初中数学压轴题常考20组题型汇总

1、1 .二次函数1.对于函数/=小'+3+ 2+八2 (“w。)，若存在实数'。，使成立，则称、为“不 的不动点.(1 )当“2人-2时，求/的不动点；(2 )若对于任何实数L函数"K)恒有两个相异的不动点，求实数。的取值范围；(3 )在(2)的条件下，若吁/的图象上，"两点的横坐标是函数/的不动点，且 直线J'""击是线段初的垂直平分线，求实数方的取值范围.分析：本逾考有二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力.函数与方程思想解«/(.v) »4 (A 4-1 )a + /> - 2 (“，0

2、)(1 )当".2A7时 /(a)-2xi-x-4设'为其不动点 ,即 2/-a-4 = * ,贝|)2t：_2x_4=0 . 所以VT."2 ,即人用的不动点是-L2 (2 )由x得由已知，此方程有相异二实根，所以="-4u(b-2)>。，即必7必+ &。对任意hR恒 成立.A A, <0./.16a* -32a <0/.0<n<29(3 )设，直线,2八1是线段的的垂直平分线,.-1 .忠三 学魁榜清北高中资料分享（6群）该二维码7天内（10月14日前）有效，重新进入将更新-!.、/（x） xoar 16x*-2&

3、#187;0.x + x,记你的中点跖玉，/）,由（2）知船.且当“一 5时，等号成立./> 2:c即 2（2 ）当“二小，即心2时一言，且例叨7 . 例2已知由数人力”+43 ,若对任意怎，”R且不.与，都有12广（I ）求实数”的取值范围；（n）对于给定的实数“有一个最小的负数,使得“加，。时,5*4 都成立，则当。为何值时，"3最小，并求出“3的最小值.解：（I）（华卜"19 7中"（牛）. 叼* +g+c+m； +g+c解得此时MS）取较小的根HT-粉 rjv。.W .”>0 . .实数“的取值范围为（°z）.（n）./（2"

4、;-2+：卜4 ,赧。）7,对称轴泊.（1 ）当"J ,即时0）,且.一一2±,4-2«令*+4x-2 = y ,解得' «,1口）_-2.4_2a _-2Ta）-2_此时“取较大的根，即 = -而+ 2.0<“<2 ,." = j4-2a2 "-6口+ C + 21.已知函数"满足"麟")-3("7')，其中3。，且21.(1)对于函数小).当z(-M时，/g+/(»)。，或实数m的取值范围； (2)当”(f.2)时，"-4的取值也围怡为i。)，

5、求”的取值范胤解："味动三寸7%°且E)设3味2 ,则，3。.''”八号当F0.1）时.W°八"在其卷义域上T当sd时月。，«-T-尸/3在其定义域上又八一小六之询 . 3)为奇函数(1)当“(一"时,s(iF)”n，xo: /or)*/(i>>/(3»(2)当P，时，,皿在7上T ,且值域为. R2)./q),4.0用T一六A ,例2.函数/是一岛T(“P的反函数，的图象与函数”号的图象关于 亘线,7T成轴对称图形,记仪(1 )求8)的解析式及其定义域X 2 )试问"3的图象上是否存在

6、两个不同的点A.B ,使直线AB怡好与)轴垂亘？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由. ， -、) = 1*°J +1 =10 = J_-/(x) = lg(-1 <x<I)解：(1)1014-1j+1i+y l+y/.1+xg的图象与，4-3xF的图象关于直线XT4 3”3 2千.取)川的图象与的图象关于直线对称3-lr即：以制讨是/二二7的反函数 V-> -3-2ay+3x+31“声")+1,不 .(2 )假设在”x)的图象上存在不同的两点A、B使得/ 一，轴，即女”使得方程电公+士"有两不等实根72设'=777=一 十二7

7、,则/在(-1,1)上1且，>。I-/1，+1./!/ ., A3"府使得方程有两不等正根. + 1 ,2lg/«c(c-1) +73/>3设-)7，) , >«(c-l)+由函数图象可知：3 ,方程系仅有唯一正根.不存在点A、B符合题3.设“e#且为自然对数的底数，由数f ( x)=(1 )求证：当，时，小对一切非负实数X恒成立；(2时于(0 ,1)内的任意常数a，是否存在与a有关的正常数与，使得"e以小) 成立？如果存在，求出一个符合条件的、；否则说明理由.分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知 识

8、分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法解：(1)当Ze,令 2ce1.xNO ")>O.=，仆谁(0.x)上单调递增，*»之河0),1=，(幻4式不，(4) > 鼠%)=gx：T v0(2)2 e (1),、a x+1 ./(x) = 1 -1需求一个X。，使(1 )成立，只要求出 2 e的最小值，满足。vdv tx) = x(a -In a).在(-lna+8)上 1 ,1n=与1n) + 优-1na + DT_na!n:a*a(bid + l)-I<Oi!Ea(OJ) ,. 一只需证明2内成立即可，令山)、E% + «l&quo

9、t;D7nMM 颖%)>。= *)为噌函数=*) <Z),O = Tn'a + a(-lnu + l)-l <0.,(小)1° ,故存在与a有关的正常数使(1)成立。3 .创新型函数1.在R上定义运算助叫+起(b、C为实常数).记<(，)=丁-"，/i(Z)«Z-2令/(N)=川Z)®/(力（I ）如果出数人七在处有极值V,试确定b、c的值；（n）求曲线上斜率为C的切线与该曲线的公共点；（in）记）.（w（TWE）的最大值为”.若以“对任意的b、C恒成立，试示，的 最大值.解. .，(x)"(x)®/：

10、(x) = T(/-3c)(x-W+4% = -¥+Wy r(M = 4+2AA+c(I )由外外在aI处有极值，可得广(1) = _ +公+ e = 0)46=1 传=】刖=丁""3."解得1一1或Z 若i-,则/伺I+Z-（.f 0 ,此时/（X）没有极值；若，-L ”3 ,则，（*）一如”（工-1）（3）.当 '变化时，、厂的变化情况如下表：X(-<0i-3)T(T 1)1(148)八回一0+0/(*)单调递减极小值-12单调递增极大值T单调递减.当E是，/有极大值力，故"T "3即为所求。（口 ）设曲线尸在&qu

11、ot;=，处的切线的斜率为。，/（x） = -M.2A¥+c , 一".+cc , gpr-2A/»Oo 解得，.0或32若SO ,则。）7，得切点为（。,），切线方程为yy +红.若s ,贝小吟+猛,得切点为伍沁叼，切线方程为+¥'.若 次 g+A.c+AoP一城.0 解得、=&=0,0 =%，则此时切线，y v与曲线1巾）的公共点为（°&）,0但）.14+ o / -W 7b' «0(2)若 33，此时切线与曲线的公共点为产丁”(心)综合可知当“。时斜率为c的切线与曲线，=/3有且只有一个公共点(&

12、#176;°)当段。、 斜率为C的切线与曲线 > =八")有两个不同的公共点，分别为(°，)和(31矽或(吗V+叼卜W(in)g(x)W(”+(xY+6、d(1)当卜6时，函数八八力的对称轴ri位于区间IT内外，八X)在【一川上的最值在两端 点处取得，故M应是“T)和V中较大的一个。.2“Ng(l)+g(-l)=r+»+d+|-l-28+d之网>4 , Hp.-.A/>2当山时函知=八X)得对称轴X=b位于区间I-W之内此时 “ -maxg(-lXg(lXg(A)由 r(D-r(-»)=4 皮 加。)-八 ±1)=e

13、 m 产 no若-I4 54Q 则 F(D<F(-D<F(b).，g(-D4maxg(-1Xg。)丫=皿、|八一叫,/(可 2彳(|/0肛|/'(帅之削八i)Hrs»)S-» 十是222若O"S1.则“Snmxg(T)«(0»".mau|八T)|.|rs)|J 2:(|八一中|八帅2为广)卜|八帅心！ 于是2222综上，对任意的b、c都有"弓而当=°小时，"加卜臼在区间口上的最大值”一I故42人对任意的b,(:恒成立的k的最大值为5 ox+ -/=j u> 0例2 .设函数阳，5

14、小，其中同表示不超过x的最大整数，如|2bZ|j = 0.|U|»l/(2)(I)求2)的值；(卬若在区间上存在x,使得，3%成立,求实数k的取值范回(叫求函数的值域. 3 2解：(1)因为耻所以“朝呜中"，2(U)因为2=<3,所以13“5=°,则心) -*7求导得3,当2 时,显然有人*)“，所以在区间上递墙 即可得小)在区间I")上的值域为£9,在区间B)上存在X,使得"*母成立所以尾(IE)由于，)的表达式关于x与一对称，且乂、0,不妨设01.当 X=1 时5=1,则'"I；当 X>1 时，设 x

15、=n+,nwN*,(Ea<l.则X)=n,，所以小卜/="？",设. U) I 0. X .X83在L+X)上是增函数，又 1/(*) 当小2时，用 + ''GM")当 mg)时一。；/：故 x，(LE 时,/3 的值域为口 Ul2u.uinu.川 I) 2), 当 n>2 时,a2= a3< a4<.< an<.又 bn 单调递减,b2> b3>.> bn>. /. a2,b2A 313,14 工 InHUl2U.UlnU.=IlUl2= Lt.综上所述,/")的值域为；u *

16、 <例3.我们用山和区,.力分别表示实数中的最小者和最 大者.(1 ) 设/(x) inin simx.cosx)X(x) nnxsin x. wsx门巾2封,函数，的值域为/ ,函数尔)的值域为B ,求匐8 ；(2 )提出下面的问题：设% 。为实数，门人，求困数 /(1)1% x-x11Mr-xj7)的最小值或最大值.为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则I 先解决两个特例：求函数+3 Z|一|“|和水)八+ 7 .一 2的最值。 得出的结论是：【/匕=而相/(-2MH"(1),且/无最大值；2底"四以2),且式X)无最小值.请选择两个学生得出的结论中的一个， 说明其

17、成立的理由；(3 )试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明(如果结论 是分类的，请选择一种情况加以证明).解：(1)8-0 AfB» 一乌店 2 2(2 )若选择学生甲的结论，则说明如下,-3x-6, kM-2"於 5r+4. -1<x<13x + 6 .-I ,于是/在区间(F-2)上是减函数，在1-2T上是减函数在1-川上是增函数，在U")上是增函数，所以函数/的最小值是nuM/(-2L/(f/(1) 且函数/没有最大值.若选择学生乙的结论，则说明如下，X-I . Xi-13x + l -1 <x<l或“)-5m +

18、9.1 vxM2,x>2 ,于是小)在区间(-T上是增函数，在卜川上是增函数,在同上是减函数，在12")上是减函数.所以函数仆)的最大值是心尔'加尔加 且函数没有最小值.(3)结论：若4 +“；+”,>0 则/(X). - min/(.vj/(.r,>、/(占):若4 + “： + + / > 0 则 1/(、)- - max /(.V, X /( r. X /3)；若%+%+6=0 则 LA*). = inin /(a; X /(r. X )【/(x)L 产 Z(x,X/(XjX )以第一个结论为例证明如下： 4+%.,+4)0 , 当(-«

19、;.7)时，/(/) =%+。)-(。£+%三一+4工)，是瀛函敬，当xeHo)时 /(© = (4+%+ +",*-(.$汽+。户,)是增函数当时，函数，住)的图像是以点(.“(七)，(,/6)，人/)为端点的一系 列互相连接的折线所组成，所以有/(ML. = min/(.v, X f(xz 工 J(x,)4 .抽象函数1.设f(x)是定义在R上的偶困数 具图象关于直线x=l对称 对任怠X1、X2£O,5 J 都有 f(xl+x2)=f(xl)f(x2),B, f(l)=a>0.(1)求f(；)、/彳证明询是周期函数：记正地十同求呼")

20、.解：(1)因为对 xl,x2G 0J ，都有 f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),所以 f(x)二吟克吗“ o,xe 0,1 £ 11 £2£111 £1又因为 f(l)=f(2+2)=f(2).f(2)= f(2) 2 , f(2)= f(7 + 7) = f(7).f(7)= f( 4 )2又 f(l)=a>0.f(2)=a3f(，)=a，证明：依题意设尸fa)关于直线x=l对称，故收)=f(l + l-x),即f(x)=f(2 -x),x GR.又由 f(x)是偶函数知 f( -x)=f(x),xGR/.f( - x)=f(2 x),

21、xGR.将上式中X以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的 一个周期.解：(3)由(1)知 f(X)NO,xW 0,1!- -L J. -L ±±±±±= f(2n) f(2n).f(2w)= f(2n) =a L . .f( 2)= a 九.又f(x)的一个周期是2.f(2n+/)=fA),因此 an=a W0""扑例2.定义在R上的因数f(x)满足：对任意实数m , n ,总有“+用”小)小)，且当 x>0 时,0<f(x)<l.(1)判断f(x)的单调性；(2)设/

22、=(*川力/夕)>殁)，6=(3刈/3-"度)=,若A33为交集,试确定a的取值范围.解1 应/中，令Eb "0彳导/(0),因为/(D0，所以°”二. f(2)=f(n- 2w)=f(2n+(n -1) 2i>)=f(2«)f(n -1)加)在，(k +冷= /(k) /(力)中 令m -小因为当 Q。时，,所以当 x。时 r>a 0</(r)<1 而，/G)/(0)】，所以*=无万又当X=0时，。)=1>。，所以，综上可知，对于任意,均有“)>°。设-8 <勒 <X2 <400 ,

23、则必一毛 >0. 0</(Ia-X|)<l所以/(M)=刀为 +(3 X。 = /Ui) /(xj-X/Cxi)所以*)在R上为减函数。(2 )由于因数y=f(x)5 R上为减函数，所以"X')即有xW <l ,又/3-尸/7 一八。)，根据函数的单调性,有"-"打=。由aub“，所以直线+应=。与圆面<】无公共点.因此有 e ,解得 -n.不等式1 .已知函数/=c -小IWK(I )若小。，试确定函数人力的单调区间；(n)若人>。,且对于任意cr，牌>°恒成立，试确定实数人的取值范围；.(m)设函数&

24、quot;3,八八,求证：，尸尸(”»(广、2取”，).分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用 导数研究函数性质的方法，考杳分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考 有分析问题、解决问题的能力。解：(I )由* = e得八刈“'-3 ,所以八").由八小。得田，故心)的单调递增区间是(L+0， 由八X)。得、<】，故心)的单调递减区间是(fl). (n)由巾川巾可知”牌是偶函数.于是“中任意xeR成立等价于八力。对任意成立.由八xAdT“得 xlnA当%（0用时，r（v）.e'-A>l-X 0（x>0）

25、 .此时在曲+ 8）上单调递增 故/（上）2/（。） = 1>。，符合题意.当r（L+8）时，lnA >0 .当X变化时八。/的变化情况如下表：X(O.hi A)一单调递减In A(lnA.±oo)0极小值单调递增由此可得,在10+8）上，"“一川n J依题意，八人">。，又4>L.l"<c .综合，到导，实数人的取值范围是。<c .（m ） /（x） = /（x）+/（TAe底，,”（与W（2）= +e «E+dc -"E+e i' + 2>e'"T29“户（心d2

26、E（2尸”卜广,c+F（/r） F（卜）'2由此得 由尸。尸尸二仍（川（2/5-1）/（/卜（e、2户 故卜(1尸(2)尸(。>(广+2)2. neV2 .设，对任意实数J记 （I ）求函数的单调区间；（口）求证：（i ）当 >。时，"刈士/对任 意正实数，成立；（ii ）有且仅有一个正实数，使得&"）"，（艰对于任意正实数，成立。分析：本题主要考直困数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以 及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归（转化）思想方法由/ = 丁-4 = 0 ,得x=±2 .因为当*ey

27、-2)时，/>0 ,当工4-22）时,yo ,当工w（z+8）时,yo ,故所求函数的单调递增区间是（Y,-2）,（2.+8）,单调递减区间是（-2.2）.（U）证明：（i）方法一： Kx)-/(x)-g,(x)-y-r5x41r(x>0)则以幻ZJ , 当小。时,由力2 = Q ,得r =",当xw（x，.+e）时,幻° , 所以小）在89内的最小值是如° .故当 。时，八听属对任意正实数，成立.方法二:人 他）=8,（与）工，八一二，（，0） n /'Q）1K二，'（工一八）对任意固定的C。，令3 ，则"3 '由力

28、,0，得S?当。/"时，"0 ；当X时，"0 ,所以当，7时，/）取得最大值.因此当工。时，对任意正实数，成 立.（ii）方法一：8"”广对由（i ）得，名对任意正实数,成立.即存在正实数”2 ,使得凡“对任意正实数,成立.下面证明药的唯一性： 当%0一时下）子月号力.16,、X?由（i）得，3 七一葭再取'X ,得出&）= 3 ,6 x J所以处（%）=",-3寸=（小），即52时，不满足gd*&6）对任意，。都成立.故有且仅有一个正实数 = 2 ,使得g-对任意正实数，成立.方法二：对任意3° J"

29、;"""号， 因为&«）关于，的最大值是产，所以要使对任意正实数成立的充分必要.¥9的吗(0H2 )4立厘+J(3而于32 ,即“】，所以此时圆锥曲线是椭圆具方程可以化为I I-2当。时，/ = J -" =1_(1_k)=4 ,此时工昱s展立i而 32 ,.3 当代0时，, *=1 , /=八"=()17e立aw坦1-i-此时 / j 1 ,而 3 一 一 2 ,.3-1-2而时，可解得一""士 综上可知人的取值范困是T-黑层 4.如图，石k为半圆，AB为半圆直径，。为半圆圆心, 且OD_LAB

30、 , Q为线段OD的中点，已知|AB|=4 ,曲 线C过Q点动点P在曲线C上运动且保持|PA| + |PB|(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；的值不变.(2)过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点M、N ,且M在D、N之间，设诉=A ,求A的取值的围.分析：本题主要考察直线、椭圆的方程、不等式的性质等基础知识，以及应用数学 知浜分析解决问题能力.函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题分类讨论思想方法数形结合思想方法解：(1)以AB、OD所在亘线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角坐标系,条件是:即小-2)F.+4)W0又因为&>°，不等式成立

31、的充分必要条件是2 ,所以有且仅有一个正实数V. . 2 使得网)对任意正实数,成立.3.定义由数f n(x) = Q + x)n-l, x>2 t nGN* Q)求证:f n (x )> nx ;(2)是否存在区间a,0(a<0),使函数 h(x )=f 3( x) - f 2( x )在区间a , 0±的值域为ka , OR若存在，求出最小实数k的值及相应的区间a , 0,若不存在, 说明理由.分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以 及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：f n( x)

32、 nx =(1 + x)n - 1 - nx ,令 g( x ) = (1 + x)n -1 nx ,则 g'( x) = n(l + x)n-l-l.当xw(2,0)时,g,(x)<0xe(0, +8)时，g<x)>0,.*.g( x)在x=o处取得极小值g( 0) = 0,同时g( x)是单峰田数，则g(0)也是最小值."(xRO,即fn(x)Nnx (当且仅当x二0时取等号).注：亦可用数学归纳法证明.(2).h(x) = f3(x)-f2(x) = x(l + x)2 /.h'(x)=(l + x)2 + x-2(l + x) = (l +

33、x)(l + 3x)1令h'(x) = O,得x=-1或x=§ ,1当 xeC2 ri), h'(x) > 0 ;当 XGC1,0)1当xw(，3 /8)时，%(x)>0.故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下:14当 3«a <(W , h(x)最小值 h(a) = ka/.k = (1 + a)2>g4114-4当 - &vav -时 h(x)最小值 h(a) = h( - ) = -= ka k =14414当a 二-时 h( x )最小值 h( a ) = a(l + a)2 = ka k = (l + a)2>

34、 , a =-时取等 393号.14综上讨论可知k的隈小值为9 ,此时但r 0 = - 3,0.2x - u例4.已知在区间1则上是增函数。（1）求实数，的值组成的集合A ;（2）设关于，的方程”的两个非零实根为X %试问：是否就J,使得不等 式才+勿叶>玉-不对及问-UI恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请 说明理由.分析:本题主要考直函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以 及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归（转化）思想方 法2xa解：（1 ） ; 幻7 + 2（""）, u 2<“：2'= %：尔-2）

35、“） （PTi5_（x2+2/=_空_3o八幻在川上f. n.v）（一 + 2尸对VxwTH恒成立 即六wTI,恒有/-q_24。成立Jg(-l)«a-l<0 .一1“41设=*./1 =|-U|c、- o 1(2 )31=：x2-ar-2-0/ Aa'+8>0 /.天、x2是方程、：-m-2。的两不等实根，且,少占=-2 % -x： 1= J(. +占)2 -4/七=Ja” +8e22.3.，：$.1a玉一5对及恒成立J.对"dUl恒成立设M/) = /w/ +(加-2) r叱0对立小川恒成立/i(!) nT - m - 2 S0 _ j，”S - I

36、rJirw 2 2A(l) = w2 +m - 22:O-2&m > 15.已知函数+碗L (1 )求函数1"')的反函数"/ 1和/的导函数八r ； (2 )假设对公,不等式，吁广川”(必。成立,求实数，”的取值范围.分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基 知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.化归(转化)思想方法解：(1 ) y =+")八。"八，-。 .v=ln<z -a)/Yx)ln(，-“)y«bXeM +a). (2 ) '/ Vx|ln(3Xln(4a)

37、J I m-/ l(x)|4-ln(/(x)<0g. Vl ,. e' +0/n-m(er-a) <-ln=lnc'+a ex ThK。+a)71v，Tn(e -</)<In(er +a)-x设式x) = *n(e -a)-ln(e +")+x/M.r) = hXe, -") + ln(e +«)-xa:w |ln(M)Jn(4a)|V.vln(3aXln(4a)|恒有g(A)<w<h(x)成立X ")_ 4 J + Jlxe(ln(3a),ln(4a): e1 e5a,4<i/. 0<e*

38、 -a<e* </. x7a)>0 , 在上 T«g(ln(4<f)<w 即 ln(5a)-ln(5a)*ln(4a)< m ，以外在|ln(3a)Jn(4a)|上f勿 Y，!(*) Mln(3a)E<1 nZa) + 1 n4a)-lnM) 加<"壬。)12 X.”，的取值范围是"”砧火片" CP .JU)SuHJlnaLxuA)6 ,设函数I ") （1）当。6时求"）的展开式中二项式系数最大的项；2x）+ ”2）（n）对任意的实数x,证明 小行）肛（加导函数x（皿）是否存在&quo

39、t;S,使得a-（"3恒成立?若存在，试证明你的结论并求出 a的值;若不存在,请说明理由.（I ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是,"匕怖 八3 / 2（u）证法一：因"川邛 MT*） =2（用中+扑2（吗In 1*- =2/(r)证法二：因3）“（2）.（吧（叫n正r 吗”（吟（叫而2仆）臼吗，（局故只需对（"：）和进行比较。令 g（x）,In.G2】）有、'（'）= 事=77 因为当。时，他）0 , GW）单调递减；当时，？3。，?但单调递增， 所以在E处出）有极小值故当C1时,g（*）g1 ,从而有“Tnx】，亦即.c

40、ln."llnx故有恒成立.所以/（"）+/N2/（M，原不等式成立。（m）对mwn ,且】有闻0呜+明；也=1 " + + 飞1Y4+川时上：(m/+L” 1Y .二2丫 y 2! nt)klm m)v2+ + - + + 一+ 2! 3! 也 m-11I1<2>4；-+2x1 3x2Jt(i-l)zw(w-l)m又因喂)ZjZi“故2<”卜+ <32"fh+口 <3n. I，从而有£1 k) 成立，2n<£( l + 1<3n即存在。=2,使得 H d恒成立.6 .函数在实际中的应用(m,

41、 所以4( 4(X) -叫 X 400 一加 J-924叫m式400 一叫)(400 一%)“即,号函数"49蔡,丽=在(0,160)上为减函数.同理，函数'=T前不在(160,400)上为增函数，设160< ml<m2<400,则J+_(3 ._/产-吗 x%队 400-m, 吗 400 一飞鸟用式400一飞乂400 -mJ因为 1600<ml<m2<400,fifiUZ4<4()o-x*x)-m:)<4x240x240, 9 mlm2>9xl60 xl604(400.叫)(400.吗)所以 (400-X400-/) &

42、lt; .)短?”，咽邺一父一如尸;<032+-_2_所以叫叫(400fx4OO-RJ即乂 V八函数 -4。，在(160,400)上为增函数.所以当m=160即一闲时取"="，函数y有最小值，所以弧云上存在一点，当“啦时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.7.函数与数列综合1.已知函数/(X)与函数”际7刁(。> °)的图像关于直线，”对称.(1 )试用含，的代数式表示函数/")的解析式，并指出它的定义域；(2)数列SJ中，%1 ,当”“时，.数列卜中J = 2 , Ei地+4 .点(a.1i (“ LZ3.).、I )在函数G

43、)的图像上，求。的值;(3 )在(2 )的条件下，过点R作倾斜角为；的直线"，贝必在y轴上的截距为*= 8)，求数列S1的通项公式.分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、亘线、数列等基本知识，考查运用数 学归纳法证明问题的方法，考直分析问题和解决问题的能力。转化(化归)思想，解：(1)由题可知：/W与函数，=而可(，。)互为反函数，所以，阳吟，(近0)(2)因为点小与(123)在函数制的图像上所以一吟" ( =123.)(*)S "十在上式中令E可得：-，又因为：14咻2,代入可解得：".所以S. 2/WZ.1 , ()式可化为：7=a- F，ru.

44、)(3)直线/的方程为:尸J“，("LW),S.i / V在具中令5。，得二十一°,又因为乙在y轴上的敲距为3仇川，所以，s n = 3色+ ”,结合式可得：:应+2由可知：当自然数，“时,sW+，,两式作差得："叫'-(-1瓦；2结合式得：(”_3)0+M =(”-必/ V) 在中,令"2 ,结合尸1 ,可解得：或2 ,又因为：当心2时，所以，舍去七1，得32 .同上，在中，依次令” =* = 4 ,可解得：4=3 , a4 .猜想：4="(PY).下用数学归纳法证明.(1 )”1人时，由已知条件及上述求解过程知显然成立.(2 )假设

45、时命题成立，即“皿之3)，则由式可得：(*%-j把外支代入上式并解方程得：右广一*1%+1七,-4+1制太-D+lt*-左4 1由于"3,所以下工-=下7-，所以，*符合题意，应舍去，故只有心八| 所以, "AX时命题也成立.综上可知：数列标的通项公式为2、已知函数佝 出"，点*Q），*用是函数/W图像上的两个点，且线段利 的中点，的横坐标为士.求证：点厂的纵坐标是定值；若数列用的通项公式为号）""I'"，求数列入的前m项的和S ;Q若，仆V时，不等式工心恒成立，求实数”的取值范围.解：由题可知：w,所以，* 114-4月 +

46、 小6 三麻二）4“ ：4立 MT M 1y +F 】4+小卜乂闻3点尸的纵坐标3 P ：是定值，问题得证.由可知：对任意自然数“，'恒成立.由于I.个丁 ' ' T 一 ,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于尼卜彳曰Y管卜”习*07偷4喇卜唱卜外2噌）所以，'（"收/由3m D所以，S.£（gT）.一言葡介于占卜。依题意,式应对任意，gn恒成立.显然“、。，因为，尸、。（me），所以，需且只需占 Ur"对任意总"恒成立.即Am 4 2总T对,e .V恒成立./ v 2/ iJm*2 f .记” 加 I ( me.v ) .

47、 ,«切，* W 3m f 2 3m -1 "(3w 2)3«-l) * ,.#)(i)的最大值为刈4 ,.“ 二 £3已知函数外)="»),数列卬满足：q=3 ,心+屈!二«”.)(1)求证：M+如；(2 )求证数列力是等差数列；(3)求证不等式：4+<+/<”+也2-2+2)分析：本小题主要考查反函数的概念、单调性、导的数、数列、不等式等基本知识 考直综合运用知识分析问题和解决问题的能力.转化(化归)思想，解：(1 )由/(X)= gl+*)T 得'当T<x<0时，八*)>。，即门x

48、)是单调递增函数；当1>。时，八"<。即止是单调递减函数；且八0)= 0 ,即广。是极大值点，也是最大值点/3 = 1nG+x)7S/(0) = 0nlM1 + .¥)4x ,当 斤。时取到等号(4 分)1(2 )由E2 + lna,74.+/(q.")得24.4鹏+】2-4，, I . 4T 1 ,q - I =1 =1故 2-2-，ad 4-1_L_1!-2即数列4t是等差数列，首项为-I ,公差为1(8分) “ t n7 _1 = a =(3)由(2)可知4T-用所以qg 卜”一(卜卜为1c I j I ."2. ,.、 八 x =&g

49、t; 0.> hi( + - -) = hi-，又aa。时，有,令 】，贝！Jn . I/1.1z 1 1. 1八 3.4 . 5. +1力一Q+ ； 4 +：)<一(In： +In： + In In)2 3"1234 n + l入 3 4+2、 .勿+ 2 . . “ 、. /-(lii -X -y)« /i- In - , " In 2 -2) q+a < + ln2 - ln(+2) 4 .已知函数 f(x)=ln(l+x)-xlI )求f(x)的单调区间；(口)记f(x)在区间【°山(nGN* )上的最小值为bx令 an=ln(

50、l+n)-bx.(in )如果对一切n,不等式'：而恒成立，求实数c的取值范围；(【V)求证：%4 +1-解法一:-X(I)因为 f(x)=ln(l+x)-x ,所以攵定义域为(-I,”)，且f(x)="x-l=由f (x)>0得-l<x<0 , f(x)的单调递增区间为(1,0 );由f " (x)<0得x>0 , f(x)的单调递僧区间为(0,49).(II)因为f(x)在0,川上是减函数，所以bn=f(n)=ln(l+n)-n, 贝(J an=ln(l+n)-bn=ln(l+n)-ln(l+n)+n=n.“、J。”4a 瓜)- J

51、n+2(Jn + 2品),五+?)("7 (I)-1> +，« +2又lim4+ 2(4+ 2 - 6) = lim2因此C<1,即实数C的取值范围是(-8,1).-1J- <+(口)由(i)知衣135(2-1)因为246二(270 )21.3 3 5 5-7(2/j-lX2n4-l)(2nY 2n I 2if+142力-1)7所以7577 <1 131，S(2-1) +. 一贝| 2 242©62n) <-, ,+，2u + l - J2-1 = J21 I.t： 4 . aq .+%小<, 。 丐丹"& 4

52、i-K”GN)解法二:(I )同解法一.(n)因为f(x)在但可上是减函数,所以听如， 则。=ln(+)_“ = ln(l+)-ln(l+)+ = .(i)因为疝对nWN*恒成立.所以7K对nWN*恒成立.则cy"+2-J/+2z,对 n£N*恒成立.设如+2-，、2/, neN* ,则 c<g(n)对 n£N*立.考虑 g(x)7+2- J/+2x.xwLxo)."¥)=I-Lk、2x) %2x，2) = l-，' yI-山因为 2E； "i=o,所以近阀I")内是减函数；则当neN*时，g(n)随n的增大而

53、减小，I2+4FH=1.hmg(/O=加1( 2 - J/ +2/0= lim = = lim 一.一 .2.“' + 2n 一 ,又因为 所以对一切NX(，)>1因此cl,即实数c的取值范围是(-8,1.L(ii)由(i)知标71-H2.-1)<16下面用数学归纳法证明不等式2312。)小当n = l时，左边二3 ,右边二耳，左边右边.不等式成立.135Q-1)®设当n=k时,不等式成立即24"心)当门=|<+1时， .aui_ Jani _i2”。"X2t 4 辰.2*.2, %2 '2*t2 *Va>SU2M3 I x

54、 I _ I= "？z 3E ?5T5一取“)”即n=k+1时,不等式成立、I .，综合、得，不等式2a60罚成立1<3<5(2n1)所以246.Qii)J J3 , 1 I 3S1)2 "1.4 1TT.6(i0vj Vi-k/5 O- .+7% i 4in i iJ工|工工k 1(” N>) gp： qq q巴飞5.已知Sn=l+；W+.+；(n£N*)，设f(n)=S2n+l Sn+1,试确定实数 m的取值ii范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)>logm(m - 1) 2 - log(mDm 2侬立.命题意图：本题主要

55、考杳应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分 析问题、解决问题的能力.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但出于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关犍是把f(n)(n£N*)看作是n的函数，此时不等式的恒11成立就转化为：函数f(n)的最小值大于logm(m -1) 2 - 20 |Og(m - l)m 2.1 1 l解 1 ,.Sn=l+ 2 3 + .+；. (neN*)54r(n- I)-/(n)X 1 +_二二2 2ji*3 "2 2/i*2()4(-)>O%.2 %

56、 + 4 方.3方.W119加1 + 1）>人口）.丁何）是关于门的增困数.寸（门）min=f（2）= 275*23 a . .要使一切大于1的自然数n ,不等式11f(n) > logm(m -1) 2 - 20 log(m - l)m 2 恒成立911只要五 > logm(m -1) 2 20 log(m - l)m 2 成立即可m > O.m * 1由mlO.mll得rn>l且mH2此时设logm(m -1) 2=t 则 t> 0 (911f>0 解得0<t< 1,由此得 0< logm(m -1) 2 < 1 , 解得

57、m> 2 且 m±2.6.已知函数八'），数列满足%-/5）；数列满足il IK -.2则当a6,。刎叱求证:（）0”<：（n）3争（山）若n>2时q>4叫点评：本题是数列、超越出数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时 应引起注意。分类讨论的思想方法解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2 ）问可 利用函数的单调性；第（3 ）问进行放缩。答案：解：（I）先用数学归纳法证明。/wV.（1）当n=l时,由已知得结论成立；（2 ）假设当n=k时，结论成立，即.则当n=k+l时，1真因为0<x<l时/=&quo

58、t;-1 =在>°,所以f（x）在（0,1）上是增函数.又f（x）在上连续，所以f（0）<f（4）<f，即0< 4“ <,-,n2<1.故当n=k+l时,结论也成立.即<1对于一切正整数都成立.又由0<1<1 得q.q ln（1.q） / 以】从而人“修.Xx(口)构造函数 g(x)= T -f(x)= 丁瓜0+、)二 0<x<l,由“自 / °,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在网上连续，所以g(x)>g(0)=0.因为。<40所以.)>°,即+八%0,从而心*(皿)因为如叫所以4>。告/ ,所以 K A 2”," << Mlv幺 入9<9区也 由出)2 知：4 2,所以q =% %*2 22 ,一三因为 l 2 , n>2f。<一<“1所以可由两式可知：4>"叫17.已知a