九年级数学上册-圆教案

1、第二十四章圆?教材简折本章总共分四个模块的内容.模块一：圆的有关性质：模块二：点和圆、直线和圆的位 置关系：模块三：正多边形和圆；模块四：弧长和扇形面积.在对圆的初步认识的基础上，通过画圆引入圆的有关槪念，通过类比点和线、线和线的 位置关系学习点和圆、直线和圆的位巻关系，进一步学习正多边形和圆、弧长和扇形而积， 进而学会用圆的有关知识解决一些实际问题.在中考中，本章是考查的重点，主要考查圆的 基本性质、与圆有关的位置关系、圆的有关计算.?教学指导【本章重点】圆的有关性质、直线和圆的位置关系及与圆有关的讣算.【本章难点】垂径泄理，弧、弦、圆心角的关系立理，圆周角立理，切线的性质和判泄，切线长左理

2、及正多边形与圆的关系.【本章思想方法】1. 体会和掌握类比的学习方法.如：通过与点和线位置关系的类比，学习点和圆的位這 关系.2. 体会数形结合思想：如：点和圆的位置关系、直线和圆的位宜关系通过“数” “形” 转化；弧、弦、圆心角、圆周角的关系通过“数” “形”转化.因此，本章应突出数形结合 思想，体会数形结合思想的作用.3. 体会分类讨论思想：如：探究平行弦之间的距离、圆心角与圆周角的关系、与圆有关 的位置关系.?课时计划24.1圆的有关性质5课时24.2点和圆、直线和圆的位置关系4课时24.3正多边形和圆1课时24.4弧长和扇形而积2课时24.1圆的有关性质24.1.1 圆(第1课对)?教

3、学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的两种定义及与圆有关的概念，并能够从图形中识别.【过程与方法】通过实际操作体会圆的不同左义，数形结合理解与圆有关的概念，掌握学习几何的一些 常用方法：实际操作法、数形结合法等.【情感态度与价值观】通过实际操作，体会数学中的创造与探索精神，体会圆的有关概念.二、重难点目标【教学重点】圆的有关概念.【教学难点】用集合观点泄义圆.窒教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P79P81的内容，完成下而练习.3 min反馈】1. 到宦点O的距离为5的点的集合是以2为圆心，丄为半径的圆.(2)连结圆上任意两点的线程叫做弦，经过圆心的弦叫做直径:

4、圆上任意两点间的部分叫 做圆弧:圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的 弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.2. 如图，图中有L条直径，3条非直径的弦：圆中以点A为一个端点的优弧有土条，劣 弧有4条.3. 什么叫等圆？什么叫等弧？解：能够重合的两个圆叫做等圜：在同圜或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论（师生互学）【例1】下列说法：弧分为优弧和劣弧：半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是 直径；长度相等的弧是等弧；半径是弦，英中正确的是（填序号）【互动探索】（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定狡分别是什么？圆上 的

5、弧可以分为哪几类？【答案】【互动总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关槪念可知，连结圆上任意两点的线段是 弦；过圆心的弦是直径：在同圆或等圆中，能够互相莹合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、 半圆、劣弧.【例2】如图，在RtZABC和RtAABD中，ZC=90% ZD=90°,点0是AB的中点.求证：A、B、C. D四个点在以点O为圆心的同一圆上.【互动探索】（引发学生思考）要使A、B、C、D四个点在以点0为圆心的同一圆上，结 合圆的集合性定狡，圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么关系？点A、B、C. D与点。有 什么关系？【证明】连结0C 0D在 RtAABC 和 RlAABD 中，Z

6、ACB=90。，ZADB=90Q9 点 0 是 AB 的中点，：.OA=OB=OC=OD=AB9:.A. B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上.【互动总结】（学生总结，老师点评）由圜的集合性定艾可知，圆上各点到定点（圆心O） 的距离都等于定长（半径r）.【活动2】巩固练习（学生独学）1. 给出下列说法：直径是弦：优弧是半圆；半径是圆的组成部分：两个半径不 相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是（填序号）2如图，点A、B、C、E在。O上，点0、D与点B、0、C分别在同一直线上，图中有几条弦？分別是哪些?解：图中有3条弦，分别是弦AB. BC、CE.3如图，点A、N在半圆O

7、上，四边形ABOC. DNMO均为矩形，求证：BC=MD.证明：连结ON、OA点A、N在半圆O上，'ON =OA四边形ABOC、DNMO均为矩形,：ON=MD, OA=BC9 :BC=MD【活动3】拓展延伸（学生对学）【例3】下列说法：经过点P的圆有无数个；以点P为圆心的圆有无数个：半径 为3 cm,且经过点P的圆有无数个：以点P为圆心.以3 cm为半径的圆有无数个，其中错误的有（）B. 2个D. 4个A1个C. 3个【互动探索】（引发学生思考）结合圆的定狡，怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪 些？【答案】A【互动总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的

8、位 置；二是半径，确定圆的大小两者缺一不可.【例4】A、B是半径为5的OO上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A AB>0B 0VABV5C 0VABV10D OVABW1O【互动探索】（引发学生思考）连结圆上任意两点的线段是弦，求弦的取值范围，就要 知道连结圆上任意两点构成的最长线段和爺短线段分别是什么？【答案】D【互动总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则國上不同两点构成的弦长 大于0且小于等于直径长.环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）厂圆的集合性左义厂弦直径圆的有关概念«劣弧 半圆 优呱等圆等弧?练习设汁请完成本课时对应练习！垂直于弦的直径（第

9、2课肘）24.1.2基本目标【知识与技能】1. 理解与掌握圆的对称性、垂径左理及英推论.2. 运用垂径左理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径龙理及苴推论的过程，获得几何学习的一些常用方 法：合情推理、证明、抽象概括等.【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的 运用数学的习惯和意识.二、重难点目标【教学重点】垂径左理及其推论.【教学难点】垂径左理及其推论的运用.T教学过程坏节1自学提纲，生成问题5 min阅读】阅读教材P81P83的内容，完成下而练习.【3 min反馈】1. 圆是轴对称图

10、形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理：垂宜于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条呱.即一条直线如果满足：CD经过圆心0且与圆交于C、D两点：AB丄CD交CD于那么可以推出：型一 =_BM , ®AC =BC , (5)AD =BD 3垂径立理的推论：土金弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论（师生互学）【例1】一根横截而为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的 水而宽AB为0.6米，求此时的水深（即阴影部分的弓形髙）.【互动探索】（引发学生思考）要求此吋的水深，即阴影部分的弓形鬲.结合

11、垂径定理， 考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O作OD丄于点C,交00于点D,连结OB.根据垂径定理，得C是的中点，D是丽的中点，CQ就是水深，则BC=*AB=03 米.由题意知，OD=OB=05米.在RtAOBC中.由勾股定理，得OC=OB2-BC2=0.4米，所以 CD=OD-OC=OA 米，即此时的水深为0米.【互动总结】（学生总结，老师点评）在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定 理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决.【活动2】巩固练习（学生独学）1. 如图，为0O的弦，00的半径为5, OC丄AB于点D 交OO于点C,且CD=1 则弦AB的长是多少

12、？解：连结 AO.由題意可知，OA = OC=59 则 0D=OC-CD=5-1 =4. VOC丄AB, AZ 004=90。，:.AD=yjOA2-OD2=3.519：AB 为 G>0 的弦，:.AB=2AD=6.2. 一条排水管的截而如图所示.已知排水管的半径OB=10 cm,水而宽AB=16cm.求 截而圆心O到水而的距离解：过点 O 作 OC丄AB 于点 C.? OC丄AB, AB=16cm,化 ZOCB=90。, BC=£w=8cm. 又OB=10cm, ：.0C=y/0B2-BC2=6 cm,即裁面圆心O到水面的距离为6cm.3如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图

13、中可，点O是可的圆心，苴中CD= 600m, E为CD上一点,且OE丄CD,垂足为点F, EF=90 m,求这段弯路的半径.解:如图，连结0C设弯路的半径为Rm,則O F=（/?-90）m.VOE丄CD, CD=600 m,A ZOFC=90°, CF=|cD=300 m在 RtAOFC 中， 根据勾股定理，得 0C2=CF2+OF29 即用=3002+（/?90）2,解得r=545即这段弯路的半径为545 m.【活动3】 拓展延伸（学生对学）【例2】已知OO的半径为13,弦AB=24,弦CD=10, AB/CD.求这两条平行弦AB、 CD之间的距离.【互动探索】（引发学生思考）要求

14、两条平行弦AB. CD之间的距离，想到垂直，又在圆 中已知弦长.则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据題中数据怎样求解呢？【解答】分两种情况讨论：当弦和CD在圆心同侧时，如图1,过点O作OF丄CD 于点F,交AB于点E.连结OC、g由题意可知，OA = OC=139：AB/CD, OF丄CD, ：.OE丄AB.又 VAB=24, CD=10,:.AE=B=29 CF=|cD=5,:.EO=yjOA2-AE2=59 OFfjOC1C戸=2,:.EF=OF-OE=1.当弦AB和CD在圆心异侧吋，如图2,过点O作OF丄CQ于点F,反向延长OF交AB 于点E,连结OC 04.同（1）可得，&

15、#163;0=5, OF=29 :.EF=OF+OE=1 综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.【互动探索】（引发学生思考）求当水面宽MN=32 m时是否需要釆取紧急措施，那么此 时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？【解答】不需要釆取紧急措施.理由如下：连结0M,设OA=Rm由题意知，在 Rt/kAOC 中.AC=*AB=30m, CD=18m,由勾股定理，得疋=30?+（/?18）2,解得R=34在 RtAMOE 中，ME=*MN=16m, OE=y）OM2-ME2=30 m,:.DE=OD-OE=4m.V4>3.5, 不需要釆取紧急措施.【互动总结】（学生总结，老师

16、点评）解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半 弦长、弦心距构造直角三角形.结合勾股定理求解.环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）'圆的轴对称性垂直于弦的直径垂径定理垂径定理的推论请完成本课时对应练习!24.1.3弧、弦、心角（第3课对）?教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系泄理.【过程与方法】通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系泄理.【情感态度与价值观】通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应 用.二、重难点目标【教学重点】圆心角、弧、弦之间的关系左理及苴

17、应用.【教学难点】圆心角、弧、弦之间的关系立理的探索和证明.窒教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P83P85的内容，完成下而练习.【3 min反馈】1. 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心:把圆绕圆心旋转一个角度，所得的图形 与原图形重合.2. 顶点在圆心的角叫做圆心角.3. (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也扌目等.(2) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角遊，所对的弦相等.(3) 如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角竝，所对的优弧和劣弧分别相等.4. 如图，在00 中，AB. CD 是两条弦，若贝AB=CD, AB =C

18、D :若养=CD ,则 ZA0B=ZC0D, AB=CD,若 AB=CD,则 ZAOB=ZCOD, AB =CD .坏节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论（师生互学）【例1】如图所示，A、B、C是00上三点，ZA0B= 120。, C是农 的中点，试判断四 边形0ACB的形状，并说明理由.【互动探索】（引发学生思考）由ZAOB=120 C是屈 的中点.可想到连结0C,则结 合弧、圆心角之间的关系可以知道什么？又同岡中半径相等，可以猜想出四边形0ACB的形 状是什么？【解答】四边形0ACB是菱形.理由如下：如图，连结0C.V ZA0B= 120°f CAB 的中点, ZAOC= Z

19、BOCp"OB=60。.又CO=BO, OBC是等边三角形，：OB=BC同理可得，OC4是等边三角形，：.OA=AC.又：OA = OB, ；OA=AC=BC=BO,四边形OACB是菱形.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关 系定理，作辅助线（连结弧中点和圆心）解决问題.【活动2】巩固练习（学生独学）I. 如图，在00中，已知AS =cb ,则AC与的关系是（A ）A AC=BDB AC<BDCAC>BDD不确定2. 如图，AB是OO的直径，BC、CD、DA是00的弦，且BC=CD=DA,求ZBOD的度数.解：BC、CD、DA 是

20、OO 的弦,且 BC=CD=DA, : ZAOD= ZDOC= ZBOC久：2AB 是00 的直径，A ZB0D=X 180°= 120°.3如图，在G>0中，弦AB=CD,那么ZAOC和ZBOD相等吗？请说明理由.解：ZAOC=ZBOD.理由如下：在00 中,AB=CD9 :ZAOB=ZCOD, :. ZAOB 一 ZCOB= ZCOD- ZCOB, :. ZAOC= ZBOD【活动3】拓展延伸（学生对学）【例2】如图，已知AB是00的直径,M. N分别是AO. 的中点，CA/丄AB, DN 丄AB.求证：AC =BD【互动探索】（引发学生思考）求证A? =BD ,

21、由弧、弦、圆心角的关系定理，可以转化 为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？【证明】如图，连结OC、0D.TAB是00的直径,M、N分别是AO. 的中点，:0M=0N.- CM丄AB, DN丄AB,化 Z0MC= Z0ND=90。在 RtAOMC 和 RtAOND 中,foc=oo90M=0N9:.RtAOA/CRtAO/VD(HL),:ZC0M=ZD0N, :.AC =BD 【互动总结】（学生总结，老师点评）在同圆或等圆中，如果两条弧（一般同为优弧或劣弧）、 两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各纽董都分别相等.【例3】如图，00中，已知ZAOB=2ZCOD,求证：2CD

22、>AB24.1.4圆周角第4课对圖周角及其定理?教学目标一、基本目标【知识与技能】1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角左理及英推论，并能解决相关问题.【过程与方法】经历圆周角泄理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的 数学方法.【情感态度与价值观】通过圆周角泄理的证明向学生渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法，体现 了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律，并在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学 好数学的信心.二、重难点目标【教学重点】圆周角的概念，圆周角左理及其推论.【教学难点】探究并论证圆周角定理及英推论.T教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 m

23、in阅读】阅读教材P85P86的内容，完成下而练习.【3 min反馈】1. 顶点在圆上,并且两边都与圆垃的角叫做圆周角.2. 圆周角泄理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3. 圆周角泄理的推论：同弧或等弧所对的圆周角蛀：半圆（或直径）所对的圆周角是直 鱼，90。的圆周角所对的弦是直径.环节2合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论（师生互学）【例1】如图，是00的直径，C、D是0O ±的两点（在直径AB的同一侧），且施=W,弦AC、BD相交于点P,如果ZAPB=0%求ZABD的度数【互动探索】（引发学生思考）求ABD的慶数，ABD在厶ABP中，又ZAPB=110。， 此时想

24、到什么？已知AB是00的直径，BC =CD结合圆周角定理及其推论，可以求出哪些 角？【解答】如图，连结CD、CB.TAB 是圆 0 的直径， ZACB=90°.I ZAPB=ZDPC= 110°, ZCBD= ZDPC ZACB=20° VBC =CD , AZCBD=ZCAB=20°,180°- ZAPB- Z CAB=50Q.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此题的关诞是正确作出辅助线，利用等弧所对的 圆周角相等求出ZCAB的度数.【活动2】巩固练习（学生独学）1. 在00中，弦AB所对的圆心角的度数为50。，则它所对的圆周角的度数为（C

25、 ）A 25°B 50°C. 25。或 155。D. 50。或 130。【教师点拨】圆中一条弦（非直径）对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧.2如图，点A、B、C都在OO上，若ZC=35°,则ZAOB的度数为型.3. 如图，AB是QO的直径，ZACD=25%求ZBAD的度数.解：TAB 是 00 的直径，A ZADB=90c.V ZACD=25Qf A ZB= ZACD=25°, AZBAD=90。一 ZB=65。4. 如图，AABC的三个顶点都在00上，直径AD=6cm, ZDAC=2ZB9求AC的长.解：如图，连结 0CTZA0C=2ZB, ZDAC=

26、2ZB, A ZAOC=ZDAC9 :.AO=AC. 又 VOA = OC, :.AO=AC=OC, :. ZkAOC 是等边三角形，:.AC=A0=D=3 cm.【活动3】拓展延伸（学生对学）【例2】如图，ABC内接于00, AF是00的弦，AF丄BC,垂足为点D点E为丽 上一点，且BE=CF.（1）求证：AE是00的直径：若ZABC=ZEAC, AE=8,求 AC 的长.【互动探索】（引发学生思考）（1）要证明AE是。0的直径，结合圆周角定理的推论可以 转化为证明什么？怎样进行证明？（2）要求AC的长，求线段长的方法有哪些？題中只给出了 AE的长,AC的长怎样和AE建立关系？先从哪儿入手呢

27、？【解答】（1）证明:BE=CF, ZBAE=ZCAF.VAF丄 BC, A ZADC=90°,AZMD+ZACD=90° 又 VZE= ZACB9 ZE+ZBAE=90°, ZABE=90°, :.AE 是GO 的直径.（2）如图，连结OC ZABC=ZCAE,:.AC =EC , ZAOC= ZEOC.由（1）知，AE是OO的直径， ZAOC=ZEOC=90°.又OA = OC AOC是等腰直角三角形.VAE=8, :.AO=CO=AE=4fAC=4 迄【互动总结】（学生总结，老师点评）解此题时，也可以逆向思考，即由所求结论和问题 出发，看

28、由结论和问題可以推出什么，再结合已知条件进行证明或求解，从而使问题得到解 决.环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）'圆通周角的概念圆周角圆周角泄理.圆周角定理的推论9练习设计请完成本课时对应练习！第5课肘国内揍四边形的性质一、基本目标【知识与技能】1. 理解圆内接多边形和多边形的外接圆.2. 掌握圆内接四边形的性质.【过程与方法】经历圆内接四边形性质的证明，引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.【情感态度与价值观】在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学好数学的信心.二、重难点目标【教学重点】掌握圆内接四边形的性质.【教学难点】探究并论证圆内接四边形的性质，利用圆内接四

29、边形性质解决与圆相关角度问题.?敦学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P87P88的内容，完成下而练习.【3 min反馈】1. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆內接多边形,这个圆 叫做这个多边形的外接圆.2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论（师生互学）【例1】如图，在00的内接四边形ABCD中，AB=AD, ZC= 110°.若点P为丽上， 求ZP的度数.【互动探索】（引发学生思考）求ZP的度数，题中只知道ZC的度数，两者有什么关系吗？ 可以转化为求什么？由OO的内接四边形ABCD可以得到什么？这与求ZP的皮数有什么关 系？【解答】如图，连结BD 四边形ABCD是00的内接四边形.A ZBAD+ZC= 180°,AZBAD=180°-ZC=70°.：AB=AD9: