到）  （3） 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；  数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有 例 4【2018届广西防城港市

8、高三1月模拟】各面均为等边三角形的四面体的外接球的表面积为，过棱作球的截面，则截面面积的最小值为_【答案】【解析】将四面体放回一个正方体中,使正四面体的棱都是正方体的面对角线,那么正四面体和正方体的外接球是同一个球,当AB是截面圆的直径时,截面面积最小.因外接球的表面积为,则球的直径为,则正方体的体对角线为,棱长为1,面对角线为,截面圆面积最小值为.点评：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.【针对练习】1.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-

9、ABC体积的最大值为 （ ） A. B. C. D. 答案及解析：1.C2.在四面体ABCD中，则四面体体积最大时，它的外接球半径R=答案及解析：2.如图，取AB中点E，连接CE，DE，设AB=2x（0x1），则CE=DE=，当平面ABC平面ABD时，四面体体积最大，为V=V=，当x（0，）时，V为增函数，当x（，1）时，V为减函数，则当x=时，V有最大值设ABD的外心为G，ABC的外心为H，分别过G、H作平面ABD、平面ABC的垂线交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心在ABD中，有sin，则cos，sin=设ABD的外接圆的半径为r，则，即DG=r=又DE=，OG=HE=GE=它的外接

10、球半径R=OD=2.2其它棱锥与球的切接问题 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.例5【湖南省长沙市长郡中学2017

11、届高三摸底】已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】D例6【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）】某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示, 它的府视图的直观图是,如图（2）所示, 其中,则该几何体的外接球的表面积为【答案】【解析】由斜二测画法易知，该几何体的俯视图是一个边长为4的等边三角形,再结合正视图和侧视图可知，该几何体是如下图所示的高为4的三棱锥DABC，将其补形为三棱柱ABC-EDF,设球心为O，的中心为，则,所以该几何体的外接球的半径,其表面积为.例7【2018届山西省太原十二中高三上学期1月】在四棱锥

12、中， 底面，底面为正方形， ， ，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则_【答案】【解析】设正方形的边长为，设为的中点，因为平面，而平面，所以，又，故，又，故平面， 平面，所以，故为直角三角形， 为斜边，所以同理也为直角三角形，结合 ，所以，又， ，所以平面， 平面，所以， 为直角三角形，所以， 为三棱锥 外接球的球心，且半径同理设为的中点，则为四棱锥外接球的球心，且半径，所以填点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥中均为直角三角形，因此外接球的球心就是的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的同理四棱锥外接球的球心就是的中点【针对练习】 1.已知在三棱锥P-ABC中，平面

13、PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D答案及解析：1.B试题分析：如下图所示，设球心为，则可知球心在面的投影在外心，即中点处，取中点，连，由题意得，面，在四边形中，设，半径，即球心即为中点，表面积，故选B.2.在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为A11BCD答案及解析：2.DAC=2，AB=1，BAC=120°，BC=，三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，SA平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半

14、径R=，该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=选D.3.在四面体ABCD中，BCD与ACD均是边长为4的等边三角形，二面角A-CD-B的大小为60°，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A B C D答案及解析：3.A根据题意得到这个模型是两个全等的三角形，二面角大小为，取CD的中点记为O，连结OB，OA，根据题意需要找到外接球的球心，选择OA的离O点近的3等分店记为E，同理去OB上一点记为F，自这两点分别做两个面的垂线，交于点P，则点P就是球心。在三角形POE中，角POE为三十度，OE=故答案为：A.4.已知在三棱锥 A - BCD中，底面BCD为等边三角形，且平面ABD平面BCD

15、，则三棱锥A - BCD外接球的表面积为答案及解析：4.16取BD的中点E，连接AE，CE，取CE的三等分点为O，使得CO=2OE，则O为等边BCD的中心.由于平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，CEBD，所以平面ACE平面ABD.由于AB2+AD2=BD2，所以ABD为直角三角形，且E为ABD的外心，所以OA=OB=OD.又OB=OC=OD，所以O为三棱锥A-BCD外接球的球心，且球的半径.故三棱锥A-BCD外接球的表面积为.3 球与球相切问题 对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转

16、化平面问题求解.例8 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为.【答案】【解析】如图：设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，则OA=r+3，OD=r+2， 于是OE=，OF=，OE+OF=EF平方整理再平方得解得或（舍掉），故答案为.例9 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前

17、三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离【答案】.【针对练习】 1.两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为( )A B C. D答案及解析：1.A4球与几何体的各条棱相切问题 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.例10 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）Al0cm

18、B10 cmC10cm D30cm【答案】【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O，过O作BP的垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为20，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故选B.4 球与旋转体切接问题 首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系例11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比【答案】【解析】如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆 设球的半径

19、，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；， ， ，例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小【答案】【解析】如图，球心和在上，过，分别作的垂线交于则由得， 【反思提升】综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的联系，将球的体积之和用或表示.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距

20、离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.【针对练习】1.已知四棱锥SABCD，SA平面ABCD，ABBC，BCDDAB，SA2，二面角SBCA的大小为若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A B4 C8 D16答案及解析：10.C2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体

21、积为,则此球的体积等于(   )A.B.C.D.答案及解析：19.B3.在四面体ABCD中，AD底面ABC，BC=2，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则（ ）A B C D2答案及解析：3.D设ABC的外心为O，则点O在AE上，设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R，则.因为所以. 故选D.4.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A81 B33 C. 56

22、D41答案及解析：4.D由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥，其中是边长为4的正方形，平面平面设为的中点，为正方形的中心，为四棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则球心为过点且与平面垂直的直线与过且与平面垂直的直线的交点由于为钝角三角形，故在的外部，从而球心与点P在平面的两侧由题意得，设球半径为，则,即，解得，选D5.正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为 （ ）（A） （B） （C） （D）答案及解析：5.A设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为，因为，所以因此三棱柱侧面面积最大值为，选A6.四棱锥P - ABCD的底面ABC

23、D为正方形，PA底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA=（ ）（A）3（B）（C）（D）答案及解析：6.B试题分析：连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即为球心，半径为,所以球的体积为，解得，故选B7.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A11 B12 C. 13 D14答案及解析：7.A由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点）， 故三棱锥外接球的

24、半径，表面积为8.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C. 41 D31答案及解析：8.C根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥OABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点其中.根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4x，R2=x2+（）2，R2=22+（4x）2，解得出：，该多面体外接球的表面积为：4R2=，故选：C9.三棱锥P-ABC中，底面ABC满足，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的

25、距离为.答案及解析：9.67.在三棱锥P-ABC中，,则该三棱锥的外接球的表面积为答案及解析：67.5 68.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为_答案及解析：68. 669.已知三棱锥均为等边三角形，二面角的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是.81.表面积为的球面上有四点，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为答案及解析：81.过O作OF平面SAB,则F为SAB的中心,过F作FESA于E点,则E为SA中点,取AB中点D,连结SD,则ASD=30，设球O半径为r,则,解得.连结OS

26、,则.过O作OM平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥SABC体积最大.连结OC，平面SAB平面ABC，四边形OMDF是矩形，三棱锥SABC体积.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，83.已知三棱锥中，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为 答案及解析：83.当平面时，三棱锥的体积最大，由于，则为直角三角形，三棱锥的外接

27、球就是以为棱的长方体的外接球，长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为，则，解得，球体的体积为，故答案为.87.在三棱锥中，,PA与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥P - ABC外接球的表面积为答案及解析：87.1289.在几何体中，是正三角形，平面平面，且，则的外接球的表面积等于答案及解析：89.由题意，取AB,PB的中点E,F，连接AF,PE，且，则点M为正三角形PAB的中点，易证PE 平面ABC，取AC中点D，连接ED，作ODPE，OMED，连接OA，则OA为外接球的半径，又，则，所以外接球的表面积为，从而问题可得解.91.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面积，且，则答案及解析：91.98.矩形中，平面，分别是，的中点，则四棱锥的外