郑州初三数学锐角三角函数的专项培优练习题

1、郑州初三数学锐角三角函数的专项培优练习题一、锐角三角函数1 ,已知：如图，在四边形 ABCD中，AB/ CD, Z ACB =90； AB=10cm, BC=8cm, OD 垂 直平分A C.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点Q从点D出 发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PE± AB,交BC于点E,过点Q作QF/AC,分别交 AD, OD于点F, G.连接OP,EG.设运动时间为t ( s ) (0vtv5),解答下列问题：(1)当t为何值时，点 E在 BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积

2、为S(cm2),求S与t的函数关系式；PEGO的面积最大？若存在，求出 tt ,使OH OQ?若存在，求出t(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ,使四边形的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻SI边形PEGO取得最大值；(4) t 时,53t2815t856 , (0 t 5) ； (3) t 一时,2OEOQ.【解析】【分析】(1)当点E在/BAC的平分线上时，因为 即可解决问题.(2)根据S 四边形 ope(=Sa oeg+Sope=SOEG+(3)利用二次函数的性质解决问题即可.EP± AB, EC±AC,可得PE=EC

3、由此构建方程(&OPC+宇 PCE-Sx OE。构建函数关系式即可.EC GQ(4)证明/EOC=Z QOG,可得tan/EOC=ta也QOG,推出 Q 由此构建方程即OC OG可解决问题.【详解】(1)在 RtABC 中，./ACB=90, AB=10cm, BC=8cm,AC=J102 82 =6 (cm),OD垂直平分线段 AC, . OC=OA=3 (cm) , / DOC=90 ；1. CD/ AB,Z BAC=/ DCO, / DOC=Z ACB, .DOCBCA,AC AB BCOC CD OD6108- ，3 CD OD，CD=5 (cm) , OD=4 (cm),.

4、PB=t, PH AB,35勿知：pE=t BE=-t44当点E在/BAC的平分线上时，-. EP± AB, EC± AC,.PE=EC31=8- -1t=4.当t为4秒时，点E在/BAC的平分线上.(2)如图，连接OE, PC.S 四边形 opegtSa oeg+Sa ope=Sa oeg+ ( Saopc+Sa pce-Sa oec)it i 3 8 it141415=144t33 84t-85t2525248 2 15=-t t 16(0 t 5). 33(3)存在.28568S - t -(0 t 5),3 23568.,.t= 一时，四边形 OPEG的面积取大，取

5、大值为 23(4)存在.如图，连接 OQ.OEXOQ, / EOC吆 QOC=90 ,° / QOC+Z QOG=90 ； / EOC4 QOG, tanZ EOC=tanZ QOG,EC GQ一 一,OC OG85t_4_33t4 t5整理得:解得t5t2-66t+160=0 ,16人、一或10 （舍弃）516 一一一秒时，OEL OQ.5【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2 . （6分）某海域有 A, B两个港口， B港口在A港口北偏西30°方向上，距

6、A港口 60海里，有一艘船从 A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）【解析】试题分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°V，2 ,求出/ C=60 ,根据 正切的定义求出 CD的长，得到答案.试题解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=。/ BAC=Z BAE+Z CAE=75 ,° / ABC=45 ,AD 30v12，/C=60

7、；在 RtACD中，/C=60； AD='°V，则 tanC="，. . CD=0*四， . bc=%'2 + I。/,故该船与b港口之间的距离CB的长为+ 1°皿海里.3 .在等腰4ABC中，ZB=90°, AM是ABC的角平分线，过点 M作MNLAC于点N, /EMF=135将/ EMF绕点M旋转，使/ EMF的两边交直线 AB于点E,交直线 AC于点F,请解答下列问题：(1)当/EMF绕点M旋转到如图 的位置时，求证：BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图 ，图 的位置时，请分别写出线段BE, CF, BM之间的数量关系，

8、不需要证明;（3）在（1）和（2）的条件下，tan/ BEM/, AN,?+1 ,则 BM=, CF=2)见解析(3) 1,1或 1【答案】(1)证明见解析(1)由等腰 ABC中，ZB=90°, AM是 ABC的角平分线，过点 M作MNXAC于点N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可证明的 BME0NMF,可得 BE=NFNC=NM=BM进而得出结论；(2)如图 时，同(1)可证BMENMF,可得BE- CF=BM, 如图 时，同(1)可证BMENMF,可得 CF- BE=BM;，一. , f在RtABM和RtANM中， ，颜二 AI可得 R

9、tAABMRtA ANM ,后分别求出 AB、AC CN、BM、BE的长，结合(1) (2)的 结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ,° . AM是/BAC的平分线， MN LAC, .BM=MN ,在四边形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°, / ENF=135, °,/ BME=/NMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,°.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+C

10、F=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得， BMENMF, .BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45J°,.NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得， BMENMF, .BE二NF, . MN ±AC, /C=45； / CMN=/ C=45 ,° .NC=NM=BM, ,. NC二CF- NF, .CF- BE=BM;(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，,RtA ABM RtAANM (HL.), .AB=AN=/2+1,在 RtA ABC 中,AC=ABV2+

11、1, .AC=AB=2+,二1,.CN=AC- AN=2+x/l - (V2+1)在 RtCMN 中，CM=/2CN=/2, BM=BC- CM=A+1 - Vl=1,在 RtBME 中，tan/BEM二1 BE=BERrV3.BE二,，由（1）知，如图 1, BE+CF=BM|.CF=BM- BE=1 -由（2）知，如图 ，此种情况不成立； 由（2）知，如图32,3,由 tan / BEM=f3,CF BE=BM,，CF=BM+BE=1故答案为1,1 +【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解4.已知RtABC中，/ACB=90°,点D、E

12、分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P,设AC=kBD, CD=kAE k为常数，试探究 /APE的度数：（1）如图1,若k=1,则/APE的度数为；（2）如图2,若k=J3,试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/APE的度数.（3）如图3,若k=J3,且D、E分别在CR CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由.【答案】（1） 45。； （2） （1）中结论不成立，理由见解析；（3） （2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 FAEAACD,得出EF=AD=BF

13、再判断出 / EFB=90 ；即可得出结论；（2）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 FAEAACD,再判断出/EFB=90；即可得出结论；（3）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 ACDAHEAs再判断出/EFB=90；即可得出结论；详解：（1）如图1,过点A作AF/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,c图1，/FBE=/ APE, /FACW C=90 ；四边形ADBF是平行四边形， BD=AF, BF=AD.1 . AC=BD, CD=AE2 .AF=AC.3 / FAC土 C=90

14、；4 .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC.5 / ADC+/ CAD=90 ；6 / FEA+Z CAD=90 = Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . °,.EF=BF/ FBE=45,°/ APE=45 .°(2) (1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AF/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,C，/FBE=/ APE, /FAC4 C=90 四边形 ADBF是平行四边形, BD=AF, BF=AD.,. AC=、，3BD, CD=、.3AE,.殷 CD 3BD AE BD=AF,AC CD 3 .A

15、F AE / FACC=90 , .FAEAACD,AC AD BFAF EF提,/ FEA之 ADC.EF / ADC+/ CAD=90 ,° / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF,/ EFB=90.在 RtEFB 中，tan Z FBE=1FBF/ FBE=30,°/ APE=30 ,°-1,33,作 EH/ CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,连接 AH,(3) (2)中结论成立，如图/ APE=Z ADH, / HEC=Z C=90 :四边形 EBDH是平行四边形,1 .BE=DH, EH=BD2 . AC= ,3

16、BD, CD=、,3AE,AC CD ,3BD AE3 / HEA=Z C=90 ；4 .ACDAHEAsAD AC V3 , / ADC=Z HAEAH EH5 / CAD+Z ADC=90 ,°6 / HAE+Z CAD=90 ；h / HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= V3AD '/ ADH=30 ；/ APE=30 ,°点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.5.如图，AB是。的直径，弦 CD±AB于H,过CD延长线上

17、一点 E作。的切线交AB 的延长线于切点为 G,连接AG交CD于K.(1)求证：KE=GE(2)若K=KD?GE试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;3(3)在(2)的条件下，若sinE=, AkR/5,求FG的长.25 小【答案】(1)证明见解析；(2) AC/ EF,证明见解析；(3) FG= .【解析】试题分析：(1)如图1,连接OG.根据切线性质及 CD±AB,可以推出/KGE=Z AKH=/ GKE,根据等角对等边得至U KE=GE(2) AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可

18、得出 GKD与 EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到 ZC=Z AGD,可推知ZE=Z C,从而得到 AC/ EF；(3)如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的长度. / KGE吆 OGA=90 ; .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KGE=/ AKH=Z GKE,KE=GE(2) AC/ EF,理由为连接 GD,如图2所示.KG KD. GE = KG ，又 Z KGE4 GKE AGKDAEGK, Z E=Z AGD,又

19、Z C=Z AGD, Z E=Z C,-.AC/ EF；EG为切线,Z KGE吆 OGA=90 ,.CDXAB,Z AKH+Z OAG=90 ,又 OA=OG,Z OGA=Z OAG,Z KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH-1,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t,KE=G AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得 AH2+H/=AK2, 即（3t） 2+t2=（乖）2,解得 t=?.设。半径为 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t, 由勾股定理得：OH2+CH2=Od,125 25

20、即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r= 6 tJ .EF为切线,.OGF为直角三角形，25CII 4在 RtA OGF 中，OG=r=-' , tan / OFG=tanZ CAH="三于,YiinAOI-G .FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.6.如图13,矩形ASCD的对角线AC , RD相交于点。，1C0D关于CD的对称图形 为 3CED .（1）求证：四边形0CE0是菱形;（2）连接AE , 若.15三6o

21、n, BC =小匕m求sinNE仞的值；若点F为线段NE上一动点（不与点八重合），连接。尸，一动点2从点。出发，以 151%的速度沿线段。尸匀速运动到点P ,再以1.5cm方的速度沿线段 卫匀速运动到点 乩 到达点 工后停止运动.当点 。沿上述路线运动到点 3所需要的时间最短时，求 的 长和点Q走完全程所需的时间.23【答案】（1）详见解析；（2）sin迎4n二:二工和0走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）构造直角三角形求siti工； 先确定点。沿上述路线运动到点 M所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间试题解析：解：（1）证明：-四边形是矩形且C二

22、初;MC与刀般交于点。，且ACOD、&1S 关于。对称 /. DO = CO=DO = DE: OC = EC :.D0 = OC = EC = ED二四边形OCED是菱形.（2）连接。£,直线。E分别交/g于点F，交DC于点G:A1OD关于 8 的对称图形为 XCED/. OE ± DC.- DC 二.45 二 OF l.AB.EF ZL1D ;在矩形上:Lffg 中，G为ZJC的中点，且。为AC的中点,0G为3C5的中位线- 0G 二生二'二2同理可得：F为M3的中点，OF二工-4F = 32分二祗卢+-庐二3、（¥尸=9Y Z£-&

23、#163;D =ZAEF,".sin /E4D = sin WAEF = 4 = -9 3过点P作FM - AB交aB于点M二。由口运动到P所需的时间为3s2二由可得，1=APJ二点。以L如用3的速度从P到A所需的时间等于以：1切5从M运动到AOP 4M即：，-.-，。由O运动到P所需的时间就是 OP+MA和最小.;如下图，当P运动到月，即4。二.二时，所用时间最短./ - OP AL4 - 3在直出蝠M中,设= 2工.建=3x.比】=WVj + F-N：- G处）出 g ）2解得： 一 > ，二MF二三和。走完全程所需时间为 -sA M +r Fa考点：菱形的判定方法；构造直

24、角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置7.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点 E是边BC上的一点（不与点 C重合），连接AE,将4ABE沿BC方向平移，使点 B与点C重合，得到 DCF,过点E作EG，AC于点（1）如图，依题意补全图；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证 明；（2）已知正方形的边长为 6,当/AGD= 60°时，求BE的长.【答案】（1）见解析，FG=DG, FG± DG,见解析；（2） BE 273.【解析】【分析】（1）补全图形即可， 连接BG,由SAS证明BE84GCF得出BG= GF,由正方形的对称性质得出 BG= DG,

25、得出FG= DG,在证出ZDGF= 90°,得出FG± DG即可，（2）过点D作DHL AC,交AC于 点H.由等腰直角三角形的性质得出 DH= AH = 3j2,由直角三角形的性质得出 FG= DG= 2GH= 2而，得出DF= J2DG=4，3,在RtDCF中，由勾股定理得出 CF= 2 J3 ,即可 得出结果.【详解】解：（1）补全图形如图1所示，FG = DG, FG± DG,理由如下，连接BG,如图2所示，四边形ABCD是正方形， / ACB= 45 ；-.EG± AC, / EGC= 90 ； CEG是等腰直角三角形， EG= GC, / G

26、EG= ZGCE= 45 ；/ BEG= / GG已 135 ；由平移的性质得：BE= GF,BE GF 在ABEG和 GCF中，BEG GGF ,EG GG.-.BEGAGGF (SA§ , BG= GF, . G在正方形ABGD对角线上，BG= DG, FG= DG, / GGF= / BGE, / BGE+Z AGB= 90 ； / GGF吆 AGB= 90 °, / AGD+Z GGF= 90 °, / DGF= 90 ；.-.FG± DG. AD(2)过点D作DHAG,交AG于点H.如图3所示,在 RtA ADG 中， / DAG= 45 ；,

27、-.DH=AH=3 72，在 RtA DHG 中， Z AGD= 60°,DH 3、2.DG=2GH=2、. 6 ,.DF= 72DG=4 5/3 ,在 RtDCF中，CF= 4 4/3 2 62 =2 y/3,本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角 形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解 题的关键.8.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 Z PDA=Z PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由;(2)如果 / BED=60°,

28、PD=T3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得ZADO+ZPDA=90 ,即可得出直线PD为。的切线;(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD为。的切线，得/PDO=90 ；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径，得 Z ADB=90 ,设/ PBD=X

29、，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, / DBF=2X ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线,理由如下：如图1,连接OD,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ； / ADO+/ BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ;即 PD± OD, 点D在。O上， 直线PD为。O的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ；3 / BED=60 ,°/ P=30 ；4

30、.PD为。的切线，/ PDO=90 ；在 RtPDO 中，/P=30。，PD=50 OD _. tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2，PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF,5 / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x ,四边形AFBD内接于OO, / DAF+/ DBF=180 ,°即 90&

31、#176;+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,°BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2X =60°,.BDF是等边三角形，.BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大.9.如图，A (0, 2) , B (6, 2) , C (0, c) (

32、c>0),以 A 为圆心 AB 长为半径的 BD 交y轴正半轴于点 D, BD与BC有交点时，交点为 E, P为？D上一点.(1)若 c= 6 出+2,bo, De的长为；当CP= 6/时,判断CP与。A的位置关系，井加以证明；(2)若c= 10,求点P与BC距离的最大值；(3)分别直接写出当 c=1, c= 6, c=9, c= 11时，点P与BC的最大距离(结果无需化简)【答案】(1)12 ,兀；详见解析；(2)6;6 (3)答案见详解 55【解析】【分析】判断(1) 先求出AB, AC,进而求出BC和/ABC,最后用弧长公式即可得出结论;出4APC是直角三角形，即可得出结论；(2)

33、分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；(3)画图图形，同(2)的方法即可得出结论.【详解】(1)如图1 ,. c=6,3 +2, .OC= 6 石+2,AC= 6 £+2-2=6 石,-AB=6,AC 在RtBAC中，根据勾股定理得，BC= 12, tan Z ABC= =J3 ,AB/ ABC= 60 ；.AE= AB,.ABE是等边三角形，/ BAE= 60 ；/ DAE= 30 ；DE的长为30-6 =兀,180故答案为12,兀；CP与。A相切.证明：. AP= AB= 6, AC= OC- OA= 6百， .AP2+CP2= 108,又 AC2= (6的)2

34、=108,:.AP2+PC2=AC2./ APC= 90 °,即：CP± AP.而AP是半径，.CP与。A相切.(2)若 c= 10,即 AC= 10-2=8,贝U BC= 10. 若点P在？E上，AP，BE时，点P与BC的距离最大，设垂足为 F,则PF的长就是最大距离，如图 2,S；a abc= -AB>AC= - BC >AF, 22AB ACBC2456.PF=AP- AF=一；5如图3,若点P在DE上，作PG, BC于点G,当点P与点D重合时，PG最大.PG此时，sin/ACB=CPABBC '即PG=AB CPBC.若c= 10,点P与BC距离

35、的最大值是(3)当c= 1时，如图4,过点P作PM，BC,sin / BCP=ABBCPMCDAB CD 6 742 _42137BC；37. 37 - 37当c= 6时，如图5,同c=10的情况,12 PF= 6= 612 A13点P和点D重合时，点当c= 9时，如图6,同c=10的情况,85P到BC的距离最大，同c= 10时 情况，DG= 18'117117【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角 三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键.10.如图（1）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方BC在直线 MN上，E是BC上一点,

36、以AE为边在直线MN的上方作正方形 AEFG(1)连接 GD,求证：ADGABE；(2)连接FG观察并直接写出 /FCN的度数(不要写出解答过程)(3)如图(2),将图中正方形 ABCD改为矩形ABCD, AB= 6, BC= 8, E是线段BC上一 动点(不含端点 B、C),以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG使顶点G恰好落在射 线CD上.判断当点 E由B向C运动时，/ FCN的大小是否总保持不变，若 / FCN的大小不 变，请求出tan/FCN的值.若/ FCN的大小发生改变，请举例说明.【答案】(1)见解析；(2) ZFCN= 45。，理由见解析；(3)当点E由B向C运动时，/F

37、CN的大小总保持不变，tan/FCN= - -理由见解析.3【解析】【分析】(1)根据三角形判定方法进行证明即可.(2)作FHI± MN于H.先证ABEEHF,得到对应边相等，从而推出 4CHF是等腰直角 三角形，/ FCH的度数就可以求得了.(3)解法同(2),结合(1) (2)得：EFHGAD, AEFHAABE：,得出 EH=AD=BC=8由三角函数定义即可得出结论.【详解】(1)证明：二.四边形ABCD和四边形 AEFG是正方形， -AB=AD, AE= AG=氏 / BAD= / EAG= / ADC= 90 ； / BAEZ EAD= / DAG+Z EAD, / ADG

38、= 90 = / ABE,/ BAE= / DAG,在 ADG和 ABE中，ADG ABEDAG BAE,AD AB .ADGAABE (AAS).(2)解：/FCN= 45°,理由如下:作FHI± MN于H,如图1所示：则/ EH已 90 = / ABE, / AE曰 / ABE= 90 ；/ BA曰 / AEB= 90 °, / FEH+Z AEB= 90 °,Z FEH= Z BAE,在 4EFH和 ABE 中，EHF ABEFEH BAE ,EF AE2 .EFHAABE (AA0 , .FH=BE, EH= AB=BC,.CH= BE= FH,

39、3 / FHC= 90 ；4 / FCg 45 :(3)当点E由B向C运动时，/ FCN的大小总保持不变，理由如下:作FHI± MN于H,如图2所示：由已知可得 / EAG= / BAD= / AE390°,结合(1) (2)得：EFHGAD, AEFHAABE, .EH=AD= BC= 8,.CH= BE,EH FHAB BEFHCH ；FH EH在 RtFEH 中,tan / FCN= CH AB4当点E由B向C运动时，/ FCN的大小总保持不变，tan / FCN= 一 .3【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用

40、，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例.11.如图，在？ABCD中，AC与BD交于点O, AC± BC于点C,将ABC沿AC翻折得到 AEC,连接 DE.(1)求证：四边形 ACED是矩形；(2)若 AC= 4, BC= 3,求 sin/ABD 的值.BCE【答案】(1)证明见解析(2) 6姮65【解析】【分析】(1)根据？ABCD中，AC± BC,而AB8 4AEC不难证明；(2)依据已知条件，在 4ABD或4AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度，即可求出 ZABD的正弦值.【详解】(1)证明：二.将4ABC沿AC翻折得到AAEC,BC= CE, A

41、C± CE, 四边形ABCD是平行四边形， .AD/ BC, AD= BC, .AD=CE AD/CE 四边形ACED是平行四边形， .ACXCE, 四边形ACED是矩形.(2)解：方法一、如图 1所示，过点 A作AF± BD于点F, . BE=2BC= 2X26, DE=AC= 4,在 RtBDE 中，BD BE2 DE2、62 422b3 . S>ABDE= X DE?AD1AF?BD,2“4 22d36 1313,RABC中，AB= V32 42 =5, RtA ABF 中,AF 6 136 .13sin/ABF= sin/ABD= AB1365 .5方法二、如

42、图2所示，过点。作OF，AB于点F,1 一同理可得，OB= -BD 713 , 21 1. Saaob= -OF AB -OA BC , 222 3 6 OF =,55.在 RtBOF 中, OFsin/FBO=OB66.135 1365【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质 和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin/ABD.12 .超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知 识检测车速，如图，观测点设在到万丰路(直线 AO)的距离为120米的点P处.这时， 辆小轿车由西向东

43、匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且/APO-60°, /BPO= 45°.(1)求A、B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.(参考数据：应 1.414,阴 1.73) A S Q【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】解：(1) AB 100(73 1户73.2 (米)./分73 2(2)此车制速度v=j= =18.3米/秒13 .已知抛物线y=- 1x2-Zx+2与x轴交于点A, B两点，交y轴于C点，抛物线的对63称轴与x轴交于H点，分别以OC OA为边作矩形AECO(1)求直线AC的解析

44、式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP面积最大时，求|PM - OM|的值.(3)如图，将4AOC沿直线AC翻折得AACD,再将4ACD沿着直线AC平移得A'C ' .D使得 点A'、C在直线AC上，是否存在这样的点 D',使得ED；直角三角形？若存在，请求 出点D'的坐标；若不存在，请说明理由.卸图2副【答案】(1) y=1x+2; (2)点M坐标为(-2,勺)时，四边形AOCP的面积最大，此时33|PM-OM|有最大值 驾；(3)存在，D坐标为：(0, 4)或(-6, 2)或(|, £)

45、【解析】【分析】(1)令x= 0,则y = 2 ,令y=0,则x=2或-6,求出点 A、B、C坐标，即可求解；(2)连接OP交对称轴于点 M,此时，|PM-OM|有最大值，即可求解；(3)存在；分 A'DAE;ADT ED'ED± AE三种情况利用勾股定理列方程求解 即可.【详解】(1)令 x= 0,则 y = 2,令 y=0,则 x=2 或6, .A ( 6, 0)、B (2, 0)、C (0,2）,函数对称轴为：x= - 2,顶点坐标为（-2,8)3C点坐标为（0, 2）,则过点C的直线表达式为：y=kx+2,将点A坐标代入上式,解得:k 1,则：直线AC的表达式

46、3为：y -x+2；3四边形AOCP面积=4AOC的面积+4ACP的面积,的面积最大即可，设点 P坐标为（m, 1m26四边形AOCP面积最大时，只需要4ACP m+2),则点 G 坐标为(m, m+2),S；a acp 1 PG?OA2m+2 m 2) ?61c ,一 ,，、m2 - 3m ,当m = - 3时，上式2取得最大值，则点P坐标为（-3, 5） .连接OP交对称轴于点 M,此时，|PM-OM|有2最大值，直线OP的表达式为:y x,当 x= - 2 时,6y ,即：点M坐标为（-2,35一）,|PM - OM|的最大值为:3255 2( 3 2)(2 3)（3）存在.,.AE=C

47、D, /AEC=/ADC= 90； /EMA=/DMC, EAM DCM ( AAS , . EM =DM, AM=MC,设：EM=a,贝 U： MC=6 - a.在 RtDCM 中，由勾股定理得：MC2=10 、MC ,过点3D作x轴的垂线交xA'D'2=（6 26 5）,18、22 / 3m 2（石）=36, a'e2 = （而）m（.w2）2 = m4m4 , .102 ,24 3m 2 ,8 ED'=（3.10）（5 况讨论：22=m32 m.101285若AED为直角三角形，分三种情2当 A'D'2 + A'E2=ED'

48、2 时，36+m4m.1032m 128110m="5DC2+MD2,即：（6-a） 2=22+a2,解得：a 8,则:3轴于点 N,交 EC于点 H.在 RtDMC 中，-DH?MC MD?DC,即：DH 8 2,2233则：DH 8, HC JDC2 DH 2 6 ,即：点 D 的坐标为（6,18）;555 5设：4ACD沿着直线AC平移了 m个单位，则：点 A'坐标（-6 -3m,-m）,点D'坐标.10 . 10，6 3m 18 m 、为（ 一,： t,而点 E坐标为（6, 2）,则5.10 5. 10,63m 18m、，此时 D （ 一, ,一 一f=）为（

49、0, 4）；5J0 5102当 A'D'2 + ED'2=A'E2时，36+m32m,10128=m54m,104,解得:m= 8-10 ,此时 D'（-553m 18m 、f=）,10为（一6, 2）;-ccC .2当 A'E2+ED'2= A'D'2 时，m4m4.102 32m + m ,10128二36,解得:m=8_7q5或m =0 ,此时D'（53m 18 m7）为（6, 2）或5.10 5.1019、一）5综上所述：D坐标为：（0,4）或（-6, 2）或19、5【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，

50、涉及到一次函数、 其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后图形平移、解直角三角形等知识，A'、D'的坐标，本题难度较大.14 .如图，AB为。的直径，P是BA延长线上一点， CG是。的弦/ PCA= / ABC,CG±AB,垂足为D（1）求证：PC是。的切线;（2）求证:PAPCADCD '3过点A作AE/ PC交。O于点E,交CD于点F,连接BE,若sin/P= , CF= 5,求BE5的长.8D 0【答案】(1)见解析；(2) BE=12.【解析】【分析】(1)连接 OC,由PC切O O于点C,得到OC, PC,于是得到 / PCA+/ OCA=90，由AB为。的直径，得到 /ABC+/ OAC=90 ,°由于 OC=OA 证得/ OCA=/ OAC,于是得到结论；(2)由AE/ PC,得到/PCA=/ CAF根据垂径定理得到弧 AC=M AG,于是得到/ACF=/ ABC,由于/PCA=/ ABC,推出/ AC