2012高考新课标数学考点总动员 总一套

1、1.专题综述函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对2011年新课标卷的各省高考题的研究发现，本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。高考常命制两道小题，一道基础题目，出现在前5道题目中，常考查基本函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的小题出现，常与方

2、程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。2考纲解读（1）了解简单的分段函数并能简单应用；（2）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，结合具体函数了解奇偶性的含义；（3）理解指数（对数）函数的概念，理解指数（对数）函数的单调性，掌握指数（对数）函数图像经过的特殊点；结合常见的幂函数图像解决简单问题；掌握二次函数的三个表达形式，能够数形结合分析二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。（4）会应用函数图像理解和研究函数的性质；（5）根据具体函数的图像，能够运用二分法求相应方程的近似解；（6）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。3 .2012年高考命题趋向（

3、1）以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查学生能否灵活运用分类讨论思想的解题能力。（2）以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只有仔细审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.（3）与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要考查知识的综合运用和能力发展为目的.（4）函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常以新面孔出现，在基

4、本的初等函数图象熟练地掌握基础上，加以变换考查新函数的图象、性质等.（5）利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合思想研究方程根的分布问题，是高考的热点和难点，常作为压轴的选择题的形式出现。（6）函数的零点，二分法是新增内容，在高考中以选择题、填空题的形式考查的可能性较大。对于用二分法求方程的近似解应引起重视，由于步骤的可重复性，故可与程序框图相机合编写部分题目，这也是算法思想的的具体体现。解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解4高频考点解读考点一 分段函数求值问题【例1

5、】2011福建卷 已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3【答案】A【解析】 由已知，得f(1)2；又当x0时，f(x)2x1，而f(a)f(1)0，f(a)2，且a0，a12，解得a3，故选A.【例2】2011陕西卷 设f(x)则f(f(2)_.【答案】2【解析】 f(x)20，f(102)lg1022.【解题技巧点睛】求f(g(x)类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.考点二 函数性质的基本应用【例3】2011课标全国卷 下列函数中，既是偶函数

6、又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|【答案】B【解析】 A选项中，函数yx3是奇函数；B选项中，y1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，yx21是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y2|x|x|是偶函数，但在上是减函数故选B.【例4】2011辽宁卷 若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C.D1【答案】A【解析】 法一：由已知得f(x)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a，故选A.法二：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，又f(x)，则,因函数的定义域内恒成立，可得a.【例5】【2011新课标全国】函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐

7、标之和等于( )A2B4 C6D8【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.考点三 基本函数的性质与图像【例6】2011天津卷已知则( ) A B C D【答案】C【解析】

8、根据对数函数的运算性质可知：再由指数函数为单调递增函数，因为，且，所以【例7】2011天津卷对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2B(，2C.D.【答案】B【解析】本题考查二次函数的性质和图像。f(x)则f的图象如图：yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c.考点四 函数图像的应用【例8】2011陕西卷 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像可能是()【答案】B【解析】 由f(x)

9、f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x2)f(x)，可知函数为周期函数，且T2，必满足f(4)f(2)，排除D，故只能选B.【例9】 2011课标全国卷 已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图像与函数y|lgx|的图像的交点共有()A10个 B9个 C8个 D1个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择【解题技巧点睛】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题

10、在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。考点五 与方程根的相关问题【例10】【2011陕西】设,一元二次方程有整数根的充要条件是=【答案】 3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根【例11】2011北京卷 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】单调递减且值域为(0,

11、1，单调递增且值域为，函数f(x)的图象如图所示，故有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）考点六 函数零点问题【例12】2011课标全国卷 在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C.D.【答案】C【解析】 因为fe20，所以ff0，又因为函数yex是单调增函数，y4x3也是单调增函数，所以函数f(x)ex4x3是单调增函数，所以函数f(x)ex4x3的零点在内【例13】2011山东卷已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.【答案】2【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的

12、应用因为2a3，所以loga21logaaloga3，因为3b1loga2，b31loga3，所以f(2)f(3)(loga22b)(loga33b)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)【答案】C【解析】 方法一：令f(x)2x20，又f(x)的定义域为x|x0，(x2)(x1)0(x0)，解得x2.故选C.方法二：令f(x)2x20，由函数的定义域可排除B、D，取x1代入验证，可排除A，故选C.例4 2011辽宁卷 函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)【答案】B

13、【解析】 设G(x)f(x)2x4，所以G(x)f(x)2，由于对任意xR，f(x)2，所以G(x)f(x)20恒成立，所以G(x)f(x)2x4是R上的增函数，又由于G(1)f(1)2(1)40，所以G(x)f(x)2x40，即f(x)2x4的解集为(1，)，故选B.考点三 利用导数研究函数的单调性例52011广东卷 设a0，讨论函数f(x)lnxa(1a)x22(1a)x的单调性【解答】 函数f(x)的定义域为(0，)f(x)，x20，所以f(x)在定义域内有唯一零点x1，且当0x0，f(x)在(0，x1)内为增函数；当xx1时，f(x)0，f(x)在(x1，)内为减函数f(x)的单调区间

14、如下表：0a1(0，x1)(x1，x2)(x2，)(0，)(0，x1)(x1，)(其中x1，x2)例6 2011福建卷 已知a，b为常数，且a0，函数f(x)axbaxlnx，f(e)2(e2.71828是自然对数的底数)(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a1时，是否同时存在实数m和M(m0时，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x1；当a0得0x1，由f(x)1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(3)当a1时，f(x)x2xlnx，f(x)lnx.

15、由(2)可得，当x在区间内变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，e)ef(x)0f(x)2单调递减极小值1单调递增2又20，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知01，注意到函数x2ln3x在1，)内单调递增，故1x0e.再由(3)以及函数2xlnxx在(1，)内单调递增，可得1a3e.由(2)解得，3ea3e，所以3ea3e.综上，a的取值范围3ea3e.【解题技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的

16、定义域区间进行分段，在各个段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则考点四 利用导数研究函数的最值问题例102011北京卷 已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围【解答】 (1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，

17、k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)；单调递增区间是(k，k)(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)，等价于f(k).解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是.例11 2011江西卷 设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0)，则h(x).设k0，由h(x)知，当x1时，h(x)0，而h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得h(x)0；当x(

18、1，)时，h(x)0，可得h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).设0k1，由于当x时，(k1)(x21)2x0，故h(x)0，而h(1)0，故当x时，h(x)0，可得h(x)0，从而f(x)的最大值为f，且f0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0x1x2，则0x1f(x1)0.从而x2x1，于是x0.由(1)知，f(x0)0.【解题技巧点睛】在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式

19、的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下：（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、

20、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.考点七 利用导数研究实际问题例14 2011山东卷某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求

21、容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元设该容器的建造费用为千元() 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；() 求该容器的建造费用最小时的【解答】 (1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20，当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是

22、最小值点当m2即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r.【解题技巧点睛】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；4还原到原实际问题中作答考点八 微积分的应用例15 2011福建卷 (ex2x)dx等于()A1 Be1 CeDe1【答案】C【解析】 因为F(x)e

23、xx2，且F(x)ex2x，则(ex2x)dx(exx2)|(e1)(e00)e，故选C.例162011新课标全国由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( ) A B4 C D6【答案】C【解析】如图，由 解得x4或x1.经检验x1为增根，x4，B(4,2)，又可求A(0，2)，所以阴影部分的面积S (x 2)dx .【解题技巧点睛】利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值求平面图形面积的步骤：(1)根据条件作出所求面积的区域草图；(2)通过图形直接判定(或联立方程组求出交点的横坐标)，确定积分

24、上、下限；(3)根据图形的形状用积分面积公式计算所求区域的面积.针对训练一选择题1.（2012广西柳铁一中第一次月考）已知为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】2.（2012届浏阳一中高三第一次月考）函数在下面那个区间为增函数A B. C. D. 【答案】C【解析】因为,当时,0,此时函数为增函数,故选C.3.（2012届四川自贡高三一诊）下列图像中，有且只有一个是函数的导数的图象，则的值为（ ）【答案】B【解析】由知，由的图象可得，所以.4.（银川一中2012届高三年级第四次月考）过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂

25、直的直线的方程为( ) A B C D【答案】A【解析】所求直线的斜率为又过点（0,1），故直线方程为.5.（银川一中2012届高三年级第四次月考）若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x( )A0，1B3，5 C2，3D2，4【答案】C【解析】则函数的单调递减为，2，3 ,故答案为C.6.（河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学）.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，所求封闭图形的面积。7.（2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考）如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数图象上方的点构成的区域，向D中

26、随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】 ，所以该点落入E（阴影部分）中的概率为。8.（浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考）已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为( )-1A BC D【答案】【解析】的图像如图所示，极大值；记，要使得方程有四个零点，则必有两个零点且，又常数项为1，所以，故9.（2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题）已知函数，那么下列命题中假命题是 （ ）（A）既不是奇函数也不是偶函数 （B）在上恰有一个零点（C）是周期函数 （D）在上是增函数【答案】B【解析】 不是偶函数，不是奇函数，故A为真命题；解得由正弦函数

27、图像可知在上又两个零点，故B错;故函数为周期函数，C为真命题；故D为真命题。故答案为B.二填空题10.(2011杭西高8月高三数学试题)垂直于直线，且与曲线相切的直线的方程是_.【答案】3x+y+6=0【解析】垂直于直线的切线的斜率是-3,11（2012届浏阳一中高三第一次月考）若函数，其中为实数.在区间上为减函数，且，则的取值范围【答案】【解析】因为0对恒成立,所以0对恒成立,因为,所以对恒成立,容易求得.12.（2012湖北省孝感市度高中三年级第一次统一考试）对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次

28、函数都有对称中心；且拐点就是对称中心.”请你将这一发现作为条件,求(1) 函数对称中心为_.(2分）(2) 若函数，则=_.(3分）【答案】（1,1）；2012.【解析】(1)f(x)3x26x3，f(x)6x6，令6x60得x1，f(1)1，f(x)的对称中心为(1,1)(2)令h(x)x3x23x，k(x)，h(x)x2x3，h(x)2x1，由2x10得x，h(x)的对称中心为，h(x)h(1x)2，又k(x)的对称中心为，k(x)k(1x)0，三解答题13.【河北唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试（文）】已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；

29、（2）若是单调函数，求a的取值范围。解：（）f(x)12ax由题设，f(1)2a2，a1，此时f(1)0，切线方程为y2(x1)，即2xy205分（）f(x)，令18a当a时，0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递减10分当0a时，0，方程2ax2x10有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，这时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是，)12分【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试（理）】已知函数 （1）若是单调函数，求的取值范围；（）由（）知，当且仅当a(0，)时，f(x)有极小值点x1和

30、极大值点x2，且x1x2，x1x2f(x1)f(x2)lnx1axx1lnx2axx2(lnx1lnx2)(x11)(x21)(x1x2)ln(x1x2)(x1x2)1ln(2a)19分令g(a)ln(2a)1，a(0，则当a(0，)时，g(a)0，g(a)在(0，)单调递减，所以g(a)g()32ln2，即f(x1)f(x2)32ln212分14（2012年长春市高中毕业班第一次调研测试（文）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同用表示，并求的最大值；求的极值解：（1）设与的公共点为.，由题意，.即，.（2分）得得：或（舍去）.即有.（4分）令，则.当，即时

31、，；当，即时，.故在为增函数，在为减函数.（6分）于是在上的最大值为，即的最大值为.（8分）（2），则 （9分）所以在上为减函数，在上为增函数，于是函数在时有极小值，无极大值. (12分)（2012年长春市高中毕业班第一次调研测试理）已知函数.求函数的最小值；若0对任意的恒成立，求实数a的值；在的条件下，证明：.解：（1）由题意，由得.当时, ；当时，.在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为（4分）（2）对任意的恒成立，即在上，.由（1），设，所以.由得.在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值.因此的解为，.（8分）（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均

32、有，即.令，则.（12分）15（2012届惠州市高三第二次调研考试数学试题(文科） 已知函数为奇函数，且在处取得极大值2.（1）求函数的解析式；（2）记，求函数的单调区间。解：（1）由（0）为奇函数，代入得，1分，且在取得极大值2.解得，4分（2），定义域为5分1当，即时，函数在上单调递减；7分2当，函数在上单调递减； 9分3当，令，解得，结合，得11分令，解得12分时，函数的单调递增区间为，递减区间为，13分综上，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为14分（2012届惠州市高三第二次调研考试数学试题(理科） 已知二次函数的图象经过点、与点，设函数在和处取到极值