电磁场与电磁波第二章电磁学基本理论

1、电磁学基本理论电磁学基本理论场量的定义和计算场量的定义和计算电磁学基本理论电磁学基本理论麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组一、场量的定义和计算一、场量的定义和计算（1 1）库仑定律）库仑定律1221FF121221230044Rq qaq qRRRF2q 库仑定律是静电现库仑定律是静电现象的基本实验定律。大象的基本实验定律。大量试验表明量试验表明: : 真空中两真空中两个静止的点电荷个静止的点电荷 与与 之之间的相互作用力间的相互作用力: :1q1.1.电场强度电场强度zxy0q1q2R1R2R2-R1=R物理意义物理意义两个两个可视为点电荷可视为点电荷的带电体之间的带电体之间 相互作用力相互作用力

2、; ;无限大真空情况无限大真空情况. .912108.85 10/36F m0可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中)(0适用条件适用条件两点电荷同性为斥力，异性为吸力两点电荷同性为斥力，异性为吸力. .两点电荷两点电荷q q1 1与与q q2 2之间的作用力：之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；作用力的方向沿两者间的连线；电场力符合矢量叠加原理电场力符合矢量叠加原理(2)(2)电场强度电场强度 既然我们已经知道怎样计算静止电荷既然我们已经知道怎样计算静止电荷

3、之间的力之间的力, ,为什么还要定义一个场量呢为什么还要定义一个场量呢? ?近距作用近距作用远距作用远距作用电场强度的定义电场强度的定义 设设q为位于为位于S（x,y,z）处的）处的点电荷，点电荷， 在其电场中点在其电场中点P(x, y, z)处引入试验电荷处引入试验电荷qt.zxy0qqtR1R2R2-R1=R 实验证明实验证明, ,qt受到的作用力的大小与自受到的作用力的大小与自身所带电量身所带电量qt成正比成正比, ,与电荷所处位置的与电荷所处位置的电电场强度（场强度（Electric Field IntensityElectric Field Intensity）成成正比，即：正比，即

4、：0limtqtFEqEqFt所以：所以：tq应该尽可能小。应该尽可能小。当电场强度形成的矢量场在空间的分布当电场强度形成的矢量场在空间的分布 各点相同时称之为各点相同时称之为均匀电场均匀电场。电场强度的大小与检验电荷的大小无关。电场强度的大小与检验电荷的大小无关。电场强度的方向与正检验电荷的受力方电场强度的方向与正检验电荷的受力方 向一致。向一致。对运动的电荷，上式仍然成立。对运动的电荷，上式仍然成立。电场强度满足电场强度满足叠加原理叠加原理。300lim4tqtFqREqR对真空中的点电荷：对真空中的点电荷：分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度分布电荷密度分布电荷密度mClqll/lim0

5、q是长度元是长度元l上的电荷。上的电荷。 线电荷密度（线电荷密度（Charge Line DensityCharge Line Density）：）： 面电荷密度（面电荷密度（Charge Area DensityCharge Area Density）：）：20/limmCSqSSq是面积元是面积元S上的电荷。上的电荷。 体电荷密度（体电荷密度（Charge Volume DensityCharge Volume Density）：）：30/limmCVqVV q是体积元是体积元V内的电荷。内的电荷。 分布电荷电场强度的计算分布电荷电场强度的计算 （以体电荷为例）（以体电荷为例） VdqdV

6、 在在V V内取一微小体积元内取一微小体积元dVdV其电荷量：其电荷量：330044VdqRRdEdVRR 它在场点它在场点P处产生的处产生的电场为：电场为：体积体积V内所有电荷在内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为：处所产生的总电场为：3014VVERdVR 用类似的方法可求得电荷分布为用类似的方法可求得电荷分布为S(r)和和l(r)时电场强度的表达式分别为时电场强度的表达式分别为30301414SSllERdSRERdlR小结：小结：求分布电荷电场强度的步骤求分布电荷电场强度的步骤无限细分该区域；无限细分该区域；分析每一个区域；分析每一个区域；叠加原理。叠加原理。2.2.电位函数电位函数

7、 若在静电场中放一试验电荷若在静电场中放一试验电荷 ，它受到电场力的作用而产生运动，它受到电场力的作用而产生运动，这时电场力就作功。这时电场力就作功。tqetdWF dlq E dldltqAPEmndl电力线电压（电位差）电压（电位差） 如果如果 在场中移动了在场中移动了 的距离，电场力作的功的距离，电场力作的功是是: :tq 要使试验电荷处于平衡状态，应有一外力要使试验电荷处于平衡状态，应有一外力 和该电场力大小相等，方向相反。即当和该电场力大小相等，方向相反。即当 位移位移 时，外力所做的功：时，外力所做的功：dlaFAAPtPPAWE dlqE dl 两点间电压等于在场两点间电压等于在

8、场中由一点向另一点移动中由一点向另一点移动单位正电荷时，外力做单位正电荷时，外力做的功。的功。 定义它与定义它与 的比值定义为作用在的比值定义为作用在P P到到A A路径上路径上的电压：的电压：atdWFdlq E dl 所以，如果检验电荷在静电场中由所以，如果检验电荷在静电场中由P P点移动点移动到到A A点，外力所做的功为：点，外力所做的功为：tAPWqE dl tq 静电场中电场力作的静电场中电场力作的功与路径无关，只取决功与路径无关，只取决于始点和终点的位置，于始点和终点的位置，所以静电场是所以静电场是保守场保守场，也称也称位场位场。静电场中电场力作的功与路径无关静电场中电场力作的功与

9、路径无关PAPAEdl204PRAqadlR2014PARRRRqaa dRR2014PARRqdRR0114APqRR（）qAPPRAREdl电位电位 如果我们在场中任意选定一点，例如如果我们在场中任意选定一点，例如P P点，点，作为参考点。则单位正电荷由场中任一点作为参考点。则单位正电荷由场中任一点A A移移到参考点到参考点P P时，电场力所做的功将仅随时，电场力所做的功将仅随A A点的点的坐标而异。此时把积分：坐标而异。此时把积分：PAAE dl即即A A点移到参考点的电压，称为点移到参考点的电压，称为A A点的点的电位电位。显然，参考点处的电位：显然，参考点处的电位：0PPPE dl通

10、常，参考点选在无穷远处通常，参考点选在无穷远处, ,即：即：AAE dl 当场源为真空中，位于原点的当场源为真空中，位于原点的点电荷点电荷时：时：04AAqR电位的计算电位的计算PAAE dl0114APqRR（） 现假设场源电荷不在坐标原点，其位置现假设场源电荷不在坐标原点，其位置矢量为矢量为 ，而，而A A点的位置矢量为点的位置矢量为 ，则：，则：RR04AqRR 另外，电位的分布满足叠加原理，对点电另外，电位的分布满足叠加原理，对点电荷：荷：1014niAiiqRVVVdRr )(410 类似的方法可得类似的方法可得分布电荷分布电荷的电位函数的的电位函数的表达式分别为表达式分别为l dR

11、rll)(410SdRrSS)(410 电位分布也可用图形表示，即将电位相电位分布也可用图形表示，即将电位相等的各点联成曲线或曲面，这些线或面称为等的各点联成曲线或曲面，这些线或面称为等位线等位线或或等位面等位面。电荷在等位面上移动时，。电荷在等位面上移动时，电场即不对电荷作功，也不会获得能量。电场即不对电荷作功，也不会获得能量。dE dl E电位和电场的关系电位和电场的关系ddl u电位函数是一个辅助函数，是一个标量函数；电位函数是一个辅助函数，是一个标量函数；u在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是 沿着电位沿着电位减少减少的最快的方向，其大小等于

12、电位的最快的方向，其大小等于电位 的最大变化率；的最大变化率；u在直角坐标系中：在直角坐标系中：zyxazayaxEu判断判断 电位为零处，场强一定为零电位为零处，场强一定为零( );( ); 场强为零处，电位一定为零场强为零处，电位一定为零( );( ); 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简选择参考点尽可能使电位表达式比较简 单，且要有意义。单，且要有意义。 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处电荷分布在有限区域时，选择无穷远处 为参考点为参考点. .

13、 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处电荷分布在无穷远区时，选择有限远处 为参考点。为参考点。电位参考点的选择原则：电位参考点的选择原则：电偶极子电偶极子 电偶极子电偶极子(Electric Dipole)(Electric Dipole)是指相距是指相距很近的两个很近的两个等值异号等值异号的电荷。的电荷。图1.2.2 电偶极子R1R2 设每个电荷电量为设每个电荷电量为q q， 相距为相距为d d， 则电偶极子在点则电偶极子在点P P的电位及电场的电位及电场: : 210120121144RRqqRRR R20cos4qdRR2-R1d cos R1R2R2所以所以, ,电偶极子的电位表达式为电

14、偶极子的电位表达式为 电偶极矩矢量电偶极矩矢量(Dipole Moment Vector) p的大的大小为小为p=qd，方向由负电，方向由负电荷指向正电荷，荷指向正电荷， 即即:220044zRRqdaap aRR qdapz 当两电荷之间距相对于到观察点的距离当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小非常小, ,即即Rd时时, ,R1, R2, R三者近乎平行，三者近乎平行， 因此有因此有: : 根据式（根据式（2.262.26）得电偶极子在）得电偶极子在P P点点处的电场强度为处的电场强度为: : )sincos2(430aarpEr电力线与等位线（面）的性质：电力线与等位线（面）的性质：E

15、 E线不能相交线不能相交; ;E E线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大; ;E E线与等位线（面）正交；线与等位线（面）正交；传导电流：传导电流：由导电媒质（导体、半导体、由导电媒质（导体、半导体、 漏电介质）中，电荷的流动漏电介质）中，电荷的流动 形成；形成； 电荷在电场的作用下发生宏观运动，形电荷在电场的作用下发生宏观运动，形成真实的电流。这样的电流又有成真实的电流。这样的电流又有传导电流传导电流和和运流电流运流电流之分。之分。 运流电流：运流电流：由真空或气体中，电荷的流由真空或气体中，电荷的流 动形成。动形成。3.3.磁感应强度（磁通密度矢量）磁感应强度（磁通密度矢量）电流和电流密度

16、电流和电流密度 i i是标量是标量, ,它只能描述一根导线上总的电流的它只能描述一根导线上总的电流的强弱，并不反映电流在每一点的流动情况。强弱，并不反映电流在每一点的流动情况。 dtdqtqit0lim 单位时间内通过某一横截面的电量，简单位时间内通过某一横截面的电量，简称称为为电流电流。其强弱用。其强弱用电流强度电流强度来表征来表征l流动方向VS 假定体电荷密度假定体电荷密度为为V V的电荷以速度的电荷以速度v v沿沿某方向运动，某方向运动， 如图所如图所示。示。 设在设在垂直于垂直于电荷电荷流动的方向上取一面流动的方向上取一面积元积元S S， 若流过若流过S S的电流为的电流为I I， 则

17、定则定义矢量义矢量 J J的大小为的大小为 dSdISIJS0lim 导体中每一点都有一个电流密度，因而导体中每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称之为构成一个矢量场。我们称之为电流场。电流场。而电而电流密度处处相等的电流场即为流密度处处相等的电流场即为恒定电流场恒定电流场或或恒定电场。恒定电场。 J J的方向规定为正电荷在该点的运动方向，的方向规定为正电荷在该点的运动方向， 单位为单位为A/mA/m2 2。ssdJI 已知电流密度后，则流过体积内任意曲已知电流密度后，则流过体积内任意曲面面S S的电流强度为：的电流强度为：l流动方向VS 如图，单位时间如图，单位时间内流过面元内流

18、过面元 的电流的电流为：为：StSlItlvSvIvJ 恒定电场电流密度与电荷密度的关系恒定电场电流密度与电荷密度的关系电流方向Sl运动方向方向：正电荷的大小：dldIlIJls0limvJsssl dJIss 注意：注意：线电流一线电流一般不定义密度函数。般不定义密度函数。 18201820年年, ,法国物理学家安培法国物理学家安培从实验中总结出从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律电流回路之间的相互作用力的规律, ,称为称为安培力安培力定律定律 (Amperes Force Law )(Amperes Force Law )。C1C2I1I2Rdl1r1r2dl2O 设真空中有两个载

19、设真空中有两个载有线电流的回路有线电流的回路C1和和C2，其上电流元，其上电流元I1dl1对对I2dl2的作用力的作用力dF21为：为：安培力定律和毕奥安培力定律和毕奥- -萨法尔定律萨法尔定律02211212()4RI dlI dladFR上式中：上式中：mHRRarrRR/104,712将上式进行改写：将上式进行改写：421102212Ral dIl dIFdR取决于电流回路取决于电流回路C C1 1的的电流分布及源点到场电流分布及源点到场点的距离矢量点的距离矢量R R， 而而与电流回路与电流回路C C2 2无关，无关，Bdl dIFd2212其中：其中：21104Ral dIBdR电流元

20、电流元 在周围空间产生的在周围空间产生的磁场。磁场。11l dI211014Ral dIBRC 在周围空间产生的在周围空间产生的磁场。磁场。1C21122012)(421Ral dIl dIFRCC 所以，任意电流回路所以，任意电流回路C C周围的磁场分布为：周围的磁场分布为：204)(RalIdrBRC 上式称为上式称为毕奥毕奥萨伐尔定律（萨伐尔定律（BiotSavarts Law），）， 它表示载有恒定电流它表示载有恒定电流I的导线在场点的导线在场点r处所产生的磁通密度。处所产生的磁通密度。 注意注意， B, dl和和aR 三者三者互相垂直，互相垂直， 并遵循右手螺旋关系。并遵循右手螺旋关

21、系。 单位单位 T（wb/m2）特斯拉特斯拉 若产生磁通密度的电流不是线电流，若产生磁通密度的电流不是线电流， 而是而是体电流分布体电流分布J J( (r r)或面电流分布或面电流分布 J JS S( (r r)， 则则它们所产生的磁通密度分别为它们所产生的磁通密度分别为SdRarJrBVdRarJrBRSSRV2020)(4)()(4)(Bl dIFC22122比较：比较：204RVqdVFaqRE安培力安培力库伦力库伦力磁通连续性原理磁通连续性原理sB dS 称为磁通密度矢量，所以穿过闭合曲称为磁通密度矢量，所以穿过闭合曲面面S S的磁通量为：的磁通量为：B024RSCIdladSR)1(

22、40SdRlIdCS024RCSadSIdlRdVRlIdCV)1(4000sSdB磁通连续性原理积分形式磁通连续性原理积分形式sB dS VdVB00B磁通连续性原理微分形式磁通连续性原理微分形式4.4.矢量磁位矢量磁位磁通连续性原理又称磁通连续性原理又称磁场中的高斯定律磁场中的高斯定律，表明，表明 穿过一个封闭曲面穿过一个封闭曲面S S的磁通量等于离开这个封闭的磁通量等于离开这个封闭 曲面曲面S S磁通量，换句话说，磁通永远是连续的；磁通量，换句话说，磁通永远是连续的；磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无散无散 场场；（在任意媒质中均成立）。（在任意媒质中

23、均成立）。磁场的散度为零，由恒等式磁场的散度为零，由恒等式 得：得： 应该可以用一个矢量函数的旋度来表示；应该可以用一个矢量函数的旋度来表示；B0)(A矢量磁位矢量磁位0B0)(AAB 称为称为矢量磁位矢量磁位单位为单位为 或或 ，一个矢，一个矢量的性质由其散度和旋度共同决定，所以引入量的性质由其散度和旋度共同决定，所以引入库库仑规范条件仑规范条件：AmWb/mT 0A 关于关于 的计算，可参照的计算，可参照P50P50，式，式2.452.452.47 2.47 A引入矢量磁位函数可以简化磁场的运算引入矢量磁位函数可以简化磁场的运算 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；AJ1.1.安培环

24、路定理安培环路定理 假设磁场是由真空中一载有电流假设磁场是由真空中一载有电流I的无限长的无限长直导线产生，即由例直导线产生，即由例2-5知：知：02IBar安培环路与磁力线重合安培环路与磁力线重合2000022llIIB dladlrdIrr二、电磁学基本理论二、电磁学基本理论安培环路定理（恒定磁场的情况）安培环路定理（恒定磁场的情况）安培环路不交链电流安培环路不交链电流安培环路与若干根电流交链安培环路与若干根电流交链kLIl dB000002LIB dld 安培环路与磁力线不重合安培环路与磁力线不重合002000cos222LLLIIB dladldlrrIrdIrkLIl dHSdJSdH

25、SS)(JH安培环路定理微分形式安培环路定理微分形式kLIl dH综上所述得：综上所述得：安培环路定理积分形式安培环路定理积分形式kLIl dB0该结论适用于其它任何带电体情况（不只是无该结论适用于其它任何带电体情况（不只是无 限长载流直导线）；限长载流直导线）；强调：强调：环路方向与电流方向成右手关系，电流环路方向与电流方向成右手关系，电流 取正，否则取负；取正，否则取负；在真空中，磁场强度沿闭合路径的线积分等于在真空中，磁场强度沿闭合路径的线积分等于 闭合路径所包围电流的代数和；闭合路径所包围电流的代数和；恒定磁场是有旋场，电流是其漩涡源；恒定磁场是有旋场，电流是其漩涡源；例例: : 如图

26、所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流的电流I I，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区域的磁感应强度。域的磁感应强度。 解解: : 根据题意，取圆柱坐标系。根据题意，取圆柱坐标系。（1 1） 区域区域1Rr 内导体的电流密度为内导体的电流密度为: :211/ zJa IR取半径为取半径为 r r 的圆环为积分回路，的圆环为积分回路，根据安培环路定律根据安培环路定律: : 21100dd drzlHlJr ra 21212IrHrRddlra21110dd2lHlHrrH22220011d drIIr rrR

27、R 1212IrHaR磁感应强度为磁感应强度为: :01212IrBaR 同理取半径为同理取半径为r r 的圆为积分回路，则有的圆为积分回路，则有: : 21RrR（2 2） 区域区域2dlHlI22d2lHlrH22IHar022IBar该区域的磁感应强度为该区域的磁感应强度为: :23RrR（3 3） 区域区域外导体的电流密度为外导体的电流密度为: :22232 /zJa IRR2223200dd drRH rIJ r r 同理，取半径为同理，取半径为r r 的圆为积分回路，则有的圆为积分回路，则有: : 22332232()2()I RrHaRRr220332232()2()I RrBa

28、RRr可得：可得：（4 4） 区域区域3rR40B 位移电流位移电流l麦克斯韦在将恒定磁场中的安培环路定麦克斯韦在将恒定磁场中的安培环路定理应用于时变场时出现了矛盾：理应用于时变场时出现了矛盾：Cl dHi1SJdSCl dH2SSdJ0 同样的系统，同样的回路，在同样的系统，同样的回路，在电流交变电流交变的的情况下，为什么积分结果不同？情况下，为什么积分结果不同？l为了解决上述矛盾，麦克斯韦断言：电容器为了解决上述矛盾，麦克斯韦断言：电容器两极板间有另外一种电流存在。其值与传导电两极板间有另外一种电流存在。其值与传导电流相等。流相等。 和和 构成闭合曲面：构成闭合曲面：1S2S12cSSdq

29、JdSdt 21SSSdtD21SSdSdJ即：即：tDJd位移电流密度位移电流密度 A/mA/m2 2 设想设想 上有位移电流流过，则：上有位移电流流过，则：2SCl dH2dSJdSi1cSJdS矛盾解决！矛盾解决！l麦克斯韦位移电流假说的正确性已经被大量实麦克斯韦位移电流假说的正确性已经被大量实验证明！验证明！安培环路定理的修正安培环路定理的修正全电流定全电流定理理cdlH dlii() dScsDJt积分形式积分形式cDHJt微分形式微分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场变化的电场也可以激发磁场。它与变

30、化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。激发电场形成自然界的一个对偶关系。解：忽略极板的边缘效应和解：忽略极板的边缘效应和 感应电场感应电场d) t ( uED,duE位移电流密度位移电流密度位移电流位移电流()dDduJtd dt()ddcSS duduiJdSCiddtdt 例：已知平板电容器的面积为例：已知平板电容器的面积为 S S , , 相距为相距为 d d , , 介质的介电常数介质的介电常数 ，极板间电压为，极板间电压为u(tu(t) )。试求位移电流试求位移电流i id d；传导电流传导电流i iC C与与i id d 的关系是什么的关系是什么? ?电场电场 传导电流与位移电

31、流传导电流与位移电流传导电流：传导电流：关于电流关于电流带电粒子在电场作用下的定向运动；带电粒子在电场作用下的定向运动；位移电流：位移电流： 具有磁效应，可以产生磁场，但与具有磁效应，可以产生磁场，但与带电粒子的运动无关。实质是电场带电粒子的运动无关。实质是电场随时间的变化。随时间的变化。2.2.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律（1 1）内容）内容电磁感应现象电磁感应现象 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势及感应电流。法拉第指出感应产生感应电动势及感应电流。法拉第指出感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率。电动势的大小正比于磁通对时

32、间的变化率。楞次定律楞次定律感生电动势的参考方向感生电动势的参考方向 感应电动势及其所产生的感感应电动势及其所产生的感应电流，总是企图阻止回路中应电流，总是企图阻止回路中磁通的变化。磁通的变化。indd t 负号表示感应电流产生的负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。磁场总是阻碍原磁场的变化。法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律就是就是电磁感应现象电磁感应现象和和愣次定律愣次定律的总结，即：的总结，即：（2 2）数学表达式）数学表达式dSBS 该闭合回路中的感应电动势为该闭合回路中的感应电动势为：dlElin闭合回路中的磁通量为：闭合回路中的磁通

33、量为：0ddddlSElBSt 可得：可得： 引起磁通变化的原因分为三类：引起磁通变化的原因分为三类：inSdddttBS 称为称为感生电动势感生电动势，这是变压器工作的原理，这是变压器工作的原理，又称为又称为变压器电势变压器电势。回路不变，磁场随回路不变，磁场随时间变化时间变化感生电动势感生电动势()inldddt V Bl 称为称为动生电动势动生电动势，这，这是发电机工作原理，又称是发电机工作原理，又称为为发电机电势。发电机电势。回路切割磁力线，磁场不变回路切割磁力线，磁场不变动生电动势动生电动势()inlSddddtt BV BlS磁场随时间变化，回路切磁场随时间变化，回路切割磁力线割磁

34、力线讨论第一种情况：讨论第一种情况：scSdBdtdl dEsSdtBsSdtBE0)（tBE 法拉第电磁感应法拉第电磁感应定律的微分形式。定律的微分形式。 法拉第电磁感应法拉第电磁感应定律的积分形式。定律的积分形式。感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场变化的磁场 是产生是产生 的涡旋源；的涡旋源；Et B实验表明：感应电动势实验表明：感应电动势 与构成回路的材与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导

35、体时，才有感应电流应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生；产生；产生电场的源有两种：电荷（散度源）和变产生电场的源有两种：电荷（散度源）和变化的磁场（漩涡源）；化的磁场（漩涡源）；静电场是时变场的特殊形式静电场是时变场的特殊形式. .例例: : 如图所示，一个矩形金属框的宽度如图所示，一个矩形金属框的宽度d d 是常数，其滑是常数，其滑动的一边以匀速动的一边以匀速v 向右移动，向右移动，求：下列情况下线框里的求：下列情况下线框里的感应电动势。感应电动势。 （1 1） 恒定均匀；（恒定均匀；（2 2） 。 B0sin()zBBt a0zBB a解：解：（1 1）已知）已知dSdBSdt in

36、000ddyvtdBSdt in其中：其中：dd dzSx ya0000000d dy()dyvtddBxB d yvtB dvdtdt in（2 2）已知）已知0sin()zBBt a000000sin(t)d dysin() ()dyvtBxtBt d yvtt in000cos() ()sin()zBt d yvt aBt dv ccsIJdsSVJ 设导体中电流密度为设导体中电流密度为 ，任意选定闭合曲面任意选定闭合曲面 ，其包，其包围体积为围体积为 ，则从闭合曲面，则从闭合曲面流出的电流为：流出的电流为： SVcJ由电荷守恒定律有：由电荷守恒定律有：0limcstqdqJdstdt

37、3.3.电流连续性方程电流连续性方程 csdqJdsdt vvdvdtdvcsvJdsdvt 电流连续性方程电流连续性方程的积分形式的积分形式vcvvJ dvdvt vcJt 电流连续性方程电流连续性方程的微分形式的微分形式该式表明：该式表明： 从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率，反之亦然。电荷的减少率，反之亦然。 4. 4.电场高斯定理电场高斯定理 若以该点电荷为中心，做一半径为若以该点电荷为中心，做一半径为R 的球面，则电的球面，则电场强度穿出该球面的通量为场强度穿出该球面的通量为2220000dsin d d4RRSqqESa

38、a RR 如果闭合曲面内包含如果闭合曲面内包含n个点电荷，则：个点电荷，则：10dniSiqES如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则：如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则： 01ddVSVESVddVSVDSV高斯定律高斯定律积分形式积分形式应用散度定理，应用散度定理， 上式式也可写成上式式也可写成 dVDdVVVV因此，因此， 有有0VE 或或VD高斯定律高斯定律微分形式微分形式所以计算时首先要分析给定场分布的对所以计算时首先要分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。称性，判断能否用高斯定律求解。高斯定律适用于任何情况，但只有具有高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定一定对称性的场对

39、称性的场才能得到解析解。才能得到解析解。关键是高斯面的选取关键是高斯面的选取场点位于高斯面上；场点位于高斯面上；高斯面为闭合曲面；高斯面为闭合曲面；在高斯面上，场强的大小处处相等在高斯面上，场强的大小处处相等在高斯面上，场强的方向与高斯面元的在高斯面上，场强的方向与高斯面元的方向相同或相反。方向相同或相反。三、麦克斯韦方程组三、麦克斯韦方程组1.1.形式形式 Cd() dlSDHlJStddlSBElSt ddVSVDSVd0SBSCDHJtBEt VD0B2.2.意义意义 u方程组的积分形式表示任意闭合曲线及其所围方程组的积分形式表示任意闭合曲线及其所围成的面积或任意闭合曲面所包围的体积内场

40、与场成的面积或任意闭合曲面所包围的体积内场与场源的时空变化关系，考虑的是整体效应；源的时空变化关系，考虑的是整体效应；u方程组的微分形式表示某点处场与场源的时空方程组的微分形式表示某点处场与场源的时空变化关系，它只适用于媒质的物理特性不发生突变化关系，它只适用于媒质的物理特性不发生突变的点。积分和微分形式所表示的场与场源的关变的点。积分和微分形式所表示的场与场源的关系是一致的；系是一致的；u方程组的两个旋度方程是表示电场与磁场相互方程组的两个旋度方程是表示电场与磁场相互作用的方程。而两个散度方程表示电场和磁场各作用的方程。而两个散度方程表示电场和磁场各自的性质；自的性质；u麦克斯韦方程组揭示内

41、在矛盾和运动。即：不麦克斯韦方程组揭示内在矛盾和运动。即：不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场可以互相激发，从而形成电磁波；和磁场可以互相激发，从而形成电磁波；u尽管麦克斯韦方程组在电磁理论中占有极其重尽管麦克斯韦方程组在电磁理论中占有极其重要的地位，而且现在已经知道在高速运动的领域，要的地位，而且现在已经知道在高速运动的领域，该方程也是正确的。但在更进一步研究电场现象该方程也是正确的。但在更进一步研究电场现象时，仅仅依靠麦克斯韦方程组还是不够的；时，仅仅依靠麦克斯韦方程组还是不够的；u方程组是在基本实验定律的基础上经过推广建方程组是在基

42、本实验定律的基础上经过推广建立起来的，这种推广在最初只是一种假定，其正立起来的，这种推广在最初只是一种假定，其正确性要靠实践来检验。赫兹发现电磁波的实验及确性要靠实践来检验。赫兹发现电磁波的实验及近代无线电技术的广泛应用完全证明了其正确性。近代无线电技术的广泛应用完全证明了其正确性。 “这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上一个重要的事这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上一个重要的事情，这是关于场定律的定量的描述。方程中所包含的内容比我情，这是关于场定律的定量的描述。方程中所包含的内容比我们所指出的要丰富得多。在它们简单的形式下隐藏着深奥的内们所指出的要丰富得多。在它们简单的形式下隐藏着深奥

43、的内容。这些内容只有靠仔细的研究才能显示出来。它是描述场的容。这些内容只有靠仔细的研究才能显示出来。它是描述场的结构的定律，它不像牛顿定律那样把此处发生的事件与彼处的结构的定律，它不像牛顿定律那样把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是此处此刻的场只与最近的刚过去的场发生条件联系起来，而是此处此刻的场只与最近的刚过去的场发生关系。假使我们知道此处此刻所发生的事件，这些方程便可帮关系。假使我们知道此处此刻所发生的事件，这些方程便可帮助我们预测在空间上稍远一些，在时间上稍迟一些将会发生什助我们预测在空间上稍远一些，在时间上稍迟一些将会发生什么。么。” 麦克斯韦方程组包含着丰富的内容和深刻麦克斯韦

44、方程组包含着丰富的内容和深刻的含义。伟大的物理学家爱因斯坦曾这样评价的含义。伟大的物理学家爱因斯坦曾这样评价麦克斯韦方程：麦克斯韦方程：3.3.推广推广 （1 1）无源理想媒质）无源理想媒质0,0cJddlSBElSt d0SDSd0SBSddlSDHlSt0DHtBEt VD0B（2 2）无源导电媒质）无源导电媒质0,0cJddlSBElSt d0SDSd0SBSd() dclSDHlJSt0cDHJtBEt VD0B（3 3）复数形式的麦克斯韦方程组）复数形式的麦克斯韦方程组对时谐场的分析研究有着非常重要的意义。对时谐场的分析研究有着非常重要的意义。既满足时变场的基本规律，又不同于一既满足

45、时变场的基本规律，又不同于一般的复杂时变场；般的复杂时变场；随时间做任意变化的函数可以通过傅立随时间做任意变化的函数可以通过傅立叶变换将其展开成正弦分量的叠加叶变换将其展开成正弦分量的叠加 所以分析时谐场是分析所有时变电磁场问题所以分析时谐场是分析所有时变电磁场问题的基础。的基础。时谐场：时谐场：场源和场矢量的各个坐标分随时间做场源和场矢量的各个坐标分随时间做 简谐变化。简谐变化。时谐电磁场的相量表示法时谐电磁场的相量表示法 时谐电磁场的复数形式与正弦稳态电路中时谐电磁场的复数形式与正弦稳态电路中的相量法类同。以电场强度为例进行分析：的相量法类同。以电场强度为例进行分析：),(),(),(),

46、(tzyxEatzyxEatzyxEatzyxEzzyyxx 式中，电场强度各分量为：式中，电场强度各分量为：),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzzmzyymyxxmx 以上方法称之为电磁场的以上方法称之为电磁场的瞬时值表示法。瞬时值表示法。),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxExxmxRe)(xtjxmeERetjjxmeeExRetjxmxeEE同理：同理：RetjymyeEE即：即：RetjzmzeEE式中：式中：zyxjzmzmjymymjxmxmeEEeEE

47、eEE,称之为时谐电场各坐标分量的称之为时谐电场各坐标分量的复振幅。复振幅。所以：所以：zzyyxxEaEaEaERetjymyeEaRetjxmxeEaRetjzmzeEaRetjzmzymyxmxeEaEaEa）（RetjmeE式中：式中：jzmzymyxmxmeEEaEaEaE0称之为时谐电场电场强度的称之为时谐电场电场强度的复振幅矢量或复振幅矢量或电场强电场强度的度的复数表示。复数表示。其余场量也有类似表示。其余场量也有类似表示。与时间无关与时间无关时谐场对时间求导：时谐场对时间求导：RetjmeEttERetjmeEtRetjmeEj22tERe2tjmeE结论：结论：时谐场对其瞬时值关于时间求导的运算，时谐场对其瞬时值关于时间求导的运算，对应与复数值就相当