2020年九年级中考数学复习专题训练《圆的综合》(含答案)

1、2020年九年级中考数学复习专题训练：圆的综合1 .如图，在 RtAACB, / ACB= 90° ,以AC为直径作。Q 交AB于点D.(1)若 AB= 8, Z ABC= 30° ,求。O的半径；(2)若点E是边BC的中点，连结 DE求证：直线 D弱。的切线；(3)在(1)的条件下，保持 RtACM动，将。O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到。O',当。O'与直线 AB相切时，m2 .如图，矩形 ABC珅，AB= 13, AD= 6.点E是CD±的动点，以 AE为直径的。O与AB交于点F,过点F作FGL BE于点G.(1)当E是CD的中点时：t

2、an / EAB勺值为;(2)在(1)的条件下，证明：FG是O O的切线；(3)试探究：BE能否与。O相切？若能，求出此时 BE的长；若不能，请说明理由.53 .如图，已知正方形 ABCD勺边长为1,正方形BEFW,点E在AB的延长线上，点 G在BC上，点O在线段AB上，且AO B0以OF为半径的。O与直线AB交于点M N.(1)如图1,若点0为AB中点，且点D,点C都在。0上，求正方形 BEFG勺边长.(2)如图2,若点C在O 0上，求证：以线段 0E和EF为邻边的矩形的面积为定值，并 求出这个定值.(3)如图3,若点D在O 0上，求证：D0L F04 .如图，四边形 ABC呐接于。0, A

3、C为直径，AC和BD交于点E, AB= BC(1)求/ ADB勺度数;(2)过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA CF, EF之间满足的等量关系，并说明理由;(3)在(2)条件下过E, F分别作AB BC的垂线，垂足分别为 G H,连接GH交B05 .定义：当点P在射线OAJ:时，把空的的值叫做点P在射线OA止的射影值；当点 P不在 0A射线OAJ:时，把射线 OAk与点P最近点的射影值，叫做点 P在射线OAJ:的射影值.例如：如图1, AOABH个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点 P和点B在射线OA上的射影值均为昇=-.0A 3(1)在 OABK点B在射线OAk的射影值小于

4、1时，则 OA盟锐角三角形；点B在射线OAk的射影值等于1时，则 OA盟直角三角形；点B在射线OAi的射影值大于1时，则 OA呢钝角三角形.其中真命题有.A.B.C.D(2)已知：点C是射线OA±一点，CA= OA= 1,以。为圆心，OA为半径画圆，点B是。O 上任意点.如图2,若点B在射线OA上的射影值为y.求证：直线 BC是。的切线；如图3,已知D为线段BC的中点，设点 D在射线OA上的射影值为x,点D在射线OB 上的射影值为y,直接写出y与x之间的函数关系式为 .6 .问题发现:(1)如图1, ABS接于半径为 4的。O,若/ C= 60° ,则AB=; 问题探究：(

5、2)如图2,四边形ABCDJ接于半径为6的。O,若/B= 120。，求四边形 ABCD勺面积 最大值； 解决问题：(3)如图3, 一块空地由三条直路(线段 AD AB B。和一条弧形道路 而围成，点 M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD= B阵1千米，AM= BC= 2千米，ZA= Z B= 60° ,五的半彳仝为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点 C、D P处，其中点P在而上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线 段DM MC CP PD是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度(即四边形 DMCP 的周长)最大？若存在，求其最大值；

6、若不存在，说明理由.7 .如图，AB是。的直径，BM切O O于点B,点P是。O上的一个动点(点 P不与A B两 点重合)，连接 AP,过点O作OQ AP交BMR1点Q,过点P作P已AB于点C,交QO勺延 长线于点E,连接PQ OP AE(1)求证：直线PQ为。的切线；(2)若直径AB的长为4.当PE=时，四边形 BOPQ；正方形；当PE=时，四边形 AEOP;菱形.8 .已知AB是。O的直径，DA为O O的切线，切点为 A 过O O上的点C作CD AB交AD于点D,连接BC AC(1)如图，若 DC为。的切线，切点为 C,求/ ACDF口 / DAC勺大小.(2)如图，当 CD为。的割线且与。

7、O交于点E时，连接AE若/ EAD= 30。，求/ACDF口 / DACW大小.9 .已知AB为。的直径，点 C为。O上一点，点D为AB延长线一点，连接 AC.(I)如图，OB= BQ若DC与。相切，求/ D和/ A的大小；(n)如图，CD与。交于点E, AF，。廿点F连接AE,若/ EAB= 18° ,求/ FAC勺大小.S©图10 .如图，AB为。O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点 P作。O的切线PE切点为M 过A、B两点分别作 PE的垂线 AC BDD垂足分别为 C, D,连接AM(1)求证：AMFF分 / CAB(2)若 AB= 4, /APE= 30。，求质

8、的长.11.如图，AB是。的直径,AC是O O的切线，连接 0位O O于E,过点A作AF，AC于F,交。O于D,连接DE BE BD(1)求证：/ C= / BED(2)若 AB= 12, tan /,求CF的长.C12 .已知，点 A为。O外一点，过 A作。O的切线与。O相切于点P,连接PO并延长至圆上一点B连接AB交O O于点C,连接OA交O O于点D连接DP且/ OA丹/ DPA(1)求证：P& PD;(2)若AC=3,求。O的半径.13 .如图，AB是。O的直径，C为。O上一点，P是半径OB上一动点(不与 Q B重合)， 过点P作射线l LAB,分别交弦BC前于D, E两点，过

9、点C的切线交射线1于点F.(1)求证：FC= FD.(2)当E是筱的中点时，若/ BAC= 60。，判断以O, B, E, C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；ar q若事=彳，且AB= 30,则OP=.DL 416.如图，在 RtABC中，ABI BG以AB为直径的圆交 AC于点D, E是BC的中点，连接为BC的中点，动点E由A点出发，沿 AB运动，速度为每秒 5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动， 过A、E、F 作。O.DE0力3笛用图I备用图2(1)判断 AEF的形状为,并判断AD与O O的位置关系为(2)求t为何值时，

10、EN与。O相切？求出此时。O的半径，并比较半径与劣弧一疝长度的大小;(3)直接写出 AEF的内心运动的路径长为;(注：当A E、F重合时，内心就是A点)(4)直接写出线段 EN与。O有两个公共点时，t的取值范围为(参考数据：sin37,tan37 °,tan74247242572515.如图1, CH。的直径，且 CD±弦AB的中点H,连接BC过弧AD上一点E作EF/BC交BA的延长线于点F,连接CE其中CE交AB于点G,且FE= FG(1)求证：EF是。的切线；(2)如图2,连接BE求证：BU=BGBF;Q(3)如图3,若CD的延长线与FE的延长线交于点 M tan F=

11、, BC= 5",求DM勺值.DE(1)求证：DE是。的切线；(2)设。的半径为r,证明r2=AUOE(3)若 DE= 4, sin C=,求 AD之长.517.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图 1, ABC中，点D是BC 边上一点，连结 AD若AD= BD?CD则称点 D是4ABC中BC边上的“好点”.图1图2图3(1)如图2, ABC勺顶点是4X3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点” 八、4|2(2) ABN, BC= 9, tan B=U，tanC="点

12、D是 BC边上的“好点”，求线段 BD的口R-J长.(3)如图3, AABC。的内接三角形， OHLAB于点H,连结CH并延长交。O于点D.求证：点H>A BCD43 CD边上的“好点”.若。的半径为9, /ABD= 90° , OH= 6,请直接写出右的值.18.如图，在等腰三角形 ABC, AB= AC以AC为直径的。O分别交AB BC于点M N,过点C作。的切线交AB的延长线于点P.(1)求证：/ CAB= 2 / BCP(2)若。的直径为5, sin /BCP=渔，求 ABCrt切圆的半径;5(3)在(2)的条件下，求 ACP勺周长.19.已知四边形 ABC吻。的内接四

13、边形，直径 AC与对角线BD相交于点E,彳C也BD于图1图2图3(1)求证：AF为。的切线；(2)若BD平分/ ABC求证：DA= DC(3)在(2)的条件下，N为AF的中点，连接 EN若/ AEB/AEN= 135° , O O的半径 为2 .】，求EN的长.20.如图，在RtABC中，/ACB= 90° , O是线段BC上一点，以O为圆心，OE半径作。QAB与。相切于点F,直线AO交。于点E, D.(1)求证：AO是 CAB勺角平分线；(2)若tan / D=t7,求普的值；它CF的长.(3)如图2,在(2)条件下，连接 CF交AD于点G。的半径为3, >参考答案

14、1 .解：(1)在 RtABC中，AB= 8, /ABG= 30 ,，AC= ABsin Z ABC= 8sin30 =4, OO的半径为2;(2)证明：连接OD CD.AC为O O的直径，. CDL AB ./ CDB= 90 , 点E是边BC的中点,. DE= CE= CB / DC号 / CDE. OC= OD ./ OCD= / ODC .Z ACE= / ACDZ DCE= 90° , .Z ODE= / ODC/ CDE= 90 ,ODL DE 直线DE是。O的切线；(3)连接OO交AB于F,设。O与AB相切于G,连接 O G,则/ O' GF= 90°

15、 , 将。O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到。O ,. .OO / BC, AO= O，G,Z AOF= Z ACB= 90 ,. / AFO= / O' FG .AOFXO GF(AAS ,. O' F= AF, 在 RtAAOF,.一/ A= 60° , A0= 2,.AF= 4, 0F= 2 ：-：,1 .O' F= AF= 4,00 =4+2 二 m= 4+2代.故答案为：4+2"3.2. (1)解：二四边形 ABCO矩形，2 .Z D= 90 , CD/ AB C氏 AB= 13,/ EAB= / DEA3 .E是CD的中点,. DE=

16、 CD=13T1/na包_不7_理_ .tan / DEX后竺一总故答案为:12百(2)证明：连接OF在矩形 ABCD, AD= BC /ADE= / BCE= 90° , 又 CE= DE. .AD摩 BCE (SAS ,.AE= BE,/ EAB= / EBA0F= 0A/ 0AF= / 0FA / OFA= / EBA. OF/ EB .FGL BE, FGL OF .FG是。O的切线.(3)解：若BE能与。O相切，由 AE是OO的直径，则 AE! BE Z AEB= 90° 设 DE= x,贝U EO 13-x.由勾股定理得： aEi+eB= aB,即(36+x2)

17、 + (13-x) 2+36 = 132,整理得 x2- 13x+36 = 0,解得：x1 = 4, x2= 9, .DE= 4 或 9,当 DE= 4 时，CE= 9，be=Mce* 十BC2=自9，+6, = 3/,当 DE= 9 时，CE= 4, BE=VcE2tBC2=V42+62： = 2/13，BE能与。O相切，此时BE= 2后或3任.3.解：(1)如图1,连接OC图1 四边形ABC前四边形BEFG正方形， .AB= BC= 1, BE= EF, / OEF= Z ABC= 90° , 点O为AB中点，1 1OB= AB=7；,设 BE= EF= x,贝U OE= x卷，

18、在 RtOEF中，: OE+eP = OF,bW 十 J=ofA在 RtAOBOt3,OB+BC = O(C,. e)2$12=OC,. OC OF为。O的半径,OCOF解得：x = £,.正方形BEFG勺边长为白设 OB= v, BE= EF= x,同(i)可得，oE+eP=oF, oB+bC= oC, .OF= x2+ (x+y) 2, OC= y2+12.OC OF为。O的半径，. OC= OF .x2+ (x+y) 2 = y2+12, -2x2+2xy=1, .Y+xyJ， 即 x (x+y) =y, .EFX OE=-, 以线段0%口 EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定

19、值为(3)证明：连接 OD 设 OA= a, BE= EF= b,则 OB= 1 - a,则 OE= 1 -a+b, / DA= / OEa 90 , .dA+oA= oD, oE+eF=oF,12+a2= OD, ( 1 a+b) 2+b2 = OF, . OD=OR12+a2= ( 1 - a+b) 2+b2,( b+1) ( a-b) =0,- b+1*0, a - b= 0,a= b,. OA=EF,在 RtAAODFD RtAEFO,吸OF,OA=EF 'RtAAODRt AEFO(HD ,/ FOE= / ODA . / DAO= 90° , /ODA/ AOD=

20、 90 , ./ FOEZ AOD= 90 , ./ DOF= 90 , DOL FO4.AC为直径, . Z ABG= 90° , Z ACBZ BA仔 90 , .AB= BC ./ ACB= / BAC= 45 , ./ ADB= / ACB= 45 ;(2)线段EA CF, EF之间满足的等量关系为：eA+CP=eF.理由如下:如图 2,设/ ABE= "，/ CBF= 3 ,. AD/ BF, ./ EBF= / ADB= 45 ,又/ABC= 90 , 1-a + 3 = 45° ,过B作BN! BE使BN= BE连接NC. AB= CB / ABE=

21、 / CBN BE= BN AE单 CNB(SAS ,.AE= CN / BCN= / BAE= 45° , ./ FCN= 90° . / FBN= a + 3 =Z FBE BE= BN BF= BF,. .BF博ABF*SAS ,. EF= FN,.在 RtA NFC, C卢+CN=nFeA+cF= eF"；(3)如图3,延长GE HF交于K,B由(2)知 eK+cP= eP,12一 SAG十SCF产 SEFK,二SAG十SCf"S五边形BGEF甲 S/xEF4 S 五边形BGEFH即ab彳S 矩形BGKH矩形BGKH S.gbL S/XABC 乞

22、 cbq'' SaBGM= S 四边形 COMyS/LBMH= S 四边形 AGMQ, S四边形AGMO S四边形cHh/18：9, Sabmh Sabgivt 8： 9 ,BIW分/ GBHBG BH= 9: 8, 设 BG=9k, BH=8k, - CH= 3+k,. AG=3,1 1 AE= 32,CFV2 (k+3) , EF=V2 (8k- 3), E 尺+CU= ERCMy+&(k+3)12= V2(8k-3)2整理得：7k之-6k-1 = 0,解得：k1=-(舍去)，k2= 1.AB=12,. AO= _/ AB= 6jl,5.解：（1）错误.点 B在射线

23、0A上的射影值小于1时，/ OBA可以是钝角，故4 OAB不一定是锐角三角形;正确.点B在射线0A上的射影值等于1时，ABLOA /OAB= 90 , AOA盟直角三角形;正确.点B在射线OA上的射影值大于1时，/ OA泥钝角，故 OA皿钝角三角形;故答案为：B.(2)如图2,作BHLOCF点H,图：!点B在射线OAk的射影值为0H0B0C| |2r QC 2OH OB,CA= OA= OB= 1,0B0C图形是上下对称的，只考虑B在直线又 / BOH= / COB BOHT COB.BCLOB直线BC是。O的切线;OC±及OC±方部分的情形.过点 D作DML OC当/ D

24、OB: 90°时，设D限h,.D为线段BC的中点,S»AOBD= S>A ODC OB< DN= OC< DM ，DN= 2h,.在 RtA DOtf口 RtDO醉,oD2= dN+oN= dM+oM,.-4h2+y2= h2+x2, 1- 3h2= x2- y2,. bD= cD,4h2+ (1 -y) 2= h2+ (2-x) 2,消去h得：y=2x2 °, , S>A ObD= S»A ODCD作 DML O。点 MOB< DO= OCX DM CA= OA= OB= 1,.OD=2DM .sin / DO附/设 DM

25、=h,则 OD=2h, OM=V3h, h2+：:= l+4h2,当点B在OC上时，OD=2233综上所述，当wxw二时，y = 0;当一vxw=时，y= 2x442故答案为：y= 0 (<x<)或 y= 2x- (<x242 46.解：(1)如图1,连接OA OB过点O作OHLAB于点H,/ AOB 120 ,. OA= OB， OAB等腰三角形，OHL AB ./ AOHk / BOHk 60 , Vs L .AHh O/Sin /AOHh 4X=2/3, 则 A*2A+ 4/3;故答案为4 .二;(2)如图2,连接AG过点D作DHAC于点E,过点B作BFLAC于点F,(

26、DRBF),四边形 ABCD勺面积 S=ACX DEACX BF=a1当D E、F、B四点共线且为直径时，四边形 ABCD勺面积S最大;/ABO 120° ,AD仔 60° ,AOC 120 ,在AOB,由(1)知，AC= 2x OAsin60 ° =2X6X四边形ABCD勺面积S的最大值为：xAO BD=：故四边形ABCD勺面积的最大值为 36百；(3)如图3,过点D作DKLAB于点K,连接CDA K M 5图31 QKD J Q则 K阵AM AK= 2-7=77,则 tan / DMK-=2 2KM 2 / DMK30 ,故 ADM直角三角形，同理 CM的直角

27、三角形, 在 RtAADMfr, DM=Up=Tm=W， /DM8 180° -/DMA Z CMB= 60°. AD= BM AM= BC /A= / B= 60° ,RtAADIWRt ABMC(SAS ,DM= CM . CDM等边三角形；设 I所在的圆的圆心为 R连接DR CR MR . DM= CM RM= RM DR= CR. .DR腓CRMSSS , /DMR /CMR/DM8 30 ,在DMRh, DR= 1, / DMR30 , DM=J1=CM过点R作RHL DMF点H,返则R阵%E =*= 1 = RD cosZDMR 方故H P、C M四点

28、共圆， / DP已 120 ,如图4,连接MP在PM上取PP' = PC ./ CDIM： 60° =/ CPMP' PC为等边三角形，则 PP =P' C= PCCD= CM / PM6 / PDC / CP M= 180° / PP C= 120° =Z DPC .PD冬 P' MC(AAS , .PD= P' MP»PC= PP +PD= PP +P' M= PM故当PM是直径时，P»PC最大彳1为2;.四边形 DMC的周长=DMCMPGPD= 2dl+PDPC而P»PC最大彳1为

29、2;故四边形DMC的周长的最大值为：2+2jy即四条慢跑道总长度(即四边形DMC的周长)最大为2+2后.7.(1)证明：. OQ AP,/ EOC= / OAP / POO / APO又. OP= OA/ APO= / OAP又 / BOO / EOA= / OAP/ PO® / BOQ在 BOQf POQKirOB=OP$ ZBOQ=ZPOQ, ,03=03 .POOR BOQ SAS ,./ OP® / OBQ 90 ,点P在O O上,.PQ是O O的切线；(2)解：. POQPABOQ./ OB® / OP® 90 ,当/BOP= 90°

30、 ,四边形 OPQ的矩形，而OB= OR则四边形 OPQ囱正方形，此时点 C点E与点O重合，PE= PO=yAB= 2; : PEL AB,当O仔AG PC= EC四边形AEO明菱形，. OG= OA= 1, 2PG= /0四62=,2了=代,PE= 2PG= 2 叵故答案为：2; 2 ：'：.8.解：(1) .AB是。O的直径，DA为OO的切线，切点为 A,DAL ARZ DAB 90° ,.DC为OO的切线，切点为GDG= DA. CD/ AB. D+Z DAB= 180 ,D= 90° , ./ ACD= / DAC= 45° ;(2) AB是。O的

31、直径，DA为OO的切线，切点为 A,DAL AR，/ DAB= 90° ,D DEA= / EAB，/ADC 90° , / EAD= 30° , ./ DEA= 60° , ./ EAB= 60° , ./ BCE= 120 ,.AB是。O的直径, ./ BCA= 90° , / ACD 30° , ./DAC= 60° .AB为。O的直径，./ ACB= 90° ,DCf O O相切，/ OCD 90 ,. OB= BQ. BC= OD= OB= BQ a. BC= OB= OC .OBC1等边三角形

32、， ./ OBC= / OCB= / COB= 60 , .Z BCD= / OCA 30 , .Z D= / A=30 ;(n)如图，连接 BE.AB为。O的直径,./ AEB= 90° ,. AF，CD. Z AFG= 90° ,一/ ACl圆内接四边形ACEB勺外角, .Z ACF= / ABE ./ FAC= / EAB= 18 ,答：/ FAC的大小为18° .10解：(1)连接OM.PE为。O的切线， .OML PCACL PCOMZ AC / CA附 / AMO. OA= OM / OAM / AMO / CAIW / OAM即AM平分/ CAB(2

33、) / APE= 30° , / MOP/OMP / APE= 90° 30 .AB= 4, . OB= 2, B儿的长为18011. (1)证明：AB是。0的直径，CA切。0于A,/ C+Z A0仔 90° ;又.OCL AD, ./ OFA= 90° ,/AOC/ BAD= 90 ,. . / C= / BAD又. / BED= / BAD(2)解：由(1)知/ C= Z BAD tan /tan / C=1. tan / C=3 = 0A4-0C,且 0A= AB= 6,2TTT=-T,解得 AC= 8ccT10, OC?A亡 OA?AC6X810

34、32512. (1)证明：PAJfOO相切于点P,BPL AP，/OPD/ DPA= 90 , /OAP/AOP= 90° / OAP= / DPA ./ OPD= / AOP. OD= PD. P0= OD.PO=PD(2)连接PCPB为。O的直径 ./ BCP= 90°. PO= PD= OD / AOP 60°PA设。O的半径为x,则PB= 2x, - =tan60JC .PA= ：xAB= JhF+4工2行x . / BPA= / BCP90 , / B= / BBA% BPCBC PB,=而. AC=二V?k-V3 2 乂二二有其 - 7x - V21=

35、 4x：O的半径为工旦.313.证明：（1）连接OCCF是O O的切线,. OCLCF, /OC曰 90 , Z OCBZ DC曰 90OCB=Z OBQ. PDLAB .Z BPD= 90° , Z OB©Z BDP= 90 .Z BDP=Z DCff / BDfZ CDff .Z DC- CDF. FC= FQ.AB是直径， ./ ACB=90° , . / BAG= 60 ° / BOe 120° ,丁点E是前的中点, BO号 / COE= 60 ,. OB= OE= OC . BOE OCE匀为等边三角形，. OB= BE= CE= O

36、C 四边形BOC是菱形；一股3 =, BC 4 设 AC= 3k, BC= 4k (k>0),由勾股定理得 aC+bC= A氏 即(3k) 2+ (4k) 2= 302,解得k=6,.AC= 18, BC= 24,一点E是标的中点，. OELBC BH= CH= 12,S*A OBE=OE< BH= -yOBx PE 即 15X12=15PE 解彳导:PE= 12, riLd£i由勾股定理得 OP= 7oE2-PE2=a/ 152-122 = 9故答案为：9.14.解：(1)过点E作EHLAF于H,连接OA OE OH如图1所示: . / ACB= 90° ,

37、AB= 10, AC= 8,bG=VaB2-AC2=V10£-82=6,设运动时间为t ,则AE= 5t , AF= 8t , . /AHE= Z ACB= 90 , / EAH= / BACEAHT BACAE AB Bn l5t 10市=应即：阖=可 .AH= 4t , .FH= AF- AH= 8t -4t=4t , .AH= FH EHL AF,. AEF是等腰三角形,，E为淳的中点，/ EAE / EFA. AH= FH .OHLACE H O三点共线， ./ OAFZ AOE= 90 ,. AB平分/ DAM/ DAE= / EAF= / EFA. / AO号 2 / E

38、FA / AO号 / DAEZ EAF= / DAF ./ DAF+Z OAF= 90° =Z DAO 即 OALAQ. OA O O的半径，Ag o O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA OF OE OE于AC交于H,如图2所示：由（1）知：EHL AC, EN与。O相切, / OEN 90° , . / ACB= 90° , 四边形EHCN；矩形，EH= NC在 RtAAHE，”瑞72爪）上（史）2=31，. NC= 3t, 点N为BC的中点，. BC= 2NC= 6t,. BC= 6, 1 6t = 6, t = 1, .AH=4, EH=3,

39、设。O的半径为x,则OH= x- 3,在 RtAAOhl,由勾股定理得： OA= OH+AH,即 x2= （x 3） 2+42,解得：x = ,25，。0的半径为詈, . /AOH= 60° 时， AOE等边三角形， AE= 0A 74° > 60 ,.AE>OA，劣弧窟长度的大于半径；(3)当点E运动到B点时，t = 10+5=2, .AF= 2X8=16, AE= EF AB= 10,此时AAEF的内心记为 G,当A、E、F重合时，内心为 A点， . AEF的内心运动的路径长为 AG作GPL AE于P, GQL EF于Q 连接AG GF则CG= PG= NQ

40、如图3所示：S>aae-"AF?BC=Gx 16 X 6= 48,设 CG= PG= NQ= a,则 Saae-Saag+Saaeb+Safe>7-AF?CGAE?P* EF?NQ=" x (16+10+10) a=48,Q解得：a=a R-J在 RtAAGC, AC+CG= AG,即 82+ (三)2=AG. AG=里叽3故答案为：驾a；(4)分别讨论两种极限位置，当EN与OO相切时，由(2)知，t=1;当N在。O上，即ON为0O的半径，连接OA ON OE OE交AC于H,过点O作OKI BC于K,如图4所示：则四边形 OKC的矩形，OA= OE= ON.

41、OH= CK AH= 4t , EH= 3t ,设。的半径为X, 则在 RtAAOHf, AF2+oH2=oA,即（4t） 2+ （x 3t） 2= x：解得：x =2E7. OH= CKK= t - 3t=t , 66在 RtAOKN, OK+KN=ON,即（8 4t） 2+（ 3看t） 2=（普t） 2解得：t =，线段EN与。O有两个公共点时，t的取值范围为：1vtw耍,73故答案为：1vtw彳15.解：(1)连接 OE 则/ OCE= / OE仔”，C图1FE= FG ./ FGE= / FEG= 3， .H是AB的中点，.CHL AB, Z GCH/ CGH a +3 = 90

42、76; , / FEO / FEG/ CEO= a + 3 = 90 , .EF是。O的切线;(2) . CHL AB ./ CBA= / CEB. EF/ BC ./ CBA= / F,故/ F=Z CEB/ FBE= / GBEFE/ EGBB= BGBE(3)如图2,过点F作FRLCE于点R,c图2设/ CBA= / CEB= / GFE= 丫，则 tan 丫 =. EF/ BC.Z FEC= / BCG= 3 ,故 BC劭等腰三角形，则 BG= BC= 5/t|,在 RtBCH中,BC= 5/7, tan/CB用tan7=二，34贝U sin r = -7, cos r =一, 55q

43、CH= BQin 丫 = 5行x=绪，同理 HB= 4-J7;设圆的半径为r,则OB= OH+BH,即 r2= ( r -3/7) 2+ (4行)2,解彳导:r25V?TGHkBG B+ 5%股-4/=邛,tan / GCHGH_3,则 cos / GCH'ttt- v 10则 tan / CGH= 3= tan 3 ,则 cos 3 =y=_,连接DE则/ CED90 ,在Rt"DE中cos / GCH3市=不=屈解得:CE CECc ! ' '1Ctz=23V70在FEG43, cos 3 =?GFG解得：fg=LL；17J? .FH= FGGH=217n

44、/7 3 5177 .HM= FHtan / F=Ax MD= CM CD= CM 2r =空叵.2416. ( 1)证明：连接OD BQ.AB为圆O的直径， .Z BDA= 90° ,BDC= 180° - 90° = 90° , .E为BC的中点，DE= BC= BE .Z EBD= / EDB. OD= OB ./ OBD= / ODB/ EBD/ DB6 90° , ./ EDBZ ODB 90 , ./ ODE= 90° , .DE是圆O的切线.(2)证明：如图，连接 BD由(1)知，/ ODE= /ADB= 90 , BD

45、L AC E是BC的中点，O是AB的中点， .OE ABC勺中位线，OB AC. OEL BDOB AC1 = / 2.又.一/ 1 = / A,A= / 2.即在ADBf ODEE, / ADB= Z ODE / A= / 2,. AD& ODEAD AB 口口 AB 2rOD OE' r OEr2= ACPOE2(3) .AB为。O的直径,.Z ADB= / BDC= 90 ,点E为BC的中点，. BC= 2DE= 8,- sin C="j,.设 AB= 3x, AC= 5x,根据勾股定理得：(3x) 2+82= ( 5x)解得x=2.则 AC= 10.由切割线定

46、理可知：82= (10-AD x 10,解得，AD= 3.6 .17.解：(1)如答图1,当CDL AB或点D是AB的中点是，CD= AD?BD42(2)作A已BC于点E,由国加二不，tsmC=可设A& 4x,贝U BE= 3x, CE= 6x,BC= 9x= 9, x= 1,，BE= 3, CE= 6, AE= 4,设 DE= a,如答图2,若点D在点E左侧,由点D是BC边上的“好点”知， AD=BC?CD a2+42= (3a) ( 6+a),即 2a2+3a2=0, 解得 aa?= 2 (舍去)，15如答图3,若点D在点E右侧,由点D是BC边上的“好点”知， AD=BC?CDa2

47、+42= ( 3+a) (6-a),即 2a2- 3a- 2= 0,解得ai=2,七二卷(舍去) -1!BD= 3+a= 3+2= 5.5BDY或 5.(5)./ CHA= / BHD / ACH= / DBH . AHQ DHBAHDH =BH,即 AH?BH= CWDH. OHL AR .AH= BHB= CH?DH.点H是 BC加CDi上的“好点”.史上.DH 21理由如下：如答图 4,连接AD BD . / ABD= 90° ,.AD是直径， .AD= 18.又. OHL AB,.OH/ BD点O是线段AD的中点,，OH ABD勺中位线,，BD= 2OH= 12.在直角 ABD43,由勾股定理知： AB= 7aD2-BD2 = /182-L22 =闻七由垂径定理得到：BH= AB= 亚.在直角 BDH4 由勾股定理知： DH=7BH2+BBa = 45i-144=V2i.又由知，BHi= CWDH 即 45=3/7CH 则 CH=L二CH丽&V2173215日口 CH工21' 1 DH 2118.解：（1）如图，连接AN.AC为直径，. AN!BC .AB= AC AN平分/ BAC PC是圆的切线，.