2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版

1、（2019年安徽23题） 23. (14分)如图，RtABC 中，/ACB=90° , AC=BC, P 为4ABC 内部一点，且/ APB=/ BPC= 135° .(1)求证： PABA PBC;(2)求证：PA=2PC;（3）若点P到三角形的边 AB, BC, CA的距离分别为h1，h2, h3,求证h12=h2?h3.【分析】（1）利用等式的性质判断出/ PBC = / PAB,即可得出结论;（2）由（1）的结论得出PA_P&_AB,即可得出结论;(3)先判断出 RtA AEPRtACDP得出罟二二2,即 h3=2h2,再由 PABAPBC LJLrxjt,

2、判断出h二表即可得出结论【解答】解：（1） ,/ ACB= 90° ,AB= BC,，/ABC=45° =Z PBA+/PBC又/ APB=135° ,PAB+Z PBA=45° ./ PBC=/ PAB又. / APB=/ BPC=135° , . PABA PBC(2) . PABsPBCPB PC BC在 RtABC 中，AB = AC, ABBCRA=2PC(3)如图，过点 P 作 PDBC, PEAC 交 BC、AC 于点 D , E,-PF=hi, PD=h2, PE = h3,. / CPB+/APB= 135° +13

3、5° = 270° ./ EAP+Z ACP=90° ,又. / ACB=Z ACP+Z PCD = 90 ° ./ EAP=Z PCD , RtAAEPRtACDP,h3= 2h2PABAPBC,hj DC''' E二诋卜2hj=2hz =盆二%二电即：hi2= h2?h3.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出/EAP = Z PCD是解本题的关键.(2019年北京27题)27. (7分)已知/ AOB = 30° , H为射线OA上一定点，OH =乃+1 , P为射线OB上一点，

4、M为线段OH上一动点，连接 PM,满足/ OMP为钝角，以点P为中心，将线段 PM顺 时针旋转150° ,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP =/ OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点 M 总有ON=QP,并证明.(2)由旋转可得/ MPN = 150° ,故/OPN=150° - Z OPM ;由/AOB = 30° 和三角形 内角和 180° 可得/ OMP=180° -30° -/OPM = 150° - Z OPM,得证.(3

5、)根据题意画出图形， 以ON = QP为已知条件反推 OP的长度.由(2)的结论/ OMP =/ OPN联想到其补角相等，又因为旋转有 PM = PN,已具备一边一角相等，过点 N作NCLOB于点C,过点P作PDLOA于点D,即可构造出 PDMANCP,进而得 PD = NC, DM = CP.此时加上 ON = QP,则易证得 OCNQDP,所以OC=QD.利用 /AOB=30° ,设 PD = NC=a,贝U OP=2a, OD=V5a.再设 DM = CP = x,所以 QD = OC= OP+PC=2a+x, MQ=DM+QD = 2a+2x.由于点 M、Q 关于点 H 对称

6、，即点 H 为 MQ 中点，故 MH=MQ = a+x,DH = MH DM=a，所以 OH = OD+DH =/a+a=/+1 , 求得a=1,故OP = 2.证明过程则把推理过程反过来，以OP = 2为条件，利用构造全等证彳导ON=QP.(2)设/ OPM=" 线段PM绕点P顺时针旋转150。得到线段PN ./ MPN = 150° , PM= PN .Z OPN=Z MPN - Z OPM = 150° - a . / AOB=30° ./OMP = 180° - Z AOB - Z OPM = 180° -30° -

7、 a= 150° - a ./ OMP = Z OPN(3) OP = 2时，总有 ON = QP,证明如下：过点N作NCOB于点C,过点P作PDXOA于点D,如图2 ./ NCP=Z PDM = Z PDQ =90°. / AOB=30° , OP= 2PD = J-OP= 12 1-OD= . ,ri：，''，" oh = 1;+1DH =OH - OD = 1 . / OMP = Z OPN .180° - Z OMP = 180° - / OPN即/ PMD =/ NPC在 PDM 与 NCP中fZPDK=ZN

8、CPZPKO=ZNFCIpm=npPDM NCP (AAS)PD= NC, DM =CP设 DM = CP = x,贝U OC= OP+PC=2+x, MH = MD + DH = x+1 点M关于点H的对称点为QHQ = MH =x+1DQ = DH + HQ = 1+x+1 = 2+x.OC=DQ在 OCN与 QDP中r OC=QDZ0CN=ZQDP=0?储匚二FD .OCN，QDP (SAS) .ON = QP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和 180。，勾股定理，全等 三角形的判定和性质， 中心对称的性质.第 （3）题的解题思'路是以 ON = QP为条件

9、反推 OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以 OP = 2为条件构造全 等证明ON = QP.（2019年北京28题）28. （7分）在 ABC 中D, E分别是 ABC两边的中点，如曼 DE上的所有点都在 ABC 的内部或边上，则称 DE为 ABC的中内弧.例如，图1中DE是 ABC的一条中内弧.E分别是AB, AC的中点，画出(1)如图 2,在 RtAABC 中，AB = AC = 2於，D, ABC的最长的中内弧DE,并直接写出此时 前的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (0, 0), C (4t, 0) (t>0),在ABC中，D

10、, E分别是AB, AC的中点.若t=L,求 ABC的中内弧D应所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在 ABC中存在一条中内弧 DE,使得近所在圆的圆心 P在 ABC的内部或边上, 直接写出t的取值范围.【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE = 2,最长中内弧即以 DE为直径的半圆，血的长即以DE为直径的圆周长的一半；(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t=L时，要注意2圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求， 在DE下方时必须 AC与半径PE的夹角/ AEP满足90° w/ AEPV135。；根据题意，t的最型即圆心 P在AC上时求得的t

11、J|.【解答】解：(1)如图2,以DE为直彳赳勺半圆弧DE,就是 ABC的最长的中内弧LE, 连接 DE,A=90° , AB = AC=2及，D, E 分别是 AB, AC 的中点，BC-蜿-2a -4,DE=1bCX4=2,slhB g22二弧 DE="x 2 兀=兀；(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接 DE,作DE垂直平分线 FP,作EGLAC交FP于G,当 t=L时，C (2, 0),D (0, 1), E (1, 1), F (1，1),设P (一, m)由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m>1,21

12、. OA=OC, /AOC = 90°2 .Z ACO =45° ,3 DE / OC4 ./ AED = Z ACO =45 °作 EG LAC 交直线 FP 于 G, FG = EF =2根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求;mW2综上所述，mW或m>1.2如图4,设圆心P在AC上， P在DE中垂线上，.P 为 AE 中点，作 PM，OC于M,贝U PM=-1, DE / BCADE = Z AOB=90° -AE= VAD2+DE2 =产山 12 + 1， PD = PE,AED = Z PDE . /

13、AED+/DAE = / PDE + /ADP = 90° , ./ DAE = Z ADPAP= PD = PE=AE2由三角形中内弧定义知，PDW PM -LaE<, AE<3,即山内忘3,解得：t<2,t>0-0<t<V2.图4 AyB图2【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给 出了 “三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.（2019年福建24题）24. （12分）如图，四边形 ABCD内接于。O, AB=AC, ACXBD,垂足为 E,点F在BD的延长线上，且 DF = D

14、C,连接 AF、CF.（1）求证：/ BAC=2/CAD;(2)若 AF = 10, BC=47G 求 tan/BAD 的值.【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出/ABC=/ACB,根据圆心角、弧、弦的关系得到标=1Q，即可得到/ ABC=/ADB,根据三角形内角和定理得到/ ABC= (180°2一/BAC) =90° -1/ BAG, /ADB = 90° -乙 CAD,从而得到 上 / BAC = / CAD ,即可证得结论；(2)易证得BC=CF=4而，即可证得 AC垂直平分BF,证得AB=AF = 10,根据勾股 定理求得AE、CE、BE,根据相交弦定

15、理求得 DE,即可求得BD,然后根据三角形面积 公式求得DH,进而求得 AH,解直角三角函数求得 tan/BAD的值.【解答】解：(1) AB = AC,. . A3= AC, /ABC = /ACB, ./ABC=/ ADB, Z ABC= ( 180° - Z BAC) =90。-工/BAC,22BD± AC, ./ ADB = 90° - / CAD,BAC=Z CAD, 2 ./ BAC=2/ CAD;(2)解：DF = DC, ./ DFC = Z DCF, ./ BDC=2/DFC , ./ BFC =/ BDC =Z BAC = Z FBC ,22.

16、CB= CF,又 BDXAC, .AC 是线段 BF 的中垂线，AB=AF=10, AC=10.又BC = 4后设 AE = x, CE=10 -x,由 AB2AE2=BC2 CE2,得 100 x2=80 ( 10 x) 2解得x=6,，AE=6, BE = 8, CE = 4,，de = CE = 6><1=3, BE 8BD= BE+DE=3+8= 11,作DH ±AB,垂足为H, .Xab?dh =1bd?ae, 22.DH_ DH AB 105 1-bh = a/eD2-DH2=-T-5a .AH= AB - BH = 10-典=色【点评】 本题属于圆综合题，考

17、查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、 弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握 并灵活运用性质定理，属于中考压轴题.（2019年甘肃兰州27题）27. （10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.【模型呈现】如图，在 RtAABC, ZACB=90° ,将斜边 AB绕点A顺时针旋转 90°得到AD,过点D 作DELAC于点E,可以推理得到 ABCA DAE ,进而得到 AC=DE, BC = AE.我们把这个数学模型成为“ K型” .推理过程如下：E【模型应用】， C如图，在 RtABC内接于。O, /ACB = 90&

18、#176;BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转定的角度得到 AD ,过点D作DEXAC于点E,/DAE = / ABC, DE= 1,连接 DO 交。O（2）连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO?GB.【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为。O直径,故只需证 ADAB 即可.由 / ABC+/BAC=90° 和/ DAE = / ABC 可证得/ DAE + Z BAC = 90° ,而E、A、C在同一直线上，用 180°减去90°即为/ BAD=90° ,得证.（2）依题意画出图形，由要证的结论F

19、G2=GO?GB联想到对应边成比例，所以需证4FGOsBGF.其中/ FGO = / BGF为公共角，即需证/ FOG = / BFG . / BFG为圆周角，所对的弧为弧 BC,故连接OC后有/ BFG/ BOC,问题又转化为证/ FOG/ BOC.把DO延长交 BC于点H后，有/ FOG = / BOH ,故问题转化为证/ BOH/ BOC ,故问题继续转化BOC.只要 OHLBC,由等腰三角形三线合一即有/BOH为证DH / CE.联系【模型呈现】发现能证4 DEA0ACB,得到AE=BC = 2, AC= DE=1 ,即能求AD = AB =西.又因为O为AB中点，可得到,再加上第（1

20、）题证彳导/ BAD =90° ,可得 DAOsAED,所以/ ADO = Z EAD , DO / EA,得证.【解答】 证明：（1） OO为RtAABC的外接圆.O为斜边AB中点，AB为直径 . / ACB=90°ABC+Z BAC=90° . / DAE = Z ABCDAE+Z BAC=90°，/BAD=180° - (/ DAE+/BAC) =90° .AD，ABAD是。O的切线(2)延长DO交BC于点H,连接OC. DE，AC 于点 EDEA =90 °. AB绕点A旋转得到 ADAB= AD在 DEA与 ACB

21、中fZDEA=ZACB=OeZDAE=ZABCDA=ABDEAA ACB (AAS) ，AE=BC=2, AC = DE= 1 .AD =AB=l:' . . O为AB中点AO =.段班要DE 2 AE . / DAO = Z AED = 90° . DAOA AEDADO = Z EADDO / EA .Z OHB = Z ACB =90° ,即 DH ± BC .OB= OC .OH 平分/ BOC,即/ BOH = -lz BOC2 / FOG = / BOH , / BFG =-Lz BOC2 ./ FOG = / BFG . / FGO = Z

22、BGF . FGOA BGF GO BG -GFfg2=go?gb【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线DO垂直BC是解题关键.合一，圆周角定理.其中第（2）题证明DO/EA进而得到（2019年甘肃陇南27题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边 AABC中，M是BC边上一点（不含端点 B, C） , N是4ABC的外角 ZACH的平分线上一点，且 AM=MN ,求证：ZAMN=60 °.点拨：如图，作 ZCBE=60° , BE与NC的延

23、长线相交于点 E,得等边ABEC,连接EM .易 证：AABM0工BM （SAS）,可得 AM=EM, /1 = /2；又 AM=MN ,贝UEM = MN,可得 /3=/4； 由/3+ 71 = /4+ 75=60° ,进一步可得 Z1 = Z2= Z5,又因为 Z2+ 76=120° ,所以/5+/6=120° ,即： ZAMN=60°.问题：如图，在正方形 A1B1C1D1中，Mi是BiCi边上一点（不含端点 Bi , Ci ） , Ni是正 方形AiBiCiDi的外角/DiCiHi的平分线上一点，且 AiMi=MiNi,求证： "iMi

24、Ni=90°.【答案】 解：延长AiBi至巳 使EBi=AiBi,连接EMiC、 ECi,如图所示：则 EBi=BiCi, /EBiMi 中=90°=ZAiBiMi, ZEBiCi是等腰直角三角形， .BECi = /BiCiE=45°, .Ni是正方形AiBiCiDi的外角/DiCiHi的平分线上一点， JMiCiNi=90o+45o=i35°, zBiCiE+ZMiCiNi=180°, . E、Ci、Ni,三点共线，在A1B1M1和AEBiMi中，工凡同必=3%+",11 J JI&iBiM声任BiMi (SAS), .A

25、iMi=EMi, Z1 = Z2, .AiMi=MiNi, . EMi = MiNi , 3=/4,2+/3=45 ： */5=45 ： / = Z2= Z5,. / + /6=90 : 力+/6=90 : . AMiNi=180°-90 =90°. 【解析】延长 AiBi 至 E,使 EBi=AiBi,连接 EMiC、ECi,则 EBi=BiCi, /EBiM i 中=90 ° = /AiBiMi,得 出EBiCi是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出ZBiECi = ZBiCiE=450,证出ZBiCiE+dMiCiNi=180 °,得出 E、

26、Ci、Ni,三点共线，由 SAS 证明 UiBiM彦AEBiMi 得出 AiMi=EMi, Z1 = Z2,得出EMi=MiNi,由等腰三角形的性 质得出/3=/4,证出/1 =/2=/5,得 出Z5+ 76=90° ,即可得出结论.此题是四边形综合题目，考查了正方形的性 质、全等三角形的判定与性 质、等腰直角三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定与性 质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌 握正方形的性 质，通过作辅助线构造三角形全等是解本 题的关键.(2019年甘肃天水 25题)25. (10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图 2,在

27、四边形 abcd中，ab=ad, cb=cd,问四边形 ABCD是垂 美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O, ACXBD.试证明：AB2+CD2 = AD2+bc2；(3)解决问题：如图3,分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE,连结CE、BG、GE.已知 AC = 4, AB=5,求GE的长.【分析】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算.【解答】解：(1)四边形ABCD是垂美四边形.证明：AB =

28、 AD, 点A在线段BD的垂直平分线上， .CB= CD, 点C在线段BD的垂直平分线上， 直线AC是线段BD的垂直平分线，AC± BD,即四边形 ABCD是垂美四边形；(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.如图2,已知四边形 ABCD中，ACXBD,垂足为E,求证：AD2+bc2= AB2+cd2证明： ACXBD, .Z AED = Z AEB = Z BEC=Z CED = 90° ,由勾股定理得，ad2+bc2= ae2+de2+be2+ce2,AB2+CD2 = AE2+be2+ce2+de2,. AD2+BC2= AB2+CD2；故答案为：ad2+b

29、c2= ab2+cd2.(3)连接 CG、BE, . / CAG=Z BAE = 90 ° , ./ CAG+/BAC = / BAE+Z BAG,即/ GAB=Z CAE, 除AC在 GAB 和 CAE 中，/GAB=/CAE，1AB 二皿GABA CAE (SAS), ./ABG=/ AEC,又/ AEC+/AME= 90° , .Z ABG+Z AME= 90° ,即 CEXBG, 四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2+BE2= CB2+GE2, . AC=4, AB = 5, .BC=3, CG = 4&, BE=5/2, .GE2=CG

30、2+BE2- CB2=73,.GE=V73.【点评】 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.(2019年广东深圳 23题)23. (9分)已知在平面直角坐标系中，点A (3, 0), B (-3, 0), C (- 3, 8),以线段BC为直径作圆，圆心为 E,直线AC交。E于点D,连接OD.(1)求证：直线OD是。E的切线；(2)点F为x轴上任意一动点，连接 CF交。E于点G,连接BG;当 tanZ ACF= 70),巳(5, 0)(直接写出)；时，求所有F点的坐标根据直角三角形斜边上中线等于斜边

31、一半得即可，可通过半径相等得到/EDB=Z EBD,DO = BO=AO, /ODB=/OBD,得证;(2)分两种情况：a) F位于线段 AB上，b) F位于BA的延长线上；过 F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标;应用相似三角形性质和三角函数值表示出BGCF,令 y=CG2 (64 -CG2) =- ( CG2- 32) 2+322,应用二次函数最值可得到结论.【解答】解：(1)证明：如图1,连接DE, BC为圆的直径, ./ BDA=90° .OA= OB ,-.OD=OB=OA ./ OBD = Z ODB EB= ED ./ EBD = Z EDB

32、EBD+ / OBD = / EDB+Z ODB即：/ EBO = Z EDO.CBx 轴 ./ EBO=90° ./ EDO = 90° 点D在。E上 直线OD为。E的切线.(2)如图2,当F位于AB上时，过F作FiNAC于N, FiNXACANFi = Z ABC=90oanfa ABC，烟口必AB- BC - ACAB=6, BC = 8,AC=山前嬴*点7n=10，即AB:BC: AC=6: 8:10 = 3:4:设 AN = 3k,则 NFi=4k, AFi = 5k.CN= CA-AN = 10- 3k .tan/ ACF =F】Q 4k _|1k=CNAF F

33、5k二号 lJ J.10-3k 7叫混甯即Fi (4331，0)如图3,当F位于BA的延长线上时，过 F2作F2MLCA于M,AMF2s ABC设 AM = 3k,贝U MF2=4k, AF2=5k .CM = CA+AM = 10+3k .tan/ ACF解得: - AF2= 5k = 2OF2=3+2 = 5即 F2 (5, 0)故答案为：F1 (萼,0), F2 (5, 0).«J* J-如图4, CB为直径./ CGB=/ CBF=90cbga cfb,BG BC OGBF -CF -BCBC2=CG?CFCF=CG.CG2+BG2= bc2,bg2=bc2-cg2CF 64

34、令 y=CG2 (64CG2) =- CG4+64CG2= (CG2 32) 2- 322 = - ( CG2 32) 2+322，当CG2=32时，y最大片32此时CG=4/2【点评】 本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆 的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题, 二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键.(2019年广东24题)24. (9分)如图1,在 ABC中，AB = AC,。是 ABC的外接圆，过点 C作/BCD = /ACB交。于点D,连接AD交BC于点巳延长DC至点F,使CF =

35、AC,连接AF .(1)求证：ED = EC;(2)求证：AF是。的切线；(3)如图2,若点 G是4ACD的内心，BC?BE = 25,求BG的长.图1郢【分析】(1)由 AB = AC 知/ ABC=Z ACB,结合/ ACB=Z BCD, / ABC=Z ADC 得/BCD = / ADC,从而得证；(2)连接 OA,由/ CAF = /CFA 知/ ACD = / CAF + /CFA = 2/CAF,结合/ ACB = ZBCD 得/ ACD=2ZACB, / CAF = / ACB,据此可知 AF / BC,从而得 OAAF,从而 得证；(3)证 ABEsCBA 得 AB2=BC?B

36、E,据此知 AB=5,连接 AG,得/ BAG = Z BAD + /DAG, ZBGA=Z GAC+Z ACB,由点 G 为内心知/ DAG=/GAC,结合/ BAD + Z DAG =/ GDC + /ACB 得/ BAG=/ BGA,从而得出 BG=AB=5.【解答】解：(1)AB = AC, ./ ABC=Z ACB,又. / ACB=/ BCD, /ABC=/ADC, ./ BCD = Z ADC,ED= EC;(2)如图1,连接OA,却 AB= AC,AB= AC, OAXBC, .CA= CF, ./ CAF=Z CFA, ./ ACD = Z CAF + Z CFA=2/ CA

37、F , . / ACB=Z BCD, ./ ACD= 2ZACB, ./ CAF=Z ACB,AF / BC, OAXAF,AF为。O的切线；(3) / ABE=/CBA, Z BAD=Z BCD = Z ACB ,ABEACBA,- AB = BEBC ABAB2= BC?BE,BC?BE= 25,AB=5,如图2,连接AG,图2 ./ BAG=Z BAD+Z DAG, / BGA = Z GAC+ Z ACB, 点G为内心， ./ DAG = Z GAC,又 / BAD+Z DAG = Z GDC+Z ACB, ./ BAG=Z BGA,BG= AB=5.【点评】本题是圆的综合问题，解题的

38、关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相 似三角形的判定与性质等知识点.(2019年广东广州 24题)24. (14分)如图，等边 ABC中，AB=6,点D在BC上，BD = 4,点E为边AC上一动点(不与点C重合)，4CDE关于DE的轴对称图形为 FDE .(1)当点F在AC上时，求证：DF/AB;(2)设4ACD的面积为Si, ABF的面积为S2,记S= Si - S2, S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B, F, E三点共线时.求 AE的长.S DC【分析】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得/DFC=/A,可证DF/AB;(2)过点D作DM

39、LAB交AB于点M,由题意可得点 F在以D为圆心，DF为半径的圆 上，由 ACD的面积为Si的值是定值，则当点 F在DM上时，空abf最小时，S最大；(3)过点D作DGLEF于点G,过点E作EH ± CD于点H,由勾股定理可求 BG的长, 通过证明 BGDsBHE,可求EC的长，即可求 AE的长.【解答】解：(1) . ABC是等边三角形Z A= / B= / C= 60由折叠可知：DF = DC ,且点F在AC上DFC = Z C= 60°DFC = Z ADF / AB;(2)存在，过点D作DM ±AB交AB于点M ,AB= BC=6, BD = 4, .CD

40、 = 2DF= 2,点F在以D为圆心，DF为半径的圆上,当点F在DM上时，S“bf最小,. BD=4, DM ±AB, /ABC=60°MD = 2a/31' Saabf 的最小值= X 6X ( 2-y3 2) = 6>y3 6 1 S 最大值=2,丈36 (66) =3+6(3)如图，过点 D作DG，EF于点G ,过点E作EH ± CD于点H ,. CDE关于DE的轴对称图形为 FDEDF= DC = 2, /EFD = /C=60° . GDXEF, / EFD =60° .FG=1, DG =V3FG = 5/3. BD2

41、=BG2+DG2, 16=3+ (BF+1) 2, 1- BF = V13 - 1 BG = Vl3EH± BC, / C=60°.CH=, EH = V3HC = 2EC 22 . / GBD = Z EBH , / BGD = Z BHE = 90° . BGDA BHEDG EHBG -BHVTs'6Jc EC= V13- 1.AE=AC- EC=7-V13【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相 似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键.（2019年广西池州25题） 5. （10分）如图，

42、五边形 ABCDE内接于OO, CF与。相切于点C,交AB延长线于点F.(1)若 AE = DC, Z E=Z BCD,求证：DE = BC;(2)若 OB = 2, AB=BD = DA, / F = 45° ,求 CF 的长.【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE-DC,由圆周角定理得出/ ADE = ZDBC,证明 ADEA DBC,即可得出结论；（2）连接CO并延长交 AB于G,作OH XAB于H,则/ OHG = / OHB = 90° ,由切线 的性质得出/ FCG = 90° ,得出CFG、OGH是等腰直角三角形， 得出CF = CG, O

43、G = V2OH,由等边三角形的性质得出/ OBH = 30° ,由直角三角形的性质得出 OH=OB =1, OG =血，即可得出答案.【解答】（1）证明：AE=DC,征二铜， ./ ADE = Z DBC,'NADE 二 ND&C在4ADE 和4DBC 中，ZE=ZBCD , |（AE=DCADEA DBC （AAS）,DE= BC;（2）解：连接CO并延长交AB于G,作OH LAB于H,如图所示：则/ OHG = Z OHB = 90° ,CF与。相切于点C,. / F = 45.CFG、 OGH是等腰直角三角形,，CF=CG, OG=bOH, AB=

44、BD = DA,. .ABD是等边三角形,ABD = 60° , ./ OBH= 30° ,0ToBj-og=V2,.CF= CG = OC + OG=2+V2.【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的 性质和圆周角定理是解题的关键.（2019年广西贺州25题）25. （10分）如图，BD是。的直径，弦 BC与OA相交于点E, AF与。相切于点 A, 交 DB 的延长线于点 F, /F = 30° , / BAC=120° , BC=8.（1

45、）求/ ADB的度数;（2）求AC的长度.【分析】（1）由切线的性质得出 AFLOA,由圆周角定理好已知条件得出/F = /DBC证出AF/BC,得出OALBC,求出/ BOA =90° -30° = 60° ,由圆周角定理即可得出结果；(2)由垂径定理得出 BE=CE=-1-BC = 4,得出AB = AC,证明 AOB是等边三角形，得出AB = OB,由直角三角形的性质得出 OE=-LOB, BE=V3OE = 4,求出OE=宜,2rn即可得出 AC=AB=OB=2OE= 小'33【解答】解：(1) .AF与。相切于点A, AFXOA,BD是。O的直径

46、， ./ BAD = 90 ° , . / BAC= 120° , ./ DAC= 30° , ./ DBC = Z DAC = 30 ° , . / F=30° , ./ F = Z DBC,AF / BC, OAXBC, ./ BOA=90° - 30° = 60° , ./ ADB = ZAOB=30° ;2(2) OAXBC,BE=CE = BC = 4, 2AB= AC,. /AOB=60° , OA=OB,. .AOB是等边三角形，AB=OB,. / OBE=30° ,.O

47、E = yOB, BE=|x/3OE=4,OE. .OE，AC= AB=OB = 2OE =SV3 V【点评】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OAXBC是解题的关键.(2019年广西柳州25题)25. (10分)如图，AB是。的直径，弦CD连接FB, FD, FD交AB于点N.(1)若 AE = 1, CD = 6,求。O 的半径；(2)求证： BNF为等腰三角形；(3)连接FC并延长，交BA的延长线于点于点 M.求证：ON?OP = OE?OM.AB于点E,点F是。上一点，且AC = UF,P,

48、过点D作。O的切线，交BA的延长线AD, . CDXAB, AB 是直径 菽二血 CE = DE=gcD = 3 ./ ACD = Z ABC,且/ AEC=Z CEBACEA CEB. AE CE 一 '二CE BE3 "BEBE=9 . AB= AE+BE= 10 .OO的半径为5(2) ./ ACD = Z ADC = Z CDF ,且 DE = DE, / AED = Z NED = 90°ADEA NDE (ASA)DAN = Z DNA, AE= EN / DAB = / DFB , / AND = / FNB ./ FNB=Z DFBBN= BF, .

49、 BNF是等腰三角形(3)如图 2,连接 AC, CE, CO, DO,MD是切线， MDXDO, .Z MDO =Z DEO = 90 ° , Z DOE = Z DOE . MDO DEO.幽必OD OM .OD2=OE?OM,. AE=EN, CD LAO ./ ANC=Z CAN, ./ CAP=/ CNO,AC 二 CFAOC=Z ABF CO / BF ./ PCO=Z PFB .四边形ACFB是圆内接四边形PAC=Z PFBPAC=Z PFB = Z PCO = Z CNO ,且/ POC=Z COECNOA PCO00 P0 .CO2=PO?NO,-.ON?OP =

50、OE?OM .(2019年广西北部湾等 25题)25. (10分)如图1,在正方形 ABCD中，点E是AB边上的一个动点(点 E与点A, B不重合)，连接CE,过点B作BFLCE于点G,交AD于点F.(1)求证： ABFA BCE;(2)如图2,当点E运动到AB中点时，连接 DG,求证：DC = DG ;(3)如图3,在(2)的条件下，过点 C作CMLDG于点H,分别交 AD, BF于点M,N,求罂的值.NHDC DC DC图1图2图3【分析】(1)先判断出/ GCB+/CBG = 90,再由四边形 ABCD是正方形，得出/ CBE= 90° =/ A, BC = AB,即可得出结论

51、；(2)设 AB=CD = BC=2a,先求出 EA= EB=，AB = a,进而得出 CE =5 a,再求出BG = a, CG 产a,再判断出 CQDA BGC (AAS),进而判断出 GQ = CQ,55即可得出结论;(3)先求出 CH=&a,再求出 DH=JLa,再判断出 CHDA DHM ,求出HM=JLa, 5510再用勾股定理求出 GH=_la,最后判断出 QGHsGCH,得出HN = HG2 =a,即可回CG 5得出结论.【解答】(1)证明：BFXCE, ./ GCB+Z CBG= 90,四边形ABCD是正方形,，/CBE=90° =/A, BC = AB,

52、./ FBA+Z CBG = 90, ./ GCB=Z FBA,ABFABCE (ASA);(2)证明：如图2,过点D作DHCE于H,设 AB=CD = BC = 2a,点E是AB的中点,EA=在RtACEB中，根据面积相等，得 BG?CE=CB?EB,-CG=VcB2-BG2=Jn-a，J. / DCE+/BCE = 90° , Z CBF+Z BCE=90° , ./ DCE = Z CBF,. CD = BC, Z CQD =Z CGB = 90° ,.CQDABGC (AAS),.-.CQ=BG = a 52赤 .GQ = CG- CQ = -a = CQ

53、,5 DQ = DQ, / CQD = /GQD =90° ,.DGQQCDQ (SAS), .CD = GD;SaCDG =?DQ = gCH ?DG.CH =CG'DQ = 8在 RtACHD 中，CD = 2a,DH = . / MDH+/HDC = 90° , / HCD + /HDC = 90° , ./ MDH =Z HCD,CHDA DHM ,DH DH 3 . / MGH+/CGH = 90° , Z HCG+ZCGH = 90° , ./ QGH = Z HCG ,QGHAGCH ,.HN HGHN. MN = HM

54、- HN(3)解：如图3,过点D作DHCE于H,【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 DGQCDQ是解本题的关键.（2019年广西梧州25题）25. （10分）如图，在矩形 ABCD中，AB=4, BC=3, AF平分/ DAC ,分别交 DC, BC的 延长线于点 E, F;连接DF,过点A作AH/DF,分别交BD, BF于点G, H.（1）求DE的长;(2)求证：/ 1 = / DFC.【分析】（1）由AD / CF,AF 平分/ DAC,可得/ FAC=/ AFC,得出 AC=CF = 5,可证出ADEsfce,则&可求出DE长；CF CE(2)由ADGshbg,可求出 DG,则吼上,可得EG/BC,则/1 = /AHC,根DG DB据DF / AH,可得/ AHC=Z DFC ,结论得证.【解答】（1）解：二矩形 ABCD中，AD/CF,DAF = Z ACF, AF 平分/ DAC, ./ DAF = Z CAF, ./ FAC=Z AFC ,AC= CF, AB=4, BC = 3,5,.CF= 5,. AD / CF,ADEA FCE,E IECF CE设