2018年高考数学专题26含参不等式的存在性与恒成立问题黄金解题模板

1、专题 26 含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. .解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空 题和解答题等出现，其试题难度属高档题. .【方法点评】方法一判别式法解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论;第三步得出结论. .使用情景：含参数的二次不等式例 1 1 设f (x)二x22mx 2，当x T, ：)时

2、，f (x) _ m恒成立，求实数m的取值范围【答索】-3J).【解析】设尸(力=/2磁+2酬，则当xE-1)时，F(x)0恒成立：当A = 4(JM-1XJ + 2)0E卩2m 0显然成立当A0时，如图F(x)0恒成立的充要条件为：I. F1X1IA 0*F(1)兰0解得一3 Em兰一2。一也1 2综上可得实数m的取值范围为-3,1). .【点评】一般地，对于二次函数2f (x)二ax bx c(a = 0, x R), ,有 1 1)f (x)0对x xR恒成立a 0匸0；2)_a v 0f(x)c0对xR恒成立吕丿A 2x +m在区间-1上有解，转化为 区间-1.1有解，因此只需满足/0

3、有解的充要条件为a-,a-,则由p为真，为假可得a的取值范围.试题解析：T西，花是方程壬哒-2 = 0的两个实根，* * = = tataj=2 j| jq在=吋匕+JC)2佃花=J J 捉+8+8当IHE1时，I码巧Ln=3由不等式/ -3耳羽-卸对任意实数刚 1恒成立, 可得宀弘一323,Q6或必一1,若不等式a? + 2x-l0有解，则当a 0时，显然有解，当a= 0时，ax22x-10有解,5当a：0 0时，ax22x-1 0有解,:丄=4 4a 0，二-1：a a 0,2不等式ax 2x -10有解时a a-1, q假时a的范围为a _ -1，由可得a的取值范围为a二-1.考点：命题

4、真假性的应用方法二分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论 . .例 3 3 已知函数f xi；= kx2-1 nx，若f x 0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是（）11 1 1 1A A.-el-elB B.丄 I IC C.1亠I I D D .I Ie，2e，e，2e2e，【答案】D D【解析】试题分析：由题意得AO在函数罡义域內恒成立，即

5、 2 -kix0kix0在函数定义域內恒成立很叱吟X X在翹症义域内恒成立，设（刃二嶂贝惊二号心就=趙一严叭当xe（Q上函数X XX XXg（M里调递増；当血（需叔）上，函数員0单调递减，所以当&时，函数g（町取得最大值，此 时最大值如心士 所以实数上的取倩范围是任皿卜故选亠考点：函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒 成立，利用分离

6、参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键含参不等式分离参数后的形式因题、7因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：(1 1 )f(x)：g(a)恒成立二f(x)max：g( a)； ( 2 2)f(x)空g(a)恒成立二f(xhax乞g( a； ( 3 3)f (x) . g(a)恒成立二f(xhng(a=)( 4 4)f(x)_g(a)恒成立二f (x)m_ g(a). .【变式演练 3 3】已知函数f (x .1 2x4xa在(-：,1上有意义，则a的取值范围是_.3【答案】-一，.4【解析】固数才(对在(o,l上有意义，等价于1+廿+4匕0在(TO上恒成立，即EZ

7、 D恒成立，记曆W*+(fi,即等价于口 如皿k Z1一因为ffW在(T0上是增函数、因此(对的最大值为g(l -所以4 A=g(y)=g(y)= -? ?于罡Q Q的取 斗33值范围是0 0 工一二、故应填-7，+)-4442【变式演练 4 4】若关于x的不等式x a -3a对任意实数x 0恒成立，则实数a的取值范围为()xA A. -1,4B BC.C.( -, -1 _ 4,)D D【答案】A A【解析】4x，即x= 2时等号成立，又关x4222于x的不等式x a 3 a对任意实数x 0恒成立，则a -3a一4,即a - 3a - 4一0,解得x一1乞a冬4，故选 A.A.考点：基本不等

8、式的应用；不等式的恒成立问题方法二函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如f (x, a)一0、f (x,a)：0等;第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论. .311例 4 4 已知函数f (X) =ax3 X?+1(XR),其中ao. .若在区间- -上，f(x)O恒成立，求a22 2(-：,-2一5,二)-2,5试题分析：由题意得，因为x 0，则x -x当且仅当的取值范围【答案】0 : a5. o j SOx若住:2,则上 ,于是当一-耳Oj当0工 一时，fx)fx) 0所儿当

9、0时，/(力有晨大值当英=-时，有最小11”于是a a2a a/0近J5解得此门予或盘一f f因此2aa 5/o22综合(1得0o5.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当f(x,a) _0恒成立：=g(a)_O； (2 2)如果f (x,a)有最大值g(a)，则f(x, a)：0恒成立=g(a)：O,f (x, a)乞0恒成立=g (a)込0【变式演练 5 5】已知函数f x =ex-ax,a 0.(1(1 )记f x的极小值为g a，求g a的最大值；(2(2)若对任意实数 x x 恒有f x 0，求fa的取值范围.【答案】(1 1)1

10、； (2 2)i,ee-e2.题过程中常常要用到如下结论：(1 1)如果f (x, a)有最小值g(a)，则f (x, a) 0恒成立=g(a) 0,形式如f (x,a) _0、f (x,a) 0等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. .在解2解得009【解折】试题分析：（1）（昔助题设条件运用导数的有关知识求解C2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等 价韩化再运用导数知识求解.试題解析：1）函数才（刃的定义域是（v 冋,f fr rjcjc）=&=&K K-a-at t令得elua,所以/（兀）的单调递増区间是（In足加）；令/（x）0,得jculn

11、s所以/（丸）的单调递减区间是（YoJz）j函数在xlud处取扱小值，g（农） = /（无）軽屮飪=/（山alfJdg gr r（a a） - -l-（l+tafl） =-taa j当0QQL Lg g（a a）在（0.1）上单调递増；当 QA1 时，在口）上单调递减，所以门=1是函数営何在 0 炖）上唯一的根大值点，也是最大值点，所以&S）嗣二耳（I）（2 2）当x二0时，a .O,eXax_O恒成立，X当x 0时，f x - 0，即ex- ax亠0，即a _exee x -eex -1令h x ,x 0,；,h x2xxx当0：x：1时，h hx：0,当x 1时，h hx 0,故h

12、 x的最小值为h 1 = e,所以a乞e，故实数a的取值范围是0,e丨f a=ea-e2,a 0,e 1，fai =ea-2a，由上面可知ea-2a_0恒成立，故fa在0,e 上单调递增，所以f 0 = 1：f a乞f e二ee- e2，即f a的取值范围是1,ee-e2考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用.【变式演练 6 6】设函数f （x）二exT-X-ax2，若x_0时，f （x） _ 0,求a的取值范围。1【答案】a岂丄2【解析】工-1-2皿，由方程/r(x) = 0不能求出极值臥 显然，用例4的解法罡行不通的，但我 们注意到/(0) =0,故问题传化为/(A)/(0)在兀巴0时

13、恒成立，即函数“0在*)为不减函数，于 是可通过求导判断/(的单调性，再求出使/(x)/(0)成立的条件。由于自J1+厂当且仅当x = 0时 成立，故/(x = -l-2xjt-2ax = (l-2)x?而当1一2口巴0,即a-aU)(xU)A心是Oz)上的不减函数，/./(X)/|B寸，由l + x 0可得込八一i)=尸故当孔(0他勿)时，/(x)o/(x)of frfHf(0)rfHf(0) = = o or r于 是为xE 也2tJ)时y(x) 0.综合得aa2ln x在1,1,讼)上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1 1)5x-4y-5x-4y-4=0(2 2)详见解析(3 3)1，

14、；，；) )【解析】试题分析：(1 1)由导数几何意义得f (2)为切线斜率，再根据点斜式求切线方程(2 2)求函数单调性，先2、a a -2-2 axax(2(2a)a), ,小、f f (x)(x) = = a a 2 227 7(a(a 0)0)求函数导数：x xx x，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：11当Os旦时，fWQfWQ , ,因此在 Z和 03 上单调递増j当2时，导的数有两个零点直耳先増再减再増（巧本题不宜变量分离，故直接研究函数曲）=6十上？晋2-加-2険貞小a a一=& -七-彳=（1）皿拦_劲X Xf先求导数於耳耳工，导国数有两个零点% % m

15、m$ (a ) )x xf f (x)(x) , , X X xx2 2或 x%;x0,g(x)g(x)0,g(x)单调递增,所以,时,g g (X)(X) ：0,g(x)0,g(x)单调递减,g g（x）在1，；），；）上的最小值为 g g（1）13【解析】不等式fg| + 为一+（*）,JLyvTLTL当 kMI 时,（町式即为一r+x3兰土+农兰/兀+3,丘+ 一3/乂+3,x 2x 2c2= 2（当x = 2时取等号），2 x2 x所以一2、.3空a乞2,47综上a一2.故选A.16【考点】不等式、恒成立问题遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利

16、用极端原理，求出对应的a的范围|x| 2,x 1-2 2416393916 162 2JC2-x+3 =(x)2416 16A A39斗71-（“上时取等号,164（兀=时取等号“4当x 1时，（* *）式为_x_x_32x 2_x_a_ 2x2x32-2.3(当2 x时取等号），3【名师点睛】 首先满足xf （x）色一+a转化为xx-f (x) a乞f(x) -去解决,22由于涉及分段函数问题要【答案】A【解析】当a =2、3时，函数图象如图所示，排除 C,DC,D 选项;试題分析：首先画出国数才(力的图象，当“0时，莒仗)=寸+4的零点罡一加1,不会和函数/(有交点満足不等式恒成立，零点右

17、边貞力jr x xk k = = - -? ?根据團象分析，当*0时，a2a2f f即0*2成立，同理，若口-上兀=0时一&玄2=a乏一2,即一2玉4 g(jc)1恒成立所以一2冬&冬2，故选A,【考点】1.1.分段函数；2.2.函数图形的应用；3.3.不等式恒成立【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.3.也可转化为F X0的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围X本题中的函数 f f ( (x x ) )和 g g( (X X )=)= +a+a 都是比较熟

18、悉的函数， 考场中比较快速的方法是就是代入端点，画出2函数的图象，快速准确，满足题意时f f (x(x ) )的图象恒不在函数 y y = =上+a+a 下方,2【答案】D D【解析】设, , y y = = ax-aax-at t由题知存在唯一的整数心使得吨)在直线尸。-口的下方.因为典(2兀+1),所以当贰气时，0(力6当时，如Q,Q,所以当x = -|时, 工13X= 0B寸旳)“1,1,S S(l)(l) = = Q Qt t直线y二乐。恒过(1,0)斜率且沧，故-ag(0-ag(0 = = -h-h解得故选D.2e2e1) - ax a, ,其中，若存在唯一的整数x0，使333(A)

19、(A)卜 ,1) (B)(B)卜,2e2e4(C)(C) 2e，;)(D)2e，1)17【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1:1:兹变分离，转化为参数小于某个酗(或参数大于某个函 数片则参数该于该函数的最犬值(大于该函数的最小值),思路“数形结合利闻导数先研究函数的團像 与性质，再画出该函数的草图，结合图像确走蔘数范围，若惊国数團像不易做，常化为一个国数存在一点 在另一个函数上方，用圈像解；思路肌分类讨论，本题用的就是思路比.x24.4.【20152015 高考四川，文 1515】已知函数f( (x) ) = 2 2

20、,g( (x) )=x+ax( (其中aR).).对于不相等的实数xi,X2,设m=f(Xi)f(X2),n=g(Xi)g(X2)，现有如下命题：捲x2捲_x21对于任意不相等的实数Xi,X2,都有 mm0 0；2对于任意的a及任意不相等的实数xi,X2，都有n0 0；3对于任意的a,存在不相等的实数xi,X2，使得m= n；4对于任意的a,存在不相等的实数xi,X2，使得m=-n. .其中真命题有 _ ( (写出所有真命题的序号 ).).【答案】【解析】对于，因为f(x) ) = 2 2Xln2 2 0 0 恒成立，故正确对于，取視=一8,即当m的4时错误对于，令，（对=威力，即2Vrt2=

21、2x+a记蚣）=2Frt2-2t贝U#x）=2Y/rt2y-2存在M（0, 1）,使得阪）=0,可知函数廉）先减后增，有最小值因此，对任意的励厳二H不一定成立.错误对于，由/（X）-*（）,即2ft2=-2xa令 蚣）=2血2+2x则甘=2=2 础十 2 20恒成立即蚣）是单调递增函数，当 L + 8 时，城X）f + 8当 L_8 时，蚣）-co因此对任青的Q,Q,存在y=ay=a与函数A（对有交点、正确【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力 【名师点睛】本题首先要正确认识m n的几何意义，它

22、们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数XI,X2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误属于较难题25.5.【20162016 高考新课标 1 1 卷】已知函数f x二x2 exa x1有两个零点. .（I I）求a的取值范围；（IIII）设xi, ,X2是f x的两个零点，证明：x x1xx： 2 2 . .【答案】（0,二）【解析】试題分折；（D求导根抿导函数的符号来确定,壬要要根抿导函数零魚来分类孑QD僧组第一问的结论来证明* 由里週性可知画+花2尊价干丿 （召） :/ （

23、2-花-花）C0.设哝帀宼1一0-2炉*则tx） = （x-lX-x-er） .则当工时,t而畧故当“1时T（x）0 .从而19烈旳）=/（2-花）2.试题解析；(I)f (x) =(x -1)ex2a(x -1) = (x - 1)(ex2a).(i i )设a =0, ,则f (x) =(x 2)ex, ,f (x)只有一个零点.(iiii )设a 0, ,则当x (-：,1)时, ,f(x)：0; 当x (1,：)时, ,f(x)0.所以f(x)在(-：，1)上单调递减,在(1/：)上单调递增.又f (1) - -e,f (2) =a,取b满足b：0 0 且b bln,则2a223f(b

24、) (b-2) a(b-1)二a(b b) 0,故f(x)存在两个零点.(iiiiii )设a 0, ,由f (x) =0得x =1或x = I n( 2a).e若a,则In(-2a)乞1,故当x (1, ：)时，f (x) 0,因此f (x)在(1,：)上单调递增又当x乞1时,f (x)：0,所以f (x)不存在两个零点.e若a,则In(-2a)1,故当x (1,ln(-2a)时,f (x)：0； 当x x(In(-2a),：)时,f (x)0.因此2f(x)在(1,ln (-2a)单调递减,在(In (-2a),单调递增.又当x叮时，f(x)：0,所以f (x)不存在两个零点.综上,a的取

25、值范围为(0,七).(11)不妨设由(I)知坷E(YOj)：花E仏驱),2-耳在上单调递减所CU +冷 2等价于/(X0 +呛1)2=6所決/(2可-空 I设Sx)SLEtg(x)g(x)0 -从而胆 G 二乳2-花)(x+当x x(0,1)或xf/(x)0,(x)单调递增;M_2X* T)(1) 0：a：当x -f/(x) : 0,(2)a = 2时,(0/:)内,(3)a 2时,当x(o F)或XE(1,Xc)时，fx)。，f (x)单调递增；当x xw w ( (2,1)时，f/(x)cO,f (x)单调递减 a综上所述，当aO时，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,=)内单调递

26、减;当0：a：2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,2)内单调递减, a当a = 2时，f (x)在(0, ：)内单调递增；当a2,f (x)在(0, J2)内单调递增，在(J?,1)内单调递减，在Ya a a在(丿三*)内单调递增;1a23(U)由(I ) 0口=1时，一广(刃一“号-(1弓申 篇一Sx+斗- ) jJC1,2；x则才(-/(力=g(x) + ft(x) J由了3 = 0可得倉QHg(】)=1,当且仅当】时取得尊号酬(恥曲于X设韓Q =则曲)在K“谊单调翻L商以在U上祥衽孔觎XEQL&)吋，处0“*貳2)巧 沁C)6所以瞬M(r)在(1冯上单调删孑在(,2)上

27、单调圏J&由干6(D=kA(2)-因此臥力上械2*当目仅JC= 2K#号所以 /(1)+/1，函数g x=f x -2有且只有 1 1 个零点，求ab的值。【答案】(1 1)0 04 4( 2 2)1 1【解析】试题分析：(1)(1)根据指数间倒数关系转化为一元二次方程(2丫 -2梵201=0 ,求方程扌艙根 据指数间平方关系211+ 2-=(+2-1/-2,将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应 函数最宦 即+4的最小歯 最后根擔基本不等式求最值 先分析导函数零点情况：唯一零点兀，再确走原函数单调变化趙势：先减后増，从而结合图像确走唯一零点必在极值点兀取得，而5(0 =

28、/(0)-2- + -2 = 0,因此极值点兀必等于劉 迸而求出於的值本题难点在证明兀=(b弦可利用反通去：若00 , ,贝何寻找出一个区间(那花“由5C)0结合零点存在定理可得 函数存在昇一零点 与题青矛盾，苴中可取逝=不勻%3若0,同理可得.JhiJhi1试题解析：( (1 1)因为a=2,b，所以f(x)=2_2：21方程f (x) =2，即2x- - 22 =2=2，亦即(2x)2-2 2x0，所以(2x-1)2= 0，于是2x=1，解得x = 0. .2由条件知f (2x) =22x 2x=(2x 2)2-2 =(f (x)2-2. .因为/(2x)(x)-6对于JCER恒成立，且所

29、以也gH+4对于恒成立./JC)= 4；a(A4= 4；fgfg/(0)所以/Mp q.q.(I(I )求使得等式F(x) = =x2-2-2ax+4+4a-2-2 成立的x的取值范围;(II(II ) (i i)求F(x)的最小值 m(m(a)；于是ln aln b=1，故ln a In b = 0，所以ab =1. .(iiii )求F(x)在区间0,60,6上的最大值 M(M(a). .0,3_a _2、一234 8a,3 _ a：4【答案】(I I)12,2a; (llll ) (i i)m(a)詔_; (iiii) )M(a),_a2+4a_2,a 2 + 72.2,4【解折】试题分

30、析： 分别对丄1和就A1两种情况讨论 F(x),F(x),进而可得使得等式F(x)F(x) = = x-2ax+4x-2ax+4-2咸立 的尤的取11范围$H) i)先求函数/(丸) =2*1|,g(x)=xg(x)=x1 1-2ax-l-4a-2-2ax-l-4a-2的最小值，再根SF(x)SF(x)的 定义可得F(好的最小值(ii)分SimOJt22Jc0?当K A1B寸”fjc22x + 4i32)2 x1| = (x2)(X-243).所乩 使得等式2+力-2成立的尤的dl范围为2.2a.(llll ) (i i )设函数f (x )=2 x1,g (x ) = x22ax + 4a

31、- 2，贝U2fXmin二f 1，g Xmin二ga= a4a- 2,27所儿 由F（力的定义知刚3）=niiiiy,即0,3M必2+蔬nta）=-/a? + - 2卫2+ J2（ii） ojc2a寸，F（x）/（x）max/（O）t/（2） = 2=F（2）,2jrF（6）J所以，”、考点：1 1 函数的单调性与最值；2 2、分段函数；3 3、不等式.【思路点睛】 (I I)根据x的取值范围化简F x,即可得使得等式F x=yx=yx- 2ax - 4a - 2成立的x的取值 范围； (IIII)( i i )先求函数f x和g x的最小值，再根据F x的定义可得ma；( iiii )根据x

32、的取值范 围求出F x的最大值，进而可得二Ia.9.9.【20162016 年高考四川理数】设函数f( (x)=)=ax2- -a-ln-lnx,其中a R.R.(I)讨论f( (x) )的单调性；11 _x(n)确定a的所有可能取值，使得f(x) e在区间(1 1, + +8)内恒成立(e=2.718(e=2.718为自然对数的 底数).).1 1【答案】(I)当x(0,=)时，f(x)000,f (x)单J2aV2a1 1调递增；(n)a?C,a?C, ?).?).【解析】试题分析：(I )对/S 求导，对盘进行讨论，研究广 S 的正负，可判断函魏的单调性；(II)要证明不等式f(x)-e

33、f(x)-e在(1,用)上恒成立基本方法是设枪)=/)CLXHII当工1时 麻0=如-丄+2-严，負=0的解不易确定因此结合(】的结论缩小的范围，设X X X*X*兰匸二 并is(x)=e2-1-xl通过研究K力的单调性得Q1时，(x)0,从而JC0这样得出0不合题意，又0口1,且)V也不合題亂从而吨，此时考虑畑亠三+士4得29(x)x-l+-l07得此时凤功单调递増，从而有A(X)/J(1)-0,得出结论-XXX试题解析：12ax3_1(I I)f (x) = 2ax(x 0).xxa乞0时，f(x)000,f (x)单调递增. .-2a(IIII )令g(x)= =丄-丄,s(x)= =e

34、xJ- x. .x e则s(x)= =ex4-1. .而当x 1时，s(x)00,所以s(x)在区间(1+：)内单调递增又由s(1)=0=0,有s(x)00, 从而当x 1时，f (x)0.0.J2af (x)0 1 fl寸，xx + = -: 0jXX*JC X* xhXJ因此，砲在区间Q+O0单调递増一又因为散00所获当时丿A(x)- /&)-g(x)0 ,即/(Jf)恒成立.综上 fl I + 考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题 【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.求

35、函数的单调性，基本方法是求f (x),解方程f (x) = 0,再通过f (x)的正负确定f(x)的单调性；要证明函数不等式f(x) g(x)，一般证明f(x)-g(x)的最小值大于 0 0,为此要研究函数h(x)二f (x)-g(x)的单调性本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度.10.10.【20152015 高考福建，文 2222】已知函数f(x)=l nx-G2( (I) )求函数f x的单调递增区间；(n)证明：当x 1时，f x：x1；(川)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当X，(1,x0)时

36、，恒有f x k x-1(1+Q由有才(士/(I) =8从而取士)0,0a-0aQxQi +x/5. J?得002 2I故/（刘的单调递増区间是III)令F(x) = /(x)-(x-l), xefO.-Ko).则有F（R =匕三当无巩】,他）日寸，F（x）0,所以.F（力在L塚）上单调递减, 故Sx10寸，F(x)l时，/(x)x-l.（IIIIII ）由（IIII ）知，当k=1=1 时，不存在x01满足题意.当k 1时，对于x 1，有f x：x -1：k x -1，则f x : k x -1，从而不存在当k1 1时，令G x j=f x -k x1,i0,：,21-x 1 - k x 1

37、则有G x =-x，1-k二xx由G x =0得，x?1 k x 1 = 0.tiG(l)=Ol即综上，在的取倩范围是（TO）.【考点定位】导数的综合应用.1满足题意.【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式f (x) . 0或f (x)：0求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意f (x)g(x)与f (X)ming(X)max不等价，f(x)ming(x)max只是f(X)g ( X)的特例，但是也可以利用它来

38、证明，在 20142014 年全国I卷理科高考 2121 题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续.【反馈练习】1 1 .【河南省中原名校2017-20182017-2018 学年高二上学期第二次联考数学(文)试题】已知关于x的不等式4ax24ax 1 - 0的解集为R，则实数a的取值范围是()A.A.10,1B.B.0,1)C.C.(0,1)D.D.(0,1【答案】B B【解析】a =0时，符合题意，aO时，关于x的不等式4ax2 4ax T 0的解集为R,只需a 0216a -

39、16a 0=0：a 1，综上可知实数a的取值范围是0,1，选 B.B.2 2 【广西柳州高级中学、南宁市第二中学20182018 届高三上学期第二次联考】已知函数f x二X，ex x：g x =ln X 2 -4ea，其中e为自然对数的底数，若存在实数x，使f X0?-g x=3成立，则实数a的值为()A.A.-ln2 -1B.B.-1 ln2C.C.-ln2D.D.ln2【答案】A A【解析】令f x) - g (x)1- In (x-2) Ye1宀1I令In (x+2)fy-1 - -=- ,x+2JC+2故尸x-ln (x+2)在(-2, - 1)上是减函数， y有最小值-而 尹屮3(当

40、且仅当等号同时成立时，等号成立”故x=a+ln2= 1,艮卩 4 一1一ln2舌文选:A *333 3【四川省南充高级中学20182018 届高三上学期第三次检测数学(文)试题】已知函数f x二卫xlnx,Xg x =X3-X2-5，若对任意的为，X2：g,2，都有f% g g X X2- 2成立，贝U实数a的取值范围是A.A.11,亠B.B.0,亠C.C. - -：，：，0 0 D.D. -：，一1【答案】A A【解折】f(x)g(x)+2f(x)g(x)+2令= (x+2 = x3x13f贝= 3,2x2xf fWJ/(x) = -+nxh所xlux7令p(x) =xxlnx,贝|杖(尤)

41、=1一2血兀一尤,fl(x)=-21nx-3；则在区间-7上，(x) = -21nx-3xf(x )恒成立，则不等式x2f丄l-f(x)A0的解集为()X丿A.A.1,：B.B.- -:,1,1 C.C.2,2, ： D.D.- -：,2,2【答案】A A122a一旦1，填a-亠。【解祈】令商戶型，则対二给型JCJC/.r（x）-/Ws(x)x j艮卩疋糸1古攵选A点睛：本题首先需结合已知条件构造逻数，拓后考查利用导数尹斷函数的单调性，再由函数的单调性和国 数值的大小关系，判断自变量的大小关系一6 6 【浙江省名校协作体 2017-20182017-2018 学年高二上学期考试数学试题】已知函

42、数f x = ax22x 1，若对任意x壬R, f f （x）兰0恒成立，则实数a的取值范围是【答案】a_上匚12【解析】当a=0=0 时，f f（x x）=2x+1,f=2x+1,ff f（x x）=4x+3=4x+3 不满足大于等于 0 0 恒成立，不符。当a : 0时，f x二a x21111，令f x 0，则实数a的取值范围是.【答案】1,5 （或1：a乞5）【解析】利用一元二玄方程根的分布去解決，设，（刘=,-2-2）莖+。，当A =2一也cO时，即1垃:4时，对xeRxeR恒成立；当灯=1时，/（-1）=0 ,不合题意F当口 =4时,f f（2 2） = = 0 0符合题竜；A0或

43、i41 a a25252 /j 7当A0时扌打讥“，即，即：45兰5J JIVya5a5/（5）0a2JX-1=2=2r r当且仅当工二丄，即兀=1时取等号，即才(力的最小值是2由X XX X X XX XTF夕* X 1 Vg(x)=g(x)=J则g*x)=g*x)=2二r-丿由得00gx)0e(刃 总得xixi此时函数龙利咸函数，即当*1时，童凶取得根大值同时也是最犬值(i)=-，贝q孚聲总j j(花(1) 若曲线y = f x在x =1处的切线与y轴垂直，求y = f x的最大值；(2)若对任意的0乞捲：X2，都有f X2x22-21 n2 : f xixi2-21 n2，求a的取值【答

44、案】f Xmax=0-：,1 1e1 =2-e = 0,a二2令g x = f x = 2ax -ex x，贝 U Ug x = 2a -ex x，可知函数g x在-:：,1上单调递增，在1,1,，：，：上单调递减，所以f xmaf 1 -0. .(2 2)由题意可知函数h x = f x，x2-2l n2 =axx2-2 In2 -ex x在 0=0= 上单调递减,从而h hx =2ax 2-21 n2 -ex x一0在0,=：上恒成立， 令F x二2ax 2-21 n2 Lex，则F x = 2a -ex,【解析】( (1 1)9 9 .【广东省百校联盟 20182018 届高三第二次联考

45、数学文试题】函数f x二ax2-exaR. .当aLaL吋，Fp（x）0,所沁数”力在上单调递减，则WM=（0） = l-21n20?当时，严（葢）=2。一宀0,得1込，所以翅数尸（时在何论）上单调递増，在迪2企炖）2上单调递减，贝ij F（X）BJI= F（ln2） = 2dD2 + 2-2h2-2zj0,即 2aln2a-2a2aln2a-2a 21n2-221n2-2 , ,通过求函数y y = = nx-xnx-x的导数可知它在1,-KD）单调递増，故ial,ia 0 0,则心号当一.时，J J ； 一 -；当时 H H . .所以 f f x x 在（0 0, 1 1）上单调递增；在 -+01上单调递减，所以函数 匚在：二处取得极大值. .r/ （亿必 + ）n因为函数一 -在区