2020-2021无锡中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合

1、2020-2021无锡中考数学二模试题分类汇编一一圆的综合综合一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD, BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.&后图,14 .2x【答案】(1)证明见解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,

2、即可得出结论;x 2 )；(3) x由 1OA OE (3)(2)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=1(8 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1) - OD± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.OB=OMODXBMBD=DM

3、.1. DE/AB,DMBDMEAEAE=EM. OM=V2,AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC2DMOEODODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)1 -OC 21X .在 RtAODM 中, 21(3) ( i)当 OA=OC时. DM BM 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八（舍）.22(ii)当 AO=AC时，则 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> /

4、M , Z M=90° - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG,AC于G,交BC的延长线于F.（1）求证：AE=BE（2）求证：FE是。的切线；（3）若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.

5、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 3【解析】（1）证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，/ BEC=90 ； CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，. FH=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3.CG 2 I63上十",解得：CG=J .OE/

6、. "CS CG FCOEFO点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.3 .如图，在OO中，AB为直径，OC AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且 EF=ED.(1)求证：DE是。的切线；(2)若tanA=1,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若 OF=1,求圆O的半径.【答案】(1)答案见解析；(2) AB=3BE; (3) 3.【解析】试题分析：(1)先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论

7、；(2)先判断出 /BDE=/A,进而得出 EBgEDA,得出 AE=2DE, DE=2BE,即可得出结 论；(3)设BE=x,则DE=EF=2x, AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理 2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结 OD,如图.,. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. OC，OF, z. ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD, z. ZOCF=Z ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ； . .ODLDE. .点 D 在。O 上，. . DE是。的切线；(2

8、)线段AB> BE之间的数量关系为： AB=3BE.证明如下：. AB 为。O直径，/ADB=90；Z ADO=Z BDE. / OA=OD, ，/ADO=/A,DEBEBD . / BDE=/A,而 / BED=/DEA, .EBgEDA, . ./ RtAABDAEDE AD中,tanA=BDADDE BE _ 1 ,AE DE 2，AE=2DE, DE=2BE, ，AE=4BE, ，AB=3BE;(3)设 BE=x,贝U DE=EF=2x, AB=3x,半径 OD=3 x. OF=1, . OE=1+2x.2在 RtODE中，由勾股定理可得：(3x) 2+ (2x) 2= (1+2

9、x) 2,，x=- 2 (舍)或 x=2,29圆O的半径为3.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EBgEDA是解答本题的关键.4 .如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AB=CD.(1)如图(1)，求证:AD/ BC；(2)如图(2)，点F是AC的中点，弦DG/ AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;在(2)的条件下，若DG平分/ ADC,GE=5/3 ,tan / ADF=4)3，求。O的半径。凰g【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) J129【解析】试题分析：(1)连接

10、AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.(2)延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形 ABED是平行四边形，从而有 AD=BE, DN=BE.由圆内接四边形的性质得到Z NDC=Z B,即可证明 MBE ACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.(3)连接BG,过点A作AHLBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边 形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB, HB, AH, HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在RtAHC中，由勾股定理 求出AC的长.作直径

11、AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：(1)连接 AC. AB=CD, 弧 AB=a CD, z. ZDAC=Z ACB, .AD/ BC.2(2)延长 AD至ij N,使 DN=AD,连接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 二.四边形 ABED是平行四边形，AD=BE,DN=BE, ABCD是圆内接四边形，/NDC=/B. / AB=CD,1.MBECND,AE=CN. / DN=AD, AF=FC,DF=-CN, ，AE=2DF.(3)连接BG,过点A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形 ABED是平行四边 形，AB=DE. DF/CN, ，/ADF

12、=/ ANC, . / AEB=/ADF, ，tan/AEB= tanZ ADF=473, DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,/NDC=/DCE . / ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC,/ DEC=Z ECD=Z EDC,工DE是等边三角形， . AB=DE=CE, : / GBC=Z GDC=60 ； /G=/DCB=60； . ABGE 是等边三角形， BE= GE=543 . tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,设 HE=x，贝U AH=473x .ZAB

13、E=Z DEC=60 °, ，/BAH=30 ： . BH=4x, AB=8x, 4x+x=5而，解得：x=43, ，AB=8V3, HB=4T3, AH=12, EC=DE=AB=873, HC=HE+EC= 3i 8，3 = 9J3.在 RtA AHC 中，ac= Jah2 hc2 Ji22(9拘2 =3而.作直径 AP,连接 CP,/ ACF=90°,/ P=ZABC=60°,sin/ P=-ACAP 'APACsin603.43、32"9 ,，。0的半径是V129 .5.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 C作A

14、C的垂线交AD 的延长线于点E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5也，AD : DE=4 ： 1 ,求 DE 的长.【答案】(1)见解析；(2) .5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADCAACE，得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。的直径，Z ADC=Z EDC=90 °.点 F 为 CE的中

15、点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) .AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C，BC=AB=5 后.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,1. AD=4x, AE=5x,.-100=4x?5x,x= 75 ,，DE=V5.点睛

16、：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.6.如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点 C在。O上，CB/ PO. （1）判断PC与。O的位置关系，并说明理由； 若AB=6, CB=4,求PC的长.【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） 3J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证Z PCO=90即可.（2）可以连接AC,根据已知先证明 ACPPCQ再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC1. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/

17、OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 ° .PC是。的切线.IJF（2）连接AC.AB是。的直径ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCO,EC AC. B OC-AC sVaB2-BC2 3#彳w5 口二二二二.BC _4_4_ 2点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.

18、同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.7.如图AB是4ABC的外接圆。的直径，过点 C作。的切线CM,延长BC到点D,使 CD=BC连接AD交CM于点E,若。OD半径为3, AE=5,（1）求证：CMXAD;（2）求线段CE的长.6【答案】（1）见解析；（2）75【解析】分析：（1）连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可详解：证明：（1）连接OC.CM切。O于点C,/ OCE=90,°.AB是。的直径，/ ACB=90 ,°-.CD=BC.AC垂直平分 BD,.AB=AD,/

19、 B=/D/ B=/OCB/ D=Z OCB .OC/ AD / CED土 OCE=90 ° CMXAD.(2) OA=OB, BC=CD1 .OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1易证CDE-MCECE_ 2E_AE CE2 .CE2=AEX DE，ce=、.5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间 的关系是解题关键，是中档题.8.如图，已知。的半径为1, PQ是。的直径，n个相同的正三角形沿 PQ排成一列， 所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 AiBiCi的顶点Ai与点P重合，第二个 A2B2。的顶点A2是BiCi与PQ的交点，

20、最后一个AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.如 图1,当n=1时，正三角形的边长 ai=；如图2,当n=2时，正三角形的边长 a2=；如图3,正三角形的边长 an= （用含n的代数式表示）.巴4)日4 Q图28.3型i3 i 3n2分析：(1)设PQ与BiCi交于点D,连接BiO ,得出OD=AiD -O A ,用含ai的代数式表示。D,在AOBiD中，根据勾股定理求出正三角形的边长ai； (2)设PQ与B2 c2交于点E,连接B2O,得出OE=AiE-OAi,用含a2的代数式表示 OE,在AOBzE中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a2； (3)设PQ与BnCn交于点F,连接BnO,得出O

21、F=AF-OAi,用含an的代数式表示 OF,在4080 5中，根据勾股定理求出正三角形的边长an.本题解析：3(i)易知AiBiCi的图为-,则边长为 J3,(2)设AiBiCi的高为h,则A2O=i-h,连结B2O,设B2c2与PQ交于点F,则有OF= 2h 1.2. B2O2=OF2+ B2F2,i= (2h-i)2+a22h =a2, . i = ( y/3 a2 i)?十24 a22，解得a2=舅3 .i3(3)同(2),连结BnO,设即 i = (nh- i)2+ 1 a 2BnCn与 PQ交于点 F,则有 BnO2=OF2+BnF2, 2h 3h= an2解得an =3n2 i【

22、解析】9.阅读下列材料:如图1, OO1和。O2外切于点C, AB是。O1和。O2外公切线，A、B为切点，求证：AC± BC证明：过点C作。Oi和。O2的内公切线交AB于D,.DA、DC是。Oi的切线DA=DC.Z DAC=Z DCA.同理 / DCB=Z DBC.又 / DAC+/ DCA+Z DCB+Z DBC=180 , / DCA+Z DCB=90 ,°即 AC± BC.根据上述材料，解答下列问题：(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；(2)以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、

23、B两点的坐标为(-4, 0) , (1,0),求经过 A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式；(3)根据(2)中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2试题分析：(1)由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°,可知用了三角形内角和定理；(2)先根据勾股定理求出 C点坐标，再用待定系数法即可求出经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式；(3)过C作两圆的公切线，交 AB于点D,由切线长定理可求出 D点坐标，根据C,D 两点的坐标可求出过 C,D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的 关系可求出过两圆圆心的直线解析

24、式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适 合即可.试题解析：(1)DA、DC是eO1的切线，. DA=DC应用的是切线长定理；DAC DCA DCB DBC 180°,应用的是三角形内角和定理.(2)设 C点坐标为(0,y),则 AB2 AC2 BC2即 4 1 24 2 y2 12 y；即25 17 2y2，解得y=2（舍去）或y=-2.故C点坐标为（0,-2）,设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y ax2 bx c,16a 4b c 0则a b c 0 解得c 2,2,1 93故所求二次函数的解析式为y 1x23 x 2.22（3）过C作两圆的公切线 CD交AB于

25、3 D,则 AD=BD=CD,由 A(-4,0), B(1,0)可知 D( -,0),2设过CD两点的直线为y=kx+b,则3-k b 02解得b2,432, 4故此一次函数的解析式为y 4x 2,34过。,。2的直线必过C点且与直线y -x 2垂直, 33 一故过。,。2的直线的解析式为y x 2,4 325由（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（一，）28 33代入直线解析式得3324225一,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心8O1O2 上.10.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作 AC、 CB、ba，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三

26、角形，显然莱洛三角形仍然是轴对 称图形，设点l为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点 A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段 MN的长为 ；(2)如图3,将这个图形的顶点 A与等边4DEF的顶点D重合，且AB± DE, DE=2tt,将它 沿等边4DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中 所扫过的区域的面积；(3)如图4,将这个图形的顶点 B与。的圆心O重合，。的半径为3,将它沿。的 圆周作无滑动的滚动，当它第 n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 (请用含 n的式子表示)【答案】(1) 3兀;(2) 27兀；(

27、3) 2j3n兀【解析】试题分析：(1)先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3兀，即可得出结论；(2)先判断出莱洛三角形等边 4DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形 的面积之和即可；(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和。重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出.试题解析：解：(1)二.等边 4ABC 的边长为 3, ./ABC=/ ACB= / BAC=60°,603Ac Bc Ab，-lAc lBc =1ab= 线段 mn 的长为180lAc lBc lAB=3冗故答案为3兀；(2)如图1.二.等边 DEF的边长为2兀，等边ABC的边长为3, ，S矩

28、形aghf=2兀X 3=6,兀2由题意知，AB± DE, AG±AF,Z BAG=120°, .SWbag=120一3-=3 怎图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 (S矩形aghf+S扇形bag) =3 (6兀+3才=27k；(3)如图2,连接BI并延长交 AC于D. I是4ABC的重心也是内心，./DAI=30°,AD=工 AC=, 22oi=ai= ADcos DAI3_2=J3,，当它第1次回到起始位置时，点Icos30所经过的路径是以 。为圆心，OI为半径的圆周，.当它第n次回到起始位置时，点I所经 过的路径长为n?2Tt?J3=2 4

29、n7t.故答案为2信冗.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解(1)的关键是求出 AC的弧长，解(2)的关键是判断出莱洛三角形绕等边4DEF扫过的图形，解(3)的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的 题目.11.如图，四边形 ABCD内接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ DEC=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；【解析】 【分析】(1)先判断出BD是圆。的直径，再判断出 BD± DE,即可得出结论；(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到ZF=Z ED

30、F,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD JDE2 CE2 芯，证明CDaDBE,根据相似三 角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. /BAD=90； .点。必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE.点D在。上，DE是。的切线；(2) Z BAF=Z BDE=90°, . . / F+/ABO/FD曰/ ADB=90°

31、 .,.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FD匕. DE=EF=3. . CE=2, /BCD=90； . . / DCE=90 ； . . CD DE2 / BDE=90 : CD± BE, . / DCE=Z BDE=90 :CD BD Z DEC=Z BED,ACDE ADBE, CE DECE2点.BD 近 3 _35 , . .OO 的半22径3_I4本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理, 求出DE=EF是解答本题的关键.12 .如图，在RtABC中,/ ACB=60°,。O是4ABC的外

32、接圆，BC是。O的直径，过点B作。O 的切线BD,与CA的延长线交于点 D,与半径AO的延长线交于点 E过点A作。O的切线AF, 与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是。O的切线；(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形 *存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析【解析】【分析】(1)过O作OMLEF于M,根据SAS证明OAFOBE 从而得到 OE=OF再证明EO平分 /BEF,从而得到结论；(2)存在，先证明 4OAC为等边三角形，从而得出 /OAC=/AOC=60°,再得到AB=AF,再证 明ab=af=fp=bp从而得

33、至IJ结论.【详解】证明:如图，过O作OMLEF于M,. OA=OB,/ OAF=Z OBE=90 ；/ BOE=Z AOF, .-.OAFAOB.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;：/ OEM=Z OFM=30 :：/ OEB=Z OEM=30 :即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF为。的切线.(2)存在.BC为。O的直径，Z BAC=90 :/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC： OAC为等边三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ,.AF为。O的切线，:/ OAF=90 :/ CA

34、F=Z AFC=30 ；:/ ABC=Z AFC：AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时，此时/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF为公共边,.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=/ AFC=30 .II又： X FOP=Z OBP=/ OPB=30°,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂 直即可.13 .如图，四边形力"CD为菱形，且120

35、*,以八。为直径作O。,与0D交于点P.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.（保留作图痕迹）在如图中，过点C作.A边上的高0E.（2）在如图中，过点P作的切线Q,与旧。交于点Q.色j任工【答案】（1）如图1所示.（答案不唯一，见解析；（2）如图2所示.（答案不唯一），见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E连接CE即为所求.（2）连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.【详解】（1）如图1所示.（答案不唯一）（2）如图2所示.（答案不唯一）【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型.14 .已知 R

36、tAABC, / BAC= 90 °,点 D是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过D作DHXAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或，3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形

37、(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE± DM,易得到ADC为等边三角形，得 /CAD=60。，则/ DAO=30。，/ DON=60 ,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=- AD=73 , ON=DN=1:23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,得至U DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1, 又/M=/DAE=30,

38、MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到 /DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1;(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6CT,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=6C,° Z CAQ=Z PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=273 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，

39、BC= 4 J3 , .AD=1BC= 23 ；2(2)连 DE、ME,如图，DMDE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD=AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 °,1在 RtADN 中，DN= AD=百2 '在 RtODN 中，ON=2/3DN=13 ，当ON等于1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME, DE为底边，如图3,作DHXAE,. AD=2 73 , ZDAE= 30°,.DH= 73, /DEA= 60 °, DE= 2,.ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1,. Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °