专题09平面上的直线(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

1、2021届高考数学一轮复习专题09平面上的直线一、填空题1. （2020上海高三其他）过点（-1,2）且到原点距离最大的直线方程为.【答案】x-2y + 5 = 0【解析】设点P的坐标为（-1,2）,则过点P且到原点距离最大的直线方程为与OP垂直的宜线,因为kop = -2 ,所以所求直线的斜率为*,所以所求的直线方程为y-2 =扣+1）,即x-2y + 5 = 0故答案为：x 2y + 5 = 02. （2019-上海市建平中学高三月考）直线兀+J§y + 1 = 0的倾斜角的大小是.【答案】二6【解析】由题意k=_邑 即tan0 =-迈，0 =二.3363. （2019-上海市建

2、平中学高三月考）已知直线厶：仏-3）x + （4-約y + l = 0与2伙-3）x-2y + 3 = 0平行，则R的值是.【答案】3或5【解析】.直线人：伙一3）兀 +（4/:）/ + 1=0与/2：2仏一3）兀一2' + 3 = 0平行，2伙一3） = 2（4-灯伙一3）,整理得伙一3）伙一5）= 0,解得k = 3或5.3当k=3时，直A：y + l = 0t /2：y-_ = 0t两直线平行；厶3当 k=5 时，直线 /1：2A-y + l=0, /2:2x-y + j = 0,两直线平行.因此，k = 3或5故答案为：3或5.故答案为：-12132 sin cossin2 &

3、amp; + cos' 01213*4. （2020.上海黄浦髙三二模）若直线厶：or + 3y - 5 = 0与厶：x + 2y -1 = 0互相垂直,则实数d的值为.【答案】-6【解析】两直线A :ax + 3y-5 = 0与/2: x + 2y-l = 0互相垂直.所以oxl + 3x2 = 0，解得d = 6故答案为：65. （2018-上海交通大学附属中学嘉左分校髙三其他）若直线h：xcos& + 2y = 0与直线厶：3x + ysin& + 3 = 0垂直，贝ijsin20 =12【答案】-【解析】 由于直线/ :xcos& + 2y = 0与直线

4、厶：3x + ysin& + 3 = 0垂直，则3cos0+2sin0 = 0,3可得 tan& = -,2/. sin 20 = 2sin Ocos 0 =6. （2020-上海市七宝中学髙三三模）若直线方程ax+by + c = 0的一个法向量为（馆,-1）,则此直线的倾斜角为【答案】|【解析】设直线的一个方向向量为6Z =（X, V）由直线方程cix+by + c = 0的一个法向屋为（丁亍,一 1）,所以 /3x - y = 0,令 x = 1,则 y =所以直线的一个方向向量为（1, J亍）,"半"，设直线的倾斜角为- 由 £ = tan

5、 a,所以直线的倾斜角为：a = j.故答案为：|17. (2020-上海闵行高三二模)若直线ax + by + = 0的方向向量为(1,1),则此直线的 倾斜角为【解析】/直线ax + by + 1 = 0的方向向量为(1,1),直线的斜率为1,7TJT直线的倾斜角为一故答案为：一448. (2020-上海徐汇高三二模)设二次函数 f(x) = (2m + )x2 +nx-m-2 , ( mji e R且沖-g)在2,3±至少有一个零点，则肿+2的最小值为.【答案】53【解析】由题，当 xG2,3Rt,/(x) = (2m+l)x2+wx-w-2 = 0 有解，则可设点(/

6、1;,«)在直线(2x2 -1)m + x/z + (x2 - 2) = 0 上,则m2+n2表示原点到点(/»,/)的距离的平方，x2-2m2+n2的最小值为原点到直线(2疋1)卄劝+ (疋_2)= 0的距离的平方,所以/=宀4宀4 =丄丄 13疋一154x4 -3x2 +14 4 4x4 -3x2 + 1丄丄原式4 4169p + I5444t +，即t = 时等号成立,不符合因为 4r + + 81 >2x88+81=257.当且仅当 4r = tt题意,4844所以当3时+最小，此时/取得最小值为可44则+ “2的最小值为，故答案为:53539. （2020-

7、±海徐汇高三二模）已知直线（</ + 2）x + （l-t/）y-3 = O的方向向量是直线（a l）x+（2d + 3）y + 2 = 0的法向量，则实数。的值为【答案】±1【解析】由题，因为直线（“ + 2）x + （l-町）一 3 = 0的方向向量是直线一 l）x+（2d+3）y + 2 = 0的法向量，所以两直线垂直，则（“ + 2）（。一1） + （1。）（2（/ + 3） = 0,即（“一 1）（。+ 1） = 0,所以d = ±1，故答案为:±110. （2020-徐汇上海中学髙三其他）对于任意满足不等式x2 + y2 < m的

8、实数x、y,都能使得不等式组 X+y 彳血成立，则加的最大值是.x-2y<4【答案】y【解析】由题意可知，不等式组y 2血表示的可行域如图：x-2y<4+ x令/ = 13”一15岂37,102,484+ 81'4以（0,0）为圆心的圆在不等式组 v+ v-2所表示的区域内,x 2 “半径最大的圆%2 + y2 = m应与直线相切,圆心到x 2y 4 = 0的距离为:|0-0-4_475'+(-2)，§贝 IJM| +M2+. + M1(> = 18x10 = 180,L0-0-2V2I圆心到兀+y-2VI = 0的距离为：£=一=2,#7

9、7由于4符合题意的最大的圆为：x2 + y2= ,.加的最大值是：一.故答案为：一.11（2020上海髙三其他）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点记仃=1,2,10）,则 M|+M2+ + Mo =.【答案】180【解析】以A为坐标原点.ag所在直线为x轴建立直角坐标系, 可得毘（3,血），毘（5,血），G（6,0）,直线B3C3的方程为y = -y/3（x-6）,可设£（兀，X），可得省兀+牙=6亦, 即有 Mj= AB2 AP. = 3a; +=屈岳+兀）=18,故答案为:180.12. （2020-上海复旦附中青浦分校髙三月考）

10、已知两条直线/, :ax-2y-3 = 0,Z2:4x+6y-l=0,若人的一个法向量恰为厶的一个方向向量,则【答案】3【解析】解:.叫的一个法向量恰为人的一个方向向量，2直线厶的斜率为&=* 直线厶的斜率为込=一一，由师2 = -1 ,得 #X（|） = T= 3.故答案为：3.13. （2019-长宁上海市延安中学髙三三模）点（2,1）到直线3x + 4y = 0的距离为【答案】213x2 + 1x41【解析】 依据点到直线的距离公式，点（2,1）到直线3x + 4y = 0的距离为14. （2017-长宁上海市延安中学髙三三模）将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点ax+by =

11、 3数记为d,第一次得到的点数记为0，则方程组c C有唯一解的概率是x + 2y = 2【答案】二12【解析】ax + bv = 3由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组c ' r的两宜线相交,x + 2y = 2即直线":ax+by3与宜线lit .r+22相交»又所有的可能出现的结果（“）共有6x6 = 36种，当直线/】与h平行时，应有1 2 2故其中满足直线人与直线血平行的结果（"，小共有：（1，2）、（2, 4）、（3, 6）,总计33个，故直线人与b平行的概率为一.又由“0的意义可知两条直线不重合，36311故直线厶与人相交的概率为1-=,

12、3612311方程组有唯一解的概率为1-=>3612故答案为：学.1215. （2020-上海静安高三一模）若直线/的一个法向呈:为2 = （2,1）,则若直线/的斜率k =【答案】-2【解析】根据题意，设宜线/的斜率为乩则其方向向量为用=（1, k）,若直线/的一个法向量为亓=（2, 1）,则有m-n=2+k=0,解可得k=-2； 故答案为：-2.16. （ 2020-上海静安高三一模）若直线/,和直线12的倾斜角分别为32”和152°则A与厶的夹角为【答案】60【解析】直线h和b的倾斜角分别为32。和152。，所以直线人和b的夹角为180°- （152。-32。）

13、=60°.故答案为：60°.2 217. （2020-上海静安高三一模）设双曲线C- = 1的两个焦点为斥、F-点P在cr a +1双曲线上，若P斤丄PF2,则点P到坐标原点。的距离的最小值为.【答案】迴2【解析】2 2双曲线二一二 =1的两个焦点为斤，F2,点P在双曲线上，若PF、丄PF,cr a + 1则点P到坐标原点0的距离为G所以c=y/d2-i.a + l=J(a + -)2+-> ,当且仅当a=-时，取得最小值： 邑 V 24222故答案为：近.218. (2017-徐汇上海中学髙三其他)若函数y = ax(a>)和它的反函数的图象与函数y = 的图

14、象分别交于点A、B,若AB = 2y/2 ,则“约等于 (精确到0.1).【答案】8.4【解析】解：根拯题意画出图形，如图，.函数y = /(d>l)和它的反函数的图象与函数尸丄的图象关于直线x y = 0对 称，A AB = 2y/2 ,=>点人到直线y = x的距离为 -=- =迈=> a x x = 2 » : !丿V2又A(x, /)在函数)匸丄的图象上.=>/=丄，xx由得：一一x = 2 => x = >/2 1 >x: a、* " _(迈 _)= 2，=> a ="吋VJ+1 = 8.4故答案为：&am

15、p;4.二、单选题19. （2020-上海松江髙三其他）若O为坐标原点，P是直线x-y + 2 = O上的动点，则|0円的最小值为（）A.並B. 722【答案】B【解析】D. 2由题意，为使|0冲取最小值.只需OP与直线x y + 2 = 0垂直:由点到直线距离公式可得:|2|故选：B.20. （2017-徐汇上海中学髙三其他）若点M（/）和丄）都在直线/：X+y = l上, bc又点P（c丄）和点0（丄"）则（）acA点P和0都不在直线/上B.点P和0都在直线/上C.点P在直线/上且0不在直线/上D.点P不在直线/上且0在直线/上【答案】B【解析】1 fa+ = 由题意得：f bb

16、 +丄=1由方程组得a b_l1c =lb两式相加得c +丄=1,a即点P C,丄j在直线l:x+y = 1上,故选B.21. （2020-上海闵行高三一模）已知直线/的斜率为2,则直线/的法向量为（）A. （1,2）B. （2,1）C. （1,_2）D.（2,-1）【答案】D【解析】直线/斜率为2,直线的一个方向向量可以为（1,2），二法向量可以是（2,-1）.故选：D.22. （2017-上海松江髙三二模）某条公共汽车线路收支差额）'与乘客量x的函数关系如 下图所示（收支差额=车票收入一支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员 提岀了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支

17、出费用：建议（2）不改变支出费用，提高车票价格下而给岀的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数反映建议（1）B.反映建议（1）,反映建议（2）C.反映建议（1）,反映建议（2）D.反映建议（1）,【答案】B【解析】 对于建议（1）,因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故反映建议（1）:对于建议（2）,因为不改变支岀费用，提髙车票价格，故建议后的图象比目前的图象的 倾斜角大，故反映建议（2）.故选：B.三.解答题2 223. （2020上海普陀髙三二模）已知椭圆C： + = 1的左.右焦点分别为斥，F- 94上顶点为M,过点M且斜率为

18、一1的直线与C交于另一点N,过原点的直线/与C交于P，。两点（1）求厶pqf2周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线A/N平行的眩的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线/与线段MN相交，且四边形WW0的面积Sg108 36庐7P 3求直线/的斜率*的取值范弗1【答案】（1） 10； （2）存在满足条件的直线，其方程为4x9y = 0：（3）【解析】（1）连接PF-又直线/过原点，由椭圆的对称性得阀=|的,则bPQg的周长0 + |朋 田0© =。| +© + |；| = 6+|02|, 要使得 PQF2的周长最小，即过原点

19、的弦最短，由椭圆的性质可知，当弦P。与C的短轴重合时最短，即弦PO的最小值为4, 则厶PQF2周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN平行的弦所在的直线方程为y=-x+m,与C的交点坐 标为（粉1），（勺宀），平行弦中点的坐标为（如,儿）,£+r=i联立9 4，化简整理得13/18处+ 9亦一36 = 0，V = -x 4- m当厶= （-18w）2-4xl3（9m2-36）= -144（m2-13）0即-时，平行弦存在，4+ m = 一m ,则4兀一9儿=0,213故存在满足条件的直线，其方程为4x-9y = 0（3）设直线/的方程为y = kx，点C（x2,y2）.（不妨设

20、xx > x2 ）,2 。94y = kx消去并化简得（9疋+4）X=36,即=-=,点P, 0到直线MV的距离分别为山=|x2 +g 2|_ 136>/2 x2+kx2-2 X + Ax】一 2V2V2卜I + kxx 2| 卜2 + g _ 2 迈 + 一卮丿+4依题意，直线MN的方程为y = -x+2.r+r=i3694，得 13F36x = 0,解得x = 0或x =,小13x+y = 2 所以砖善,沪-詈,所以M（0,2）, N（菩一詈）,则 |M/V| =10i a 5又/与线段MN有交点且MPNQ为四边形，所以k>k（M=- = -9即18T34_2,+T，I

21、18丿则 S四边伽PNQ = + |MN| （d + 2） = £（1+£）（七-召）18（i + &）v12 2161 V213'丄-T八丿入加+413 Vl + 2k + k29k2+4，1 36>/2=x2 13又Su108 36x/131313叩 108216 ll + 2k+k236>/13''77一77 勺 9疋+4 一 13化简整理得，5k1 Sk<081/-72« + 16»0/5g又叫一面创，所以亍则所求的直线/的斜率k的取值范用为/+3b =3 y = £(x_l)24. （

22、2020上海高三专题练习）已知椭圆C: F + 3尸=3,过点7）（1,0）且不过点£（2,1） 的直线与椭圆C交于人，3两点，直线AE与直线x = 3交于点M.（I） 若垂直于x轴，求宜线3M的斜率：（II）试判断直线3M与直线DE的位置关系，并说明理由.【答案】（I ） 1； （II）平行，理由见解析.【解析】（I）因为AB过点D（1,O）且垂直于*轴，所以可设A（1，X）,直线AE的方程为y1 = (1 一 yj(x2),令兀=3,得y = 2 兀，则M（3,2 比），所以直线BM的斜率kH,t = 二''1 = 1.3 1（II）直线3M与直线DE平行.证明如

23、下:当直线AB的斜率不存在时，由（【）可知心耐=1 又因为直线DE的斜率£必=1,所以BM/DE,2-1当直线的斜率存在时，设其方程为y = k（x1）仏工1）设心,yj, B（w），则直线AE的方程为y1=斗（2）.令x=3,得点 人I 2討3,心-厂斗-2,得(1 + 3£2”2一6心 + 3疋一3 = 0,”+斗_3直线盛的斜率"亠（3-厂心一2）片为k _ = kg _1） + 召 _3_£（召 _1）（召 _2）_（3_兀2）（召 _2）仏一1）（一 牡 +2（西 +兀2）- 3）（-1）-3k2+32k2（3-x,）（x, -2）所以灯m =

24、 1 =気所以BM/DE 综上可知，直线3M与直线DE平行.25. （2017-上海杨浦复旦附中高三其他）如图，0为信号源点，人、B、C是三个居 民区，已知A、都在0的正东方向上，Q4 = 10如?，OB = 20km. C在。的北偏西45。方向上，CO = 5y/2km，现要经过点。铺设一条总光缆直线EF（ E任直线OA的 上方），并从A、B、C分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆EF，假设铺设每条 分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/灯/，设ZAOE = B，（0“5）,铺设三条分支光缆的总费用为W （元）.（1）求关于&的函数表达式:（2）求w的最小值及此时tan

25、*的值.:（2） 275-25>/10?»【答案】（1） w = <io-a/IoT.【解析】（1）以点0位坐标原点，04为X轴建立直角坐标系,则 A（10,0）, 3（20,0）,C（5,5）,当直线EF的斜率不存在，即& =二时，人5C三点到直线的距离分别为20，5所以此时 w =（10 + k21 + tan2 0525(6>=-) 525 tan'& +50 tan 0 + 25 八 门 门 龙(0 < 6> < 牙) 当直线EF的斜率不存在时，w=525, + 202 +52）xl=525/当直线EF的斜率存在时，

26、设直线的方程为：k =人B,C三点到直线的距离分别为:I10&I I20RI 15 + 51y/ + k2 yj + k2 Jl + f所以w =lx(I10&IJl+疋)2+(I 20k I . J5 + 5kl、“ 门1 + tan2 0当直线防的斜率存在时25宀50225 _ 525（宀1） + 50500 + k2 + k2.525疋 + 50k + 25 _ 525 tan，& + 50 tan & + 25设一10,当7=0即£ = 10时,w = 525厂 525 +亠十525 +1 + (/ + 10)250因为当>0时r + &

27、gt;所以w的最小值为525+=2 JIUT （当且仅当/ = VioT时取等号） =-2V10T （当且仅当f = -VioT时取等号）笃一 =275 _ 25>/10?20-2V101此时 f = 5/I5T,tan& = k = 10 Vr5T26. （2018上海市实验学校髙三月考）在平而直角坐标系内，已知点P及线段人 在线 段/上任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为“点P到线段/的距离”，记为d（P）.(1) 设点P(2,0),线段/:y = x(-l<x<2),求d(PQ；yJ Do匚CD(2) 设 A(-2,l), B(O,1), C(-2,-l), £>(2,-1),线段人=AB ,线段 l2=CD,若 点P(x,y)满足d(PJl) = d(PJ2),求关于的函数解析式，并写岀该函数的值域.“ 0x<0【答案】(1) J(PJ) = >/2 (2) y = x2 "(0,2),其值域为0,+eo)4x-l x>2【解析】(1)在线段l:y = x (-<x<2)任取一点Q(x,x)则PQ = J(x-2)'+F = j2(x-l)'+2 >y/2 (当且仅当x=le-l,2时取等号)所以d(只/)=匝(2)数形