2009届东台中学高三第一学期期末数学考试试题

1、分别给出命题：甲：函数 f (x)的值域为(一 1, 1 )； 乙：若 X1丰X2,则一定有 f(X1)工 f(X2)；丙：若规定f1(X)=f (X), fn(X)=f(fn(x),贝Vfn(x)你认为上述三个命题中正确的个数有2 29._过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a、b,则 4a b的最小值为 _10._ 若直线y = 2a与函数y =|ax-1|(a 0且a=1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷、填空题：1设集合M二卄COS2a2 若sin：-nI 4丿x x =sin ，n乏Z3， 贝U cos：亠

2、sin：=)2，则满足条件PU3,迟2 2二M的集合 P 的个数是21、13.设 A=(8182,83), B=b2，记 A o B=maxab,a2b2,a3b3,若 A=(x1,x+1,1), B=x- 2J-1丿且Ao B=x 1，则x的取值范围为 _ 。3已知 0 为直角坐标系原点,4x 3y -25 _ 0P、Q 的坐标满足不等式组x-2y，2_0，则cos. POQ的x-1 _ 0最小值为_4设 A , B 是x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2,且PA二PB,若直线则直线 PB 的方程是_14. 设 A 为锐角三角形的内角，a 是大于 0 的正常数，函数 y=一1a的最小值是 9

3、,cosA 1 - cos A贝 U a =_二、解答题15.已知f (x) = ax33x2- x 1，a R.(1)当a=3时，求证：f(x)在R上是减函数；(2)如果对-xR不等式(x)乞4x恒成立，求实数a的取值范围.5.已知函数f (x)在x=1 处的导数为 1,贝U_x)=_6若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：仏x =sin x cosx,为“同形”函数2 27.椭圆ax - by=1与直线y =1 - x交于 A、B 两点，过原点与线段,则a=2 bAB 中点的直线的斜率为16.在厶 ABC 中，a,b,c分别为角 A、B、

4、C 的对边,2228bca - c b，a=3, ABC 的面积为 6,58.次研究性课堂上，老师给出函数f(X)二1+|x|x(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时D ABC 内任一点，点 D 到三边距离之和为 do求角 A 的正弦值；求边 b、c；求 d 的取值范围1 n |x|a、11. “已知数列an餐为等差数列，它的前n项和为Sn，若存在正整数m,n mn，使得Sm=Sn，贝 Vsm十=。，类比前面结论，若正项数列bn 为等比数列， -12. Rt ABC 中,斜边 AB=1,E 为 AB 的中点,CD 丄 AB,则(CACD)(CACE)的最大值为 _ .19某市环保部门通过研

5、究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污 染指标 f(t)与时间 t (单位：小时)之间的关系的函数模型：11JTf (t)= g(t)+a+2a, t 引 0,24)，其中，g(t)=?si n(云卩18)代表大气中某类随时间t 变化的典型3污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且a，0,上。4求 g(t)的值域；求 M (a)的表达式；若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0,试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。18.已知直线(1 4k)x -(2 -3k)y -(3 12k) =0(kR)所经过

6、的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为 8.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知圆O : x2 y2=1，直线l : mx ny = 1试证明当点P(m, n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线I被圆O所截得的弦长的取值范围.320.已知函数f(x) = x -3ax(a R)(1) 当a=1时，求f (x)的最小值；(2)若直线y m 0对任意的m，R都不是曲线y二f (x)的切线, 求a的取值范围(3)设g(x) =| f(x)|,x -1,1，求g(x)的最大值F(a)的解析式。17.已知：正方体ABCD-A1B1C1D1,(I)求证：B1D1_

7、 AE； (n)求证:(川)求三棱锥A-BDE的体积.AA1=2, E 为棱CC1AC/平面BQE；的中参考答案: E、F是CC、BB1的中点，CE_B1F,四边形BFCE是平行四边形，CF/ B1E .7 分 E, F是CC、BB1的中点，二EF/BC,1,2116.f1x , f2x1. 4 2.323.-23.-24.x y -5=05.27.8. 3 9.3210.1(0,)11.它的前n项乘积为Tn,若Tm二Tn,贝VTm .n= 12221213. 1,1+ .2 14.42715.解： (1)当a = -3时,f (x): =-3x33x2-x 1,(2)-xR不等式f (x)乞

8、4x恒成立，即-xR不等式3ax26x-1岂4x恒成立,又AC平面ACF,AC/面BQE.10 分R不等式3ax22x -1 _0恒成立.当a =0时，R 2x - 1_(不恒成立;(出)S，AB-1 AB A2.12 分1当a：0 时，-x R不等式3ax22x -1乞0恒成立，即厶=4 12a冬0,a.321当a 0时，-xR不等式3ax22x-0不恒成立.综上，a的取值范围是(-:：，-.322,28bc b2 c2-a244316 .解：(1)a c bcos Asi nA -52bc 555VA_BDE18解:113(2) SABCbcsin A bc 6 , be=20225,2

9、2 2由bc a 4及be=20 与a=3 解得 2bc 5b=4, c=5 或 b=5,c= 41 1 2CES.ABDCE15 分(1)由(1 4k)x-(2 -3k)y- (3 12k) = 0(k R)，得(x_ 2y_ 3) k(4x 3y-12)= 0,x 2 y 4 0 x?则由,解得 F ( 3,0 ) 设椭圆C的方程为占4x+ 3y- 12 0a丨c = 3丄a = 52IIx2a 8，解得b = 4所以椭圆C的方程为 一-2 2252 21162廿1(a b 0),则1设 D 到三边的距离分别为 x、y、z，则SABCSSW6+4y兰12,12 1 、d=x+y+z=+-(

10、2x+y)又 x、y 满足xX0,55y =0,2 2亠m n22(2)因为点P(m, n)在椭圆C上运动，所以1m，nI : mx + ny =1的距离d1c1= r.所以直线I与圆O恒相交J m2+ n2从而圆心O到直线画出不等式表示的平面区域得:12 , d : 4又直线I被圆O截得的弦长为L = 2= r2- d2二17. (I)证明：连结BD，则BD/B1D1,. 1 分卜冷=2；=-25m 16/ ABCD是正方形，AC _ BD . CE_ 面ABCD,CE _ BD. 又ACCE二C,.BD_ 面ACE. 4 分/ AE面ACE,BD _ AE,-BP AE. 5分由于0乞m2

11、乞25,所以1 m216乞25,则L二15.6,252519.解：g(t)的值域为0,-2f/(x) - -9x2，6x -1 - _(3x -1)2_0 , f(x)在R上是减函数即直线I被圆O截得的弦长的取值范围是L参考答案: E、F是CC、BB1的中点，CE_B1F,又BC/AD,EF/AD.四边形ADEF是平行四边形，.AF/ED, AF CF =C,Bn ED = E,平面ACF/面B1DE.(n)证明：作BB1的中点 F,连结AF、CF、EF.盒1当 a (7,3时，M (a) =3a12 420.解：(1V-当 a =1 时，f当x(-1,1)时，.f (x)在(-1,1)上单调

12、递减，在(_：,一 1,1,:)上单调递增.f(x)的极小值是f(1)=2(2)；f (x)=3x 3a _ _3a,.要使直线x y 0对任意的R都不是曲线1y =f(x)的切线，当且仅当 一1” -3a时成立，.a :-3(3)因g(x) =| fx)|=|x3-3ax|在-1,1上是偶函数，故只要求在0,1上的最大值1当a空0时，f(x)_0,f(x)在0,1上单调递增且 f(0)=0,. g(x) = f(x)F(a) = f (1)=1 _3a.2当a 0时，g(x)斗 f (x) |=(ii)当0：. a：1,即 0 : a :1当f (1) =1 3a空0,即 a：1时，3g(x) =| f (x)-f (x),-f (x)在0,、a上单调递增，在a,1上单调递减,F(a)二f( . a) =2a . a； 2 当f (1) =1 -3a0,即0 a：13(i)当 - f (、a) _ f (1) = 1 -3a,即 0：a _ 丄时,F (a) = f (1)二 1 - 3a 4当-fg fxr即4a1时F-fd爲1M (a)=57a6卫0,刁1_ 7 33a , a -(,312 410 分上+ 52；12612所以若按给定的函数模型预测, 该市目前的大气环境综合指数不会超标。15 分9 1 23: 2 .4 312(x)二 3x2-3,令 f (x)