高一数学预科班讲义

1、高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1 .集合的表示方法：2 .关于集合的元素的特征：(1)确定性:设 A是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元 素，或者不是A的元素，两种情况必 有一种且只有一种成立。(2)互异性:一个给定集合中的元素，指 属于这个集合的互不相同的个体(对 象)，因此，同一集合中不应重复出 现同一元素。(3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序， 但在表示数列之类的特殊集合时， 通 常按照习惯的由小到大的数轴顺序 书写。3 .集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a G A(2)如果a不是集

2、合A的元素，就说a不属于A,记作a A (“G”的开口方向，不能把aGA颠倒过来写.)4 .常用数集的记法：(1)非负整数集 (自然数集)：全体非负整数的集合.记作N, N 0,1,2,(2)正整数集：非负整数集内排除 0的集.记作N*或NtN* 1,2,3,(3)整数集：全体整数的集合.记作Z ,Z0, 1, 2,(4)有理数集：全体有理数的集合.记作Q, Q整数与分数(5)实数集:全体实数的集合.记作RR 数轴上所有点所对应的数5 .两个集合相等：如果两个集合所含的元 素完全相同，则称这两个集合相等。6 .有限集合、无限集合、空集的定义例题1.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所

3、有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=。图象上所有的点 x练习：下列条件能形成集合的是()A.充分小的负数全体B. 爱好足球的人 C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、用符号或填空：(1) -3 N ;(2) Q ;(3)1 Q ;(4) 0？；3(5) v3 Q;(6)- R;2 1 N+；(8) Ro练习：下列结论中，不正确的是()A.若 aG N,则-a N B.若 aG Z,则 a2 G Z C.若 a G Q,则 | a | e QD.若 aGR,贝iJ3/a R例题3：用列举法表示下列集合：x|x是15的正约数(x,y)|x 1,2, y 1,2(x,

4、 y)|x y 2,x 2y 4x|x ( 1)n,n N (x, y)|3x 2y 16,x N, y N例题4:用描述法表示下列集合：1,4,7,10,13; 2, 4, 6, 8, 101,-1,1,-1 阔课堂练习：1 .下列说法正确的是()B. (0,2)中有两个元素C. x Q|6 N 是有限集 xD. x Q|且x2 x 2 0是空集2 .将集合x| 3 x 3且x N用列举法表示正确的是()A.3, 2, 1,0,1,2,3B. 2, 1,0,1,2C. 0,1,2,3D. 1,2,33 .给出下列4个关系式：3 R,0.3 Q,0N ,00其中正确的个数是()4 .下列元素与

5、集合的关系中正确的是()A. 1 N x R|x> V32C.|-3| N*给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2) 集合y|y=x 2-1与集合(3)1,这些数字组成的(x,y)|y=x2-1是同一个集合；A. 1,2 , 2,1是两个集合集合有5个元素;(4)集合( x, y)| xy < 0, x, y R是指 第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中，正确命题的个数是()6 .下列集合中表示同一集合的是()=(3,2),N=(2,3)=3,2,N=(2,3)二(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1 =1,2,N=2,17 .已知x N,则方程x2 x 2

6、 0的解集 为()A.x|x=-2B. x|x=1 或x=-2 C. x|x=1D.8 .已知集合 M=mN|8-mN,则集合 M 中元素个数是()9 .方程组x y 2的解集用列举法表x y 5示为.10 .已知集合A=0,1,x2 x则x在实数范围内不能取哪些值.11 .用符号"”或“"填空：0 N,芯 N, 716 N.12 .用列举法表示 A=y|y=x 2+1,-2 < x <2,x Z为.13 .用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0 的解集”为.14 .集合x|x>3与集合t|t>3 是否 表示同一集合15 .已知集合 P=x|2&l

7、t;x<a,x N,已知 集合P中恰有3个元素，则整数a=.二、集合间的基本关系1：观察下面几个例子，你能发现两个 集合间有什么关系吗(1) A 1,2,3, B 1,2,3,4,5;(2)设A为某中学高一(3)班男生 的全体组成的集合，B为这个班学生的 全体组成的集合；C x|x是两条边相等的三角形, D x|x是能忙裔0 ;(3)(4) E 2,4,6, F 6,4,2一般地，对于两个集合 A, B,如果集 合A中任意一个元素都是集合 B中的 元素，我们就说这两个集合有包含关 系，称集合 A为B的子集.记作: A B (或B A)读作：A包含于B(或 B包含A).如果两个集合所含的元

8、素完 全相同，那么我们称这两个集合相等.2.真子集：如果集合A iB,但存在元 素x G B,且x?A,我们称集合 A是集 合B的真子集，记作A B (或B A) 3.空集：我们把不含任何元素的集合 叫做空集，记为，并规定空集是任何 集合的子集4.含有n个元素的集合A的子集个数 为2n,真子集的个数为2n-1,非空真 子集的个数为2n-2课堂练习：1 .用适当的符号填空：(1)a a,b,c(2)0R|x2+1=0 (4)0,10 x|x2,1 x|x x eN2 -_=x(6)-3x+2=02 .写出集合A=1,2,3,4的所有子集3 .判断下列两个集合的关系(1) A=1,2,4 B=x|

9、x 是 8 的约数(2) A=x|x=3k,k GN , B=x|x=6z,ze N(3) A=x|x是4和10的公倍数，x& N+, B=x|x=20m, m G N+4 .已知集合 A= 2, 8, a , B= 2,a2-3a+4 ，又A B,求出a之值5 .已知集合 A= x|-3 < x< 4 B=x|2m-1 <x< m+1,当 B A时，求出m之取值范围三、集合的基本运算1并集：已知集合 A=1,2,3 , B=2,4,6,C=1,2,3,4,5,6一般地，由所有属于集合 A或属于集合A的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AU B (读作:

10、A 并 B),即 AU B=x|x GA,或 x GB讨论：An B与A、Ek Bn A的关系An a= An ?=An b b nA"a n b = aAn B= B用Venn图表示：说明：定义中要注意” 两个条件。讨论：AU B与集合A、 系例 1 :设 A=3,5,6,8 , B=4,5,7,8,求 AU B, AA B例2.已知A=x|x是等腰三角形, B=x|x是直角三角形,求AU B, AAB*1 S-TJ- EI-二0!:=ll-!:.:= 电=;>'!丽:三立A U A = , A U 二 ,A UB B U AAU B= A, A U B=B 例 1.

11、设 A=4,5,6,8 ,B=3,5,7,8,求AU B例2:设集合 A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3,求 AU B2 .交集：已知集合 A=2,4,6,8,10,集合B=3,5,8,12,集合 C=8,集合 AB C之间有什么关系 一般地，由属于集合 A且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为 A与B的交集，记作An B (读彳“ A交B”)即 AA B=x|x GA,且 x G B3 .补集在研究问题时，我们经常需要确 定研究对象的范围，一般地，如果一 个集合含有我们研究问题中涉及的所 有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作U,对于一个集合A,由至集

12、 U中不属于A的所有元素组成的集合称 为集合A相对于集合U的补集，简称 为集合A的补集，记作记作：CUA,读 作：” A在U中的补集”，即 Cu A x|x U ,且x A用Venn图表示：(阴影部分即为A在全集 U中的补集)讨论：集合A与Cu A之间有什么关系一借 助Venn图分析练习： U=2,3,4, A=4,3 , B气,则Cu A =, Cu B =;(2) 设 U=x|x<8，且 xGN, A= x|(x-2)(x-4)(x-5)= 0,则 CuA用Venn图表示：(阴影部分即为A与B的交集)常见的五种交集的情况：,(3) 设U= 三角形, A= 锐角三角6、设集合A= x|

13、x是参加自由泳的运集合及其运算巩固练习题动员, B= x|x是参加蛙泳的运动一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确）1.下列选项中元素的全体可以组成集员,对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 （）AB合的是（）UBA.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市x y 22.方程组 x y 0的解构成的集合是（ ）A. （1,1）B .1,1C. （1, 1）D. 13 .已知集合A=a, b, c,下列可以作为集合A的子集的是（）A. aB. a, cC. a , e D.a , b, c, d4 .

14、下列图形中，表示M N的是（）7 .集合A=x|x 2k,k Z ,B=Xx 2k 1,k Z ,C=xx 4k 1,k Z 又 a A,b B,则有( )A. (a+b)A B. (a+b) BC.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8 .集合 A=1, 2, x,集合 B=2, 4, 5,若 A B=1 , 2, 3, 4, 5,则 x=( )A. 1 B. 3C. 4 D. 5A. 8B. 73,4,5 6C. 6D. 510.全集 U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7,8 , A= 3 ,4,5 , B= 1 ,3,6 ,那么集合2,7, 8是()A

15、. A B B.A BC.Cu A CuBD.CuA CuB11 .设集合 M m Z| 3 m 2, N n Z | 1 W n W 3,则M I N()A. 01B .101C. 0 1,2D. 101,212 .如果集合 A=x| ax2 + 2x+1=0中只有一个元素，则a的值是()A. 0B .0 或 1C. 1D.不能确定二、填空题(把答案填在题中横线上)13 .用描述法表示被3除余1的集合.14 .用适当的符号填空：(1 ) xx2 1 0；(2) 1 , 2, 3N;(3 ) 1xx2 x；(4) 0xx2 2x.15 .含有三个实数的集合既可表示成a,b,1,又可表示成a2,

16、 a b,0, a2003, 2004a b .16 .已知集合U x| 3 x 3,M x| 1 x 1,CuN x|0 x 2 那么集合M (CuN) ,M N .三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .设全集Uxx是小于9的正整数，A 1,2,3 , B，求 AA B, AU B, CuA, CuB .18 .设全集U xx 4，集合A x 2 x 3 ,B x，求 CuA, A B ,A B,Cu(A B),(CuA) (CuB)2x 10 . 八19 .不等式组2x 1 0的解集为A,3x 6 0U=FR试求A及CuA20 .已知 U= x G N| x <

17、 10, A=x|x1.函数的定义实数x的集合叫做半开半闭区间，分是小于10的正奇数, B=x|x是小于11的质数,求CA, CuB .21 .已知集合a xx2 4 0,集合B x ax 2 0,若 B A ,求实数 a的取值集合.22 .已知集合 A x|x2 3x 2 0,_，2_2一B x| x 2(a 1)x (a 5) 0,(1)若A B 2,求实数a的值；(2)若A B A,求实数a的取值范围；23 . 设全集 U 为 R ,一2一一一2A x x px 12 0 , B x x 5x,若(CuA) B 2 , A (Cu B) 4 ,求A B o24 .已知方程x2 ax b

18、0 .(1)若方程的解集只有一个元素，求实数a, b满足的关系式；(2)若方程的解集有两个元素分别为1, 3,求实数a, b的值高一数学预科第2讲：函数及其表7K一、函数的概念设A, B是非空的数集，如果按 某个确定的对应关系 f ,使对于集 合A中的任意一个数x ,在集合B中 都有唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称f： A- B为从集合A到集 合B的一个函数，记作y= f(x) , x G A。其中x叫自变量，x的取值范围A 叫做函数y=f(x)的定义域；与x的 值相对应的y的值叫做函数值，函数 q 0值的集合 f(x) | x G A,叫做函数y = f (x)的值域。函数符号y=

19、f(x)表示“ y是x的函 数”，有时简记作函数f(x) 02.研究函数时常会用到区间的概念设a, b是两个实数，而且a<b,我们规 士(1)满足不等式a&x&b的实数x的 集合叫做闭区间，表示为a,b(2)满足不等式a<x<b的实数x的集/ 合叫做开区间，表示为(a,b)(3)满足不等式a< x<b或a<x< b的别表示为a,b ) ,(a,b实数集R可以用区间表示为(-OO, +OO), “OO”读作无穷大，我们可以把满足x> a, x>a,x < b,x<b的实数x的集合分别表示为a,+ x) , (a,+

20、 x) ,(- x,b, (-00, b),例题1.已知函数f (x) = Jx + 3+-x +2(1)求函数的定义域2求 f(-3),f(2)3(3)当 a>0 时，求 f(a),f(a-1) 的值练习1：求下列函数的定义域, 、1(1 ) f(x)=4x+7f (x) =、. x +3 + . 1 - x - 1f(x) = -6x2 - 3x + 2/八-4 - x(4) f(x)=x - 1(2)(3)(5)(6)f (x) = '，x2 f (x) = x2 - 6x +73 .相等函数由函数的定义可以知道，一个函数值域，由于值域是由对应关系和定义 域确定的，所以，如

21、果两个函数的定 义域相同，对应法则相同，那么我们 就称这两个函数相等 例题2.下列函数中哪个与y=x相等 2(例题3.画出函数y = x的图象例题4.某公共汽车的票价按如下规则制定： 5公里以内(含5公里)，票价2元； ) y = (Tx )( 2 ) y = &2(3)y = Vx2(4) y =x练习：下列哪一组中的函数f(x)和g(x)相等(1) f(x) =x-1 , g(x) = -1(2)xf(x) =x2, g(x) = (Tx)( 3 )f (x) =x2, g(x)=歹4 . 函数的三种表示方法： 、的构成要素为：定义域，对应关系和(2) 5公里以上，每增加 5公里，

22、票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)如果某条线路的总里程为 20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应 f:A - B为集合A到集合B的一个映射，在我们的 生活中，有很多映射的例子，例如:我们把像例题3和例题4这样的函数设集合A=x|x是某场电影票上的号码,集合B=x|x是某电影院的座位称为分段函数号，对应关系f:电影票的号码对应于练习1:画出下列函数的图象电影院的座位号，那么f: f:A - B是?0,(x<0) F(x) = ?1,(x>0)一个映射例题5.以下给出的对应是不是集合A G(n)

23、 =3n+1,n?1,2,3练习?x2+1,x?12:设函数f(x)= 12,则?-,x >1 ?x,f(f(3)=1,x >0、?3. 设 f(x)= i0,x = 0,?-1,x <0g(x)=?1x为有理数?0, x为无理数则f(g(p )的值为5.映射的定义到B的映射(1)集合A=P|P是数轴上的点,集 合B=FR对应关系f:数轴上的点与它 所代表的实数对应(2)集合A=x|x是华兵实验中学的 班级,集合B=x|x是华兵中学 的学生,对应关系f:每一个班 级都对应班里的学生。一般地，设A, B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元6

24、.函数解析式的求法1 .待定系数法2 .解方程组法3.配凑法对于二次函数f(x)=x 2,我们可以这样4.换元法例题1:已知f(x)是一次函数，且f(f(x)= 4x+3，则f(x)的解析式为练习1:已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+ f(x-1)= 2x2-4x+4 ,则f(x)= 例题2:定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= 2f(x),若当 0<x< 1,f(x)= x(1- x),则当-1 0 x< 0 时，f(x)=1练习 2:已知 f(x)+2f( -)= 3x ,求 f(x)的 x解析式练习3:已知二次函数f(x)满足f(x+1)- f(x)= 2x

25、 ,且 f(0)= 1 ,(1)求f(x)的解析式(2)求f(x)在区间-1,1上的值域描述：在区间(0, +°°)上，任取x1,x2, 得到 f(x 1)=x 12, f(x 2)=x 22,当 x1<x2 时有 f(x 1) <f(x 2),这时我们就说函数 f(x)=x 2在(0, +°0)上是 增函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x 2,当x1<x2 时都有f(x 1) <f(x 2),那么我们就说函 数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的 任意

26、两个自变量的值x1,x 2,当x1<x2时都有f(x 1) >f(x 2),那么我们就说函函数，那么我们就说函数诈f(x)在这一区间上具有单调性,区间,y= g)二、函数的基本性质1.函数的单调性首先，我们研究一次函数f(x)=x和f(x)=x 2的单调性例题1.如图是定义在-5,5上的函数 y= f(x),根据图象说出函数间上，它是增函数还是减函娄的单调区间，以及在每一个数f(x)在区间D上是减函数 如果y= f(x)在区间D上是增函数或减 f(x)的单调区间练习：根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数时增函数还是减函数例题2.证明函数f (x) = -2x +

27、1在R上是减函数证明函数单调性的步骤： 3.函数的奇偶性观察下列图象，思考并讨论这两个函数图象有什么共同特征吗从函数图象可以看出，当自变量 x取一对相反数时，相应的两个函数值相等例如：对于函数f (x) =x练习：证明函数f(x) =x2+1在(0, +8)上是增函数复合函数的单调性的判断：同增异减例题1 :求函数f(x尸 1_2的单调8- 2x - x区间2.函数的最值一般地，y= f(x)的定义域为I ,如果存在实数M满足：(1)对于任意的xG I ,都有f(x) <M(2)存在x0? I ,使得f D = M ,那么称M是函数y= f(x)的最大值 例题4.已知函数f(x)= (x

28、?2,6),x - 1求函数的最大值和最小值有实际上，对于R内的任意一个x,都有f(-x) = f(x),这时我们就称函数f(x) =x2为偶函数偶函数的定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (-x) = f (x) , UE么函数f (x)就叫做偶函数例如，函数f(x) = x2 +1 ,f(x)二号都是偶函数x2- 1练习1：已知函数y = f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)= 0的所有实数根的和为()C. 1A. 4D. 0练习2:若函数B. 2f(x)= (x+1)(x -a)为偶函练习：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，将下图补

29、充完整.数，则a=()函数的单调性巩固练习题B .-11.下列说法中正确的有(观察下列图象，思若 Xi,X2, G I ,当 Xi<X2 时，f(x 1)卜函数图象有什么共同<f(x 2),则y = f(x)在I上是增函数数y=xf(1)< f(2)< f(-1) C. f(2)< f(-1)< f(1) D. f(1)< f(-1)< f(2)在R上是增函数我们看到两个函数的图象都关于数y =-在定义域上是增函数x对称y=2的单调区间是(-X, 0) U x例如，对于函数f(x)= x有:(0,日)奇函数的定义：一般地，如果对于函C. 2数f

30、(x)的定义域内任意一个x,都有2.下列函数中,在区间0,1 )上是f (- x) = - f (x),那么增函数的是(函数f(x)就叫做意函数例：判断下列函数的奇偶性(1)f(x)= f(x)=(3)f(x)=1x+ 一 x(4)a. y=|xC. y = - D.xB.y = 3- x2 . 4 y= -x +43.已知函数y = x2+bx+c称轴为直线x=1，则(A. f(-1)< f(1)< f(2)的图象的对B.f(x)=(1)求证:f(8)= 34 .函数f(x尸在区间1,5上的2x - 1最大值为 最小值为_?1x>1弘5 .函数f(x)=ix的取大值为.?-

31、x2+2,x <16 .已知y= f(x)在定义域(-1,1 )上是 减函数，且f(1-a)< f(2a-1),求a的 取值范围7 .已知函数f(x)是定义在-1,1上的增函数，求满足f(x)< f(1)的实数x的 2取值范围8 .已知函数 f(x)= x-W+a 在(1, +°°) x 2上是增函数，求实数a的取值范围9 .已知函数f(x)对于任意的xGR,总有 f(x)+ f(y)= f(x+ y),且当 x>0 时，.- -2f(x) <0, f(1)=-3(1)求证f(x)在R上是减函数(2)求f(x)在-3,3上的最大值与最 小值10

32、 .已知f(x)是定义在(0, +x)上的 增函数，且满足条件：f(xy)= f(x)+ f(y),f(2)=1 ,(2)求不等式 f(x)> 3+ f(x - 2)11 .函数f(x)对于任意的X, y满足f(x)+ f(y)= f(x+ y),且 x>0 时，f(x) <0, f(1) = -1 ,求 f(x)在-4,4上的最大值与最小值12 .已知函数 f(x)= x2 + 2ax+ 2 , x 6-5,5(1)当a=-1时，求函数f(x)的最大值与最小值(2)求实数a的取值范围，使y= f(x) 在区间-5,5上是单调函数13 .已知函数2 .f(x)= xx3(x?

33、2, ?)(1)求f(x)的最小值(2)若 心)>2恒成立，求a的取值范围函数的奇偶性巩固练习题1 .下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A. y = x+1B. y = -x3是偶函数D. 既是C. y= - D. y = x x x2 .函数 y = x2+ xx ()A.是奇函数B.C.是非奇非偶函数奇函数又是偶函数3 .若f(x)是R上的奇函数，给出下列结论 ：f(x)+ f(-x)= 0f(x)- f(-x)= 2f(x) f(x)祝(-x) 0&L = - i其中不正确的结论有 f(-x)()个A. 1 个B. 2个个 D. 4个4 .若偶函数f(x)在(-? ,

34、0为增函数， 则满足f(1)£f(a)的实数a的取值范围是5 .设f(x)是R上的奇函数，且当 x?0, ?)时，f(x)= x(1+ 我)，则 f(-1)= 6 .若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数, 则f(0), f(1), f(-2)从小到大的顺序是 7 .设 f(x) = ax +1 (a,b,c G Z)是奇函 bx + c数，且 f(2) <3,f (1) = 2 ,求 a,b,c 的值8 .已知f(x)是奇函数，当 x>0时，f(x) =2x + 3x +1(1)当x<0时，求f(x)的解析式(2)用定义证明：f(x)在(0, +x)上

35、是减函数9 .已知函数f(x)= 1- x(1)若g(x)= f(x)- a为奇函数，求a的值(2)试判断f(x)在(0, +OO)内的单调性，并用定义证明高一数学预科第3讲：基本初等函数一、指数与指数募的运算1.一般地，如果 ,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且 _ *n G N的n次方根的表示：(1)当n时奇数时，a的n次方根表不为 , aGR(2)当n时偶数时，a的n次方根表不为 , a203.式子n/a叫做根式，这里n叫a叫做=a ;当n为偶做 ,4.当n为奇数时，痘数时，好二a例题：求下列各式的值(1)V(-83(3)依-p )4?a,a 3 0?- a,a < 0(

36、2) J(- 10)2(4)根据 n次方根V (a-b)2 (a >b)二、分数指数募我们来看下面的例子,的定义和数的运算 105/a10 = 5/(a2)5 = a2 = a5( a>0 )_ 12Va12 = 4/(a3)4 = a3 = a4 (a>0)我们规定正数的正分数指数募的意义m 是：an = n/am(a > 0, m, n ? N，且n 1)正数的负分数指数募的意义与负整数 指数募的意义相仿，我们规定:a： =4(a>0,m,n? N an，且n 1)0的正分数指数募等于0, 0的负分数指数嘉没有意义整数指数募的性质对于有理数指数募同样适用，即对

37、于任意的有理数r,s ,均有下面的运算性质(1 ) aras = ar+s(a > 0, r,s ? Q) ( 2 ) (ar)s = ars(a > 0, r,s? Q)(3 )(ab)r =arbr(a >0,b >0,r? Q) 例题1:求值21-(1 ) 83( 2 ) 25 2例题2:用分数指数募的形式表示下列各式(其中a>0)(1) a3 x/a(2) a2 >02(3) Ja吗例题3:计算下列各式(式中字母都是正数)2 11115(1)(2a3b2)(-6a2b3)? ( 3a6b6)13- - (2) (m4n8)8例题5:计算下列各式：(1

38、)0325- 7125) ? 252(a>0)练习1：用分数指数募表示下列各式(1) 3/X2(3)jp6q5(2) ?(a + b)3(4)3 m. m练习2:计算下列各式3(1)H62(2) 2点创3/15 612檎9一般地，指数函数y = ax的图象和性质如图所示定义域：值域：_性质：(1) 1 11-(3 ) a2a4a 8例题1 :比较下列各题中两个值的大小1,12-1- -2x 3( x3- 2x 3)2三、指数函数及其性质般地，函数y=ax(a>0,且a? 1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域我们先画函数y=2x的图象xy-2-10121 -7 -I o(1) 1

39、.72.5,1.730.8-0.1,0.8-0.20.33.11.7 ,0.9(2)(3)练习1 :比较下列各题中两个值的大小(1 ) 30.8,30.7(3) 1.012.7,1.013.5(2) 0.75-0.1,0.750.1(4) 0.993.3,0.994.5指数函数的图象与性质练习题1.函数y = ax-a(a >0且a? 1)的图象可能是()2.3.4.C.函数y =2俨的图豪是(an函数y =j2x-1的定义域是(A. (-? ,0)0, +? ) D.F列判断正确的是A2.531.7 >1.722P <P D.)B.(0,+B.230.8 <0.80.

40、30.9 >0.90.5115.当a>0,且a才1时，函数11.函数 y = ax(a >0且a? 1)在1,2上f(x)=的图象一定经过点则最大值与最小值的和为 6,则a的值C.6.A.(0,1)(-1,0)D.B.(1,0)设函数 f (x)= a-“a > 0且a?(0,-1)1),若12.已知函数f(x)的定义域为(0,1),则f(x3)的定义域为13.定义运算a*b =嘉翼则函数f(x) = 1*2x的最大值为A. f (-2) >f(-1)B.14.已知函数f(x)时偶函数，当 xGf (-1) > f (-2) C.f(1)> f(2)D

41、.f (-2) > f (2),一" 1 ,(0,1)时，f(x) = 2x-1 ,则 f (1)的值为7.函数f (x) = ax与g(x) = - x + a的图象大致是8.函数+x+27的单调递r区间15.求函数2(1)求函数f(x)的定义域6.Cx2- 2x+2(0 #x 3)的值2x-1(2)证明：f(x)在(-? ,0)上为减函数C.9.A.2,+?)D.B.H,2、一2不等式6x+x-2<1的解集是(-? , 117.f(x)18.已知函数 f (x) = ax在-2,2恒有<2 ,求a的取值范围已知函数f(x)在R上满足f(x +y)= f (x)

42、+ f (y),且当x>0时，数，则a的值为(1)求 f(0), f(3)的值10.已知函数f(x) = J+a为奇函3 +1f(x) >0, f(1) =2(3)若 f(4x-a)+ ”6 + 2-1)>6对任意 x 恒成立，求实数a的取值范围 四、对数的定义一般地，如果ax=N(a>0且a? 1),那 么x叫做以a为底N的对数，记作 logaN ,其中a叫做对数的底数,N叫 做真数例如：42 = 16,所以4为底16的对数 为 2,记作 log 416 = 2通常我们将以10为底的对数叫做常用 对数，并把log1记作lgN ,另外，在 科学技术中常使用以无理数e=为

43、底的对数，以e为底的对数称为自然对 数，并且把logeN记为ln N根据对数的定义，可以得到对数与指 数间的关系：当 a > 0且a? 1 时，ax = N ? x log aN 负数和零没有对数 log； = 0 logaa =1例题1：将下列指数式化成对数式，对(1 ) 54 =625( 2 ) 2-6 二一64Sm= 5.73(4) 10gl16 =-4柳2练习1：将下列指数式化成对数式，对 数式化成指数式(1 ) 23 =8(3) 2-1=12(5) log 39 = 21(7) 10g24 =-2例题2:求下列各式中,、v 2(1 ) log 64 =-(2 ) 25 =32-

44、1(4) 27 3 =- 3(6) 10g5125 =31(8) 10g381 =-4x的值(2) 10gx8 =6(3) 1g100 = x (4) -lne2 = x练习2:求下列各式的值1(1 )1og525( 2 )log 216(3) 1g1000(4) lg 0.001151(5)10g15(6) log 0.4(7) log 981(8) 10g产五、对数的运算 由于 am?an am+n, 设M=am,N=an,于 是：MN =am+n ,由对数的定义得到:数式化成指数式logaM =m,log aN = n , loga(M>N)=m + n , 例题3:利用对数的换底

45、公式化简下列这样我们就得到了对数的一个运算性各式质：lOga(M'=lOgaM + lOgaN对数的运算性质：例题 1 :用 lOgax,lOg ay,10g式：(1)2 一X y(1 ) lOga'XOgca(2)1一 tog-23HOg4 蝇7汕蜂2 (3)如果 a>0且a? 1,M>0,N>0,那么： ：az 表不下列各(lOg 43+ lOg 83 )(lOg 3, lOg 92 )；( / d Icc (M M - Icc M I Icc NII (1) log a= loga +loga:;练习1: (1)利用换底公式求!下式的值IM.:(2) X

46、yOg a:lOgaz:(3) lOgaNMN'(lOga)即用换底公式证明：= nblO练习1：用lg x,lg y,lg z表示下列各式对数与对数的运算巩固练习题3.521+l0g2)A. - 212)A.- 4) B. 1对数的换底公式吗6. lg8+3lg5=()A.-3 B. -12(1) lg(xyz)(2) lgMz(3) lg岁(4) lg£zy z例题2:求下列各式的值(1)10g2(47 25)(2) lg 5/100(3) ln 5?e(4) lg 0.00001练习2:求下列各式的值(1) log 26- log 23(2) lg5 +lg 21(3)

47、 log 53 + log53(4)10g35- 10g315氐、考：你能根据对数的定义推导出1. log23的值为(B. 12 C. - 1 D.294/2. (log 2 )(log3 )=(B. 1 C. 2 D. 42D. 9210,0.25/4 . 2log 5 + log 5 =(C. 2x5 .万程210g3 =4的解是()A. 19B. 3 C.-337 .计算 log22510g22/ log59 的结果为( )8 .下列计算正确的是()A. log 26- log 23 = log23B.log26- log 23 = 1C. log39 =32D. log3()=2log

48、；六、对数函数及其性质一般地，我们把函数y = logax(a > 0,且a? 1)叫做对数函数,其中x是自变量，函数的定义域为(0,+?)下面我们来研究对数函数的图象和性质例题1:求下列函数的定义域(1) y = logax2(2) y = loga(4-x)(3)y =(4)y = Jm"log 2例题2:比较下列各题中两个值的大小(1)logi06,logi08(2)460.50.610go.5 ,log0.5(3) log2 ,log233(4) logi.51.6,log 1.51.4对数函数及其性质巩固练习题1 .函数y =-=L=的定义域为.lOg0.5(4X-3

49、)一2 .函数y =1 + log2x(x ?4)的值域为 3 .函数f(x)=ln(x 2+1)的图象大致是( ),24 .函数f(x) = log2(X+2x-3)的单调区间为_5 . 已 知 函 数y =3 + loga(2x+3)(a >0且a? 1)的图象必经过点P,则点P的坐标为6 .已知函数 f(x)= ?log2 ,x>0 则 ?3x,x £01f(f( - )= 47 .已知集合A= x|y= log2x+1,集合17B=y|y=( )x,x>0,则 An B= 2138 .设实数 a = log 32 ,b = 20.1,c = 0.92 ,则

50、a,b,c从小到大的排列顺序为9 . 已知 a>0,且a? 1 , 函数y= log ax ,y = ax, y = x + a在同一坐标系中的图象可能是()10 .求函数10gl(3+2x-x2)的值域211 .已知 f(x) = loga(ax-1)(a>0且a? 1)(1)求函数f(x)的定义域(2)讨论f(x)的单调性12 . 已 知 函 数f(x) = loga(1+x) + loga(3-x)(a>0且 a? 1)(1)求函数f(x)的定义域(2)若函数f(x)的最小值为-2 ,求实数a的值，213 .已知函数 f(x) = loga(x -ax+3)(1)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围(2)当xG (0,2)时,函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围七、募函数的图象与性质1 .募函数的定义一般地，函数y = xa叫做募函数，其中x是自变量，a是常数2 .募函数与指数函数的区别与联系募函数的性质：例题1：证明募函数f(x)= 77在0,+?)上是增函数练习：1 .下列函数中不是募函数的是( )A. y =、xB. y = x丹C. y = 22xD. y = x-112.函数y =(m2+2m-2)x m-1是募函数，3 .已知募函数y = f(x)的图象经过点(2,乌，贝U f(x)=24 .