2020-2021备战中考数学圆与相似-经典压轴题及详细答案

1、2020-2021备战中考数学圆与相似-经典压轴题及详细答案一、相似1 .如图，在 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=90 , AHXBC 于点 H,过点 C 作 CDXAC,连接 AD,点M为AC上一点，且 AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.AB=3, AD=6,(1)若求 BMC的面积；求证：AD=?BN.点E为AD的中点时,ZACD=90 , AM=CD , AABMACAD,BM=AD=XAM=一标=1 , CM=CA - AM=2 , Sabcm= J ?CM?BA=JX 23=3. AE=ED , Z ACD=90 , AE=CE=ED ,. . / EAC土

2、ECA ,. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD , ZABM=ZMCE , v Z AMB=Z EMC , Z CEM=Z BAM=90Rif 4也 ABMAECM,.门 瑞，/., ZAME=Z BMC, AAMEABMC,，/AEM=/ ACB=45 , ，/AEC=135 , 易 知 / PEQ=135 ,. . / PEQ=/ AEC ,，/AEQ=/ EQQ Z P=Z EQC=90, EPAEQC, . EP=EQ / EP BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z N

3、BC=22.5 , ，/ ENC=Z NBC+/ NCB=45AENC 的等腰直角三角形，NC=/ EG . .AD=2EC, .2NC=k1 AD, . AD=、三 NC, / BN=NC, ，AD= BN.【解析】【分析】（1）首先利用 SAS判断出ABM ACAD,根据全等三角形对应边相等 得出BM=AD=根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出CM的长，利用1Sabcm= :?CM?BA即可得出答案；（2）连接EG CN,作EQ BC于Q, EP BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得出 AE=CE=ED根据等边对等角得出 / EAC=Z ECA,根据全等三角形对应

4、角相等 得出ZABM=ZCAD,从而得出 /ABM=/MCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出 /CEM=/BAM=90 ；从而判断出 ABMsECM,由相似三角形对应边成比例得出BM :CM= AM : EM,从而得出 BM : AM= CM ： EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出 AMEABMC,故 / AEM=/ACB=45； /AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPA EQQ故EP=EQ根据角平分线的判定得出 BE平分/ ABC,故/ NBC=Z ABN=22.5 :根据中垂线定理得出N

5、B=NC,根据等腰三角形的性质得出/ NCB=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形边之间的关系得出NC=亚EC,根据AD=2EC, 2NC=4三AD , AD=NC,又 BN=NC,故 AD= BN.2.如图，在和，AB（中，ZABC二如一，点、M是AC的中点，以 分别交AC.刚于点B，L.RC11）求证：即杷；（2）填空：）若月当M 加时，DE ；连接如，应，当 的度数为 时，四边形ODME是菱形.【答案】（1）证明：Z ABC=90 , AM=MC , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四边形

6、ABED 是圆 内接四 边形，/ADE+/ ABE=180 , 又 / ADE+/ MDE=180 , . / MDE=/MBA,同理证明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . MD=ME 2; L图【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/MDE, DE/ AB, . -=gH BML AD=2DM, DM: MA=1 : 3, DE= i AB= X 6=2 故答案为：2. 当/A=60时，四边形 ODME是菱形.理由如下： 连接OD、OE.OA=OD , Z A=60 , .AOD 是 等边三 角形， ，/ AOD=60 , DE/ AB , ，/ODE=/ AO

7、D=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等边三角形， .OD=OE=EM=DM, .四边形 OEMD 是菱形.故答案为：60.【分析】(1)要证 MD=ME,只须证/MDE=/MED即可。根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得BM=AM=MC ,则/ A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 跖(2)由(1)易证得DE/ AB,可得比例式AB .明，结合中的已知条件即可求解； 当/A=60时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE,由题意易得 ODE, DEM都是

8、等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。3.(1)问题发现：如图，国正方形AEFG的两边分别在正方形 ABCD的边AB和AD上，连接CF.写出线段CF与DG的数量关系；写出直线CF与DG所夹锐角的度数.(2)拓展探究：如图，图将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋车t的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利 用图进行说明.（3）问题解决如图， ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90； AB=AC=4,。为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接 OE,则在点D的运动过程中，线段 OE的长的最小值.（直接写 出结果）【答案】（1）CF= 三DG

9、,45匚（2）解：如图：C * 力 连接AC、AF在正方形 ABCD中，延长 CF交DG与H点， 1ZCAD= - Z BCD=45 二，设 AD=CD=a 易得 AC= . a= . AD,同理在正方形 AEFG中，/ FAG=45 = ,AF=- AG,二 /CAD=/ FAG,二 /CAD-/ 2=/FAG-/ 2,: /1 = /3 AC AA又：,万一元, ACAF DAG, CF AC|玳=、用,| cf= . DG;由CA。DAG,，： /4=/5,:|/ACD=/ 4+/6=45 二,I ：I / 5+/6=45 二,J Z5+Z6+Z 7=135 二，在ACHD中，/CHD=

10、180二-135二=45匚,：（1）中的结论仍然成立（3） OE的最小值为S .AC - E& 百y【解析】【解答】（3）如图：由 / BAC=/ DAE=90 口，可得 / BAD=Z CAE又 AB=AC,AD=AE,可得BA4 4CAE,: ZACE=Z ABC=45 二,又 1 /ACB=45 二,*：|/BCE=90 二，即 CEL BC,根据点到直线的距离垂线段最短，：OE CE时，OE最短，此时 OE=CEAOEC为等腰直角三角形，7:OC=- AC=2,由等腰直角三角形性质易得，oe=i;5 ,一 OE的最小值为回.【分析】（1）易得 CF= %EdG45 口 ；（2）连接 A

11、C、AF在正方形 ABCD中，可得 CF AC CA。DAG, 脉 疝*=事,: CF乩 DG,在 4CHD 中，/ CHD=180-135 二二45 二， （1）中的结论是否仍然成立；（3） OE CE时，OE最短，此时 OE二CEAOEC为等腰直角I三角形，OC=-AC=2可彳导OE的值.4.如图，四边形 ABCD内接于。O, AB是。O的直径，AC和BD相交于点 E,且DC2 =CE CA.（1）求证：BC= CD;（2）分别延长 AB, DC交于点巳若PB= OB, CD=大值，求。的半径.【答案】（1）证明：DC2=CECA,DC CA / DCE土 ACD, .CDE幺 CAD,/

12、 CDE=Z CAD, 又 / CBD叱 CAD, / CDE土 CBD, .CD=CB.(2)解：连结OC (如图)，设。的半径为r,弧 CD=M CB,/ CDB=Z CBD=Z CAB=Z CAD= / BAD, / BOC=2Z CAB,Z BOC=Z BAD, .OC/ AD,PC PC . 石 a .PB=OB,PB=OB=OA=r; PO=2r,PC PO 2i. .1=2, .CD=2.,PC=4 , PD=PC+CD=6fW,又 / PCB=Z CDB+Z CBD, / PAD=/ PACB+Z CAD,/ PCB=Z PAD, / CPB玄 APD, .PCB- PAD,P

13、C 座不无 ?=即， 解得：r=4.即。的半径为4.【解析】【分析】(1 )根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得 CDE幺CAD,再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得/CDE=/ CBD,根据等腰三角形的性质即可得证.(2)连结OC,设。的半径为r,根据圆周角定理可得 /BOC=/ BAD,由平行线的判定得PC PGOC AD,根据平行线所截线段成比例可得CD a;=2,从而求得 PC PD长，再根据相似PC PB三角形的判定可得 PCB/ PAD,由相似三角形的性质可得 FA -冏,从而求得半径.5.如图，在矩形 ABCD中，疝-, 4 ,点e是BC边上的点，BE =

14、，连接ae,连接CF,求;Sill-DCF|的值；(3)连接AC交DF于点G,求卜的值.【答案】(1)证明：二四边形ABCD是矩形,/ BAD=Z ADC=Z B=90 ； AB=CD=4,.DFXAE,/ AFD=90 ；3 / BAE+/ EAD=Z EAD+/ ADF=90 ；/ BAE=Z ADF,在 RtABE 中，4 . AB=4, BE=3,.AE=5,在 ABE和ZDFA 中，NABE = ZDFAZBAE = ZFDAAE = AD5 .ABEADFA (AAS).(2)解：连结DE交CF于点H, .ABEADFA, .DF=DC=4, AF=BE=3 .CE=EF=2 DE

15、XCF,3 / DCF-+Z HDC=Z DEC+Z HDC=90 ；4 / DCF玄 DEC,在 RtDCE 中，,. CD=4, CE=2DE=2 /,CD 4sin / DCF=sinZ DEC=(3)过点C作C。AE交AE的延长线于点 K,5 .DFXAE,6 .CK/ DF,AG 朴GC Fh7 ?在 RtA CEK43,J |6EK=CEcos/ CEK=CE:osZ AEB=2 X = B ,6 lb卜1FK=FE+EK=2+J = 5 ,(1)由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得/ BAE=Z ADF,在RtAABE中，根据勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判定AAS

16、可得AB4DFA.（2）连结 DE交CF于点H,由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4 AF=BE=3由同角的余角相等得Z DCF=Z DEC,在RtDCE中，根据勾股定理可得DE=2ft，根据锐角三角函数定义可得答案.（3）过点 C作CKiLAE交AE的延长线于点 K,由平行线的推论知AG AACK DF,根据平行线所截线段成比例可得在 瓦，在RtCEK中，根据锐角三角函数定义可得EK=，从而求出FK,代入数值即可得出答案.6.如图，在四边形 ABCD中，/B=/ C=90, ABCD, AD=AB+CD（1）利用尺规作/ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE （保留作图痕迹，不写

17、作法）（2）在（1）的条件下， 证明：AE DE;若CD=2, AB=4,点M, N分别是AE, AB上的动点，求 BM+MN的最小值。【答案】（1）（2）证明：在 AD上取一点F使DF=DC,连接EF,. DE 平分 / ADC, / FDE=Z CDE,在 FED和4CDE中，DF=DQ / FDE=Z ODE, DE=DE.FEDACDE (SAS ,，/DFE=/ DOE=90, /AFE=180-N DFE=90 / DEF=Z DEC,. AD=AB+OD, DF=DQ.AF=AB,在 RtAAFE RtAABE (HL)/ AEB=Z AEF,111/ AED=Z AEF+Z D

18、EF=- / CEF+- / BEF:(/ CEFtZ BEF) =90 。 AEXDE解：过点D作DP, AB于点巳由 可知，B, F关于AE对称，BM=FM, .BM+MN=FM+MN ,当F, M, N三点共线且FN AB时，有最小值,. DPI AB, AD=AB+CD=6/ DPB=Z ABC=Z C=90 ；四边形DPBC是矩形, .BP=DC=2, AP=AB-BP=2在 RtA APD 中，DP= xM炉-=, . FNXAB,由可知 AF=AB=4, . FN / DP, .AFNAADP4 FN即8 .牵,解得FN=出BM+MN的最小值为 3【解析】【分析】（1）根据角平分

19、的做法即可画出图.（2）在AD上取一点 F使DF=DC,连接EF;角平分线定义得/FDE1 CDE;根据全等三角形判定SAS得 FEDACDE再由全等三角形性质和补角定义得/DFE=/ DCE=Z AFE=90 ；/DEF=/ DEG再由直角三角形全等的判定HL得RtAF RtAABE：,由全等三角形性质得ZAEB=Z AEF,再由补角定义可得 AE DE.过点D作DP, AB于点P;由可知，B, F关于AE对称，根据对称性质知 BM=FM, 当F, M, N三点共线且 FNI AB时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN ;在 RtAPD中， 根据勾股定理得 DP= %（犷-犷=E ;

20、由相似三角形判定得 AFNsADP,再由相似三AF 林角形性质得AD 斑,从而求得FN,即BM+MN的最小值.7 .问题提出;6 F CQ C 3CEI1图2囹3（1）如图1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P为BC上的动点，CP= 时， APE的周长最小.（2）如图2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P、点Q为BC上的动 点，且PQ= 2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点 P的位置（即BP的长） 问题解决；（3）如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点 P处修一 个凉亭，设计要求 PA长为100

21、米，同时点 M, N分别是水域 AB, AC边上的动点，连接 P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形 AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形 AMPN面积的最大值是多少？【答案】（1）7（2）解：点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,连接MF ,交BC于Q, 此时MQ+EQ最小，N p Q ：,. PQ=3, DE= C曰2, AE= 2短,，要使四边形APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,过 M 作 MNLBC于 N,.MN / CD .MNQsCQcf a. .盅V 瓶2 E -KQ.NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2- 2=

22、4(3)解:如图，作点 P关于AB的对称点 G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交 AB, AC于点M, N,此时APMN的周长最小.,-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 ,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 ,过点A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 & 米，口 Sa agh= -GH X AO 2500平方米，S 四边形 ampn= Saagm+Saanh= Skagh _ SaamnSaamn的值最小时，S四边形ampn的

23、值最大，,-.MN = GM=NH=3 时二. S 四边形 AMPN = SzAGH SaAMN = 2500 3=平方米.【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB= CD= 4, BC= AD= 8, .E为CD中点,.DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得： AE= 416+疵=k/出*4=2行, 即 APE的边AE的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，延长AB到M ,使BM = AB= 4,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P ,此时AP+EP的值最小, 四边形ABCD是矩形， .AB/ CD ,.,.ECFAMBP

24、,故答案为：【分析】（1）延长AB至ij M,使BM=AB,则此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 点E关于BC的对称点 F,连接 MF,交A和MAE长, CP长；关于BC对称，连接 根据矩形性质得出（2）点A向右平移EM交BC于P, AB/ CD,推出2个单位到 M ,BC于Q,要使四边形 APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证 MNQsFCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点 G, 作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 PMN的周长最小.S四 边形AMPN=SAGM+SxANH=SAAGH-S

25、AMN ,即Sa AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大.8.如图，点E, F分别在矩形 ABCD的边AB, BC上，连接EF,将4BEF沿直线EF翻折得 至MHEF, AB= 8, BC= 6, AE: EB= 3: 1.(1)如图1,当Z BEF= 45时，EH的延长线交 DC于点M,求HM的长；(2)如图2,当FH的延长线经过点 D时，求tan/FEH的值；(3)如图3,连接AH, HC,当点F在线段BC上运动时，试探究四边形 AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：如图1中，当士亚萨=时，易知四边形 幽密是正方形

26、, AB 3 AE:EB I.：AE 6 EB - Jr - ZEBC ZBEM = 90 s,:四边形曲X是矩形，Z EM BC - 4:“ EH BE J二 = 6 - 2 = 4(2)解：如图2中，连接斑.在Ri/上心;中，：44 加，助二9-d,在Rl / 版|中，DU 娜一肩 =设防二/二）,则DF f,双，- 6 -工,在Ri WT中，1犷=/+ , : (2T7 * x)2 =卢) (6 x万,：，=7：- 3yTr -彳2（3）解：如图3中，连接跳，作EM上AC于由.B F CX3丁/上/(，乙皿 -B 3T ,工婚S1/血，.AE 用*,石一应. 6 _ &I=yd，声 ,1

27、8c 5d血;7*6X8;四S西过罢第0 - 5白再田+5皿2 ）二当.我方的面积最小时，四边形d用目的面积最小，18丁当班与上&重合时，点占到直线.的距离最小，最小值 518.,=-X 10 X-=A，公力疗的面积的最小值？5,:四边形田？的面积的最小值为S + ?/先.【解析】【分析】（1）当/BEF=45时，易知四边形 EBFH是正方形，求出 EM, EH的长即可解决问题.（2）如图2中，连接DE利用勾股定理求出 DE, DH,设BF=FH=x在RtA DFC中，利用勾股定理即可解决问题.（3）如图3中，连接AC,彳EMLAC于M.利用相似三角I形的性质求出EM,由S四边形ahcd=Sa

28、ach+Saadc , Saacd=二X 6X 8=24出当ZACH的面积最 小时，四边形 AHCD的面积最小，可知当 EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，由此即可解决问题二、圆的综合9.如图，以。为圆心，4为半径的圆与 x轴交于点A, C在。上，/OAC=60.(1)求/ AOC的度数；(2) P为x轴正半轴上一点，且 PA=OA连接PC,试判断PC与。的位置关系，并说明 理由；(3)有一动点M从A点出发，在。上按顺时针方向运动一周，当Samao=Scao时，求动点M所经过的弧长，并写出此时 M点的坐标.【答案】(1) 60; (2)见解析；(3)对应的M点坐标分别为：Mi (2,

29、- 2石)、M2 (-2, - 2百)、M3 (-2, 2屈、M4(2, 2百).【解析】【分析】(1)由于Z OAC=60,易证得4OAC是等边三角形，即可得 / AOC=60 .(2)由(1)的结论知：OA=AC,因此OA=AC=AF即OP边上的中线等于 OP的一半，由 此可证得OCP是直角三角形，且 Z OCP=90,由此可判断出 PC与。O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况，若 MAO、4OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行 求解.【详解】(1) OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等边三

30、角形， 故 / AOC=60 .(2)由(1)知：AC=OA 已知 PA=OA,即 OA=PA=AC1 口 。, 一，AC=-OP,因此OCP是直角三角形，且 /OCP=90,2而OC是。的半径，故PC与O O的位置关系是相切.(3)如图；有三种情况：vf取C点关于X轴的对称点，则此点符合2点)；点的要求，此时点的坐标为:Mi(2,劣弧MA的长为：60一4 ； 1803 取C点关于原点的对称点，此点也符合 -23 );点的要求，此时点的坐标为:M2(-2, 一 1204劣弧MA的长为：180取C点关于y轴的对称点,2.3)；8T ；此点也符合点的要求，此时点的坐标为:M3(-2,八一 2404

31、优弧MA的长为：二0一4180163 当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时 M4 (2, 2J3)；优弧MA的长为：300一4180203综上可知：当SA MAO=S CAO时，动点标分别为：Mi (2, -2.3) M2一一，48M所经过的弧长为 ，一33(-2, - 2&)、M3 (- 216一,”一对应的M点坐332 百)、M4 (2,2 .3) .【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解.10.如图，AB为e O的直径，弦 CD/AB, E是AB延长线上一点，CDB ADE .1 DE是e O的切线吗？请说明理由；2 求证：AC2 CD BE

32、 .【答案】(1)结论：DE是e O的切线，理由见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE即可；(2)只要证明：AC BD, VCDBsVDBE即可解决问题.【详解】1解：结论：DE是e O的切线.ADC EDB,QCD/AB,CDA DAB ,QOA OD ,OAD ODA,ADO EDB,Q AB是直径，ADB 900，ADB ODE 90，DE OD ,DE是e O的切线.2 QCD/AB,ADC DAB , CDB DBE,n nAC BD，AC BD ,Q DCB DAB , EDB DAB ,EDB DCB ,VCDBs VDBE ,CD DBBD

33、 BE 2BD2 CD BE ,_ 2AC CD BE .【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型11.如图1, e O的直径AB 12, P是弦BC上一动点（与点B, C不重合）, ABC 30,过点P作PD OP交eO于点D-1如图2,当PD/AB时，求PD的长；1 一2如图3,当Dc Ac时，延长AB至点E，使BE -AB ,连接DE.求证：DE是e O的切线；求PC的长.图1国2图3【答案】（1） 2四；（2）见解析，3/3 3.【解析】分析：1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三

34、角函数关系得出OP, PD的长；2首先得出VOBD是等边三角形，进而得出ODE OFB 900，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案.详解：1如图2,连接OD,QOP PD, PD/AB,POB 900,QeO的直径AB 12,OB OD 6,在 RtVPOB 中， ABC 30,OP OB tan30 6 273 , 3在 RtVPOD 中，PD Jod2 OP246 (273)2 2娓.，2证明：如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,q De Ac ,DBC ABC 30,ABD 60,QOB OD ,VOBD是等边三角形，OD FB,1

35、QBE AB, 2OB BE ,BF /ED ,ODE OFB 90,DE是e O的切线；由知，OD BC ,CF FB OB cos30 6 373 ,2在 RtVPOD 中，OF DF ,),1a -PF -DO 3(直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半CP CF PF 373 3.点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出 VOBD是等边三角形是解题关键.12.在直角坐标系中，。为坐标原点，点 A坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作 等边AOAB, C为x轴正半轴上的一个动点(OC2),连接BC,以BC为边在第一象限内 作等边 BCD),直线D

36、A交y轴于E点.(1)求证：OB8 4ABD(2)随着C点的变化，直线 AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变,请求出直线AE的解析式.(3)以线段BC为直径作圆，圆心为点 F,当C点运动到何处时，直线 EF/直线BO;这时 O F和直线BO的位置关系如何？请给予说明.【答案】(1)见解析；(2)直线AE的位置不变，AE的解析式为：y 翼x 2用;(3) C点运动到(4,0)处时，直线EF/直线BO；此时直线BO与。F相切，理由见解析. 【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得到OB=AB, BC=BD / OBA=/ DBC,等号两边都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根据“

37、SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60 ,由等边aBCD,得至ij / BAO=60 ,根据平角定义及对顶角相等得到 /OAE=60 ；在直角三角形 OAE中，由OA的长，根据tan60的定义求出 OE的长，确定出 点E的坐标，设出直线 AE的方程，把点 A和E的坐标代入即可确定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可 求出C的坐标；相切理由是由 F为等边三角形 BC边的中点，根据 主线合一 ”得

38、到DF与BC 垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】(1)证明：4OAB和4BCD都为等边三角形， .OB=AB, BC=BD / OBA=/ DBC=60 , / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC,即/ OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB ABOBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)随着C点的变化，直线 AE的位置不变, /OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 , 又 OA=2,在 RtA AOE 中，tan60 =OE , OA则 OE=273 , 点 E坐标为(

39、0, -2J3),设直线AE解析式为y=kx+b,把E和A的坐标代入得:0 2kb2志b k 3解得，b 2 3，直线AE的解析式为：y V3x 2网.(3) C点运动到(4,0)处时，直线EF/直线BO;此时直线BO与。F相切，理由如下: / BOA=/ DAC=60 , EA/ OB,又 EF/ OB, 则EF与EA所在的直线重合， 点F为DE与BC的交点，又F为BC中点， .A 为 OC 中点，又 AO=2,则 OC=4,，当C的坐标为(4, 0)时，EF/ OB, 这时直线BO与。F相切，理由如下： BCD为等边三角形，F为BC中点，.-.DF BC,又 EF/ OB, FBI OB,

40、 直线BO与。F相切，【点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键13. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14Y2； ( 3)当PC为。直径时，APC

41、D的最大面积50.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得 /PCD=/ ACB=90,可证ABC/PCD,可得 空 里,即可得CP CD证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求 PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；1. 一4(3)当点P在AB上运动时，Svpcd - PC CD ,由(1)可得：CD PC ,可得 23c1 一 4一2-2Svpcd PC PC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1) AB为直径, / ACB=90 PCX CD,/ PCD=

42、90/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2)AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90p运动到ab的中点时,当占.=1 八、p是Ab的中点,丁点过点 B作BE, PC于点E/ PCB=45 ；且 BC=4.CE=BE=2 BC=2、221 / CAB=Z CPBBC 4BEtan Z CAB= - =tan/CAB= AC 3PE3.2 .PE=-23J 2.PC=PE+CE=-+2 .2 =7.2.AC?CD=PC?BC-3CD=72- X42(3)当点P在Ab上运动时，Sapcd= PCCD,2由（1）可

43、得：CD=4 PC3Sa PCD=1242-PC -pc = -pc2,当PC最大时，4PCD的面积最大，当PC为。直径时， PCD的最大面积=2 X 2=0 33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.14.如图1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90, AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90;连接AF,过A, E, F三点作圆，如图2.若EC=4, ZCEF=15,求福的长.图1图2【答

44、案】(1) BE=FH;理由见解析(2)证明见解析/=2兀【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SA9即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB, FH=EB，从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45,而/ ACB也为45,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接E0,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得 EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到 熊所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：(1) BE=FH理由如下： 四边形ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 又,：L AEF=90 / AEB+/ HEF=90且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE / AEB