重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形的变化解答题

1、重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编:图形的变化解答1 .( 2021 ?九龙坡区校级模拟)在厶 ABC中，/ BAC = 90。，点E为AC上一点，AB=AE , AG丄BE，交BE于点H，交BC于点G，点 M是BC边上的点.(1 )如图1，假设点M与点G重合，AH = 2 , BC =厢，求CE的长；(2 )如图 2，假设 AB = BM，连接 MH，/ HMG =Z MAH，求证：AM = 2 . HM ;(3)如图3，假设点M为BC的中点，作点 B关于AM的对称点N,连接AN、MN、EN，请直接写出/ AMH、/ NAE、/ MNE之间的角度关系.2 .( 2021 ?万州区模拟)

2、如图，点 B, C, D在同一条直线上， BCF和厶ACD都是等腰直角三角形连接 AB , DF，延长DF交AB于点E .(1 )如图1，假设AD = BD , DE是厶ABD的平分线，BC = 1，求CD的长度；(2 )如图 2，连接 CE，求证：DE = YCE + AE ;(3)如图3，改变 BCF的大小，始终保持点 F在线段AC上(点F与点A, C不重 合)将ED绕点E顺时针旋转90。得到EP取AD的中点O,连接OP 当AC = 2 时，直接写出OP长度的最大值.3 .( 2021 ?九龙坡区校级模拟)在厶 ABC和厶AEF中，/ AFE =Z ABC = 90。，/ AEF=Z AC

3、B = 30 ° , AE =4AC，连接EC，点G是EC中点，将 AEF绕点A顺时针旋转.(1 )如图1，假设E恰好在线段 AC上，AB = 2，连接FG ,求FG的长度；(2 )如图2，假设点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB = J AB+GC ；(3 )如图3，假设AB = 3，在 AEF旋转过程中，当 GB -二GC最大时，直接写出直线AB , AC , BG所围成三角形的面积.4 .( 2021 ?沙坪坝区校级模拟)如图 1，在四边形 ABCD中，AC交BD于点E , ADE为等边三角形.(1 )假设点E为BD的中点,AD = 4 , CD = 5，求 BCE 的

4、面积;(2 )如图2，假设BC = CD，点F为CD的中点，求证：AB = 2AF ；(3)如图 3，假设 AB / CD，/ BAD = 90，点P为四边形 ABCD内一点，且/ APD=90 °，连接 BP，取 BP 的中点 Q,连接 CQ.当 AB = 6 . ：1, AD = 4 . J , ta n / ABC=2 时，求 CQ+BQ的最小值.5.( 2021 ?沙坪坝区校级模拟)如图， ABC中，/ ABC = 45 ° , CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接 BE，交CD于点F .(1 )如图 1，假设/ ABE = 15 ° , BC =

5、7+1，求 DF 的长；(2 )如图2，假设BF = AC,过点D作DG丄BE于点G，求证：BE = CE+2DG；(3 )如图3，假设R为射线BA上的一个动点，以 BR为斜边向外作等腰直角厶 BRH ,M为RH的中点在(2 )的条件下，将 CEF绕点C旋转，得到 CE'F', E , F的对应点分别为取最小值时E', F',直线 MF'与直线 AB交于点P, tan / ACD =，直接写出当MF'的直6 .( 2021 ?北碚区校级模拟)在厶 ABC中，/ CAB = 90 ° , AC = AB .假设点D为AC上一点，连接BD，

6、将BD绕点B顺时针旋转90。得到BE，连接CE，交AB于点F.(1 )如图1 ,O假设/ ABE = 75 ° , BD = 4，求 AC 的长;(2 )如图2 ,点G为BC的中点，连接 FG交BD于点H 假设/ ABD = 30 °，猜测线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程;(3 )如图3 ,假设AB = 4 , D为AC的中点，将 ABD绕点B旋转得 A' BD '，连接 A' C、A' D，当 A D+A' C 最小时，求 $ abc .7 . 2021 ?渝中区校级二模如图 1，在 Rt ABC 与 Rt ABD 中，

7、/ ACB =Z ADB =90。，/ BAC = 60 ° , CE丄AB交AB于点E , AE = AD，点F在线段BD上，连接AF.(1 )假设AC = 4，求线段BD的长；(2 )如图2，假设/ DAF = 60。，点 M为线段BF的中点，连接 CM，证明：2CM = BF+ ：AC;(3 )如图3，在(2 )的条件下，将 ADF绕点A旋转得 AD ' F '，连接BF '，点 M为线段BF '的中点，连接 D ' M，当D ' M长度取最小时，在线段 AB上有一动点 N ,连接MN ,将线段MN绕点M逆时针旋转60 °

8、;至MN 连接D ' N '，假设AC = 4 , 请直接写出(2MN: D ' N ')的最小值.DD二C' 8 101?B图2图38 . 2021 ?渝中区校级三模如图 1，等腰Rt ABC中，/ BAC = 90 ° , AB = AC = 8 ,AD平分/ BAC交BC于点D，点E、F分别是线段 AC、AB上两点，且 AE = AF，连接BE交AD于点Q,过点F作FG丄BE交BE于点P,交BC于点G.(1 )假设BF = 2，求DQ的长;(2 )求证：-二丄二-：；(3 )如图1 , AE = 4，连接EF，将 EAF绕点A顺时针旋转，

9、点 M为EF中点，连 接BM , CM ,以BM为直角边构造等腰 Rt BMN ,过点N作NR丄BC交BC于点R, 连接RM，当NR最小时，直接写出 MR的长度.9.( 2021 ?重庆模拟)如图，正方形 ABCD的对角线AC , BD交于点O,以正方形的边 长BC为斜边在正方形内作 Rt BEC，/ BEC = 90 ° .(1 )求证：BE - CE =：OE;(2 )假设 CE = 3 , BE = 4 , 厶OBE的面积为 (直接写出结果)； 点P为BC边上的动点，那么 OPE周长的最小值为 (直接写出结果).10 . ( 2021 ?铜梁区校级一模) ABC为等边三角形，将

10、线段CA绕点C顺时针旋转60 °得到线段CD , F为平面内一点接 BF，作/ ABF的角平分线交CF延长线于点E,连接DE .(1 )如图1，连接BD，假设点F恰好在线段BD上，CE丄BC , BC = 2，求EF的长度；(2 )如图 2，假设/ FBC = 2 / ECD，证明：BE + DE =：-：EC ;(3 )如图3，当BC = 2，/ ACE = 45。时，以 CE为斜边构造直角厶 PEC , Q为CP 中点，连接AQ.当AQ最大时，求 ACQ的面积.團12團311 .(2021 ?重庆模拟)如图，在 Rt ABC 中，/ ABC = 90。，/ BAC = 30。，点

11、 D 在直线BC上运动，连接 AD，以AD为斜边在直线 AD的右侧作Rt ADE，其中/ AED =90。，/ DAE = 30 ° .(1 )如图1，点D运动到点B的左侧时，DE与AB相交于点 O,当AO平分/ DAE 时，假设DC = 6，求AD的长；(2 )如图2，点D沿射线BC方向运动过程中，当 BD = AB时，连接BE，过点B作BF丄BE交EA的延长线于点 F，取CD的中点G,连接EG .求证：DE+AE = LEG ;(3 )如图3，点D沿射线CB方向运动过程中，连接 BE，将线段BE绕点E顺时针方 向旋转60。，得到线段EH，连接AH、CH 假设AB = 6，当CH+

12、AH取得最小值时， 请直接写出 ABE的面积.ES DSi12 .( 2021 ?两江新区模拟)如图， ACB和厶DCE均为等腰直角三角形，/ ACB =ZDCE = 90 ° , AC = BC , DC = EC .现将 DCE 绕点 C 旋转.(1 )如图1，假设A、D、E三点共线，AD = . 求点B到直线CE的距离；(2 )如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AE丄CF ；(3 )如图3，假设点G在线段AB上，且AC = 8 , AG = 7 :，在 ACG内部有一点 O , 请直接写出兰厶OC+ JOA+亠OG的最小值.:i13 .(2021 ?

13、沙坪坝区校级一模)如图 1，在Rt ABC中，/ BAC = 90 ° , AB = AC,点tan / BDE求线段CDD是BC边上一动点，连接 AD，把AD绕点A顺时针旋转90 °，得到 AE，连接DE .(1 )如图1所示，假设BC = 4，在D点运动过程中，当的长;(2 )如图2所示，点F是线段DE的中点，连接 BF并延长交CA延长线于点 M，连接DM，交AB于点N，连接CF , AF，当点N在线段CF上时，求证：AD + BF = CF ; (3 )如图3，假设AB = 2 -:，将 ABC绕点A顺时针旋转得 AB ' C '，连接CC '

14、,P为线段CC '上一点，且 CC '=.匕PC '，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60 °得到BQ，连接PQ, K为PQ的中点，连接 CK，请直接写出线段 CK的最大值.1E2S314 .( 2021 ?沙坪坝区模拟)如图，在锐角厶 ABC中，/ ACB = 45。，点D是边BC上 一动点，连接 AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段 AE，连接DE交AC 于点F.(1 )如图 1，假设/ ADC = 60。，求证：DF = AF+EF ;(2 )如图2，在点D运动的过程中，当/ ADC是锐角时，点 M在线段DC上，且AM =AD，连接ME ,猜测

15、线段ME , MD , AC之间存在的数量关系， 并证明你猜测的结论；(3)在点D运动的过程中，当/ ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN , 假设CF = ： AF = m，请直接用含 m的代数式表示2 CN + : ： NE的最小值.5S1图2备用團15 . ( 2021 ?潼南区一模)如图1 . ABC为等边三角形，D为AC右侧一点，且 AC =AD，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F.(1 )假设/ BAF = 30 ° , AF = 2:，求 AD ;(2 )证明：CF = AF + AE ;(3 )如图2 假设AB = 4 , G为BC中点，连接 A

16、G, M为AG上一动点，连接 CM，将CM绕着M点逆时针旋转90。得到MN，连接AN、CN，当AN最小时，直接写出CMN的面积.参考答案1 【分析】1 根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解 答即可；2 根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；3 根据对称的性质和三角形内角和解答即可.【解答】 解：1 / BAC = 90 ° , AB = AE , BAE为等腰直角三角形，/ AG 丄 BE , AH是厶BAE的中线， BE = 2AH = 4 ,/ BEA = 45 ° ,/ BEC = 135 ° ,在厶BC

17、E中，过点C作CD丄BE交BE的延长线于点 D，如图1 ,/ DEC = 45 ° , DEC是等腰直角三角形，设 ED = x，贝U DC = x , CE = :x,2 2 2在 Rt BCD 中，BC2= BD2+DC2 ,即V262=U+x 2+z2, X1 = 1 或 X2 =- 5 舍去， CE = . s2如图2，过H作HD丄HM交AM于点D，连接BD ,/ AG 丄 BE , ABH为等腰直角三角形， BH = AH，/ BAN = 45 °，/ BHA = 90 ° ,/ AB = BM ,/ BAM =Z BMA ,/ HMG =Z MAH ,

18、/ BAM -Z MAH =Z BMA -Z HMG ,即/ BAH =Z AMH = 45 ° ,/ HD 丄 HM , DHM为等腰直角三角形，DH = HM , Z DHM = 90 ° ,Z BHD =Z BHA+Z AHD , Z AHM =Z DHM + Z AHD , Z BHD =Z AHM ,在厶BHD与厶AHM 中，rBH=AH1 ZBHD=ZAHM, BHD 也厶 AHM (SAS), Z DBH =Z MAH，BD = AM , Z BHA =Z BDA = 90 ° ,/ BA = BM , D是AM的中点， AM = 2 DM = 2

19、tHM ,即 AM = 2：HM ;(3 ) H是BE的中点，M是BC的中点, MH是厶BCE的中位线， MH / CE ,/ AMH =Z MAC ,/ BAC = 90 ° , AM = BM ,/ MAB =Z ABM ,点B与点N关于线段AM对称，/ ABM =Z ANM , AB = AN , AE = AN,/ AEN =Z ANE ,在厶 AEN 中，/ NAE+2 / ANE = 180。，/ ANE = Z ANM +Z MNE，/ ABM =Z ANM =Z MAB = 90。-/ MAC ,/ ANE = 90。-/ MAC + / MNE ,/ ANE = 9

20、0。-/ AMH + / MNE ，将代入，得：/ NAE +2 x( 90 ° -Z AMH + / MNE )= 180 ° ,/ NAE+180 ° - 2 Z AMH +2 Z MNE = 180 ° ,Z NAE +2 Z MNE = 2 Z AMH .2 .【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质，求出FC = BC = 1，再判断出FA = FB，即可得出结论；(2 )先判断出厶 ABC DFC，得出Z BAC =Z CDF，进而判断出 ACE DCH , 得出AE = DH , CE = CH，即可得出结论；(3 )先判断出 0E = OQ

21、 = 2，再判断出 OED QEP，进而求出PQ = OD = 2.即 可得出结论.【解答】(1 )解： BCF和厶ACD都是等腰直角三角形， AC = CD , FC = BC = 1 , FB =】'，/ AD = BD , DE是厶ABD的平分线， DE垂直平分AB , FA = FB =.'：, AC = FA+FC =I ,CD可(2 )证明：如图2，过点C作CH丄CE交ED于点H , BCF和厶ACD都是等腰直角三角形， AC = DC , FC = BC，/ ACB =Z DCF = 90 ° ; ABC 也厶 DFC (SAS ),/ BAC =Z C

22、DF ,/ ECH = 90 ° ,/ ACE + / ACH = 90 ° ,/ ACD = 90 ° ,/ DCH + / ACH = 90 ° ,/ ACE = Z DCH .在厶ACE和厶DCH中，rZBAC=ZCDFZACE=ZDCH ACE 也厶 DCH (ASA), AE = DH , CE = CH , EH =/CE./ DE = EH+DH = . _CE+AE ;(3 )解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90。得到EQ，连接OQ, PQ,那么 OQ = . JOE .由(2)知，/ AED =Z ABC+Z CDF =Z

23、ABC+Z BAC = 90在Rt AED中，点O是斜边AD的中点， OE = OD =yAD =AC = OQ =.OE ="-!,在厶OED和厶QEP 中,rOE=QEi ZOED=ZQEP,:DE=PE OED QEP ( SAS),:.PQ = OD =OP w OQ + PQ =2+近，当且仅当 O、P、Q三点共线时，取“=号, OP的最大值是一一'.3 .【分析】(1 )如图1中，过点F作FH丄AE于H 解直角三角形求出 FH , GH，再 利用勾股定理求解即可.(2)如图2中，取AC的中点M，连接BM , GM , BF .证明 BAF BMG (SAS),推出

24、/ ABF =/ MBG , BF = BG ,推出/ FBG =/ABM = 60 ° ,可得 BFG V32角形，推出 BG = FG，可得 BG = EF + EG 二 AE + CG =AB+CG.是等边三(3)如图3中，取AC的中点M，连接BM , GM , BF 在MC上取一点D,使得MD1= MG，连接 DG , BD .证明 MDG MGC ,推出1 1推出GBCG = GB - DG w BD，推出当B , D, G共线时，BG - CG的值最大,最大值为BD的长.【解答】1 解：如图1中，过点F作FH丄AE于H .41C在 Rt ABC 中，/ ACB = 90

25、° , AB = 2，/ C= 30AC = 2 AB = 4 , BC = vAB = 2r._：, AE = EC = AC = 2 , EG = GC ,.EG = CG = 1,/ AFE = 90。，/ AEF = 30 ° ,oGM ,.EF = AE?cos30 ° =:, AM = MC，/ ABC = 90 BM = AM = CM ,/ AC = 2AB , AB = AM = BM ,/ BAM =Z AMB =Z ABM = 60 ° ,/ BMC = 120 ° ,/ AE = 2AF，/ EAF = 60 °

26、; ,/ BAF = 120 ° + / EAC ,/ AM = MC , EG = GC, GM = _ AE = AF , GM / AE ,2/ CMG =Z EAC ,/ BMG = 120 ° + / CMG = 120 ° + / EAC =Z BAF , BAF BMG (SAS), / ABF = Z MBG , BF = BG , / FBG =Z ABM = 60 BFG是等边三角形， BG = FG ,BG = EF+EGVs2AE+CG=/ ABF = Z MBG , BF = BG ,(3 )解：如图3中，取AC的中点M，连接BM , G

27、M , BF 在MC上取一点D，使1/ FBG =Z ABM = 60 BFG是等边三角形, BG = FG ,/ AM = CM , EG = CG , MG = AE ,/ AB = 3，/ ABC = 90。，/ ACB = 30 ° , AC = 2 AB = 6 , AM = CM = 3 ,MG =，的值最大，最大值为 BD的长，MGHD1MC= HC=2j，/ DMG =Z GMC ,直线AB , AC , BG围成的三角形ABD ,15/ AD = AM+DM = 3+33V345V3L 2 JL 16 Jx15T子匸，J.ABD =-T45?3当GB -GC最大时，

28、直线 AB , AC , BG所围成三角形的面积为 一 4 .【分析】(1 )如图1中，过点C作CH丄BD于H，设EH = X.利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题.(2 )如图2中，延长 AF到G，使得AF = FG，连接DG , CG，延长GC交BD于T,过点C作CH丄BD于H .想方法证明 AEB ADG (SAS)，可得结论.(3)如图3中，取AD的中点0,连接OP, OB , 0C,取0B的中点J，连接QJ ,CJ，过点C作CF丄AB于F,在JB上取一点T,使得JT =，连接QT, TC 想办法证明 QJT s BJQ，推出gr= jtVIoio，推出 QT =10BQ ,推出C

29、Q + 一 BQ = CQ+QT>CT,求出 CT,可得结论. 10【解答】1 解：如图1中，过点C作CH丄BD于H，设EH = x . ADE是等边三角形， AD = DE = 4，/ AED = / CEH = 60/ CHE = 90 ° , CE = EH?tan60 ° =:x,2 2 2CD2 = CH2+DH2,2 2 25 = 3x + (x+4),2 4x +8x 9 = 0舍弃 CH =1 Sabec = i .i X 4 X解法二：过点 B作BJ丄AC交AC的延长线于 J，过点D作DT丄AE于T.证明BJ = DT,求出DT,即可解决问题.(2)

30、证明：如图2中，延长AF到G,使得FG = AF，连接DG , CG，延长GC交BD四边形ACGD是平行四边形, AC / DG , GC / AD ,/ CAD+Z ADG = 180 ° , ADE是等边三角形， AE = AD , Z AED = Z ADE =Z EAD = 60 Z AEB =Z ADG = 120 ° , Z CGD =Z EAD = 60 °=Z GDT , DGT是等边三角形， DG = DT ,Z CTE = Z CET = 60 ° , CET是等边三角形， CT = CE , Z CTE = Z CET = 60 &

31、#176; ,/ CB = CD , CH 丄 BD , BH =DH , TH= EH, BT= DE, BE = DT = DH , AEB ADG ( SAS), AB = AG = 2AF .，连接 QT, TC .QJ , CJ，过点C作CF丄AB于F，在JB上取一点T,使得JT =D3 解：如图3中，取AD的中点0,连接OP, OB , OC,取OB的中点J，连接 Vs/ ADC = 90CF 丄 AB , / CFA = 90 ° , 四边形AFCD是矩形, AD = CF = 4 二, tan / CBA 一-2 ,Dr BF = 22, AB = 6 . '

32、!, AF = 4 二, AD = AF , 四边形AFCD是正方形， BC = d 2虽J如叵2 = 2 你,CO =：T J ：；宀 2 H, OB =丄 4 . 口， CB = CO,/ CF = CD，/ CFB =Z CDO = 90 Rt CFB 也 Rt CDO ( HL ),:丄 BCF =Z DCO ,/ BCO =/ DCF = 90 ° , BJ = JO ,OB = 2!7, CT = BQ = QP, BJ = JO ,op ='：,/ QJ2 = 2 , TJ?JB =5X2 ?=2 , QJ2 = JT?JB ,5 .【分析】(1)如图1中，过点

33、F作FH丄BC于H 设FH = CH = m，那么BH = :m , 根据BC ="J>1，构建方程求出 m，即可解决问题.(2 )如图2中，连接 DE，过点D作DH丄DE交BE于H .证明BH = EC , DHE是等腰直角三角形即可解决问题.(3 )如图3中，过点 M作MJ丄BC于J，过点P作PK丄BC于K .证明tan / MBJ=2 ,推出点M的在射线BM上运动，推出当C, F', M共线，且CM丄BM时,MJ=F' M的值最小.设 AD = m，想方法求出 RM , PF '可得结论.【解答】(1 )解：如图1中，过点F作FH丄BC于H .CD

34、 丄 AB,/ BDC = 90 ° ,/ DBC = 45 ° ,/ DCB = 90 ° - 45 ° = 45 FH 丄 CH ,:丄 FHC = 90 ° ,/ HFC =Z HCF = 45 ° , CH = FH ,设 FH = CH = m ,/ ABE = 15 ° , -Z FBC = 45 ° - 15 ° = 30 BH = . :HF = . : ：m , .; m+m = ； ；+1 , m = 1 ,CF =2CH = . 2,(2 )证明：如图2中，连接DE，过点D作DH丄D

35、E交BE于H ./ADC =Z FDB = 90 ° , DB = DC , BF = AC, Rt BDF 也 Rt CDA ( HL ),/ DBF =Z ACD ,/ BFD =Z CFE , BFD s CFE ,EF CF，亘空/ DFE =Z BFC , DFE s BFC ,/ DEF =Z BCF = 45 ° ,/ DH 丄 DE ,/ HDE = 90 ° ,/ DHE =Z DEH = 45 ° , DH = DE ,/ BDC =Z EDH = 90 ° ,/ BDH =Z CDE ,/ DB = DC , DH = D

36、E , BDH CDE (SAS), BH =EC,/ DH = DE , DG 丄 EH , GH = EG , BE = BH+HE = EC+2 DG .(3 )解：如图3中，过点 M作MJ丄BC于J，过点P作PK丄BC于K.A BHR , DBC都是等腰直角三角形,DBC =/ HBR = 45 ° ,/ HBC = 90 ° ,/ H = / HBJ =/ MJB = 90 ° ,四边形BHMJ是矩形， BH = MJ , HM = BJ , BH = HR , HM = MR , MJ = 2 BJ , tan / MBJ = 2 ,点M的在射线 BM

37、上运动,当C, FM共线，且CM丄BM时，F ' M的值最小.设 AD = m ,丄好T=- CD = BD = 3 m ,DF = AD = m , CF = CF '= 2 m , BC/ CMB = 90 ° ,tanCM/ CBM = = 2， BM = " m ,CM=5 m， BJ = HM =JM - BH = HR = MR =设 BK = PK = n , CK = 2n , n =?m ,BK = PK = nm , CK = 2、一； / m , PC = -1 m ,- PF '= PC - CF '=- im - 2

38、m ,6 .【分析】(1 )通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC = a,利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示 CD和HG ,即可得CD与HG的数量关系；(3 )构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A' (4)的位置，继而求得相关三角形的面积.【解答】解：(1 )过D作DG丄BC ,垂足是G ,如图1 :将BD绕点B顺时针旋转90。得到BE ,/ EBD = 90 ° ,/ ABE = 75 ° ,/ ABD = 15 ° ,/ ABC = 45 ° ,/ DBC

39、 = 30 ° ,在直角 BDG 中有 DG =' 1 = 2 , I 1_ 1 -=-,，：,/ ACB = 45 ° ,在直角 DCG 中，CG = DG = 2 , BC = BG+CG =八 I；,(2)线段DC与线段HG的数量关系为:证明：延长 CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是 N,连接BN , ED，过G作由旋转可知/ EBD = 90 ° ,/ EDB = 45 °/ END =Z EBD = 90 ° , E , B , D , N四点共圆，/ BNE =Z EDB = 45。，/ NEB + / BDN =

40、180 °/ BDC +/ BDN = 180。，/ BCD = 45 ° ,/ BEN =Z BDC ,/ BNE = 45 ° =Z BCD ,在厶BEN和厶BDC中，ZBFE=ZBCDZBEN=ZBDC,BE=bA BEN 也厶 BDC (AAS), BN = BC,/ BAC = 90 ° ,在等腰 BNC中，由三线合一可知 BA是CN的中线,/ BAC =Z END = 90 ° , EN / AB ,/ A是CN的中点， F是EC的中点，/ G是BC的中点， FG是厶BEC的中位线， FG / BE , FG =BE ,2 BE 丄

41、 BD , FG 丄 BD ,/ ABD = 30 ° ,/ BFG = 60 ° ,/ ABC = 45 ° ,/ BGF = 75 ° ,BD = BE =2V3设 AC = a，贝V AB = a,在 Rt ABD 中，AD =3 FG =BE， FG =33/ GM 丄 AB , BGM是等腰三角形, MG = MB =在 Rt MFG 中，/ MFG = 60 ° , MF BF = BM+MF =3W3-, FH = HG = FG - FH 二卑卷空212又 CD =:在 Rt BFH 中，/ BFG = 60 ° ,3

42、任= ' a,CD二=HG = I -'； (3 )设AB = a，贝U BC =样口刁，取BC的中点N，连接 A' D , A' C, A' N,连接DN，如图3 ,D由旋转可知A' B = AB = a,2根据旋转和两点之间线段最短可知,最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即 A'在线段DN上,设此时A'落在A''处，过A''作A''F丄AB于F，连接AA''，如图4 ,/ D , N分别是AC, BC的中点,DN是厶ABC

43、的中位线，DN / AB,/ AB 丄 AC,DN 丄AC,A=Z AFA = Z A''DA = 90 ° ,四边形A'' FAD是矩形， AF = A''D , A''F = AD = 2 ,又 AB = AB = 4 ,设 AF = x ,2 2 2 在直角三角形 A''FB中，A''B = A''F +BF ,2小2 4 = 2 +解得 x = -. ：.此时 Saa''bc = S abc - Saaa"b-Saa“ac=AB?AC -+

44、AB?A''F 4AC?A''D = X 4X 4 X( 4 - 2?)= 4: - 4 .7.【分析】(1 )利用30。角求出AB和AE的长度，AE即为AD长度，利用勾股求出BD长度；(2 )构造两个120。的等腰三角形，底边FF' = :AF = . :AC,得出.: AC + FB = F'B , 根据SAS证厶AB'F也厶ABF'，得F'B = B'F，由中位线得 B'F = 2CM，即可得证结论；(3 )延长 F'D',使 D'F' = D'F'&#

45、39;,由 D'、M 分别为中点，得 D'M = F''B,当 F''、A、B 三点共线时F''D最小，那么D'M最小，确定此时点 D'在 AC上，过M作AC平行线MP , 易得 D'PM为等边三角形，由 MNN '是等边三角形，根据 SAS证厶DMN '也 PMN , 可得/ MD'N' = Z MPN = 60 ° =Z PD'M，即确定了 N'运动轨迹在直线D'P上，2MN'+ .【D'N',可转化为等腰直角三角

46、形得斜边和直角边数量关系，最后根据三角形两边之差w第三边(共线时取等号)求出最小值即可.【解答】 解：(1 )/ ACB = 90。，/ BAC = 60 ° , AC = 4 , AB = AC cos60 ° = 8 ,/ CE 丄 AB , AE = AC?cos60 ° = 2 , AD = AE = 2,/ ADB = 90 ° , BD = , A_=.：；：= 2 .一(2 )延长 FD 至 F'，使 DF'= DF，延长 BC 至 B'使 CB' = CB，连接 FB'、AB'、AF'

47、;,/ DF'= DF , CB'= CB,/ ADF = Z ACB = 90 ° , AF = AF', AB = AB',/ CAB =/ DAF = 60 ° ,/ B'AB = / FAF' = 120 ° ,/ B'AB+ / FAB =/ FAF '+ / FAB ,即/ B'AF = / BAF', AB'F ABF' (SAS), B'F = BF',/ C、M分别是BB'、FB的中点， B'F = 2CM ,/ AC

48、= 2AE , AF = 2 AD , AD = AE , AC = AF ,/AF = AF', / FAF' = 120 ° , FF' =: AF =:AC, BF+ JAC = BF + FF' = BF' = B'F = 2CM ,即 2CM = BF+ . ： ：AC ;(3 )延长 F'D'至 F'',使 F''D'= F'D'/ D'、M 分别为 F'F''、F'B 中点，口1 D'M / F'

49、'B 且 D'M = F''B ,当F''在线段AB上时，F''B最小(如右图3),此时D'在线段AC上,此时D'M过点M作MP / AC ,交AB于点P ,连接 D'P, D'N',/ MP / AD' , AP/ D'M , AD' = D'M = 2 ,四边形AD'MP是菱形，/ CAB = 60 ° , D'MP是等边三角形，/ MPN = 60 ° MN'绕点M旋转60 MNN '是等边三角形， D

50、MN ' PMN (SSS),/ MD'N'=Z MPN = 60 ° =Z PD'M ,即N'运动轨迹在D'P上，以D'N'为斜边作等腰直角三角形 OD 'N',贝U ON'D'N',2( 2MN'- . UD'N')= 2 (MN'-二 D'N' )= 2 (MN' - ON'),/ MN' - ON'w MO ,当N'OM 三点共线时 MN'-ON'最小为OM ,N'

51、;D'M = 60。，/ N'D'O= 45 ° ,/ OD'M = 15 ° ,作/ GMD '=Z GD'M = 15。，那么/ MGD = 30 ° ,设 OM = x , OG =| 叭 &, GM = D'G = 2x, D'O = 2x+ ；x ,/ D'O2+MO2 = D'M2, ( 2x+ . /：x) 2+x2 = 22,解得x謬-礬( 2MN'- D'N')最小值=2OM = >Fg 3B8.腰直角三角形的性质求出AD = B

52、D=CD = 4,由 EH 丄 BC 可得出 EH = HC = _ CE = . j，贝U BH = BC - CH = 7 2, 证出AD II EH，可得 BDQ s BHE，根据相似三角形的性质即可得 DQ的长;(2 )过点A作AK丄BE交BC于点K，延长BA至点R,使得AR = AE，连接CR , 延长BE交CR于点T,利用ASA证明 BAQ ACK (ASA)，根据全等三角形的性质得 AQ = CK，再证 ABE ACR (SAS)，得/ ABE =Z ACR，可得出/ ETC =90。，贝U AK II CR，根据平行线分线段成比例定理可得GK = CK，贝U BC = :

53、9;!AC =BG+CG = BG+2CK = BG +2 AQ，即可得出结论；(3 )解：连接AM，过点M作MS丄BC于点S,根据等腰直角三角形的性质求出 AM =EF = 2 :'!,那么点M在以A为圆心，2 -匚为半径的O A上移动，利用 AAS证明 MBS BNR (AAS )，可得 BS = NR , MS = BR，那么当NR最小时，即 BS最小，由 图可得当且仅当 MS与O A相切时，BS取得最小值，此时， AM = ME = 2 “，点E落 在线段 AB上，AE = BE = 4 , BS = ES = 2 ：?,在Rt MSR中，根据勾股定理即可求解.【解答】(1 )

54、解：过点E作EH丄BC于点H ,AB = AC = 8，/ BAC = 90 ,BC = ' / AB = 8 /，/ ABC =Z ACB = 45/ AD 平分/ BAC , AD 丄 BC , AD = BD = CD = 4，/ AE = AF , AB - AF = AC - AE , BF = CE = 2 ,/ EH 丄 BC , AD / EH，/ EHC = 90 / HEC =Z HCE = 45 °HE = HC = _- CE =丄 BH = BC - CH = 7 丄 AD / EH , BDQBHE ,(2 )证明：过点 A作AK丄BE交BC于点K

55、，延长BA至点R,使得AR = AE，连接CR，延长BE交CR于点T,/ AD 平分/ BAC，/ BAC = 90/ BAD = 45 ° , / BAD =Z ACB , AK 丄 BE , / ABQ+Z BAK = 90/ BAK + / CAK = 90 ° ,在厶ABQ CAK中，rZABQ = ZCAK AB=CA,:ZBAQ=ZACK=45fl BAQ ACK (ASA), AQ = CK,在厶ABE和厶ACR中，rAB=ACAE=AR ABE ACR (SAS ),/ ABE =Z ACR,/ ABE + / AEB = 90。，/ AEB =Z CET

56、,ACR + / CET = 90 ° ,/ ETC = 90 ° ,即CR丄BE ,/ AK 丄 BE , AK / CR, AE = AF = AR , GK = CK ,/ BC = . C = BG+CG = BG +2 CK, . :AC = BG +2 AQ,AC - 2AQ = BG ；(3 )解：连接AM，过点M作MS丄BC于点S,E/ AE = AF = 4，/ EAF = 90 ° , EF = AE = 4 I,点M是EF的中点， AM EF = 2 -,点M在以A为圆心，2：丿为半径的O A上移动, BMN是等腰直角三角形， BM = BN，/ MBN = 90 ° ,/ NBR + / MBS = 90 ° ,/ NR 丄 BC , MS 丄 BC ,/ NRB = Z BSM = 90