养老金计划数学建模

1、重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛暨2014年全国大学生数学建模选拔赛论文题目：养老金计划参赛队员信息姓名学号学院 专业班级联系电话性别宿舍特长相关学科平均成绩高 等 数 学线 性 代 数概 率 统 计计算机李祥龙2012XXXXX数统学院151XXXXXX男X无XXXX丁月月2012XXXXX管理学院151XXXXXX女X建模XXXX周影2012XXXXX管理学院138XXXXXX女X写作XXXX2013 年_6_月 _5_ 日养老金计划的数学模型摘要 中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预 测，到 2039年, 我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取

2、者的局面 ,这被称为“老 龄社会危机时点” .本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从 20 岁开始至 80岁结束，参加者 20到 60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额， 60岁退休以后，每月初领取相等的 退休金，一直领取 20 年。建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额， 他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者 从投入资金到 60岁一月初时的本息和，再计算出了他从 60岁到 80岁领取养老金的公 式，从而求出了他每月领取的养老金 P.然后利用 Matlab 编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老 金越多。从 20 岁

3、开始参加养老金计划，每月领取的养老金为 12205.7 元；从 35 岁开始 参加养老金计划，每月领取的养老金为 5747.6 元；从 48 岁开始参加养老金计划，每月 领取的养老金为 4644.4 元.最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析 .关键词：老龄化 养老金 年金 Matlab一、问题重述 养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金， 这里假定养老金计 划从20岁开始至80岁结束，年利率为10% .参加者的责任是，未退休时（60岁以前） 每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁29岁每月存入Xi元，30岁39岁每月存入 *元，40岁49岁每月

4、存入Xs元，50岁59岁每月存入X元.参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金 P ，一直领取 20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的 月退休金 .1 、从 20 岁开始参加养老金计划，假设 X1=X2=X3=X4=200 元；2、 从35岁开始参加养老金计划，假设 X2=200元，X3=500元，X4=1000元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设 X3=1000元，X4=2000元.二、问题分析我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄（20 59岁）开始参加养 老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从 20岁开始参加养老金计划、从35岁

5、 开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.我们把参加者从开始参加养老金计划到 80岁分为两个阶段。第一个阶段为缴纳养老金阶段，从参加养老金计划开始到 60岁1月初，计算出所有月份缴纳的养老金到 60 岁1月初时的本息和S;第二阶段为领取养老金阶段，从 60岁1月初到80岁12月初， 利用上一个阶段求出的S计算出每月应当领取的养老金 P,使得80岁最后一个月领取养 老金后账户的余额为0.三、模型假设1、假设参加者能领取养老金的年龄恰好到 80岁，不多不少.2、假设年利率一直都为10%不会受外界的其他因素而变动.3、 假设参加者每月初都是按时缴纳相应的养老金，不会出现拖

6、欠或间断的情况.4、假设参加者80岁时，银行恰好能把参加者所缴纳的养老金的本息和全部返还给参加者，账户余额没有剩余.5、 假设参加者每月初都会按时去领取养老金，不会提前或延迟.四、符号说明符号符号说明ai某人开始参加养老金时的年龄，i为所处年龄段，i引 20,29,a2 30,39,a3 40,49,a4 1,2,3,4； 50,59xi第i个年龄段存钱时每个月要存的金额，单位为元；b在20,29年龄段存钱的计息次数；c在30,39年龄段存钱的计息次数；d在40,49年龄段存钱的计息次数；e在50,59年龄段存钱的计息次数；B在20,29年龄段存钱的存到60岁时的本息和，单位为元；C在30,3

7、9年龄段存钱的存到60岁时的本息和，单位为元；D在40,49年龄段存钱的存到60岁时的本息和，单位为元；E在50,59年龄段存钱的存到60岁时的本息和，单位为元；S某人开始存钱到60岁存的钱的本息和，单位为兀；P某人每月初领取退休金，单位为兀.五、模型的建立一、建立每个年龄段存入的金额到 60岁时所产生的利息和的数学模型分不同的年龄段求在该年龄段内每个月所存入的金额及到60岁时所产生的利息和.由于人们是每个月的存钱，计算利率时也要用月利率，即10%/121、2029岁当人们在20岁29岁中的引岁开始每月存入 X元时，到60岁时该月金额的本息和为(1+10%/12的b次方乘Xi, b为该月月利率

8、循环的次数。计算 引到29岁最后一个月 所有月份循环的次数，则b从361到12X (29-引+1)+360。故在该年龄段，60岁时所 产生的本息和一般模型为720-12a,B 二'(1 10%/12)bx1(化简得之)b=361其中，20<=a1 <292、3039 岁当人们在30岁39岁中的a2岁开始每月存入X2元时，到60岁该月金额的本息和为(1+10%/12的C次方乘X2, c为该月月利率循环的次数。计算 a2到39岁最后一个月所有月份循环的次数，则c从241到12X (39- a2+1)+240。故在该年龄段，60岁时所产生的本息和一般模型为720_J2a2C 二&

9、#39;(1 10%/12)cx2(化简得之)c=241其中，30<=a2<393、4049 岁当人们在40岁49岁中的a3岁开始每月存入 X3元时，到60岁该月金额的本息和为(1+10%/12的d次方乘X3, d为该月月利率循环的次数。计算 a3到49岁最后一个月 所有月份循环的次数，d从121到12X (49- a3+1)+120。故在该年龄段，60岁时所产生 的本息和一般模型为720-12QD = '(1 10%/12)dx3(化简得之)d=121其中，40<=a3<494、5059 岁当人们在50岁59岁中的a4岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额

10、的本息和为(1+10%/12的e次方乘Xi，e为该月月利率循环的次数。计算 a4到59岁最后一个月 所有月份循环的次数，e从1到12X (59- a4+1)。故在该年龄段，60岁时所产生的本息 和一般式为72012a4E = 、(1 10%/12)ex4(化简得之)e=1其中，50<=a4<59、计算参加者从参加养老计划开始到 60岁一共所得金额 基础公式S=B+C+D+E求解得到模型为-在2029岁时参加养老金计划720 02360Xb=361240120(110%/1>-(110%/12)+ .(110%/1骂+ 0(110%/12c=241曲21Z120在3039岁时参

11、加养老金计划240720-12 a 2 (1 10%/12)cX2+' (1 10%/12)dX3+' (1 10% /12)eX4c z241d 二21在4049岁时参加养老金计划720 J2a3120(1 10%/12)dx3+' (1 10%/12)exd 二21e =在5059岁时参加养老金计划!720 J2a4Ju (1+10%/12)ex4三、求参加者每月初领取退休金金额参加者到60岁时产生的本利息和为s，从退休(60岁)开始，每月初领取退休金 P，但余额仍然在产生利息.以此一边产利一边领p的模式领取20年，直到80岁的最后一 个月账户余额为0,并以最后一个

12、月账户余额为0的情形建立等式，求得p. 第一个月账户余额s_ p第二个月账户余额(S- p) (110%/12) - p二 s (1 10%/12)- p(1 10%/12)(1 10%/12)0第三个月账户余额：6一 p) (1 10%/12p -p=s (1 10%/12)2 - p(1 10%/12)2 (1 10%/12) (1 10%/12)0第四个月账户余额：(s-p) (1 10%/12) - p- p (1 10%/12)-p二 s (1 10%/12)3 - p(1 10%/12)3 (1 10%/12) (110%/12) (1 10%/12)0 由上述结果，我们可以演绎推

13、理出更一般的情形即第n个月账户余额为s (110%/12)心- p(110%/12) nl (110%/12)心.(110%/12) 0由于第80岁的最后一个月，应为第240个月，故令n为240,联系此时账户余额为0建立平衡0=s (1 10%/12) 240J - p(1 10%/12)2401(1 10%/12)240工 (1 10%/12)0=s (1 10%/12) 239 - p(1 10%/12) 239 (1 10%/12) 238 (1 10%/12)0解之得p的模型为：p 叮10%/12)9 10%/12(10%/1212六、模型的求解问题一的求解72012a36024012

14、0p=(、 (1 10%/12bK 、(1 10%/12為 ' (1 10%/1团禺 ' (1 10%/12ex4) b=361c=241d=121吕(1 10%/12) 239 10%/12(1 10%/12) 240 -12720 J2 20360240d120二('(110%/12)b 200 ' (110%/12)c 200'(1 10%/12)d200 ' (110%/12)e200)b -361c=241dT21eV(1 10%/12) 239 10%/12(1 10%/12) 240 -12=12205.7问题二的求解720-12

15、a2240120p珂('(1 10%/12)cX2+' (1 10%/12屮也+' (1 10%/12)乂)(1 10%/12) 239 10%c=241dT21e#/12(1 10%/12) 240 -12720-12 3 5240120鬥('(1 10%/12)c 200+' (1 10%/12)d 500+ (1 10%/12)e 100()(1 10%/12)239 10%c=241d =121e生/12(1 10%/12) 240 -12 =5747.6问题三的求解720 J2a3120p=( ' (1 10%/12)dx3+v (1

16、10%/12)e&)(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/12)240 一12d 二21e7202 48120珂('(1 10%/12)d 1000+ (1 10%/12)e 2000(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/120 12d 二21詔=4644.4七、模型的优缺点讨论1、模型优点(1) 给出一个年龄就可以计算出相应的月退休金，若运用到实际中，会带来很大的便利；(2) 因为等式是以最后一个月的账户金额为0建立的，所以按照我们计算的 p值，可以让参加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益；(3) 建模的思路简单，原理易于让他人

17、接受；(4) 编程简单易行，可以快速计算出 p值.2、模型缺点：(1) 该模型是在假设的条件下建立的，所以有一定的局限性，比如若没有考虑到利率的变化，参加者能领取养老金的年龄不可能恰好到80岁等；(2) 该模型只能以参加者的整数年龄计算，即参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初，而不能更加细致地表现出其他月份不为 1甚至是天数不为1的情况.比如 某人是27岁8月6日参加养老计划的，而不是27岁1月1日，那么在模型中就 不能很方便地计算出p值.八、模型改进与推广(1) 上述我们只是计算了参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初的情况，我们可以将其改进成不是1月初的情况，进一步推广，将年利率变成

18、日利率，还可以计算出 不是月初而是某一天的情况，这样就能更接近实际情况.(2) 在实际生活中，利率不是一成不变的，我们可以将利率的变动情况考虑进去，进 一步推广成养老金的动态模型.参考文献1 王化成主编，财务管理(第三版) ，北京：中国人民大学出版社， 20102 姜启源 谢金星 邢文训 张立平编著，大学数学实验(第 2 版)，清华大学出版社 ,2010附录附录一：用MATLABS程(1) x=200 200 200 200; a=20 30 40 50; syms b c d eB= symsum(x(1).*(1+0.1/12Fb,b,361,720-12.*a(1);% 20岁29岁中的

19、J岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和;C= symsum(x(2).*(1+0.1/12Fc,c,241,720-12.*a (2);% 30岁39岁中的 砂岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和；D= symsum(x (3) .*(1+0.1/12)Ad,d,121,720-12.*a (3);% 40岁49岁中的a3岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和；E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)Ae,e,1,720-12.*a(4);% 50岁59岁中的a4岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和；S=B+C+D+E;% 从开始存钱到 60 岁时，总共产生本息和；S=vpa(S);% 将计算结果化成小数 ;p=(1+0.1/12)A(239)*0.1/12*(1+0.1/12)A(240)-12*S% 每月初领取退休金。运行结果：p =12205.747361515939831504737414689x=0 200 500 100