数学分析讲义

1、= limx1+12112练习题6.31.将下面函数在指定点展成泰勒公式(到n=6)： 1)f(x) sin x,在x ; 2)f(x) 3：在* a;43) f (x)x5 x2 2x 1,在x1； 4) f (x) Jx,在 x 1.2 .将下列函数展成麦克劳林公式(到指定的次数) 1)mam x(a 0),到x2项；2)e2x x，到x5项;3 ) xx ，到x4项;4)tanx,到 x5项e 13 .证明：若函数f (x)在0的邻域是偶函数(奇函数)，且f(x)在0存在各阶导数，则 f (x)的麦克劳林公式只含有 x的偶数次幕的项.4 .应用泰勒公式近似计算下列各数，并估算误差:1)3

2、0 ；2)而；3)In1.2.5 .用泰勒公式证明练习题 5.5第12题.6 .证明：若x (a,b),有f"(x)0,且任意n个数x1,x2, .xn (a, b),则有不等式Xi x2. xn 1f ( )- f ( Xi )f (X2) . f (Xn )nn提示：令Xox1 x2Xn ,将f(Xi)在X0展开：n12 .f(X) f(Xo)(X Xo)f'(Xo)-(XiXo)2f"(i),2其中 i在Xi与Xo之间(i1,2,.,n).于是,f(Xi) f(Xo)(XiXo)f'(Xo)*7 .证明:若 f(n 1)(x)在U(a)连续,a+h U

3、(a),有hn _ (n)f(a h) f (a) hf '(a) . f(n)(ah) 0< <1,n!且 f(n1)(x)0,则lim = xhn(提示：将一f (ah)写成n!If"h)hn n7hn 1(n 1)!f(n 1)(aih), 0< i <1) .8 .设P (x)是n次多项式函数.证明:i)若p(a), p'(a),p(n)(a)都是正数，则p(x)在(a, )无零点;2)若p(a), p'(a),p(n)(a)正负号相同，则p(x)在(-,a)无零点.9,证明:若函数f(x)在(a,* )二次可微，设Mk sup

4、 | f (k)(x) |x (a,)| , k 0,1,2; f (x) f(x),则M12 4M0M2(提示：(提示：x (a,), h 0,将f(x 2h)在xM成泰勒公式，移项整理，有1 nf '(x) f (x+2h) f (x) hf ( ), (x,x 2h). 2h|于是，f '(x) | hM 2 M0令h=J"，可证M 2 0).h , M 2练习题6.4导数在研究函数上的应用一、 函数的单调性中学数学用代数方法讨论了一些函数的性态：如单调性、极值性、奇偶性、周期性等由于受方法的限制，讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐，也不易掌握其规律导数和微分学

5、基本定理为我们深刻、全面地研究函数的性态提供了有力的数学工具设曲线y=f(x)其上每一点都存在切线若切线与x轴正方向的夹角都是锐角，即切线的斜率(x)>0,则曲线y=f(x)必是严格增加，如图 6.5;若切线与x轴正方向的夹角是钝角，即切线的斜率f(x)<0,则曲线y=/(x)必是严格减少，如图6.6由此可见应用导数的符号能够判 别函数的单调性.有下面的定理：图6.5图6.6定理1设函数f(x)在区间I可导.函数f(x)在区间I单调增加(单调减少)x I ,有f '(x)0)证明只给出单调增加情况的证明，同法可证单调减少情况.必要性()x I,取xx I ( x 0)(若x

6、 x是区间I的端点，则只讨论 x 0或 x 0).已知函数f(x)在区间I单调增加，当 x 0时,有f(x) f (x x)或 f(x x) f (x) 0;x 0时，有当 f(x x)“乂)或£(乂x) f (x) 0.f (x x) f(x)从而，-0.x已知函数f(x)在x可导，根据2.4定理3的推论1, x I ,有、f (x x) f (x) cf'(x) = lim - 0xx充分性()xi,x2I ,且K x2.函数f(x)在区间xi,x2满足微分中值定理的条件，有f(x2) f(xi)f '( )(x2 xi),x 1x2.已知 f'( ) 0

7、,x2 xi 0,有f(x2)f(x1)0 或 f(x1) f (x2),即函数f(x)在区间I单调增加定理2(严格单调的充分条件)若函数f(x)在区间I时可导，有 x I ,有f '(x)0( f '(x)0),则函数f(x)在区间I严格增加(严格减少).证明只给出严格增加情况的证明，同法可证严格减少情况.xi,x2I,且xix2,函数f(x)在xi,x2满足微积分中值定理的条件，有f(x2)f (xi) f '( )(x2xi),xix2.已知 f'( ) 0,x2 xi0,有f(x2)f(x) 0 或 f(x) f(x2),即函数f(x)在区间/严格增加.

8、定理2只是函数严格单调的充分条件而不是必要条件，事实上，可以证明，x I ,f'(x)0,(f'(x),而在区间I的任意子区间上f'(x)0 函数f(x)在区间I严格增加 严格减少),明从略，例如，函数f(x)=x 3. x R,- 2一f '(x)3x0,而使f(x)=3x 2=0的点是孤立的点，于是，函数f(x)=x3在R严格增加如图6.7根据定理2,讨论可导函数f(x)的严格单调区间可按下列步骤进行 ：i)确定函数f(x)的定义域；2)求导函数f(x)的零点(或方程f '(x)0的根);3)用零点将定义域分成若干开区间；4)判别导函数f '

9、 (x)在每个开区间的符号，根据定理2,判定函数f(x)的严格增加或严格减少 例1讨论函数f(x)=x3-6x2+9x-2的严格单调性.解函数f(x)的定义域是R.f(x) =3x 2-12x+9=3 (x-1) ( x-3)令f(x)=0,其根是1与3,它们将R分成三个区间：(-1) , (1,3)，(3,+ ).因为导函数f '(x)在每个区间上的符号不变，所以f '(x)在区间某一点的符号就是导函数f'(x)在该区间上的符号.例,1)是正号，不难判别如.0(- ,1),而f'(0) =9 0,即导函数f '(x)在区间(-f'(x)0,x

10、(,1)或(3,+ ),0,x (1,3).(-,0)(0,+ )f,(x)+f(x)Z由定理2,函数f (x：庵(-,1)与(3,+)严格增加；在(1,3)严格减少.作表如下：其中符号 Z ”表示严格增加，""表示严格减少.x2例2讨论函数f(x) e 的严格单调性.解函数f (x)的定义域是R.f ,(x)x22xex令f '(x)2xex =0,其根是0,它将定义域R分成两个区间(-,0)与(0,+ )作表如下:(-,0)(0,+ )f,(x)+f(x)Z例3讨论函数f(x)= sin x+x的严格单调性解函数f(x)的定义域是R.f '(x) cos

11、x 1令f'(x) cosx 1=0，其根是(2k+1) ,k z,它们将R分成无限个区间(2k-1) m, (2k+1), k Z.x R, x R,f'(x)0.而使f'(x) =0的点(2k+i) ,k z,都是r中孤立的点.因此函数f (x) sin x x在r也是严格增加.作表如下：.(-5 ,-3 )(-3 ,-)(-,)(,3 )(3 ,5 ).f'(x).+.f(x).ZZZZZ.二、函数的极值与最值$6.1给出了函数极值的概念.怎样求可导函数的极值或极值点呢？6.1费马定理指出若函数在x0可导，且x0是函数f '(x)的极值点，则f &

12、#39;(x)0，即可导函数f (x)的极值点x0必是方程f '(x) 0 的根.定义可导函数f(x)的方程广f' (x)=的根x0( f'(x)0)，称为函数f (x)的稳定点.费马定理给出了寻找可导函数极值点的范围，即函数f(x)的极值点必在函数f(x)的稳定点集合之中，反之,不成立，即稳定点不一定是极值点，例如，在R的可导函数f '(x) x3,由方程3x的极值点，见图6.7.2f '(x) 3x 0，解得唯一稳定点x=0.显然,x =0不是可导函数f(x)那么，什么样的稳定点才是极值点呢？有下面两个充分性的判别法定理3(第一判别法)若函数(x)在

13、U(a)可导，且f' (a)=,0，有f'(x)0( 0), x (a,a),0( 0), x (a,a ).则a是函数f(x)的极大点(极小点),f(a)是极大值(极小值).证明只给出极大点情况的证明，同法可证极小点情况.已知a是函数f(x)的稳定点(函数/(x)在a连续)，且 x (a ,a),有f' (x)队而函数f(x)在a ,a严格增加，即x a ,a，有f(x) f(a).x (a, a+ )，有f '(x) 0,从而函数f(x)在a,a+严格减少，即x a, a+ )，有f(x) f(a)于是,0,有f(x) <f (a),即a是函数/(x)

14、的极大点,f(a)是大值.第一判别法指出：导函数f'(x)在稳定点a的两侧有不同的符号内必是函数的极值点显然导函数f"(x)在稳定点a的两侧有相同的符号,a不是函数的极值列表如下：(a , a)a(a,a )(a ,a)a(a,a )f' (x)+0-f '(x)+0-f(x)Z极大点f(x)极小点Z定理4(第二判别法)若函数/(x)在a存在n阶导数，且f'(a)f'(a) f "(a) . f(n1)(a) 0, f(n)(a) 0,1)n是奇数，则a不是函数f(x)的极值点.2)n是偶数，则a是函数f (x)的极值点：当f(n)

15、(a) 0时,a是函数f (x)极小点，f(a)是极小值；已知函数f(x)的高阶导数的性质讨论函当f(n)(a) 0时,a是函数f(x)极大点，f (a)是极大值证法连接函数及其高阶导数的桥梁是泰勒公式，因此,数f(x)的性质要应用泰勒公式.U(a),有证明 将函数/(x)在a展开带有佩亚诺余项的泰勒公式f(x) f斗a)(x(n) f a xn!有已知条件(a又是函数f的稳定点)f (n) a a一 x n!因为(1)式等号右端第二项o xa n是比xa n高阶无穷小x a ,所以当x充分靠近a时，即>0, x a ,a , (1)式等号右端的符号由第一项的符号决士7E.1) n 是奇

16、数.x a ,a，有 x a n<0 ； x a,a ，有 x a n>0,即在 a(n)f a n的左右侧， x a 变号，也就是f x f a 变号.于是，a不是函数f xn!的极值点.2) n 是偶数.x a ,a ，有 x a n>0,r (n)当 f a <0时，x a ,a ，有(n) fann 一f x f a x a oxa >0,n!即a是函数f x的极小点，f a是极小值。判别函数的极值，若函数存在高阶导数，应用第二判别法比较简便。通常是用它的特殊 情况：若f x在a存在二阶导数，且 fa 0, f a 0 (n 2,是偶数)。1)当f a &

17、gt;0时，则a是极小点，2)当f a <0时，则a是极大点。例4求函数f x x 3 x 5 2的极值。有2232解 f x 3x x 5 2x x 5 5x x 3 x 5令f x 0,解得三个稳定点：0,3,5.应用第一判别法。函数 f x的定义域是R稳定点将定义域R分成四个区间：-,0 , 0,3 3,5 , 5,+.判别导函数f x在四个区间上的符号，列表如下：-,000,333,555, +f x+0+0一0+f xZ不是极值占八、Z极大点极小点Z0不是函数f x的极值点；3是函数f x的极大点，极大值是 f 3108 ; 5是函数f x的极小点，极小值是 f 50。应用第二

18、判别法求函数f x的二阶导数f x 10x 2x2 12x 15二阶导函数 f x 的三个稳定点 0 ， 3 ， 5 的值分别是f 00， f 390X 0, f 5250> 0。3 是函数 f x 的极大点，极大值是f 3108 ， 5 是函数 f x 的极小点，极小值0 ，在稳定点 0 暂不确定。求函数f x 的三阶导数三阶导函数 f x 在稳定点 0 的值： f 0150 0 。 于是， 稳定点 0 不是函数 f x的极值点。例 5 讨论函数 f x2cos x ex e x 的极值。解 f xex e x 2sin x 。令 f x =0 ,解得一个稳定点0xxf x e e 2

19、cos x ， f 00 。f x ex e x +2sin x ， f 00。f xex ex 2cosx , f (4) 04>0。0 是函数 f x 的极小点，极小值是f 04 。函数 f x 在区间 I 的最小值和最大值统称为最值。生产实践和科学实验所遇到的“最好 ” ， “最省” ， “最大 ” ， “最小 ”等问题都可以归纳为数学的最值问题。设函数 f x 在闭区间 a, b 连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f x 必在闭区 间a,b的某点x0取到最小值（最大值）。一方面，x0可能是闭区间 a,b的端点a或b；另一方面x0可能是开区间 a,b内部的点，此时x0必是极小点（

20、极大点）。因此，若函数f x在闭区间a, b连续，在开区间a,b可导，且x1, x2, ，xn是函数f x在开区间a,b内的所有稳定点，则函数值（ n+2 个数）fa,fx1,fx2, f xn , f b中最小者就是函数f x 的最小值，最大者就是函数 fx 的最大值。由此可见，可导函数的最值就归结为求可导函数在稳定点及区间端点函数值中的最值。下面给出几个最值的应用问题。例6设有一长8cm,宽5cm的矩形铁片，如图 6., 8在每个角上剪去同样大小的正方 形。问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做开口盒子的容积为最大。D不难证明，函数f x在R连续、严格增加，且lim f xx +

21、则方程f x =0只有唯一一个根。解 设剪去的正方形的边长为 x cm.于是做成开口盒子的容积 V x是x的函数，即V x x 5 2x 8 2x ,.一55 ，一其中0 x ,问题归结于可导函数 V x在0,的最大值。22令V x 0。解得稳定点1与10。3其中10不在30,5之中，去掉。只有一个稳定点21。比较三个数V 00, V 1 =18, V0。V 1 =18最大。于是，剪去的正方形的边长为1 cm时，作成开口盒子的容积最大，最大容积是18cm3。例7电灯A可在桌面点。的垂直线上移动，如图6.9.在桌面上有一点距点 。的距离为 a。问电灯 A与点O的距离多远，可使点 B处有最大的照度

22、？解设AO x, AB r。 OBA。由光学知，点B处的照度J与sin 成正比，与r2成反比，即其中c是与灯光强度有关的常数，由图sinsinJ =c-2r6.9 知，x于是, xJ xc3r0 x< + 。较三数2, aJ x c2x2x25" ° a2立x 0 ,解得稳定点-吃与吃，其中稳定点 2.2a2不在0,+中，去掉。比就是函数J x2c J 03.3a2，在0,十 的最大值,有最大的照度，最大的照度是J a20, J x即当电灯A与点。的距离为时，点B处.22c_3 < 3a2在求最值的某些应用问题中，根据问题的实际意义，能够判定它必能取到最小（大）

23、值,而从实际问题抽象出来的可导函数f x在区间I内又只有一个稳定点。这时就可断定，函数f x在此稳定点必取最小（大）值。例8从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形 （如图6.10）,将剩余部分围成一个圆锥形漏 斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？解设剪后剩余部分的圆心角是 x 0 x 2,这时圆锥形漏斗的母线长为R ,圆锥底的周长是Rx （弧长等于半径乘圆心角）。设圆锥的底半径是一 Rx则r 。圆锥的高是2圆锥的底面积于是，圆锥形漏斗的容积、R2-r2R2-2Rx2Rx23丁2、4 2R324x2 4 2 x2R3设A二,有24V x Ax2 4 2 x2求函数V x在0,2 的最大值。去掉。而V 00,解得三个稳定点0-23取最大值。于Ax34=2=8 2x 3