同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

1、第三篇常微分方程第六章常微分方程函数是研窕客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义.但是 在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些 变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程.在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法.第一节微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念.1. 1引例引例1 一曲线通过点（1, 2）,且在该曲线上任一点P（x,y）处的切线斜率为21，求这 条曲线方程.解 设所求曲线方程为y = /（x）,且曲线上任意一点的坐标为（x,y）.根据题意以及导数的几何

2、意义得dy=2工.dx两边同时积分得y = x2+c（c为任意常数）.又因为曲线通过（1, 2）点，把x = l, y = 2代入上式，得c = l.故所求曲线方程为y = x2 +i.引例2将温度为100°C的物体放入温度为0°C的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度r成正比，求物体的温度r与时间/之间的函数关系.解依照冷却定律，冷却方程为=-kt （攵为比例常数），（It所求函数关系满足/ = 0, 7 = 100.以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系.下而我们介绍有关微分方程基本概念.1.2微分方程的基本概念定义1含有未知函数以及未知函数的导数

3、（或微分）的方程称为微分方程.在微分方 程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.若未知函数为多元函数的微分方 程称为偏微分方程.例如下列微分方程中，(1) y' 3x = l：(2) Jv + ysinxdx = 0 ： (3)+ (/)2 + 2 = 0x,t、d2u d2u 1、dv.(4) -H = 1 ；(o) + cosy = 3x .dx1 dy1dx -都是微分方程，其中(1)、(2)、(3)、(5)是常微分方程，(4)是偏微分方程.本课程只讨论常微分方程.定义2微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.在上例中，(1)、(2)、(5)是一阶常微分

4、方程，(3)是二阶常微分方程.一般地，阶微分方程记为：F(x, y, V，,u，,) = 0.定义3若将y = /0)代入微分方程中使之恒成立，则称y = /(x)是微分方程的解(也称显式解)；若将°(x,y) = 0代入微分方程中使之恒成立，则称关系式°(x,y) = 0是微分方 程的隐式解.定义4微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 这样的解称为微分方程的通解.引例1中，积分后得到)，= V+C为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以 它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提 出确定通解中的常

5、数的条件.设微分方程中未知函数)，=丁"),如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 )，1八=%：如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是)1=耕=)'一上述 这些条件叫做初始条件.定义5求解微分方程)/ = /(x,y)满足初始条件引,=%的特解问题称为一阶微分 方程的初值问题.记作y=/uo,)例1验证=。:0$" + 6§11】是微分方程x" + o2x = 0的解.解x = q cos a/ + c? s in c的一阶导数f和二阶导数x"分别是£ = 一g。sin at + c2a cosat,x" =

6、 -c“ cosat - c2a2 sin at = 一。2 (q cos at + c2 sin at). 把X和/代入微分方程中，cosat + c2 sinc)+ a2(c cosat + c2 sinc)三 0.因此，x = q cosat + c2 sin at是微分方程的解.如果crc?是任意常数，则解x = qcosc + Gsina/是二阶微分方程£' +。，= 0的 通解.例2已知），=3+。"）是微分方程+ 2女+ y = 0的通解，求满足初始条件"厂 dx加。=4, Mi=-2的特解.解由题意得y = (Cl+ C2xxr = (CG

7、 C2x)e-X,把此句=4,），1口。=一2分别代入得/ a =4CCi=-2即f=4G = 2, 于是微分方程的特解为y = （4 + 2x）e'x.习题6-11.指出下列各微分方程的阶数.(1) xdy + ydx = O：(3)，" + yy'-2y = x ：(5) y" y0 = 2 cos yf y -(2) x(y')2-2y' +冲=0；(4)+ =x + %dy ?9(6)=厂 + 广： dx(8) + p = sin2 0 . d02.验证下列函数是所给的微分方程的解.*(1) y = -,xy', + y =

8、cosx ；(2) y2y' + y = 0 ；x3 3)x2/ = x2y2 + at +1 ：(4) y = x2 +1,y1 = y2 -(x2 +1)>, + 2x .x4 .验证函数>'=Ce-x +x-l是微分方程y' + y = x的解，并求满足初始条件y|v=0 = 2的 特解.5 .写出下列条件确定的曲线y = y(x)所能满足的微分方程.(1)曲线在任一点M(x, >')处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍.(2)曲线在任一点M(x,y)处的切线斜率与该点横坐标成正比.6 .英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期

9、间，查看了当地教堂100多年来 的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数.在1798年，他发表了人 口原理一书，其中提出了著名的Malthus人口模型.他假定条件如下：在人口的自然增长 过程中，人口增长率与人口总数成正比./表示时间(变量)，x表示人口总数(依赖于时 间变化)，攵表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件.6. 一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，渐渐地，小树长高了并且长得越来越快，几年 之后，绿荫底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢 慢降下来.如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差

10、成正比，试用微分方程来描述这一过程.(设树生长的最大高度为”(m),在/(年)时的高度为人(f), k >0的是比例常数)请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!第二节可分离变量微分方程本节我们讨论的是一阶微分方程)，'=f(x,y)的解法.2.1 可分离变量微分方程引例 微分方程虫=显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形：dxeydy = exdx,此时，方程右边是只含X的函数的微分，方程左边是只含y的函数的微分，对上式积分, 得, 即ev=ex+C (C为任意常数). 这就是微分方程的通解.一般地，一阶微分方程y' = /(x,y)，如果能变形为g(y)y =

11、 fMdx的形式，则方程y' = /(x,y)称为可分离变量的微分方程.此处，/(x),g(y)为连续函数.根据以上所述，解可分离变量的微分方程)，' =/(乂田的步骤如下：第一步：分离变量，将方程写成g(y)“y = /(x)小的形式；第二步：两端积分：Jg(y)d)，= j7(x)dx：第三步：求得微分方程的通解G(y) =/(x) + C ,其中G(y),歹(x)分别为g(y) J(x)的 原函数.例1求微分方程 空=2盯的通解. dx解将方程分离变量，得到 四= 2xdx, y两边积分，即得lnlyl=W+G，即)，= ±e&G =±/J .

12、由于土&G是任意非零常数，又y = 0也是方程的解，故原方程的通解为)，=口3 (C为任意常数).注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：1% = J f(x)dx t G(y) = F(x) + C(g()，)丰 0).如果存在%，使得g（M） = O满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并G(y) = F(x) + C.如果不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解.例2求微分方程空=），1 一上的解. dx 10；解将方程分离变量，得到dy两边积分:=J dx,得 In= x+G，整理得方程的通解是y = （c = 

13、7;e-。为任意非零常数）. 1 +由于y 1-竟）=0,解得凹=0,%=10也是方程的解另外，y = 10包含在通解中，y=。不含在通解中，故原方程的解为y= H）, （c为任意常数）和y = 0. + ce例3镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量M=M«）成正比.当1 = 0时,M=M0.求锚的存量与时间/的函数关系.解由题意得吧-= -kM,（k >0）dt满足初始条件此微分方程为变量分离方程，变量分离，得dM 一M积分，得In M =-K+In C,即 M = Ce将初始条件M 1M）="（）代入上式，得。=加（），故镭的衰变规律为M =.2.2 齐次

14、方程如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换，化为 可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种.如果），' = /（x,y）可化为先J斗ax yx J的形式，则称此方程为齐次方程.例如微分方程（Y+），2以一个公=0可化为dy x2 + y2=-,dx xy即等号右边分子、分母同除以小,得i+化 dy _ W dx y故此方程为齐次方程.齐次方程的解法：令=），则丁 =儿-y' = /x + ，代入齐次方程 xdu“+ =。（），dx即du _ dx =, 夕（）一 x为变量分离方程.例4求微分方程y' =）+tan）的通解. x x解

15、令=2，则y = yf = ufx+u ,代入上式，得 xu + xu = + tan U ,化简，分离变量，得COS" ,1 ,du = dx , sin 11x积分，得hi sin ii = lnx + lnC,即 sin u = Cx.把=)回代，得原方程的通解 xsin = C.r . x思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？»ni . m-k k .mdy _ ax ,4-akx y + amy示 一 bo# + bX”T y + + wy + + b," '特点：分式中分子与分母的各项中X与)，的事次之和无一例外的“整齐” 一一m次, 则该微分方

16、程是齐次方程.例5求微分方程(+/)公一外力，=0的通解.解原方程可化为d 144 dx y_ ' X令=)，则旷=-，yf = ux + u 代入上式，得 x, + irU + XU =,u化简，分离变量，得711nail = dx,x 积分，整理，得ir =21n Ixl+C，把=)回代，得原方程的通解 xy2=x2(21nlxl+C).习题6-21 .求下列微分方程的通解.(1) (xlnx)/-y = 0 ；(2) sinxd y = 2ycosxdx；(3) xyf = y In y ：(4) (l + y)dx + (x-l)dy = 0：(5) :=； ：(6)+ 2yf

17、xy = y(x < 0).；dx xy+ydx虫=，x：虫=工.dx 1 + 厂dt ty+t y2.求下列微分方程在初始条件下的特解. 2y« = y,y|i=l：3.求下列齐次方程的通解或特解.(1) 2xy" - 2y - -Jy2 -x1 = 0 ：(2) jin = 0 ；x(3) ydx-(x + Jx2 + y2 )dy = 0 ：<2)yd,E = (x-l)dy,3k=l ： = rcosx,y|v=o=l.yyy(4) (2xsin二+ 3ycos二)，戊一3xcos二4y = 0； XXX(5) (3x2 - y2)dy-2xydx =

18、0 , )_()=1：(6) (x+2y)y=y-2x, y|v=1 = 2 .4.作适当的变量代换，求下列微分方程的通解(2) (x2 + y2 )dx - xydy = 0 ：“ v + l := 1 一x+y-3dx (x + »5 .已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比.由经验材料得知，镭经 过1600年后，只剩余原始量的一半.试求镭的质量与时间的函数关系.6 .假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比.已知最初 价格为及,试求，年后的价格R。).7 .由物理学知道，物体冷却的速率与当时物体的温度和周闱环境温度之差成正比.现 在把100的沸

19、水注入杯中，放在室温为20的环境中冷却，5min中后测得水温为60. 求水温X ()与时间t (min)之间的函数关系.8 .探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲而，它的形状由xQv坐标而上的一条曲线L绕x轴旋转而成.按聚光镜性能的要求，在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，经 它反射后都与旋转轴(轴)平行.求曲线L的方程.第3节一阶线性微分方程3. 1 一阶线性齐次微分方程 形如+ P(x)y = O(6-3-1)dx的方程，叫做一阶线性齐次微分方程.方程(6-3-1)是可分离变量的微分方程，分离变量，得空=-P(x)dx,两端积分，得ln|y| = -j P(x)dx, 整理，得y =

20、Ce'x>(，x( C = ±ec' ),其中y = 0也是方程的解.一阶线性齐次微分方程的通解为(C为任意的常数).3. 2 一阶线性非齐次微分方程 方程dy + P(x)y = Q(x)(6.3-2)dx且。")工0则方程(6-3-2)叫做一阶线性非齐次微分方程.现在我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解.这个方法是把(6-3-1)的通解中的C换成X的未知函数c(x),即作变换y = c(x)e J,(6-3-3)于是=-c(x)尸(x)/,“'疝.(6-3-4)dx将(6-3-3 )和(6-3-4)代入(6-3-2)得c'

21、;(x)e "心"一c(x)尸(x)e4-P(x)c(x)e 0"3=Q(x),两端积分得c(x) = J 2(x)/p+ C ,代入(6-3-3)得方程(6-3-2)的通解产 f Jq(»>%x + C) .(6-3-5)上述方法求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤，可以总结为：(1)先求对应的齐次方程的通解；(2)将齐次方程通解中的常数。变换为待定函数C(x),代入原方程，求出。(x), 得到非齐次方程的通解.这种方法称为常数变易法.例1求微分方程冲' +)，= "的通解.1ex解原方程即/ + ->' = ,这是

22、一阶线性非齐次微分方程，其中 XX1exP(x)= _,°(x)= ，XX(I):常数变易法先求原方程对应的齐次方程yf + -y = O的通解.分离变量得xd ydx=, yx1C两边积分，得 lny = ln + lnC = ln ,(为了方便计算记C = lnC) xx“C故y =，X将上式中的任意常数。变换成函数C(x),即设原来的非齐次微分方程的通解为厂沁X贝ij/=”,厂将)，和y代入原方程，得xC'(x)-C(x) C(x) ex三+ s- = 厂厂 x整理得Cr(x) = ex,两边积分，得 C(x) = er+C,故原方程的通解为y = (ex +C), x

23、(II)：公式法将P(x),0(x)代入公式(6-3-5),得-Jdr 广 f-Lrfxy = e J r ei x dx + C J x= L(Jc)= "+C).X例2求微分方程y' + ycosx = cosx满足初始条件y=o=l下的特解解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=cosx,Q(x) = cosx套用公式(6-3-5),得y = dtj(cosx)Jcosrdxdx + C=(cosx)esmx dx + C= e-sinx(jesinxdsinx+C)= e*(uc)把初始条件代入上式，得。=0,故所求的特解是y = i.例3求微分方程_ y dx

24、 2x-y2 '的通解.解上述微分方程可改写为dx _ 2x-y2 =, dy y即dx 2x一一一 =-y, 必 y2为关于未知函数x的微分方程，其中P(y) = -, Q(y) = y，套用公式(6-3-5), yJ。' r -自'x =(j(y)e iy dy + C)= >'2(-jljy + C)= y2(-ln|y| + C).3. 3贝努利方程方程 + P(x)y = Q(x)yn (n * 0)(6-3-6)dx叫做贝努利方程.这个方程不是线性方程，但可以通过变量代换化为线性方程.事实上，对 于上式两端同除以)门,得(6-3-7)*玖旷田)

25、令z=y,那么dz. Z1 、- dv= (j)y 丁， dxdx用(1 一)乘方程(6-3-7),得半 + (1 -)尸(x)z = (1 )。(幻, dx求出方程的通解后，以,卜代z得贝努利方程的通解.例4求方程半+ 2_ =(lnx)y2 dx x的通解.解以/除以方程两端，得尸华+4dx x令2 = >-1则上述方程成为dz, 1-z = -ln x, dx x它的通解为z = xC (lnx)2>2以y”代z,解得方程的通解为y4C-1(l»x)2 = l.习题6-31.求出下列微分方程的通解.（1）虫+ 2xv = 4x ：dx .(3) y + ycosx

26、=(?"sinv ；(5)y = (x+i)2(2)+ y = /+3x+2 ：2(4) y9-2xy = ex cosx ：(6) yin ydx + (x - In y)dy = 0 .2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.（1）y- + -=-, y=*=l :（2）4''一），=0,），|1=2 :dx x x(3) y-y = cosx,y|=()=0；(4) 2)，G=y,)，|i=l ：（l + /）W=，,y|g=l ：3.求解下列贝努利方程的通解.（1）-3ry = n?2： dt(6) ydx = (x-l)d>y|v=2=l ：dy 1

27、1八八、4不一寸二/"2吻；dy )(4) + y = y(cosx-sinx). dx '4一容器内盛盐水100L,含盐50g现以q=2g/L的盐水注入容器内，其流量为城=3£/】加.设注入盐水与原有盐水被搅拌成均匀的混合液，同时，此混合液有以流量为%=2L/nin流出.试求容器内的含盐量与时间t的函数关系.5.设有一质量为m的质点作直线运动.从速度为零的时刻起，有一个与运动方向一致、 大小与时间成正比（比例系数为勺）的力作用于它，此外还受到与速度成正比（比例系数为八）的阻力.求质点运动的速度与时间的函数关系.一第4节可降阶的高阶微分方程4.1 y=/（x）型微分

28、方程微分方程炉"）=/（幻的右端仅含有自变量x ，可以对微分方程两边积分，得到一个 1阶的微分方程严"="（»&+G，同理可得严 2> = （J/（L/" G，依次继续进行，积分次，便得方程）的含有个任意常数的通解.例1求微分方程y" = e"cosx的通解.解对所给方程接连积分两次，得yf = e2x -sinx + C,.2y = e2x +cosx+Cx + C,4-记孰=。，原方程的通解y = L" +cosx + Cx + C1.42例2求方程冲-y=0的通解.解 设尸=尸（外,代入方程,得

29、xP 尸=0（尸W 0）,解线性方程得p = Gx（G为任意常数），即两端积分得+。2，Qyr = x + C2x + C3，再枳分得到方程的通解为y = - x4 +Q/+ C,x + C, 24234其中G(i = 123,4)为任意常数.例3质量为的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力/仅是时间/的函数.F=F(t).在开始时刻t=0时F(0)=外，随着时间/的增大，此力尸均匀地减小，直到t=T时，F(T) = O .如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律.解设x = x(f)表示在时刻/时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方 程为吟=F«).d

30、i-由题设，力?随f增大而均匀地减小，且仁0时，E(O)=E)，所以产(。=£)一内；产«)=必1一抄,又当仁丁时，F(r)=o,从而于是质点运动的微分方程又写为 其初始条件为乩句二。， 苧g=0 .把微分方程两边积分，得再积分一次，得户沼产等+W+C2, 由初始条件乩0=0, 职句=°，得G=C2=o.于是所求质点的运动规律为等,4.2 = /3,)，')型微分方程（64 卜）方程/ = f(x, y')的右端不显含未知函数)，如果我们设)/ = ，则方程化为p' = /(X，P)，这是关于X, 的一阶方程，设p' = /(X,p

31、)的通解为=例3。)，则介联G)，对它进行枳分，原方程的通解为y=(p(x,Cdx+C2.例4求微分方程满足初始条件yh=o=l, y'k=o=3的特解.解所给方程是于5, W型的.设)，'=，代入方程并分离变量后，有两边积分，得lnlpl=ln(l+x2)+Ctp=yf=C(1+x2) (Ci=±Z).由条件 y*lx-o=3得 G=3, 所以y=3(i+).两边再积分，得)二13+3工+。2.又由条件yL-o= 1 得又=1, 于是所求的特解为y=+3x+l .4.3 y =/()，,)/)型微分方程方程(6-4-2)的右端不显含自变量X, y看作未知函数(y),

32、即令y'=，并利用复合函数的求导法则把方程化为）,=虫=虫丝心原方程化为dx dy dx dy端=/（，）设方程/(V,p)的通解为y'=p=(p(v, G),则原方程的通解为dy ,匕之、=x+G J 奴 y，G)例5求微分方程yyr>-yt2=O的通解.解设)"=p,则)"=半，代入方程，得 dy哪 一，2="在)句、/0时，约去并分离变量，得dp _dyp=y'两边积分得ln|/?| = hi| v| + lii|c|，即p=C y 或 y=C y (C=±c).再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为hi|y| =

33、Cv + hi|c|»即y=GeC(Ci=±ci).例6求微分方程"严=2(y'2 - y1)满足初始条件y(0) = 1, y'(0) = 2的特解.解 令y=p,由/=半，代入方程并化简得dy半=2(-1),上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p = y =Cy2 +1,再分离变量,得* = dx, Cy2+I由初始条件y(O) = l,"0) = 2得出C = 1，从而得dy= dx , l + y-再两边积分,得arclan y = x + G 或)'=tan(x + G)，由 y(0) = 1 得出 G = arc ta

34、n 1 =, 4从而所求特解为y = tan(x+-).习题6-41 .求下列各微分方程的通解.(L)产=x + sin x冲"+了=°心一d2x )*)'=(行+八2 .求下列各微分方程满足所给初始条件的特解.y3),“=T)m=o： y-A,)k=O,)，k=。：(3),尸=*,心=抖日=)L=0：(4) /=3VyU=vU=2-(其中c为3.设有一质量为机的物体，在空中静止开始下落，如果空气阻力为氏= 常数，u为物体运动的速度)，试求物体下落的距离$与时间/的函数关系.第5节二阶线性微分方程本节课，我们主要讨论二阶线性微分方程解的结构及其解法.5.1 二阶线性

35、微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式为)，+尸。)卢。(切寸力若方程右端段)三0时，方程称为齐次的；否则称为非齐次的.先讨论二阶齐次线性方程y+P(x)y+Qa)j=O,>P(x)半+。(%)，=0.dx- ax定理1如果函数“与)，2(X)是方程y+P(x)y+Q(x)=O,的两个解，那么y=Ciyi(x)+C2y2(x),也是方程的解，其中G、C2是任意常数.证明对=。16(工)+。2y2(x)求一阶导得Gyi+C2y2'=G 9+C2 y2'，再求二阶导得Gyi+C2y2/=Ciy 严+C2”.因为yi与"是方程y'+pa)y+Q(x)=o的

36、解，所以有y】+P(x)yi'+Ca)y】=O 及)，2+尸。)'+。)>=0,从而Ciyi+C2y2+P(x) Ci)'i+C2y2'+Q(x) Cy+Ciyi=G y 1 "+P(x)y i'+0(x)y i+C2y2"+P(x)y2'+oa)”=o+o=o.这就证明了)，=cd，i(x)+c2y2。)也是方程 y'+pa)y+oa).v=o 的解.下面讨论函数的线性相关与线性无关：设户。),)，2。)， ，户。)为定义在区间/上的个函数.如果存在八个不全为零的常数 ki, k2,，kn,使得当xel时有恒等

37、式ky(x)+k2y2(x)+ + n(x)=O 成立，那么称这/?个函数在区间/上线性相关：否则称为线性无关.对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那 么它们就线性相关，否则就线性无关.例如，l-cos?x , sin2A-在整个数轴上是线性相关的.函数X, 5炉在任何区间3,与 内是线性无关的.定理2如果如果函数“(X)与”是方程)"+PQ,)J+Q(x)=O 的两个线性无关的解，那么)=Gyi(x)+C2y2(x) (G、C2 是任意常数) 是方程的通解.例1验证yi=cos x与y2=sin x是方程/+.v=0的线性无关解，并写出其通解.解

38、因为yn+y=-cos x+cos x=0, y2zr+y2=-sin x+sin x=0, 所以)“=cos x与)?2=sin x都是方程的解.由于)' cos X=cot Xy2 sinx不恒为常数，所以cos X与sin X在(-8, +00)内是线性无关的.因此x=cosx与”=sin x是方程产+尸0的线性无关解.方程的通解为-Cicos x+C2sin x.推论1如果y2(x,y“(x)是方程严+心)严-"+ - - - +an(x)yf+ an(x)y=Q 的个线性无关的解，那么，此方程的通解为v=Ciy1(x)+C2(x)+ + CILvn(A), 其中G,

39、C2, ,G为任意常数.定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程yf+P(x)y+0(x)y=x)的一个特解，丫(幻是对应的齐次方程的通解，那么y=y(x)+y*U)是二阶非齐次线性微分方程的通解.例如，r=Cjcosx+Czsin x是齐次方程产+尸0的通解，)，*=/-2是)，+产炉的一个特解, 因此y=CCOS x+C2Sin a+x2-2 是方程尸+产的通解.定理4设非齐次线性微分方程尸+尸(幻)，+。力可&)的右端./U)几个函数之和，如 y"+P(x)y+。)5 (x)+力(x)， 而yi*(x)与”*(x)分别是方程尸+P(x)y+Q(x)W(x)与尸+尸江”+。

40、)三以X) 的特解，那么*(x)+”*(x)就是原方程的特解.5.2 常系数齐次线性微分方程先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到阶方程.方程<(6-5-1) 称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、g均为常数.如果以、力是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么尸Gw+Cs就是 它的通解.由定理2可知，要求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解，关键在于求出它的 两个线性无关的特解.为此，我们分析一下方程(6-5-1)有什么特点.容易看出，二阶常系数 线性微分方程(6-5-1)的左端是)，,)，',)，”分别乘以“适当”的常数后，可以合

41、并成零，这就 是说，适合于方程(6-5-1)的函数,，必须与其一阶导数、二阶导数之间只差一个常数因子. 而指数函数)，= / (r为常数)就是具有此特征的最简单的函数.因此可用函数)，= /来试 解(，是待定常数).将y =铲,y = %、),“ ='/，代入方程(6_5一1)得(r2 + pr + q)erx =0因为”工0,所以有r2 + pr + q = 0(6-5-2)由此可见，只要厂是代数方程(6-5-2)的根，那么y = e,x就是微分方程(6-5-1)的解.于 是微分方程(6-5-1)的求解问题，就转化为求代数方程(6-5-2)的根的问题.代数方程(6-5-2) 称为微分

42、方程(6-5-1)的特征方程.特征方程/+ ，+夕=。是一个一元二次代数方程，它的根有三种情况，因此微分方程 (6-5-1)的解也有三种情况：由一元二次方程的求根公式，有.二"J，二打(1)当 24g>0时，特征方程(6-5-2)有两个不相等的实根q和弓，则方程(6-5-1)有两个线性无关的特解y =6*,力v jx这是因为，函数< 乃=e”是方程的解，又丛=篇=6/百不是常数. 一力歹因此方程的通解为y=Cx+C2er(2)当p2-4g = 0时，特征方程(6S2)有两个相等的实根4=弓=一2 =，则方程 2(6-5-1)只得到一个特解="这时直接验证可知必

43、=次”是方程(6-5-)得另一个特解，且力与火线性无关，因此微分方程(6-5-1)的通解为y = C/x + C2xerx = (C, + C2x)erx(3)当p24qv0时，特征方程(6-5-2)有一对共貌复根”2=a±，N，其中。=一'，4=曲二匕W0 .则方程(6-5-1)有两个线性无关的复数形式的特解 22到=e<a+M% =/-闻".而在实际问题中，常用的是实数形式的解，为了得到实数形式的 解.我们先利用欧拉公式* = cos x + i sin x把y, %改写为% = eta)x = eat(cos jffx + isin fix).y2(co

44、s- i sin (3x),由本行定理1知，微分方程(6-5-1)的两个解的线性组合仍是它的解，因此实数函数=-(?1+>'2)= ' COSX, 乙区=!()'1一3'2)= 6"'力1'工，2/仍是微分方程(6-5-1)的解，且它们线性无关，因此方程(6-5-1)的通解为y = e"(G cos Px + C2 sin J3x)综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解的步骤如下：(1) 写出微分方程(6-5-1)的特征方程，+ / + “ = 0 ；(2) 求出特征方程的两个根(，Q；(3) 根据两

45、个根的不同情形，按下表写出微分方程(6-5-1)的通解：特征方程产+ r + q = 0的两个根，i，r2微分方程/ + py' + qy = 0的通解两个不相等的实根6，y = Cex + C2xex两个相等的实根，i=G=" = r 2)，=(G+Gx)*一对共挽复根的=。士加y = eax(C cos J3x + C2 sin /3x)例1求微分方程尸-2)，'-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r-2r-3=O,即(r+l)(r-3)=0.其根门=-1,门=3是两个不相等的实根，因此所求通解为 y=Ce-x+Cieyx.例2求方程尸+2)/+)=0满足

46、初始条件)，I.e)=4、)，1e)=2的特解.解所给方程的特征方程为r+2r+=0,即(7+1 >=0.其根r1=r2=-l是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为y=(Ci+Cir)e7.将条件M，)=4代入通解，得CM，从而 )=(4+Qx)eT,将上式对x求导，得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件yh=-2代入上式，得C?=2.于是所求特解为 x=(4+2x)e例3求微分方程尸-2)/+5)= 0的通解.解所给方程的特征方程为r-2r+5=0.特征方程的根为n=l+2/, 77=1-2/,是一对共血复根，因此所求通解为)，="(Cicos2x+C2sin2x).

47、方程严)+严-1)+2 严一 2)+ + p_y，+p),=0, 称为A阶常系数齐次线性微分方程，其中Pl, 2, ,PT,P”都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到阶常系数 齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的次多项式：L(D)=D/? +/7|Dn-l+/?2 ，-2+ + Pn-iD+p”, 则阶常系数齐次线性微分方程可记作(D +piD+P2+ p_iD+p)y=O 或 L(D)y=O.注：D 叫做微分算子 D°y=y, Dy=y D2)-=yff, D3y-=y ,»'=)，(). 分析：令广二，则力。)=

48、口)*=(/+1/+“2 尸?+ . +p“_r+p)eJL *. 因此如果是多项式”)的根，则尸"是微分方程L(D),v=O的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：L(r)=/Jt +piJ,l+p2 /2 + + pn-ir+p,t=O 称为微分方程L(D)=O的特征方程.根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：(1)单实根;对应于一项：Cerx ：(2) 一对单复根52=a±，'/对应于两项： 4(Gcos/r+Czsin/)；(3) 重实根/对应于 &项：erx(Ci+C2x+ - +Ga-1-1)；(4) 一对重复根52=夕

49、7;刀对应于2k项：ear(C1+C2x+ +Ga-1)cos/1v+( £)i+£)2x+ +O*fT)sin/. 这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解y =+C2y2+- + Cy.例4求方程严)-2)+5/=0的通解.解这里的特征方程为/一2尹+5/=0,即户(32什5)=0.它的根是 =2=0 和 r3, 4=1 ±2/.因此所给微分方程的通解为)=Ci+C2x+/(C3cos2x+asin2A).例5求方程二+2九，= 0的通解，其中/MX dx解这里的特征方程为/+犷=0.它的根为“，=2(l±i), ri4=(l±z)

50、1;41因此所给微分方程的通解为vv = ex+gsin£x) .6. 8 上、cos尹工 十'? sin 3工)+J#(g5. 3常系数非齐次线性微分方程本节课着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.方程y" + py+qy = f(x),如果/(外不恒为零，上述方程称为二阶常系数线性非齐次方程，其中、g是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解"丫(工)与非齐次方程 本身的一个特解y=y*(x)之和：)=%)+y*(x).本节.课只介绍方程右端/(x)取如下两种常见形式时，求的方法.53.1 幻=月“。)一型对于/(x) =

51、Q.(x)e&型，其中丸是常数，2*)是x的?次多项式：4") = aox"' + a/")+. + x + am.当.")=P,”(x)心时，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式.下面用待定系数法求微分方程y" + )/ + qy = Pm (x)/'(6-5-3 )的一个特解.因为方程(6-5-3)的右端/(x)是多项式匕«与指数函数/'的乘积，而多项式与指 数函数之积的导数仍为多项式与指数函数之积，联系到方程(6-5-3)左端的系数均为常数 的特点，它的特解y也应该是多项式与指数函数之积.因此设/

52、 = 0(x)(其中。(乃是x 的待定多项式)是方程(1)的特解则有yr =elQx) + AQ(x),.=eXxQ,(x) + 2AQx) + A2Q(x),将代入方程(6-5-3)并约去得。"3) + (22 + p)Q'(x) + (分 + p 丸 + q)Q(x)=匕(x)( 6-5-4)(I)当力不是特征方程/+ /" + q = 0的根时，即；1? + /道+ 4。，要使(6.5>4)式的两端恒等，。必须与以。)同次，因此可设。")为另一个，次多项式2(x)：QmM = boxm + b产 +. + bm_x + 篇(其中4(i =。,

53、1,.,m) 然后将所设特解炉=。（x）/代入方程（6-5-3）,并通过比较两端x的同次基系数来确定 bRi = 0,1,., m）.（II）当/I是特征方程/+ /» +4=0的单根时，则必有几2 + 2 + 0 = 0而 22 + 工0,此时要使式（&54）两端恒等,。'（公必须是 7次多项式，从而。（幻是?+ 1 次多项式，因此可设。（x） = xQm（x）（其中2（x）为?次待定多项式）.然后将所设特解 “=用2；（幻/代入方程（653）,并用与（I）同样的方法确定Q仆）的系数 bi = 0,1,.,?）.（Ill）当a是特征方程/+ pr + q = 0的二

54、重根时，则必有/12 + x + q =。且 2% + = 0 ,此时要使式（6-5-4）两端恒等，。"）必须是7次多项式，从而。（x）是?+ 2 次多项式，因此可设Q（x） = Wq“（x）（其中Q,"（x）为"?次待定多项式）.然后将所设特解 代入方程（6-5-3）,并用与（I）同样的方法确定Q,“（x）的系数 "（i = 0,1,.,m）.综上所述，我们有如下结论：二阶常系数线性齐次微分方程y" + py'+gy = 4（x）e”有如下形式的特解y" =，0仆）/其中2.（幻是与4*）同次（?次）的多项式，而按丸不是特征

55、方程的根、是特征方程的 单根或是特征方程的二重根，k分别取0, 1或2.例1求微分方程尸与尸巧尸侬物的特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且兀6是Pin（x）e型（其中PM=x, A2）.则与所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0,它的特征方程为户一 5 r+6=0.解得特征方程有两个实根n=2, ,2=3.由于然2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y*=x（b（）x+bi）e2x,把它代入所给方程，得一2皿+2加）一/7 1 =工.比较两端x同次事的系数，得渡G（r -2M 2尻一仇由此求得为"=-1.于是求得所给方程的一个特解为 乙y*=x（-x-）e-x.例

56、2求微分方程）严+ 5），' +4），= 4/+ 1 Ox+ 1的一个特解.解 因为方程右端幻=3f+ 1,属于旦（用e就型，其中。&） = 41+10十+1,，= 0,且4=0不是特征方程产+5，+ 4 = 0的根，所以可设特解为=如二 + bxx + b2因而有y"=2%x + 4，y"'=2/，o,将）,），”,;/"代入原方程并整理，得4b0x2 + （10Z?（） + 4Z?（ ）x + （2% + 5bl +4b2） = 4a2 +10x + 1比较两端X同次耗的系数，有4% =4< 10%+44 =02b. + 5bl + 4A = 1解之得d=1,4=0,仇=一：所以原方程的特解为y=x2-. 4例3求微分方程），" +6），'+ 9