初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习测试与常考题和培优题含解析

1、初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一 选择题共5小题1 如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，那么 FBA.等边三角形B 等腰直角三角形C一般三角形D 等腰三角形2如图，正方形 ABC和正方形CEF中，点D在CG上, BC= :?, CE=3二,H是AF的中点，那么 CH的长是A. 3.5 B .底.| C. |iiD. 2 !,3. 如图，在矩形 ABCD中 AB=4 BC=8对角线AG BD相交于点0,过点0作0E垂直AC交AD于点E,那么AE的长是A. 3 B. 5 C. 2.4 D . 2.54. 如图，在 ABC中, CF丄AB于F, BEX AC于 E, M为B

2、C的中点，EF=7 BC=10贝9厶EFM的周长 是 A. 17 B. 21 C. 24 D. 275. 如图，在矩形ABCD中 AB=6 AD=8 P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F,那么PE+PF的值为A. 10 B. 4.8 C . 6 D. 5二. 填空题共4小题6. 如图，在矩形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O, AE平分/ BAD交BC于点E,假设/ CAE=15 ,那么/ BOE的度数等于.7. 如图，将平行四边形 ABCD勺边DC延长到E,使CE=CD连接AE交BC于F,Z AFC=r D,当n= 时，四边形ABEC是矩形.8.

3、 如图，在正五边形 ABCD中，连接AC AD CE CE交AD于点F,连接BF,那么线段AC BF、CD之间的关系式是.9. 如图，在平面直角坐标系中，0为原点，四边形0AB是矩形，A - 10, 0, C 0, 3,点D 是0A的中点，点P在BC边上运动，当 0DP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是.三. 解答题共31小题10. 如图，正方形 ABCD中 AE=AB直线DE交BC于点F,求/ BEF的度数.11. 如图，梯形 ABCD中 AD/ BC AB=CD对角线AC BD交于点0, ACLBD, E、F、G H分别为 AB BC CD DA的中点.1求证：四边形EFGH为正方形;

4、(2) 假设AD=1, BC=3求正方形EFGH勺边长.12. 如图，点E、F分别是正方形 ABCD勺边CD和 AD的中点，BE和CF交于点P.求证：AP=AB13. 如图，点P为正方形ABCD寸角线BD上一点，PE! BC于 E, PF丄DC于F.(1) 求证：PA=EF(2) 假设正方形ABCD勺边长为a,求四边形PFCE的周长.14. 如图1,在正方形ABC冲，点E为BC上一点，连接DE把厶DEC沿 DE折叠得到厶DEF延长 EF交AB于G连接DG(1) 求/ EDG的度数.(2) 如图2，E为BC的中点，连接BF. 求证：BF/ DE 假设正方形边长为6，求线段AG的长.15. 如图，

5、在正方形 ABCDK F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF(1) 求证：BF=DF(2) 求证：/ DFE=90 ;(3) 如果把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变(如图)，当/ABC=50时，/ DFE=_度.16. 正方形 ABC冲，对角线AC BD相交于0. 如图1,假设E是AC上的点，过 A作AGLBE于G AG BD交于F,求证：OE=OF 如图2,假设点E在AC的延长线上，AGLEB交EB的延长线于G AG延长DB延长线于点F,其它 条件不变，0E=0还成立吗？17. 如图，点P是菱形ABC呼对角线AC上的一点，且PE=PB(1) 求证：PE=PD(2)

6、求证：/ PDCh PEB(3) 假设/ BAD=80，连接DE试求/ PDE的度数，并说明理由.18. 如图，正方形ABCD中 AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点 B、C),连接AP,过B、D两点作BEXAP于点E, DFLAP于点F.(1) 求证：EF=DR BE;(2) 假设厶ADF的周长为*，求EF的长.19. 如图，正方形ABCD勺对角线AC BD的交点为0,以0为端点引两条互相垂直的射线 0M 0N 分别交边AB BC于点E、F.(1) 求证：OE=0F(2) 假设正方形的边长为4,求EF的最小值.20如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG

7、交对角AC于点F.求证：(1) BF=DF(2) BF丄 FE21 ：如下图，四边形 ABCD中, Z ABC2 ADC=90 , M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO并延长MO到N,使NO=M,O连接BN与ND(1) 判断四边形BND啲形状，并证明；(2) 假设M是AC的中点，贝U四边形BND啲形状又如何？说明理由.22. 如图，在 ABC中, O是边AC上的一动点，过点 O作直线MN/ BC,设MN交Z BCA的平分线于 点E,交Z BCA的外角平分线于点F.(1) 求证：OE=OF(2) 当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？23. (1)如图矩形ABCD勺对角线AC BD交

8、于点O,过点D作DP/ OC且DP=OC连接CP,判断四 边形CODP勺形状并说明理由.(2) 如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.(3) 如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.24. 如图 1, AB/ CD AB=CD Z A=Z D.(1) 求证：四边形ABC助矩形；(2) E是AB边的中点，F为AD边上一点，Z DFC=Z BCE 如图2,假设F为AD中点，DF=1.6,求CF的长度： 如图 2,假设 CE=4 CF=5 贝U AF+BC=_, AF=.25. 如图，直线 a b相交于点A, C、E分别是直线b、a上两点且BC丄a, DEL b,点M

9、N是ECDB的中点.求证：MNL BD26. 如下图，在梯形 ABCD中 AD/ BC, Z B=90° , AD=24cm BC=26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动.(1) 经过多长时间，四边形 PQC是平行四边形？(2) 经过多长时间，四边形 PQBA1矩形？(3) 经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD27. 如图，E、F是正方形ABCD勺边AD上的两个动点，满足 AE=DF连接CF交BD于 G,连接BE 交

10、AG于 H.正方形ABCD勺边长为4cm解决以下问题：(1) 求证：BEX AG(2) 求线段DH的长度的最小值.28如图，点M是矩形ABCD勺边AD的中点，点P是BC边上一动点，PEL MC PF丄BM垂足为E、 F.(1) 当矩形ABCD勺长与宽满足什么条件时，四边形 PEM为矩形？猜测并证明你的结论.(2) 在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29. 某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中 AB=4将三角 板放在正方形ABCDt，使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P，另一边交BC 的延长线于点Q.(1) 求证

11、：AP=CQ(2) 如图，小明在图1的根底上作/ PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE他发现PE和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；(3) 在(2)的条件下，假设 AP=1,求PE的长.30. 如图，在菱形 ABCD中 AB=4cm / ADC=120，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒厶DEF为等边三角形，求t的值.31. 如图，在 Rt ABC中, Z ABC=90，点D是AC的中点，作/ ADB的角平分线DE交AB于点E，(1) 求证：DE/ BC(2) 假设AE=

12、3 AD=5点P为BC上的一动点，当BP为何值时， DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32. ：如图，BF、BE分别是Z ABCS其邻补角的角平分线，AE!BE,垂足为点E, AFLBF,垂 足为点F. EF分别交边AB AC于点M N.求证：(1) 四边形AFBE是矩形；(2) BC=2MN33. 如图，在边长为5的菱形ABC冲，对角线BD=8点O是直线BD上的动点，OELAB于E, OF LAD于 F.(1) 对角线AC的长是，菱形ABCD勺面积是;(2) 如图1,当点O在对角线BD上运动时，OE+O的值是否发生变化？请说明理由；(3) 如图2,当点O在对角线BD的延长线上时，O

13、E+O的值是否发生变化？假设不变请说明理由， 假设变化，请直接写出OE OF之间的数量关系，不用明理由.34. 如图， Rt AB医Rt FEC且B、D C、E在同一直线上，连接 BF、AE(1)求证：四边形ABFE是平行四边形.(2)假设/ ABD=60 , AB=2cm DC=4cm将厶ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设 ABD运动的时间为t，在 ABD运动过程中，试解决以下问题:(1) 当四边形ABEF是菱形时，求t的值；(2) 是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由.如图求AF的长.1,BC于点E、F，垂足为(3)如图2，自L F-

14、B-A停止，点AFBP CDE各边匀速运动一周.即点 P动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿Q自CDE-C停止.在运动过程中，点P的速度为每秒1cm,设运动时(2)间为t秒.问在运动的过程中，以A、P、C Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？假设有可能，请求出运假设不可能，请说明理由.动时间t和点Q的速度；假设点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t的值.36. 如图1，E, F是正方形ABCD勺边上两个动点，满足 AE=DF连接CF交BD于G,连接BE交AG 于点H(1) 求证：AGL BE;(2) 如图2,连DH假设正方形的边长为4,那么线段D

15、H长度的最小值是.37. 如图，在菱形 ABCD中 AB=2 / DAB=60，点E时AD边的中点，点 M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD AN(1) 求证：四边形 AMDI是平行四边形.(2) 填空：当AM的值为 时，四边形AMDI是矩形；当AM的值为时，四边形AMDNI菱形.38. 如图，正方形 OABC勺边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点， 点P (0, m是线段oc上的一动点9点P不与点O C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1) 求点D的坐标；(用含m的代数式表示)(2) 假设厶APD是以AP边为一腰的等腰三

16、角形，求 m的值.39. 如图，在 ABC中，/ ABC=90，点D为AC的中点，过点C作CE!BD于点E,过点A作BD 的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD连接BG DF.(1) 证明：四边形BDFG是菱形；(2) 假设AC=10 CF=6求线段AG的长度.40如图，在正方形 ABC冲，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接 EF与边CD相交于 点G连接BE与对角线AC相交于点H, AE=CF BE=EG(1) 求证：EF/ AC(2) 求/ BEF大小；(3) 假设EB=4那么厶BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一.选择题(

17、共5小题)1. (2021春？炎陵县校级期中)如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，那么FBD是()A.等边三角形B .等腰直角三角形C一般三角形D .等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC/ G=Z C=90，GB=CD根据SASffi FGBA BCD推出/ FBG" BDC BF=BD 求出/ DBC# FBG=90，求出/ FBD的度数即可.【解答】解：大小相同的两个矩形 GFEB ABCD FG=BE=AD=B03B=EF=AB=CD/ G=Z C=Z ABGM ABC=90，在 FGB BCD中FG=BCZG-ZC，GB=CD FGBA BCD/ FBG/ BD

18、C BF=BD/ BDC/ DBC=90，/ DBC/ FBG=90，/ FBD=180 - 90° =90°,即厶FBD是等腰直角三角形，应选B.【点评】此题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出 FGBA BCD主要考查学生运用性质进行推理的能力.2. (2021春？江阴市期中)如图，正方形 ABCD和正方形CEFGK 点D在CG±，BC=二，CE=3二， H是AF的中点，那么CH的长是()A. 3.5 B . ! C. HID. 2 !【分析】根据正方形的性质求出 AB=BC=-:, CE=EF=3：，/ E=90 ,延长

19、AD交EF于M连接ACCF,求出AM=?，FM迹，/ AMF=90，根据正方形性质求出/ ACF=90，根据直角三角形斜边 上的中线性质求出CHAF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解：正方形ABC刖正方形CEFG中，点D在CG上, BC= ，CE=3二， AB=BC= :, CE=EF=3 ?，Z E=90°，延长AD交EF于M连接AC CF,那么 AM=BC+CE=4, FM=EF AB=2 :':,Z AMF=90 ,四边形ABC丙四边形GCE是正方形，/ ACDM GCF=45 ,/ ACF=90 , H为AF的中点， CH丄AF,在Rt AMF中，由勾股定理得：A

20、F=汕 n =21, CH=丨 II,应选：C.【点评】此题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出 AF的长和得出CH寺AF,有一定的难度.3. 2021春？泗洪县校级期中如图，在矩形 ABCD中, AB=4, BC=8对角线AC BD相交于点O, 过点O作OE垂直AC交AD于点E,那么AE的长是A. 3B. 5 C. 2.4 D . 2.5【分析】根据矩形的性质得出/ CDE=90 , AD=BC=8 AB=DC=, AO=O,根据线段垂直平分线性质 得出AE=CE在Rt CDE中，由勾股定理得出CE=CD+DE，代入求出即可.【解

21、答】在矩形 ABC冲，AB=4 BC=8 / CDE=90 , AD=BC=8 AB=DC=4 AO=OCv OEL AC AE=CE在Rt CDE中，由勾股定理得：CE=CD+DE, 即 AE=42+ (8 AE 2,解得：AE=5应选B.【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程.4. 2021秋？无锡期中如图，在厶ABC中, CF丄AB于F, BE!AC于E, M为BC的中点，EF=7, BC=10那么厶EFM的周长是A. 17 B. 21 C. 24 D. 27【分析】根据CF丄AB于F，BE!AC于 E，M为BC的中点，利用直角

22、三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，求出FM和ME的长，即可求解.【解答】解：CF!AB M为BC的中点， MF是 Rt BFC斜边上的中线，FM丄 BC 丄 X 10=5,2 2同理可得，ME丄BC丄X 10=5,2 2又 EF=7, EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17应选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长.5. 2021春？乌兰察布校级期中如图，在矩形 ABCD中, AB=6 AD=8 P是AD上不与A和D重合 的一个动点，过点P分别作AC和 BD的垂线，垂足

23、为E、F,那么PE+PF的值为A. 10 B. 4.8 C . 6 D. 5【分析】连接OR利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA OD然后根据Saao=Saao+Sdop列方程求解即可.【解答】解：如图，连接OP AB=6 AD=8 BD=十-_=； RO,四边形ABCD1矩形,OA=O巧X 心5，-Sa aoX 5?PF,解得 PE+PF=4.8应选B.【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的 关键.二.填空题共4小题6. 2021春？东平县期中如图，在矩形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, AE平分/ BA

24、D交 BC于点E,假设/ CAE=15，那么/ BOE的度数等于 75°.【分析】由矩形ABCD得到OA=OB根据AE平分/ BAD得到等边三角形OAB推出AB=OB求出/ OAB / OBC勺度数，根据平行线的性质和等角对等边得到 OB=BE根据三角形的内角和定理即可 求出答案.【解答】解：四边形ABCD1矩形， AD/ BC，AC=BD OA=OC OB=O, / BAD=90，OA=OB / DAE2 AEB AE平分/ BAD/ BAE2 DAE=45 =Z AEB AB=BEvZ CAE=15，/ DAC=45 - 15° =30°，Z BAC=60，

25、BAC是等边三角形， AB=OBZ ABO=60，Z OBC=90 - 60° =30°,v AB=OB=BE Z BOEZ BEO= 180°- 30° =75°.故答案为75°.【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理， 矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的 性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出Z OBC勺度数和求OB=BE7. 2021春?武昌区期中如图，将平行四边形 ABCD勺边DC延长到E,使CE=CD连接AE交BC 于F,Z AFC=rZ D,当n= 2 时，四边形ABEC是矩形.【分

26、析】首先根据四边形ABCD1平行四边形，得到四边形 ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE 利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形 ABEC是矩形.【解答】解：当Z AFC=Z D时，四边形ABEC是矩形.v四边形ABCD1平行四边形， BC/ AD / BCE=/ D,由题意易得 AB/ EC AB/ EC四边形ABEC是平行四边形.vZ AFC2 FECV BCE当/ AFC=Z D 时,那么有Z FECZ FCE FC=FE四边形ABEC是矩形,故答案为：2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的 应用，解题的关键是了解矩形的判定定理

27、.8. (2021春?南长区期中)如图,在正五边形 ABCD中,连接AC AD CE CE交AD于点F ,连接BF,那么线段AC BF、CD之间的关系式是 aC+bF=4CD .【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形 ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出ACL BF;然后根据勾股定理,可得 OB+OC=BC ,据此推得AC+BF=4CD即可.【解答】解：v五边形ABCD是正五边形, AB/ CE AD/ BC,四边形ABCF是平行四边形,又 v AB=BC=CD=DE=EA四边形ABCF是菱形, AC丄 BF,/. oB+oc=bC ,v AC=2OC BF=2OB AC+BF=

28、 (2OC 2+ (2OB 2=40c+40B=4BC ,又 v BC=CD AC+BF=4CD.故答案为：aC+bF=4CD .【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的， 首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处 就是“有一组邻边相等，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等 于斜边长的平方，要熟练掌握.9. 2021春？株洲校级期中如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OAB是矩形，A -10,

29、 0，C 0, 3,点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当 ODP是腰长为5的等腰三角形时，点 P 的坐标是-4，3，或-1，3，或-9，3.【分析】先由矩形的性质求出OD=5分情况讨论：1当0卩=0。=时；根据勾股定理求出PC即 可得出结果；2当PD=OD=®-;作PELOA于E,根据勾股定理求出DE得出PC即可得出结果；作PFL OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解：A - 10 , 0, C 0, 3,OA=10 OC=3四边形OAB是矩形，bc=oa=10 AB=OC=3 D是OA的中点，.AD=OD=5分情况讨论：1当0卩=0。=时，根据勾股

30、定理得：PC= '=4,.点P的坐标为：-4, 3;2当PD=OD=®-，分两种情况讨论： 如图1所示：作PE!OA于E,贝U/ PED=90 , DE= !=4,.PC=OE=- 4=1,.点P的坐标为：-1, 3; 如图2所示：作PFLOA于F,那么 DF= ! ;=4,.PC=OF=5+4=9.点P的坐标为：-9, 3;综上所述：点P的坐标为：-4, 3,或-1, 3,或-9, 3;故答案为：-4, 3,或-1, 3,或-9, 3.【点评】此题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形 的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.解答题共3

31、1小题10. 2021春？西城区校级期中如图，正方形 ABCD中, AE=AB直线DE交BC于点F,求/ BEF的 度数.【分析】设/ BAE=x，根据正方形性质推出AB=AE=AJD根据等腰三角形性质和三角形的内角和定 理求出/AEB和/AED的度数，根据平角定义求出即可.【解答】解：设/ BAE=x ,四边形ABCD1正方形，/ BAD=90，AB=AD AE=AB AB=AE=AP/ ABE2 AEB=- (180°-/ BAE =90。-£x-/ DAE(90。- x°) =45。X/ DAE=90 - x°，/ AED/ ADE-( 180/

32、BEF=180 -/ AEB-/ AED=180-( 90。* X°)-( 45°+R)， =45°答：/ BEF的度数是45【点评】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把角的未知角结合起来，题目比拟典型，但是有一定的难度.11. 2021秋？高淳县期中如图，梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=CD对角线AC BD交于点O, ACL BD E、F、G H分别为AB BC CD DA的中点.1求证：四边形EFGH为正方形；2假设AD=1, BC=3求正方形EFGH勺边长.【分析】1先由三角形的中位线定理求出四边相等

33、，然后由ACLBD入手，进行正方形的判断.2连接EG利用梯形的中位线定理求出 EG的长，然后结合1的结论求出EH=2,也即得出 了正方形EHGF勺边长.【解答】1证明：在厶ABC中, E、F分别是AB BC的中点,二,GH丄f HE=-：j-EF丄"同理FG丄 在梯形ABC冲, AB=DC AC=BDEF=FG=GH=HE四边形EFGH为菱形.设AC与 EH交于点M在厶ABD中E、H分别是AB AD的中点，.EH/ BD 同理 GH/ AC又 ACL BD,/ BOC=90 ./ EHGM EMC/ BOC=90.四边形EFGH为正方形.(2)解：连接EG在梯形ABCD中, E、G分

34、别是AB DC的中点，.EG=- (AD+BC (1+3) =2,在 Rt HEGt,eG=eH+hG,4=2EH,EH=2,那么 EH=二即四边形EFGH勺边长为.t【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、 梯形的中位线定理，解答此题的关键是根据三角形 的中位线定理得出EH=HG=GF=FE是此题的突破口.12. (2021秋？青岛期中)如图，点E、F分别是正方形ABCD勺边CD和 AD的中点，BE和CF交于点P.求证：AP=AB【分析】 延长CF、BA交于点M 先证 BCEACDF再证 CDFA AMF得BA=MAfe直角三角形中 斜边中线等于斜边的一半，可得 Rt MBP中 APBM即

35、AP=AB【解答】证明：延长CF、BA交于点M点E、F分别是正方形 ABCD勺边CD和 AD的中点，.BC=CD / BCE/ CDF CE=DFBCEA CDFCBE/ DCFv/ DCF/ BCP=90 ,CBE/ BCP=90 ,/ BPMMCBE# BCP=90 .又 FD=FA / CDFM MAF / CFD2 MFA CDFA AMF CD=AMv CD=AB 二 AB=AM PA是直角 BPM斜边BM上的中线, AP丄 BM即 AP=AB【点评】此题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的 性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，此题中求

36、证CDFA AMF是解题的关键.13. (2021春？禹州市期中)如图，点 P为正方形ABCD寸角线BD上一点，PE±BC于 E, PF丄DC于F.(1) 求证：PA=EF(2) 假设正方形ABCD勺边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC证厶ABPA CBP推出AP=PC即可；(2)证厶CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解：证明：(1)连接PC,v四边形ABCD!正方形， AB=CB / ABD2 CBD=45，/ C=90，在厶 ABP与 CBP中,AB=C&Z(BD=ZCBD,BP=BP

37、 ABPA CBP( SAS, PA=PCv PE丄 BC, PF丄 CD Z PFC=90，/ PEC=90 .又 v/ C=9C° ,四边形PFCE是矩形， EF=PC PA=EF(2)由(1)知四边形PFCE是矩形， PE=CF PF=CE又/ CBD=45，/ PEB=90 , BE=PE 又 BC=a矩形 PFCE的周长为 2 (PE+EC =2 (BE+EC =2BC=2a【点评】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出 AP=PC是解此题的关键.14. (2021秋？福建校级期中)如图1,在正方形ABC冲，点E为BC上一点，连接DE把

38、厶DEC 沿DE折叠得到厶DEF延长EF交AB于G连接DG(1)求/ EDG勺度数.(2)如图2，E为BC的中点，连接BF. 求证：BF/ DE 假设正方形边长为6，求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得 DC=DA / A=Z B=Z C=Z ADC=90，由折叠的性质得出/ DFE玄C, DC=DF /仁/ 2,再求出/ DFGM A, DA=DF然后由“ HL'证明Rt DG¥ Rt DGF由全等三 角形对应角相等得出/ 3=7 4,得出/ 2+Z 3=45°即可；(2)由折叠的性质和线段中点的定义可得 CE=EF=B, 7 DEF7 DEC再由三角

39、形的外角性质得 出7 5=7 DEC然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；设AG=x表示出GF BG根据点E是BC的中点求出BE EF,从而得到GE的长度，再利用勾股 定理列出方程求解即可；【解答】(1)解：如图1所示：四边形ABCD1正方形， DC=DA 7 A=7 B=7 C=7 ADC=90 , DEC沿DE折叠得至厶DEF7 DFE7 C, DC=DF 7 1=72,7 DFG7 A=90o, DA=DF 在 Rt DGA和 Rt DGF中,'DG 二 DGDEF' Rt DGA Rt DGF( HL), 7 3=74, 7 EDG7 3+7 2=-7 ADF丄 7

40、FDC=(7 ADF7 FDC ,x 90=45(2)证明：如图2所示： DEC沿 DE折叠得到厶DEF E为BC的中点， CE=EF=BE / DEFW DEC/ 5=Z6,vZ FEC2 5+Z 6,/ DEFZ DECZ 5+Z 6, 2Z 5=2Z DEC即 Z 5=Z DEC BF/ DE解：设 AG=x 贝U GF=x BG=6- x,v正方形边长为6 , E为BC的中点， CE=EF=BE=X 6=3,2 GE=EF+GF=3+x在 Rt GBE中，根据勾股定理得：(6 -x) 2+32= (3+x) 2 ,解得：x=2 ,即线段AG的长为2.【点评】此题考查了正方形的性质、全等

41、三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15. (2021春？召陵区期中)如图，在正方形 ABCD中 , F是对角线AC上的一点，点E在BC的延 长线上,且BF=EF(1) 求证：BF=DF(2) 求证：Z DFE=90 ;(3) 如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图)，当Z ABC=50时，Z DFE= 50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得 BC=DC对角线平分一组对角可得Z BCFZ DCF然 后利用“边角边证明即可；(2) 易证Z FBE=/ FEB又因为Z FBE

42、Z FDC所以可证明Z FEBZ FDC进而可证明Z DFE=90 ;(3) 根据全等三角形对应角相等可得Z CBFZ CDF根据等边对等角可得Z CBFZ E ,然后求出Z DFEZ DCE再根据两直线平行,同位角相等可得Z DCEZ ABC从而得解.【解答】(1)证明：在正方形 ABC冲,BC=DC Z BCFZ DCF=45 ,BCF DCF中 ,IBCBCZECKZ DCF,FOFC BCFA DCF SAS； BF=DF2证明：BF=EF/ FBEW FEB又/ FBE=/ FDC/ FEBW FDC又/ DGFM EGC/ DFGM ECG=90 ,即/ DFE=90 ;3证明：由

43、1知， BCFA DCF/ CBF2 CDF EE=FB/ CBF2 E,/ DGFM EGC对顶角相等, 180°-/ DGRZ CDF=180 -Z EGG / E ,即/ DFEZ DCE AB/ CDZ DCEZ ABCZ DFEZ ABC=50 ,故答案为：50.【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出Z BCFZ DCF是解题的关键.16. 2021秋？泗县期中正方形 ABCD中 ,对角线AC BD相交于0.如图1,假设E是AC上的点,过 A作AGLBE于G AG BD交于F ,求证：OE=OF如图2,假

44、设点E在AC的延长线上，AGLEB交EB的延长线于G AG延长DB延长线于点F,其它 条件不变，0E=0还成立吗？【分析】由正方形的性质得出 0A=0BACLBD得出Z BOEZAOF=90，由角的互余关系得出ZOBEZ OAF由ASAffi明厶BOEA AOF得出对应边相等即可；由正方形的性质得出 OA=OBACLBD得出Z BOEZ AOF=90 ,由角的互余关系得出Z OBEZ OAF 由ASA证明厶BOEA AOF得出对应边相等即可.【解答】证明：T四边形ABCD是正方形，OA=OB ACL BD,/ BOEM AOF=90 ,/ OEBM OBE=90 , AGL BE,/ AGE=

45、90 ,/ OEBM OAF=90 ,/ OBEM OAF在厶 BOEfy AOF中,ZB0E=ZA0FOB=OA,Z0BE=Z0AF BOEA AOF( ASA ,OE=OF解：OE=O还成立；理由如下：四边形ABCD是正方形,/ OA=OB ACL BD,/ BOEM AOF=90 ,/ OEBM OBE=90 , AG! BE,M AGE=90 ,M OEBM OAF=90 , M OBEM OAF在厶 BOEfA AOF中 ,ZB0E=ZA0FOB=OA,Z0BE=Z0AF BOEA AOF( ASA , OE=OF并能进行【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌

46、握正方形的性质，推理论证是解决问题的关键.17. (2021春？邳州市期中)如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB(1) 求证：PE=PD(2) 求证：M PDCM PEB(3) 假设/ BAD=80，连接DE试求/ PDE勺度数，并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出 AB=BC=CD=ADB CD / DCPM BCP由SAS证明 CDPA CBP 得出PB=PD再由PE=PB即可得出结论；(2) 由等腰三角形的性质得出/ PBC2 PEB由全等三角形的性质得出/ PDCM PBC即可得出/PDCM PEB(3) 由四边形内角和定理得出/ DPE=100 ,由等腰三

47、角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解：四边形ABCD1菱形， AB=BC=CD=ADAB/ CD / DCPM BCP在厶 DCPffiA BCP中,CD=CBZDCPZBCP ,POPC CDPA CBP( SAS, PB=PD PE=PB 二 PE=PD(2)证明：PE=PB/ PBCM PEB/ CDPA CBP/ PDCM PBC/ PDCM PEB(3) 解：如下图：/ PDE=40 ;理由如下：在四边形DPEC中 ,vZ DPE=360 -(/ PDC# PEC/ DCB=360°- (/ PEB+Z PECZ DCB=360°-( 180

48、° +80°)=100°,vPE=PDZ PDEZ PED=40 .【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.18. (2021春？昆山市期中)如图，正方形ABCDK AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点BC),连接AP,过B、D两点作BEL AP于点E, DF丄AP于点F.(1) 求证：EF=DR BE(2) 假设厶ADF的周长为丄，求EF的长.3【分析】(1)由正方形的性质得出 AD=AB证出/ DAF玄ABE由AAS证明厶ADFA BAE得出AF=BEDF=AE即可得出

49、结论；(2)设DF=a AF=b, EF=DF- AF=a- b>0,由条件得出DF+AF=,即a+b寻,由勾股定理得 出a2+b2=1 ,再由完全平方公式得出a- b即可.【解答】(1)证明：BELAP, DFLAP,/ DFA2 AEB=90 , / ABE/ BAE=90 ,四边形ABC助正方形, AD=AB / DAB=90 =/ DAF/ BAE/ DAF/ ABE在厶 ADF BAE中 ,ZDAf=ZAB2Zdfa=Zaeb,AD=A3 ADFA BAE( AAS , AF=BE DF=AE EF=AE- AF=D- BE(2)解：设 DF=a AF=b, EF=D- AF=

50、a- b>0 , ADF的周长为丄,AD=1 DF+AF生,即a+即a+b考,由勾股定理得：DF+AF=AD ,即 a2+b2=1 ,(a- b) 2=2 (a2+b2)-( a+b) 2=2-即 EF= J【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题2的关键.19. 2021春？繁昌县期中如图，正方形ABCD勺对角线AC BD的交点为O,以O为端点引两条互 相垂直的射线OM ON分别交边AB BC于点E、F.1求证：0E=OF2假设正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】1根据正方形的性质可得/

51、EAOh FBO=45 , OA=OB再根据同角的余角相等可得/ AOE= / BOE然后利用“角边角证明 AOEP BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；2根据等腰直角三角形 EOF当OE最小时，再根据勾股定理得出 EF的最小值.【解答】解：1v四边形ABCD1正方形， OA=OB / AOB=90，/ EAOM FBO=45，/ AOE# BOE=90，v OEL OF，/ BOF# BOE=90，/ AOE# BOF在厶 AOEM BOF中，ZA0E>ZB0fOA=OS ,ZEA3=ZFB0 AOEA BOF ASA，OE=OF2由1可知， EOF是等腰直角三角形，/ EO

52、F是直角，当OE最小时，EF的值最小，v OA=OB OEL AB点E是AB的中点， OE丄AB,v AB=4 OE=2 EF= |:, H -：，即EF的最小值是2.【点评】此题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助 线是关键.20. 2021春？江宁区期中如图，在正方形 ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线 FG交对角AC于点F.求证：1BF=DF2 BFL FE【分析】(1)由正方形的性质得出 AB=ADZ BAF玄DAF=45，由SAS证明厶BAFA DAF得出对 应边相等即可；(2) 由线段垂直平分线的性质得出 BF=EF证出EF=

53、DF得出/ FDEH FED再由全等三角形的性 质证出/ABF=/ FED由邻补角关系得出/ FED+Z FEA=180 ,证出/ ABF+Z FEA=180 ,由四边形 内角和得出/ BAE+Z BFE=180，求出Z BFE=90°即可.【解答】证明：如下图：(1) v四边形ABCD1正方形， AB=AD Z BAF=/ DAF=45 , Z BAE=90 ,在厶 BAFftA DAF中,AB=APZBAFZDAF ,AF=AF BAFA DAF( SAS, BF=DF(2) v BE的垂直平分线FG交对角AC于点F, BF=EF BF=DF EF=DFZ FDEZ FED BAFA DAF Z ABFZ FDE Z ABFZ FEDvZ FED-Z FEA=180 , Z ABF+Z FEA=180 , Z BAE-Z BFE=180 , Z BFE=90 , BF 丄 FE【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内