数学平行四边形的专项培优练习题及详细答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点0是对角线AC、BD 的交点，过点。作OE_LMN于点E.（1）如图1,线段AB与0E之间的数量关系为.（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转0 （0<0<90°）,过点B作 BFJLMN 于点 F.如图2,当点0、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与0E之间存在怎样 的数量关系？请说明理由.如I冬13,当点0、B两点分别在直线MN两侧时，此时中结论是否依然成立呢？若成 立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结

2、论并证明.当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与0E之间的数量关系 为.（请直接填结论）【答案】（1）AB=20E； （2）AF+BF=20E,证明见解析;AF-BF=20E证明见解析;BF -AF=20E,【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）过点B作BH_L0E于H,可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH, BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得0A=0B, Z AOB=90°,再根 据同角的余角相等求出NA0E=N0BH,然后利用“角角边证明 A0E和aOBH全等，根据 全等三

3、角形对应边相等可得OH=AE, OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证：过点B作BHJ_OE交0E的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等 可得EF=BH, BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB, Z AOB=90 再根据同角的余角相等求出N AOE=Z OBH,然后利用“角角边”证明 AOE和 OBH全等， 根据全等三角形对应边相等可得OH=AE, OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证： 同的方法可证.试题解析：（1）;AC, BD是正方形的对角线，/. OA=OC=OB, Z BAD=Z ABC=90°,/ OE&

4、#177;AB.1，OE=-AB,2, AB=20E,(2) ©AF+BF=20E证明：如图2,过点B作BHJ_OE于点H, Z BHE=Z BHO=90°OEJLMN, BF±MNZ BFE=Z OEF=90°四边形EFBH为矩形/. BF=EH, EF=BH四边形ABCD为正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z HOB=Z OBH+Z HOB=90°Z AOE=Z OBH/. AEO合 OHB( AAS)/. AE=OH, OE=BH/. AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE

5、.AF - BF=2OE证明：如图3,延长OE,过点B作BHLOE于点HOE±MN> BF±MN/. Z AEO=Z HEF=Z BFE=90°四边形HBFE为矩形/. BF=HE, EF=BHv四边形ABCD是正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z BOH=Z OBH+Z BOH/. Z AOE=Z OBHa AOE合 OBH (AAS)AE=OH, OE=BH,AF BF=AE+EF - HE=OH - HE+OE=OE+OE=2OEBF - AF=2OE,如图4,作OGJLBF于G,则四边形EFGO是矩形, EF=G

6、O, GF=EO, Z GOE=90%Z AOE+Z AOG=90°.在正方形 ABCD 中,OA=OB, Z AOB=90%Z AOG+Z BOG=90°,Z AOE=Z BOG.OGJLBF, OEJLAE,/. Z AEON BGO=90°.a AOE合 BOG (AAS),/. OE=OG, AE=BG.AEEF=AF, EF=OG=OE> AE二BG=AF+EF=OE+AF,BF - AF=BG+GF - (AE - EF) =AE+OE - AE+EF=OE+OE=2OE./. BF - AF=2OE.2.如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补

7、，那么这两个三角形叫做互补三角形，如 图2,分别以AABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形 就是互补三角形.(1)用尺规将图1中的 ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的 ABC分割成两个互补三角形：（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的 边长为1）画出边长为V17、欠、口11的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的而积.若 ABC的而积为2,求以EF、DL HG的长为边的三角形面积.（图L）【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62：6

8、【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3）画出图形后，利用割补法求而积即可.平移ACHG到AMF,连接EM, IM,则AM=CH=BK只要证明Sa efm=3Sa abc即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD, ABD和 ADC是互补三角形.（2）如图2中，延长FA到点H,使得AH二AF,连接EH.02）四边形ABDE,四边形ACGF是正方形,AB=AE, AF=AC, Z BAE=Z CAF=90°,Z EAF+Z BAC=180°,AEF和a ABC是两个互补三角形.Z EAH+Z HAB=Z BAC+Z

9、HAB=90°,/. Z EAH=Z BAC,t AF=AC,/. AH=AB,在 AEH和 ABC中, AE= AB乙 EAR = Z.BACAH = AC：. AEH2 ABC,Sa aef=Sa aeh二Sa abc-(3)边长沏产人小、«口的三角形如图4所示.（图4）: Saabc=3x4 - 2 - 1.5 - 3=5.5,S 木边形=17+13+10+4x5.5=62.如图 3 中，平移 CHG 至lj AMF,连接 EM, IM,则 AM=CH=BI,设N ABC=x,（图3）AM II CH, CHJLBC,J AM_LBC,/. Z EAM=90°

10、;+90° - x=180° - x,/ Z DBI=360° - 90° - 90° - x=180° - x,/. Z EAM=Z DBb / AE=BD, AEM合 & DBI,丁在 DBI 和 ABC 中,DB=AB, BI=BC, Z DBI+Z ABC=180% DBI和 ABC是互补三角形，Sa aem=Sa aef=Sa afm=2 >Sa efm=3Sa abc=6.考点：1、作图-应用与设计，2、三角形面积3.在平面直角坐标系中，四边形AO8c是矩形，点O (0, 0),点4 (5, 0),点8 (0

11、.3).以点4为中心，顺时针旋转矩形4O8C,得到矩形4DEF,点O, B. C的对应点分别 为 D, E, F.（1）如图，当点。落在8c边上时，求点。的坐标：（2）如图，当点D落在线段8E上时，AD与BC交于点H.求证 ADB 口 AOB-求点”的坐标.（3）记K为矩形408C对角线的交点，S为aKDE的面积，求S的取值范围（直接写出结图图17【答案】 D （1, 3） ； （2）详见解析：H（ , 3） ； （3）30-3后<$<30 + 3后4 4,【解析】【分析】（1）如图，在心 ACD中求出CD即可解决问题：（2）根据HL证明即可：，设 AH=BH=m,贝lj HC=B

12、C-BH=5-m,在 RSAHC 中，AH2=HC2+AC2,构建方程求出 m即可解决问题：（3）如图中，当点D在线段BK上时，ADEK的面积最小，当点D在BA的延长线上 时，ADEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题：【详解】图丁 A (5, 0) , B (0, 3),/. OA=S, OB=3,四边形AO8c是矩形，：.AC=OB=3, OA=BC=5, Z OBC=Z C=90°,V矩形ADEF是由矩形4O8C旋转得到， ：.AD=AO=5,在 Rth ADC 中，CD= AD? - AC2 =4,/. BD=BCCD=1,：.D (1, 3).图由四边形AD

13、EF是矩形，得到NADE=90。，.,点D在线段8E上， N AD8=90°,由(1)可知，AD=AO,又 48=48, N 408=90。，/. RfA ADB RtA AOB (HL).如图中，由 4。的 408,得到N84D=N840,又在矩形AO8c中,OAW BC,：.Z CBA=A OAB, /. Z BAD=A CBA.BH=AH,AH=BH=m,贝lj HC=8C-8H=5-m,在 RS AHC 中，: AH2=HC2AC29m2=32+ (5-n?) 2,17 m=,17BH= 9 5(3)如图中，当点。在线段8K上时，AOEK的面积最小，最小值=1DEDK=；x3

14、x当点。在84的延长线上时，aOEK的而积最大，最大面积=1xOFxKO=Lx3x22后30 + 3后(+).24综上所述，30-3后=3。+ 3后44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等 知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.4.如图1,在 ABC中，AB = AC, AD_LBC于D,分别延长AC至E, BC至F,且CE = EF, 延长FE交AD的延长线于G.(1)求证:AE = EG：(2)如图2,分别连接BG, BE,若BG = BF,求证：BE = EG：(3)如图3,取GF的中点M,

15、若AB = 5,求EM的长.2【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：ZCAD=ZG,可得AE = EG：(2)作辅助线，证明 BEa a GEC (SAS),可得结论：（3）如图3,作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM = DN =?AC,计算可得结论.2【详解】证明：（1）如图1,过E作EHJ_CF于H,图17 AD_LBC,/. EH II AD, , N CEH = N CAD, N HEF = N G, / CE = EF, . Z CEH = Z HEF,Z CAD=Z G, , AE = EG；（2）如图2,连接GC,图2AC

16、=BC, ADJLBC, , BD=CD,AG是BC的垂直平分线, . GC=GB, , Z GBF = Z BCG,BG = BF, . GC=BE, / CE = EF, . Z CEF = 180° - 2Z F,BG = BF,/. ZGBF = 180°-2Z F, Z GBF = Z CEF,Z CEF = Z BCG,Z BCE = Z CEF+Z F, Z BCE=Z BCG+Z GCE,/. Z GCE = Z F,在 BEF和 GCE中，CE = EF/< ZGCE = ZF,CG = BF BEF2 GEC （SAS）,/. BE = EG；（3

17、）如图3,连接DM,取AC的中点N,连接DN,图3由（1）得 AE = EG,/. Z GAE = N AGE,在R3ACD中，N为AC的中点，1 , DN=-AC=AN, Z DAN = Z ADN, 2/. Z ADN = Z AGE, , DNII GF,在RtA GDF中，M是FG的中点，1，DM= - FG = GM. Z GDM = Z AGE, 2/. Z GDM = Z DAN,/. DM II AE,/.四边形DMEN是平行四边形，1/. EM = DN=-AC,2AC=AB = 5,【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性 质

18、，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三间，辅助线的作法是关键.5.如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC,连接AE,点F是AE的 中点，连接BF、DF,求证：BF±DF.【答案】见解析.【解析】【分析】延长8F,交04的延长线于点M,连接8D,进而求证 AFA色 EFB,得FB=FM,即可求得8c+8E=/W+AM,进而求得8D=8M,根据等腰三角形三线合一的性质即 可求证8F_LD£【详解】延长8F,交。4的延长线于点M,连接8D.四边形 ABCD 是矩形，. MDW

19、 8C,，Z AMF=A EBF, Z E=N MAF,又 FA=FE,：. AFM EFB, ：. AM=BE, FB=FM.矩形 A8C。中,/. AC=BD9 AD=BC9 ：. BCBE=AD-AM,即 CE=MD. CE二AC, ：. AC=CE= BD =DM., FB;FM, ：. BF±DF.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的 性质，本题中求证。8=DM是解题的关键.6.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF±EC且EF=EC.(1)求证： AEF合 DCE.(2)若DE=4cm,

20、矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【答案】（1）证明见解析：（2） 6cm.【解析】分析：（1）根据EFLCE,求证N AEF=Z ECD.再利用AAS即可求证 AEFW DCE.（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm,即可求得AE的长.详解：（1）证明：EF_LCE,. Z FEC=90。，/. Z AEF+Z DEC=90°,而N ECD+Z DEC=90°,Z AEF=Z ECD.在 R3 AEF 和 DEC 中，Z FAE=Z EDC=90 Z AEF=Z ECD, EF=EC. AEF合 Q DCE.（2）解：: AEF

21、合 DCE.AE=CD.AD=AE+4.矩形ABCD的周长为32cm, 2 （AE+AE+4） =32.解得，AE=6 （cm）.答：AE的长为6cm.点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌 握，难易程度适中，是一道很典型的题目.7.如图，AB为。0的直径，点E在00上，过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接BE,过点。作BE的平行线，交。0于点F,交切线于点C,连接AC（1）求证：AC是00的切线：（2）连接EF,当ND=。时，四边形F0BE是菱形.【答案】（1）见解析：（2） 30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出AOCA会49CE,根据圆的

22、位置关系证得AC是。的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得证AO3E为等边三角形，而得出 N3OE = 60。，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：:CD与。相切于点E,OE1CD,：.ZCEO = 90°,又OCBE,ZCOE = ZOEB，z obe=z coaOE=OB, . ZOEB = ZOBE, . ZCOE = ZCOA，X'." OC=OC, OA=OE, AOCAOCECSAS）.ZC4O = ZCEO = 90°,又；AB为OO的直径，AC为00的切线：（2）解：四边形FOBE是菱形，/.

23、OF=OB=BF=EF,OE=OB=BE,/.为等边三角形，ZBOE = 60°,而。七_LCD，ND = 30。.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关 键.8.如图，点E是正方形48CD的边A8上一点，连结CE,过顶点C作CF_LCE,交4）延长【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD, Z B=Z CDF, Z BCD=90°,再由垂直的性质得到Z BCE=Z DCF,然后根据"ASA”证明 BCE合 BCE即可得到BE=DF详解：证明：.,CF_LCE,/. Z ECF

24、=90",又；Z BCG=90%Z BCE+Z ECD =Z DCF+Z ECD . Z BCE=Z DCF,在 BCE与 DCF中， / Z BCE=Z DCF, BC=CD, Z CDF=Z EBC, . BCE合 BCE （ASA）, . BE=DF.点暗：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答 此题的关键.9.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点 A、点D重合），将正方形纸片折卷，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,（2）当点P在边AD上移动时，求证：4PDH的周长是定值：（3）当BE+CF

25、的长取最小值时，求AP的长.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3） 2.【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出N PBC=Z BPH,进而利用平行线的性质得出Z APB=Z PBC即可得出答案：（2）首先证明aAB匿a QBP,进而得出4 BCH2 BQH.即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMJ_AB,垂足为M,贝lj FM二BC二AB,证明 EFM合4 BPA,设AP=x,利用折 叠的性质和勾股定理的知识用X表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）解：如图1, PE=BE, , Z EBP=Z EPB.文

26、:Z EPH=Z EBC=90S , Z EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即N PBC=Z BPH.又二 AD II BC,/. Z APB=Z PBC. , Z APB=Z BPH.(2)证明：如图2,过B作BQ_LPH,垂足为Q.由(1)知N APB=Z BPH,又; Z A=Z BQP=90% BP二BP,在 ABP和 QBP中，N/PB =乙BPHzlA = zlBQP = c)OqBP = BP：. ABP合 QBP (AAS),：.AP=QP, AB=BQ,又；AB=BC, , BC=BQ.又N C=N BQH=90°, BH=BH,在aBCH和aBQH中，BC=BQ ZC=Z/?QH = 9O° BH = BH . a BCH合 BQH (SAS), CH=QH.:, & PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. PDH的周长是定值.(3)解：如图3,过F作FM_LAB,垂足为M,则FM=BC=AB.EF±BP./. Z EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90°, Z EFM=Z ABP.又 Z A=Z EMF=90",在a EFM BPA 中，乙