江西省八所重点中学(九江一中、吉安一中等)2020-2021学年高三4月联考数学(理)试题含答案

1、江西省八所重点中学2021届高三联考理科数学一、选择题：本題共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符 合题目要求的1. 已知复数乙=则下列说法正确的是（）1 +孙A.笑数z的实部为丄B.复数z的虚部为-Qj2 4c.货数Z的共轨复数为丄+ WD.复数Z的模为丄7-在心）4 442. 设集合A = Ux,y）x2 + y2 = 斜，B =如,刃卩=2叫，则集合AB中元素的个数为（A.0B1C. 2D33若（7 = 2021皿,决 2021 =sin兀、c5= log2oji 0.21,JM ()A.c<a<bB b<a <cC b <

2、c <aD c<b<a4.在区何0,1上盹机収两个数X、y.则w件“八严°”发生的概率为（1n 1-20192020A.B.C.D20202021202020215.己知正项数列%,満足，S”足a的前项和.且亠=”：+*"T4,则S“n2 15”o n2 15n厂325A.4- _B4C 一” +-2 2nD. n2 +3n443 " 3则函数/（x）在区间（5,6）内（）A.没有零点C至少有2个零点B有且仅有1个零点D.可能有无数个零点6.定义在 R 上的函数 y = /(x)満足 /(6 - x) = /(X), (x - 3)fx) >

3、; 0(x * 3),若/(0)/ <0.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大.且所有项的系数和为0.则含/的项系数为（）A. 45B. -45C 120D. -1208. 己知点坊分别是双曲线C： =1 （a> 0）的左右焦点.点M是C右支上的一a2 16-a2江西省八所更点中学2021届高三联考理数试卷 第1贝 共4页点.直线与夕轴交于点巴 戶耳的内切圆在边昭上的切点为Q.若0| = 2右则C的离心率为（）A.也B. 3C.婕D.迈3 239. MBC中.内角B、C所对的边分别为b、G若和/、C、B成等差数列，角°的角平分线交M3于点D，且CD =也,a = 3b,

4、则c的值为（）A. 3B.扌C.平D. 2巧10. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础苕名的“康托三分集”是数学理性思维 的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间【0,1均分为三段，去掉中间的区I可 段（|,|）,记为笫一次操作；再将剩下的两个区间0,|, |,1分别均分为三段，并各自去掉中间 的区间段，记为第二次操作；.，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别 均分为三段.同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合1 Q 1 Q即是“康托三分集若使去掉的各区间长度之和小于顽，则撵作的次数n的最大值为（参考数据:A

5、40.1975,(|»0.1317,B. 5C60.0585)0.0878,D. 791】己知三棱锥P-ABC的外接球的表面积为647r,AB = 2,AC = 2d、AB丄川= 则三棱锥P-ABC的体积为（）D. 16A. 8B曲（亜3 312. 己知函数g（x）=罕（x工0）.则关于X的方程Jg（x）+肩右-2k = 0e 7?）不可能有（个相异实根.A. 2B 3C. 4D 5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 用1, 2, 3. 4, 5五个数字组成无重复数字的五位数.其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有个（用数字作答）14. 曲线y = x2+x

6、-nx上任意一点P到直线2x-y-2 = 0的最:短距离为.15. 给出下列命题： 垂直于同一个平而的两个平面平行；“a b<0r，是“7与&夹角为钝介”的充分不必耍条件:边长为2的正方形的直观图的面枳为血: 函数/（x） = _g_ + sin2 x的最小值为4;sm x扌，则 tan0=3.4已知 tan a = , tan(a 一 0)=3其中正确的有 （境上你认为正确命题的序号）江西省八所逻点中学2021届髙三联考理数试卷第2灭 共4贝16. 平面向量页、OB、龙満足 彳=2岡=4,（2OC - OA）-（OC - 0B）= 0» OAOB = 0> 则对

7、任总&可0,2刃，0Ccos0 OM-*sin0而 的垠大值为.三、解答题：共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第22. 23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分17（本小题满分12分己知函数/（X）=加血冷+彳）伽> 0,Q> 0）只能同时满足下列三个条件中的两个:函数/（X） 的昴大值为2：函数/（x）的图像可由的图像平移得到：函数/（x）图像的 相邻两条对称轴之间的距离为兀.（1）请写出这两个条件的序号，并求出/（X）的解析式；（2）锐角MBC中，内角力、B、C所对的边分别为a、b、ctA =

8、 , a = f（A）,求ABC周 长的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答.按第一个解答计分.18（本小題满分12分）如图所示.在三核锥P-ABC中.PC丄平面ABC, PC = 2 , 厶CB = t，D,E分别为线段AB,BC上的点，PCD = DE = 4i, CE = 2EB = 2（1）证明：平面PQE丄平面PCD；（2）求锐二面角A PDC的余弦值.告+ * = l(a>b>0).DI(23己(:小!19.（本小题满分12分）左焦点F （-1,0）,点M（0,2）在椭圆E外部，点N为椭圆E上一动点，且 W/F的周长垠大值为2V5 + 4.<1>求tffi

9、圆E的标准方程；（2）点B. C为椭圆E上关于原点对称的两个点./!为左顶点.若AB. /C分别与尹轴交于 P、Q两点，试判断以PQ为££径的圆是否过定点.如采足请求出定点坐标，如果不过定点.请说明 理由.江西省八所1R点中学2021届商三联考理数试卷 第3页 共4页320(本小题满分12分)4月30日杲全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有A, B, C, D 四个问题，规则如下： 每位参加者计分器的初始分均为10分.答对问题A. BC. D分别加1分2分 3分，6分， 答错任一题减2分： 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答

10、题结束，淘汰岀局；当累计分数 大于或竽于14分时，答题结朿.进入下一轮；当答完四题若累计分数仍不足14分时，答题结束. 淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时.答题结束，进入下一轮； 每位参加者按问题A, B. C. D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A, B, C, D回答 正确的概率依次为二 丄 > -> 丄，且各题回答正确与否相互之间没有影响5234(1) 求甲同学能进入下一轮的概率；(2) 用g表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求g的分布列和数学期望E(©)21(本小题满分12分)已知函数/(x) = x + alnx,g(x) = e_A - Inx

11、- 2x.(1) 讨论函数/(x)的单调性;(2) 若 g(Xo) = O,求x0 + Inx0 的值：(3) 证明：x-xlnx < ex + x1 -(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分.22. 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系X®中，曲线C的参数方程为(x-"osa(a为参数)，以坐标原点o为极点，X轴的y = sn a正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(0 + y) = l.(1) 求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2) 若直线/与曲线C交于M, N两点，设P(2,0)

12、,求卩打+侖|的值.23. 【选修4-5：不等式选讲已知函数 /(x) = |x-2| + |x + 4(1) 求不等式/(x) < 8的解集；(2) 若S b. C为正实数，函数/")的垠小值为匚且满足2d + 2b + c = o求a2+b2c2的圮 小值.江西省八所IL点中学2021届高三联考理数试卷第4页 共4页答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案CCDDABADCBAD二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 7214.15.16. 2a/2 +

13、1三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答一（-）必考题：共60分17. （本小题满分12分）（1）函数/（.r） = ;nsin*同时满足的条件为2分由题意可知条件©互相矛盾，故为函数/（X）皿sin|s +彳满足的条件之一 由可知，T = 2/r,所以co=,与中。=2矛盾，所以函数心）=加血冷+討同时满足的条件一又由可知m = 2,所以/（x） = 2sin卜+ 彳）5 分(2)由(1) «=2sin(+ -) = 2,36由正弦定理得,亠=宀=丄=扌希.sin B

14、 sinC sin A 宀龙 3 sin 3贝ijb =sin B.c = 73 sin C,设“必周长为L,8分10分12分L = a+b + c = 2 + >/3 sin B + x/3sinC33=2 + 吕sin B + /3 sin(3 + 彳)=4sin(B + 彳)+ 20<B<-小2 得-+°<C =込-B旦 62 36332所以SABC周长范用为(273+2,618. （本小题满分12分）（1） 证明：+|CD=2 + 2 = 4 = |C斗CD 丄 DE又I PC丄平面ABC,且DE u平面ABC, PC丄DE、又 PC交CD于点C,DE

15、丄平面PCD、DE u平面PDE、平面PDE丄平面PCD（2）以点C为坐标原点C4为兀轴，CB为y轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系,3过点D做AC的平行线交CE于点H, :.H为CE中点,由三角形相似可得|AC| = |,313 AGQ0)Q(l,l,0),P(0,0,2)仙=(丄0),仲=(_二,0,2)6 分2 2 2设平而PAD的法向量为方= (xyz)一丄x+y = o, 一°x + 2z = o,解得方=2,1丄|22I 2 丿又DE丄平面PCD平而PCD的法向疑与DE共线平而PCQ的法向量为DE =(一1丄°),8分锐二面角 C的余弦值为旨.11分12分19.

16、（本小题满分12分）/ v2解：（1） + = 1 4 分4 3（2）由对称性可知，如果存在泄点满足题设条件,则该立点必在x轴上可设定点7仏0）,BC两点关于x轴对称，可设3（“0）£（-心一儿） do H±2）厶8：心0 + 2)=儿( + 2),.P(0自殳),同理可得0(0,二) 6分x0 + 2一 X。+ 2点琏以PQ为直径的圆上,PT丄Q7代入可得：r -曲 十 加 _0又因为点B、Q在椭圆上,二儿=3-存10分（儿 + 2）（-忑 + 2）4-兀'4代入-如:=0可得t2 =3：.圆过能点（Jl0）或（-73,0）12分4 - xj20. （本小题满分1

17、2分）解:设A, B, C, D分别为第一，二,三，四个问题.用2, 3, 4）表示甲同学第i个问题回答正确，用311, 2, 3, 4）表示甲同学第J个问题回答错误，则昭与V是对立事件（/=1, 2, 3, 4）.由题意得，P（M）=P（M2）=-,5 21P(Ma)=,42123所以 P(M)= - > P(M)=亍，P(M)= - , PW)=-.5 234(1)记“甲同学能进入下一轮“为事件O，O=如砂+N1M込谄+渝駆3如,P(0=P(MiV3 +N1M2M3M4+M1N2M3M4+MM22W1)=P(MiMzM3)+PCW2MM)+P(MiAW)+/W1M2AW4)+P(JW

18、zMMi)31121113111312121219八= -x-x-+?x_x_x_ + _x_x_x_ + _x_x_x_ + _x_x_x_ = _.6 分（2）由题意，随机变量？的可能取值为2, 3, 4.由于每题答题结果相互独立，7分所以 P=2)=-,5.3113123 3)X X X X ,5235231010分12分P(<f=4)= 1 -P(= 1)-P(=2)=随机变量w的分布列为q234131p510213133所以 £()=2x- + 3x- + 4x- = -.21. (本小题满分12 分)广(x) = 1+- =(X > 0)X X当心0时，fx)

19、 > 0恒成立，贝(Q在R上单调递增，当avO时，/(x)在(0,-。)单调递减，在(-d,+s)单调递增3分(2) 法一：若x0 + liu() v 0时，lnx()<一勺=>x0 < 不炖=> 一严 +x0 < 0所以-严 +x0+ x0 + 1ilv0 <0与一+ 2x0 + 1ilv(> =0矛盾：若Xq + lnx0 > 0 时，lar0 > -x0 => x0 > 严=> 一不“ +x0 > 0所以一+XO+ x0 + Inv() > 0 与一严° + 2x0 + 1ilv0 = 0

20、 矛盾：当x0 + lnx0 = 0时，lnx。= -x0 =>x0 => 一不“ +x0 =0得一+2心 + 11口0 =0,故 x0+lnx0 =0成立，法二: 0一" = 2“) + lii x(). 一 x。 = x() + In x0 .+ In = x() + In x0v f(x) = x + nx是增函数，/(严> )=/仇)，.”"=观即 eX 一 A = x() + In xD =07 分(3) 证明：要证x-xnx<ex+x2,即证ex+x2-x + xnx>0,设/心rC+F-x+xlnx, x>0h'(x

21、) = -ex 4- 2x+lnx ,令 g (x) = li (x)gx) = ex + 2+-> 0,所以函数h,(x) = -e-x + 2x+nx 单调递增，.X( -1 2 1又F =一£ e+二一lvo,川(1) = 一一 + 2>0,e)ee故li(x) = -ex +2x+nx 1 j上存在唯一零点必，即+ 2x0 + lii¥() = 0 . 9 分所以当xg(O,xo), /(x)<0,当XG(Xo，*o)时,/?r(x)>0,所以函数（x）在XG（0,Xo ）上单调递减，函数力（X）在XW（心+0C ）上单调递增,故/?(%)>/() = +%02 -xo+xolnx(), 11 分由一+ 2x0 + lnr0 = 0 ,得得/?(j() =