初中数学千题解——最值问题100题(详解版)

1、IB图4.1D图4.21.如图3.1所示，在 RtABC中，/A=30 °, AB=4，点D为边AB的中点，点 P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为（)A. 3B. 2 2A.2、3A. 4岳C-BAD图3.11.解延长BC至点B'，使BCBC，连接BP、B'A，如图4.1所示， AC垂直平分BB , b'aBA , AC 平分 B'AB./ CAB 30b'aB 60 ,ABB'为等边三角形.点P为AC上一点，- PBPB , PB PD PB' PDBD ,当且仅当B'、P、D在同一直线上时，如图4.2所示，P

2、B PD取得最小值.在 Rt ADB'中，AD - AB 2 , B AB 60 ,二 b'd AD tan603AD 2、3 ,2 f故答案是C.思路点拨：这是典型的将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可拓展 若点D为边AB上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算B'D的长度；若点D是边AB上的一动点，则 B'D将变为一条动线段，利用 垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处12如图3.2所示，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满

3、足S pab 矩形abcd，则点P到AB两点3距离之和PA+PB的最小值为.2. 解令点P到AB的距离为d.点直线作点S PAB S目形ABCD = 35=5= d I332 !1P为到AB距离为2的直线l1、12上的点.li、I2关于AB对称，因此选其中一条进行计算 B关于直线li的对称点B'，连接BC、B'P、5，二 dAB'，如图4.3所示, PA PB PA PB' AB',当且仅当A、P、B'三点共线时取得最小值，如图4.4 所示.在 Rt ABB'中，AB 5 , BB' 2d 4 , AB' ._ 2 . _

4、441 ,故PA PB的最小值是41 .0434.4思路点拨：这是典型的 将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P的运动轨迹为直线（或称为 隐线”；利用轴对称的性质，构造对称点B',再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值AB .13. 如图3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足S pabS矩形abcd，3则DP . EP的最大值为.DCA EB图3.33.解令点P到AB的距离为d.1 'S pab 3 S矩形ABCD，d 2， 点P在到AB距离为2的直线h、I?上，如图4.5 所示.作点E关于直线

5、h的对称点E',连接E'D并延长交直线h于点P,连接EP,如图4.6所示， E'P EP.当点P在直线h上时，|DP EP DP E'P E'D，当且仅当 D、E'、P三点共线时取得最大值ED1I2 .当点P在直线l2上时，DP EP ED，当且仅当D、E、P三点共线时取得最大值，如图4.7所示.在 RtAADE 中，AD 3，AE DP EP ED .10 ,当点P为DE的延长线与直线1 , DE32 12.10 ,的交点时有最大值 710 .5图4.5思路点拨：解法如题2,需要找出满足条件的点 P所在的 隐线”这里两条直线均要考虑（因为图形不

6、对称）由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长 ”的规律，分别计算最大值并进行大小比较 .特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的隐线”毕竟题中叙述点 P时用的是 平面内”而非 矩形内”.21 .1, 1，则AB在x轴的两侧,4. 已知y二Jx2 _ 2x_- 2 Jx2 _ 2x丄2，贝廿y的最小值为 4解原式 x 1 20 1 2. x 1 20建立平面直角坐标系，设P x,0 , A 1,1 , B PA,PB.2 2 2 2 y x 10 1. x 101当A、P、B三点共线时，y值最小， ymin

7、 AB 思路点拨：若将式子看作函数， 对于初中生来说解题难度较大PA PB AB ,2 2.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型一一两点之 间线段最短5已知 y 二J(x_3)2 “9_ J(x_1)2-4，则 y 的最大值为 5解原式 x 3 20 3 2. x 1 20 2 2 .建立平面直角坐标系，设P x,0 , A 3,3 , B 1,2 ,/22i 22 PA . x 30 3, PB _ x 102,2222 y . x 30 3, x 10 2 PA PB AB ,当A、P、B三点共线，即点

8、P在AB延长线上时y值最大， ymax AB . 5.思路点拨：阅读题目时需观察清楚牛”或”切不可盲目下笔本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.6. 如图3.4所示，在等腰 Rt ABC中，/ BAC = 90 ° AB = AC, BC = 4貶，点D是边AB上一动点, 连接CD，以AD为直径的圆交 CD于点E,则线段BE长度的最小值为 .A解：连接AE,取AC得中点F，连接EF，如图4. 8 所示/ AD是圆的直径/ AED = 90°/ AEC = 90

9、76;1- EF = - AC= 2 2点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义） BE 汩F EF当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图4. 9 所示在 RtAABF 中，AF = 2, AB = 4 BF = . AF2 + AB2 = -. 22+ 42 = 2 5 ,- BE min = BF EF = 25 2思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是90°, / DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆 （根据题目需求判断是否需要考虑两侧）.因此判断出

10、点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点 D的运动范围）.根据三角形的三边关系，知B、E、F三点共线时BE取得最小值.7. 如图3.5所示，正方形 ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接 CE ,过点B作BG丄CE 于点G,点P时边AB上另一动点，则 PD + PG的最小值为 .AD解：取BC得中点F，连接GF，作点D关于AB的对称点D ；连接D'P、D'A,如图4.10所示. DP = D'P/ BGC = 90°点F为BC的中点1-GF = BC = 2 2/ PD + PG= PD'+ PGM） G又 D G+ GF R F PD + PG

11、+ GF F GF如图4. 11所示，当且仅当 D、P、G、F四点共线时取得最小值.根据勾股定理得 D F =42 + 62 = 2 13 PD + PG的最小值为 2 .13 2PEG1D'ADBF C2思路点拨不难发现/ BGC = 90。是个定角，因此点 G的轨迹为以BC为直径的圆（部分），可以通过斜边上 的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解.&如图3.6所示，在矩形 ABCD中，AB = 2, AD = 3，点E、F分别为边 AD、DC上的点，且 EF = 2, 点G为EF的中点，点 P为边BC上一动点，贝U PA + PG的最小值为 .解：作点A关于BC的对

12、称点A '，连接A 'B、A P、DG,如图4.12 所示 PA '= FA PA+ PG= PA '+ PG/ ADC = 90° EF = 2 “ 1 DG = - EF = 1/ PA'+ PG + DG 冰'D PA'+ PG 承 D DG如图4. 13所示，当且仅当 A、P、G、D四点共线时等号成立 根据勾股定理得A D = AA2+ AD2 = 2AB 2 + AD2 = 5 PA+ PG的最小值为 4.A'A'思路点拨与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF始终不变，线段EF所

13、对的角为直角，因此斜边上的中线DG始终不变，从而判断出点 G的轨迹图形为圆利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解.9.在平面直角坐标系中，A(3, 0), B(a, 2), C(0, m), D(n, 0)，且m2+ n2 = 4，若点E为CD的中点，贝U AB + BE的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 25解： C(0, m), D(n, 0), m2 + n2= 4, CD2= 4, CD = 2在RtCOD中，点E为CD的中点 OE = 1,即点E在以0为圆心，1为半径的圆上.作图4. 14,连接OE，过点A作

14、直线y= 2的对称点A',连接A B、A O A ' ,4) AB + BE= A B + BE = A 'B+ BE + EO EO 承 O EO如图4.15所示，当且仅当 A、B、E、O四点共线时等号成立.根据勾股定理得 A O= - 32+ 42 = 5 AB + BE的最小值为4AA思路点拨 根据两点之间的距离公式1线，OE = - CD (定值)；根据圆的定义可知点2m2 + n2= CD2,得到CD的长度；由已知条件判断出 OE为斜边上的中 1E的轨迹是以坐标原点为圆心、- CD为半径的圆；利2用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最

15、值问题.10 .如图3.7所示，AB = 3 , AC = 2,以BC为边向上构造等边三角形BCD，贝U AD的取值范围为解：以AB为边向上作等边 ABE，连接DE，如图4. 16 所示 AB = BE, CB = BD，/ ABC=Z EBD = 60° / CBE 在AABC和AEBD中AB BE,/ ABE / EBD,CB BD, AABCAEBD(SAS)DE = AC= 2点D的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆. AE ED <AD 海 + ED如图4. 17和图4. 18所示，当且仅当 A、E、D三点共线时取得最值 1<AD <5E*CA思路点拨这样理

16、解AB= 3, AC = 2这个条件：固定一边 AB，/ CAB可以自由变化，因此点 C的轨迹是以 点A为圆心、2为半径的圆通过构造全等图形找出点D的运动轨迹禾U用圆外一点到圆周上的距离最值来解决冋题.拓展 本题的解法较多，对于 定点+动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法.11.如图3.8所示，AB=3 , AC=2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为;图3.8解答：以AB为腰做等腰直角 ABE （/ ABE=90° ,连接DE,如图4.19所示,图 4.19 AE=v2AB=3v2，/ ABC=Z EBD=90° -Z

17、 CBE ,在 AABC 和 AEBD 中 ?= ?Z ?Z ?= ? ABC EBD ( SAS) ED=AC=2点D的轨迹为以点 E为圆心、2为半径的圆 AE ED <AD <AE+ ED如图4.20和图4.21所示，当且仅当 A, E, D三点共线时取得最值,图 4.21DCA 3v2 2*D <3/2 + 2D的运动轨迹上，再利用圆外一点到思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点 圆周上的距离最值来解决问题12如图3.9所示，AB=4, AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，贝U AD的取值范围为,AEB (/ AEB=90°，

18、连接 DE，如图 4.22 所示,图 4.22 / ?/ ?45 ° / ? ABCs ebdV为半径的圆E、D三点共线时取得最值AE=#AB=2 v2，/ EBA= / CBD=45 °? ? =v2? ?-DE= AC=v2点D的轨迹为以点 E为圆心、AE ED AD <AE+ ED如图4.23和图4.24所示，当A、图 4.23图 4.24 v2<AD <3/2思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变 成构造相似图形，从而找出点 D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题13如图3.10

19、所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P,使AD=PD，贝U PB的取值范围为 ,? ?= = A/2 ?_"厶图 3.10解答：以AB为底边构造等腰直角 AEB (/AEB=90°，连接DE，如图4.25所示,/ ?/ ?45 ° / ? ABC EBD DE=乎AC=v2点D的轨迹为以点 E为圆心、V2为半径的圆延长AE 至点Q,使AE=EQ，连接PQ、BQ,/ AD=DP , DQ=2DE=2迈如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值/ BE 垂直平分 AQ,. AB=BQ/ QAB=45

20、°ABQ 为等腰直角三角形， BQ=AB=4-BQ PQPBBQ+ PQ如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值图 4.26图 4.27 4- 2 v2<PB <4+ 2 v2思路点拨：注意到点 P的产生与中点有关，点P的运动与点D捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题14. 如图3.11所示，正六边形 ABCDEF的边长为2,两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点 D到坐标原点0的距离的最大值和最小值的乘积为 ；解答：取AB的中点G，连接DG、0G，如图4.28所示,1/ AOB= / x

21、Oy=90° / OG=-AB=1 , 连接DB、OD DCB为等腰三角形/ C=120° ,DBC=30° DB= v3DC=2 v3,/ DBA=120° - 30° =90° _ 2在 RtDGB, GB=1,. DG = V? ?= V（2 击）+ 12 =- DG OGOD+ DG当且仅当0、G、D三点共线时取得最值D、G在点O同侧时取得最大值，在点 0异侧时取最小值，如图4.29所示,图 4.29 V13 1<0D <M3 + 1 OD的最大值和最小值乘积为 （V13- 1）（ v13 + 1） =12思路点拨

22、：这个是 墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用 墙角”产生的直角，以及 AB边长不变的特点，作出 AB的中点G,禾U用斜 边上的中线 0G和位置固定的两点 D、G来构造两条大小不变、位置变化的线段 0G、DG;利用两边 之和与两边之差得到 0D的最大值和最小值；另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用/ AOB=90° AB=2，判断出点 0的运动轨迹为一个圆，如图 4.30所示，02图 4.30利用圆外一点到圆周上的距离最值解得OD的最大值和最小值；读者可以自行计算验证15.

23、 如图3.12所示，AB=4,点O为AB的中点，O O的半径为1，点P是O O上一动点，APBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），贝U AC的取值范围为；解答：如图4.31所示，以OB为腰向上构造等腰直角 AOBQ，连接OP、CQ、AQ ；图 4.31在等腰直角OBQ和等腰直角 ABPC中,?祢？ V2,Z QBO=45°-CQ= v2/ CBQ=45 -Z QBP= / PBO，： CBQs pbo? v2? ?= 2点C在以点Q为圆心，"为半径的圆上, / OQ=OB=OA=2, Z QOB=90° AQ= V? ?=2 v2A

24、Q QCACAQ+ QC如图4.32和图4.33所示，当且仅当P图 4.32图 4.33 v2<AC<3v2思路点拨：由于APBC形状固定，两个动点 P、C到点B的距离之比始终不变，这是比较典型的位似 旋转，也可理解为点 P、C捆绑”旋转；旋转过程中，点 C的轨迹与点P的轨迹图形相似，相似比为 V2:1;利用相似找出动点 C轨迹的圆心，AC的最值即定点 A到定圆上一动点的距离的最值16. 如图3.13所示，O O的半径为3, RtABC的顶点A、B在O O上，Z B= 90 °点C在O O内，且3tanA=-.当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）4A. 2C. 3d.5

25、4答案：连接 OB,过点B向下作BD丄OB，取BD = 4 OB，连接AD，如图4.34所示.3/ CBA =Z OBD = 90° /-Z OBC= 90° / OBA =Z DBA.CB = OB = 3，/ OCBDAB ,/ OCAB BD 4AD AD辺D OA= OB2 BD2 OA = 2,当且仅当0、A、D三点共线时取得最值, / OC= 3 AD >3 X2= 3 .442D图 4.34思路点拨又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为 AD的最值问题通过旋转型相似构造 RtOBD,其中Z OBD = 90° /

26、ODB =/ CAB,因此点D为定点另外，由OCB DAB得到OC和AD之间的固定比例， 从而可利用AD的最值求解 OC的最值.AD的最值即为圆外一 点到圆周上一点的距离最值 .另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°找到直径AD，而Z ACD = 180°Z ACB为定值，因此由定弦定角得出点 C的轨迹为圆弧，可根据图 4.35所示计算OC的最小值.图 4.3517. 如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的O Q上一动点,A(1 , 0), B( 1, 0)，连接 FA、PB,贝U FA2+ PB2的最小值是 .y*XBOA咬图 3.

27、14答案：连接 OP、QP、OQ,如图4.36所示设P(x, y).根据两点距离公式得PA2= (x- 1)2+ y2, PB2= (x+ 1)2+ y2,PA2 + pb2= 2x2 + 2y2 + 2= 2(x2 + y2) + 2.OP= x2 y2 ,. OP2= x2+ y2,. PA2+ PB2= 2OP2+ 2,要求PA2 + PB2的最小值，即求 OP2的最小值，也就是求 OP的最小值，.OP辺Q PQ, 如图4.37所示，当且仅当 O、P、Q三点共线时取得最值，OP= 5 2= 3,. PA2 + PB2= 2OP2+ 2>2X23+ 2= 20.图 4.36思路点拨根

28、据PA2+ PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得 把PA和PB构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现PA2+PB2与OP2的联系，而 OP的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值弦外之音 我们会发现，虽然点 P在动，但OP始终是ABP边AB上的中线，且 AB是个定值，我们 可以直接利用中线长公式得到 PA2 + PB2= 2OP2+ 胆，接下来的计算和上面是一致的 .公式的应用有4助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式（仅用勾股定理即可）.18. 如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，

29、BC= 3, EF = 2, G为DE上一动点.将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为 .AD答案：在 Rt ADEF 中，CE = 2，/ CDE = 30° . DF = 2, DE = 4.如图4.38所示，当点G与点D重合时，CGmax= DF = 2 3 ,DE43 CGW2 3.当CG = 3时，以C为圆心、 在ADEF旋转的过程中，点 因此，当BG恰好重合时，CG为半径的圆恰好经过点B.G会经过点B.BG取得最小值为0.图 4.38D(G')思路点拨这是个 特别”的题，点G是DE上一动点，因此在转动的过程中，点 G的轨迹不是

30、线而是面，这 个面的形状为以点 C为圆心、分别以 CGmin和CGmax为半径的同心圆环，点 B也在这个 面轨迹”中, 因此BG的最小值为0.19. 如图 3.16 所示，在 Rt AABC 中，/ ABC = 90 ° / ACB = 30 ° BC = 22 , AADC 与 AABC 关于 AC 对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且 DE = CF , BE、DF相交于点P,贝U CP的最小值 为（）A.1 B. 3 C.3D.2DBF C图 3.16答案：连接BD，如图4.39 所示./ ADC 与 AABC 关于 AC 对称，/ ACB = 30

31、76; BC = CD，/ BCD = 60° BDC 是等边三角形， BD = CD，/ BDC = Z BCD = 60°.在 ABDE 和 ADCF 中，BD = CD，/ BDC =Z BCD , DE = CF , BDE也DCF(SAS,./ BED = Z DF C./ BED + Z PEC = 180°PEC + Z DFC = 180°/ DCF +Z EPF = Z DCF +Z BPD = 180°./ DCF = 60°BPD = 120°./点P在运动中保持/ BPD = 120°点P的

32、运动路径为以 A为圆心、AB为半径的120°的弧.当C、P、A三点共线时，CP能取到最小值，如图 4.40所示， CPAC- AP= 2，即线段CP的最小值为2.BFC图 4.39CB404 图思路点拨需要熟悉等边三角形中的常见全等图形因为点P在运动中保持/ BPD = 120° BD又是定长，所以点P的路径是一段以点 A为圆心的弧，于是将 CP的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小 值.20. 如图3.17所示，sinO= 3，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线0B上，且0C =55, 则CDE周长的最小值为.答案：过点 C作CC'/ DE且CC&

33、#39;= DE，连接C'E,如图4.41所示， 四边形CC'ED为平行四边形， C'E = CD.作点C关于OA的对称点 C，连接CE、CD、CC,. CE = CE, CD + CE= C'E + CE = C'E+ C' 'E毛C",当且仅当C'、E、C"三点共线时取得最值，如图4.42所示./ CC"关于OA对称， OA垂直平分 CC", CC" = 2CF = 2OC siO = 6.在 RtCC'C"中，C'C" = CC'2

34、 CC 2 = 2 10, CDE周长的最小值为 2 10 + 2.B CO图 4.41B CB 4.42°思路点拨因为DE为定值，所以CDE周长的最小值问题转变为 CD + CE的最小值问题.似 饮马”非 饮马” 注意观察，这是一定两动问题 .利用平移将动线段 DE压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段 最短找到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题21、如图3.18所示，在矩形 ABCD中，AB=6, MN在边 AB上运动，MN= 3, AP= 2, BQ=5，贝U PM+MN+NQ 的最小值是。图MIEIInnni解：作QQ MN 3，作点Q关于直线AB的对称点Q，连接

35、PQ，连接Q M、Q M，作Q"H DA于点H ,如图4.43所示， 四边形MNQ'Q为平行四边形，Q'M Q”M ,PM NQ MNPM Q'M 3 PQ" 3，如图4.44所示，当P、M、Q"三点共线时，PM Q”M取得最小值。Q'q"关于 AB 对称，Q'q" 2BQ 10, AH=BQ= 5， PH=AP+AH= 2+5=7。在 RtAPH Q”中，HQ" AB QQ=3，PQ"PH 2 HQ”2. 72 32. 58， PM+MN+NQ 的最小值为 3+、58。思路点拨：作

36、QQ' / AB，使得QQ' MN 3，作点Q'关于AB的对称点Q'',连接PQ'',当 P、M、Q"三点共线时，PM+MN+NQ 的值最小。作 Q''H DA，利用勾股定理求出 PQ”即可解决问 题。22、如图3.19所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90°, AB= 6, D为AB的中点，E为CD 上的点，且 CE=2DE, PQ为AB上的动线段，PQ= 1 , F为AC上的动点，连接 EQ、FP,贝U EQ+FP 的最小值为。B图Nig解：所示，如图4.46所示，当且仅当 E'

37、、 P、F三点共线且 E''卫AC时取到最小值。当 E''卫AC时，设E' E'' 与AD的交点为G,E''与AD的交点为H，如图4.47所示。t E'与E'关于AB对称，E'' G=E G=ED=,AG=2，/ A=45°,/ FHA= / E'' HG=°, HG=E' G= , AH=AG HG= 1。在等腰直角 AAFHFH=辽，E'' H=2 , E'' F=E' ' H+F2过点E作EE&

38、#39; / PQ，取EE' =PQ=1,作点E'关于AB的对称点E'，'连接E'P E'',P如图4.45 四边形 EE' PQ为平行四边形，E' P=E ',P E' P=EQ EQ+FP=E P+FP=E' P+FP E'',F和 HGE '中，AH= 1, HG= 1 ,£=2 , 当 E''卫 AC 时,2e'取得最小值为鼻2。28B图447思路点拨: 度来找最小值。 题也要将线段作EE'/PQ ,取EE'=PQ,构

39、造平行四边形，将EQ+FP的长度转化为E'P+ FP的长作对称点，构造 将军饮马”模型，再利用 垂线段最短”求出最小值。与题21类似，本 PQ压缩”为一个点，属于平移后求垂线段长度的问题。23、如图是边BC、CD上的线段, 值为3.20所示，在正方形 ABCD中，AB=4, E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别 MN=PQ= 1，依次连接 EM、NP、QF、EF，则六边形 EMNPQF周长的最小解：分别过点E、F作BC、CD的平行线，截取EE =FF' =MN=PQ,作点E'关于BC的对称点E'， 点F'关于CD的对称点F'，'连

40、接E'N E''、NF'R F'', P如图4.48所示， 四边形EE' NM和四边形 FF' PQ为平行四边形，EM=E N , FQ=F'P。点E'、E'关于BC对称，N为BC上的点，E' N=E'：N同理，F' P=F' '。1六边形 EMNPQF 的周长=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF ，其中 MN、PQ、EF 为定值， 要求周长最小值即求 EM+NP+FQ 的最小值。t EM+NP+FQ=E N+NP+F ' P E'' F如图4

41、.49所示， 当E'、'N、P、F'四点共线时取到最小值。建立如图4.50所示的坐标系，由题意得点 E的坐标为(0,2) ,E'(1 , 2), E''(1, 2)。同理可得 F' (6,3),E''F'。T AE=AF= 2,EF= J2思路点拨：本题中有两条定线段平移，那我们就仿照上两题的方法平移两次即可。分别构造平行四边形EE NM和平行四边形FF' PQ将六边形EMNPQF的周长最小值问题转化为 E'' N+NP+F '的最小值问题（属于 邮差送信”问题），依旧作出对称点，根

42、据两点之间线段最短求出最小值。这里求解 最小值时用到了平面直角坐标系，这是偷懒”的一种计算方法，相当于在平面直角坐标系的背景下应用勾股定理，亦可根据勾股定理求解 E' F。与题21,题22相比，本题是两次平移后的 两点之间距离” 问题。24、如图3.21所示，在矩形 ABCD中，AB= 2, BC= 4, E、F分别为 AD、BC上的动点，且 EF丄 AC,连接 AF、CE,贝U AF+CE的最小值为 。图£21解：过点 C作CG/ EF，且CG=EF，连接FG、AG,如图边形， EC=FG。在图4.52中，过点B作BH / EF , 四边形EF 丄 AC,AABCHAB ,

43、 BH : AC=EF :AC=AB :BC。综上所述，为定点，AF + CE=AF + FG AG ,如图4.53所示，当A、F、G三点共线时取到最小值。2、5，在 RtMCG 中，AG= . AC2 CG2中,图4,力4.51所示， 四边形ECGF为平行四BFEH为平行四边形， EF=BH。':CG 丄 AC 且 CG=EF= 5 , G在矩形ABCD思路点拨：本题要求两条线段和的最小值，而对分开的两线段不易判断最值的问题，所以需要将它们合并起来，可采用的方法是全等转换，我们这里使用的是平移变换。将线段CE平移至以点F和另一个固定点G为端点的线段位置，即可根据两点之间线段最短解决最

44、小值问题。25、如图 3.22 所示，在？ABCD 中，AD= 7, 剪开，将ABE沿BC方向平移到ADCF的位置,AB= 2.3，/ B= 60°, E是边BC上任意一点，沿 AE得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为y解：如图AD=EF ,最小值。4.54所示，将ABE平移，ABEDCF ,四边形 AEFD 的周长=2AD + 2AE= 14+ 2AE。0=3,图 4.54AE=DF , BE=CF。在?ABCD 中, AD=BC ,如图4.55所示，当AE丄BC时，AE取得四边形AEFD周长的最小值=14+ 6=20。思路点拨：四边形 长的最小值问题转化为AEFD依

45、旧是一个平行四边形，周长等于2 (AD + AE),故将四边形 AEFD周AE的最小值问题。根据 点到直线，垂线段最短”即可解决问题。26. 如图1所示，在 RtABC中，/ BAC = 90° AB = 4, AC= 3，点D、E分别是 AB、AC的中点，点G、F在BC边上(均不与端点重合)，DG / EF 将BDG绕点D顺时针旋转180 °将CEF绕点E 逆时针旋转180°,拼成四边形 MGFN，则四边形 MGFN周长I的取值范围是 .图126.解：由题意得 ABGD也AAMD , / M = Z DGB , AM/ BG,四边形MGFN为平行四边形， 1 =

46、 2 ( GF + GM).GF = MN = BG + CF = BC- GF ,1 5GF = BC =2 2/ GM = 2DG , 当DG取得最小值时，四边形 MGFN的周长最小；同理，当 DG取得最大值时，四边形 MGFN周 长最大如图1和图2所示，当DG丄BC时，DG取得最小值；若点 G与点B重合，贝U DG取得最大值图1图2当DG丄BC时,/ B是公共角， BDG sABCA , - BD : BC= DG : AC,6<DG v 2,549-却v 135思路点拨：四边形MGFN为平行四边形，而 GF为定值，所以将周长的取值范围问题转化为线段DG ( EF)的取值范围问题，

47、当 DG丄BC时DG取得最小值；由于点 G、F与端点均不重合，因此最大值取不到27. 如图1所示，在 Rt AABC中，/ ACB = 90° CD丄AB.若CD = 3，贝U Szabc的最小值为 图127解：取AB的中点E,连接CE，如图1所示,CE= AB.2/ CD 丄 AB,. CEKD ,AB >2D = 6,当且仅当D为AB的中点时取到最小值， Smbc的最小值为9.思路点拨CD为定值，则当AB最小时，Szabc取得最小值 根据 斜边上的中线等于斜边的一半 ”和 垂线段最短 找到当D为AB的中点时，AB取得最小值为2CD.直角三角形中斜边上的中线是一个比较容易被忽

48、略 的知识点，尤其是在需要主动去构造的时候28. 如图1所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心、2为半径画O O, P是O O上一动点且点P在第一象限内，过点 P作O 0的切线与x轴相交于点B,与y轴相交于点A,则线段AB的最 小值是.28.解：取AB的中点Q,连接图1 “ 1-0Q = AB.2/ 0POQ,1AB 俎P,2 AB >4即AB的最小值为4,此时AAOB为等腰直角三角形.思路点拨要求AB的最小值，只需取 AB的中点，求出斜边上的中线的最小值，根据垂线段最短”，AB的最小值在0P与斜边上的中线重合时取到 .29.如图1所示，在矩形 ABCD 中,AB、BC、AD、DC

49、分别交于点BC = 8, AB= 6,经过点B和点D的两个动圆均与 AC相切，且与 G、H、E、F，贝U EF + GH的最小值是 .图129.解：设切点为 N，连接0D、ON，作出DM，如图1所示.AC边上的高图1 / / ADC = 90° EF 为O O 的直径，AC= , 62 82 = 10， EF = OD + ON »M，当且仅当切点为点 M时EF取到最小值，2|s：adc6 8EF min= DM = = 4.8.AC 10矩形为中心对称图形， 同理，GHm n= EF min = 4.8，-(EF + GH)min= 96恩路点拨虽然目标式是 EF + G

50、H的组合形式，但是观察后发现两个线段可独立求解最值由于矩形为中心对称图形，因此EF和GH的最小值显然是相等的，于是将问题转化为求EF的最小值，注意到 EF是圆的直径，根据 垂线段最短”，可知圆的最短直径是 ACD斜边上的高线30.如图1所示，在 AABC中，/ C= 90° AC= 4, BC= 3点D、E分别为 AC、BC边上的动点，且 DE = 3，以DE为直径作O O,交AB于M、N，贝U MN的最大值为 .30.解：过点 0作0G丄AB，连接ON、CO,如图1所示,1 3-ON = r = DE =2 21-GN = GM = MN .2ON为定值，故当 OG取最小值时，GN

51、取得最大值，即 MN在 RtOGN 中，GN2= ON2-OG2,其中 取得最大值.过点C作CH丄AB.在 RtAABC 中，AC= 4, BC = 3,二 AB = 5.G11T Saabc= AC BC= 一 CH AB,22“ 12二 CH =CO + OG,5 OG 芒3 = 25210 GNmax = (3)2 ( 9 )2 = 6 ,Y 210512 MN max= 2GNmax=.5思路点拨MN上的垂径最短时，MN取得最大值，根据 垂线段最短DE为定值，即O O的半径为定值，故当弦 找出0G最短时垂足的位置.31.如图3.28所示，在Rt ABC中， A点，将点P绕点D逆时针旋转

52、90得到点90 , AB 3 , P'，连接 CP',解：如图4.62所示，过点P'作PE' AC于点E，则 A由题意可得DP P'D , PDP' 90 , ADP EP'D在厶DAP和厶P'ED中ADP EP'DADPP'EDDP'DAP P'ED(AAS)二 P'E AD 2 CP' P'E当AP DE 2，即点E与点C重合时，CP' P'E 2 ,线段CP'的最小值为2oCAC 4，D为AC的中点，P为AB上的动 则线段CP'的最小值为

53、P'ED 90C32.如图3.29所示，已知 MON 30 , B为OM上一点，P为射线BM上一动点，连接 CP，将CP绕点C顺时针旋转90得到CE，连接BE。若AB 4，则 BE的最小值为BA ON于点A ,四边形ABCD为正方形,BPc-E图 3.29解：连接 在正方形 由题意得BCEPD，如图4.64所示 ABCD 中，CD BC， PC CE，DCP 90BCD 90。PCE 90BCP在厶BCE和厶DCP中BC CDBCE DCPCE CP BCE DCP (SAS) BE PD 如图4.65所示，当PD 在 Rt AOB 中， O OA 3AB 4.3N在 Rt ODP 中，PD BE的最小值为2.3OM时,30PD取得最小值11-OD _(0A222AD) 2 3 2,N33.已知梯形 ABCD中，AB 3，BC 4。若P为线段AB上任意一点，延长 PD到点作口 PCQE，如图3.30所示，则对角线 PQ的最小值为 AD/BC ,AB BC，ADE，使DE 2PD，再以PE、PC为边oQB图 3.30DFCQ图 4.66图 4.67图 4.6830，点P是射线CPMMNAB上的一个动点，cos解：如图4.66所示/ PE/CQ , 2PD DE PFD QFCDFPDPF 1FCCQFQ 311PFPQ,DF -DC44即F为DC的四等分点（定点）如图4.