北师版八年级上册数学培优精品讲义

1、学科教师辅导讲义学员编号：年 级:八年级（上）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲一一勾股定理授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解探索勾股定理的各种方法；运用勾股定理解决一些实际问题；掌握直角三角形的判别条件 ，掌握勾股数的概念。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂前例1顾离1、直角三角形： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。2、直角三角形的两个锐角互余。3、三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。4、直角三角形中，30。角所对的直角边是斜边的一半。体系搭建,A勾股定理的内容勾股定理的逆定理勾股定

2、理-勾股数勾股定理的证明-知识梳理1、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”2、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有a2+b2=c2 。3、勾股定理的常见证明:4、勾股数：我们把满足勾股定理的这样一组数称为够股数常见的够股数有：3、4、5; 5、12、13 ; 6、8、10 ; 7、24、25; 8、15、 17; 9、12、15;5、直角三角形的判定： 若三角形的三条边满足两边的平方等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。其中第三边所对的角是直角。63典例分析考点一：勾

3、股定理AB=AC=5 BC=6, D为BC中点，贝U AD的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6例2、如图是用4个全等的直角三角形与 1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x、y表示直角三角形的两直角边（xy）,下列四个说法:x2+y2=49,x- y=2,2xy+4=49,x +y=9.其中说法正确的是（A.B.C.D.例3、如图，RtABC的周长为（5+5，3）cm,以AB AC为边向外作正方形 ABPQF口正方形ACMN若这两个正方形的面积之和为 25 cm：则 ABC的面积是 cm 20B考点二：勾股定理的证明例1、2002年8月在北京召开

4、的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为 b,那么（a+b） 2的值为A. 13B.19C. 25D.169例2、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅 弦图”，后人称其为 赵爽弦图”（如图1）.图2由弦 图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.将 图中正方形 MNKT,正方形EFGH,正方形 ABCD的面积分 另记为S, S2, S3,若Si+3+S3=18

5、,则正方形EFGH的面积 为（）A. 9B. 6C. 5D.2例3、在直角三角形中，两条直角边的长度分别为 a和b,斜边长度为c,则a2+b2=c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理.在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和ABC,并把它们拼成如图形状 （点C和A重合，且两直角三角形的斜边互相垂直）利用拼得的图形证明勾股定理.请BBf例4、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的 面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1或图2摆放时，都可以用 面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1

6、所示摆放，其中/ DAB=90 ,求证：a2+b2=c2证明：连接 DB ,过点D作BC边上白高 DF,贝U DF=EC=b, S 四边形 ADCB =SaACD +SaABC =7J-b2+ab-2又- S 四边形 ADCB =SAADB +SADCB=：-C2+a (b - a)21 b22= c2+ 2a (b- a)2a2+b2=c2请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中/ DAB=90.求证：a2+b2=c2证明：连结 ,过点B作,贝U.S 五边形 ACBED =S AACB +SaABE +SaADE =.又 S 五边形 acbed =

7、ab+c +a （b a）,22 2=ab+c2+a （b - a）,222 a2+b2=c2.考点三：直角三角形的判定例1、满足下列条件的 ABC不是直角三角形的是（）A. b2=a2 - c2B. a: b: c=3: 4： 5C. / C=Z A- / BD. / A: / B: / C=3: 4: 5例2、甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 40m/min,甲客轮用15min到达点A,乙客轮用20min到达点B,若A, B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东 30的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A.北偏西 30B.南偏西 30C.南偏东60D.南偏西60例3、适

8、合下列条件的 ABC中，直角三角形的个数为（） a=3, b=4, c=5; a=6, / A=45 ; a=2, b=2 , c=2 %； Z A=38 , / B=52 .A.1个B.2个C. 3个D.4个例4、三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 .例5、已知a, b, c是直角三角形的三条边，且 a bvc,斜边上的高为h,则下列说法中正确的是 _ .（只 填序号） a2b2+h4= （a2+b2+1） h2; b4+c2h2=b2c2;由，瓜, 也可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 =.2考点四：勾股数例1、下列各组数中不是勾股数的是（）A.

9、3, 4, 5B. 4, 5, 6C. 5, 12, 13D. 6, 8, 10例2、下列几组数中，是勾股数的是（）A. 1, V2, V3B. 15, 8, 17八- 34C. 13, 14, 15D. , , 15 5RPractice-Oriented）实战演练实战演练 d课堂狙击1、如图，在 ABC中，AB=AC=5 BC=8 D是线段BC上的动点（不含端点 B 0）.若线段AD长为正整数, 则点D的个数共有（）A. 5个B. 4个人0. 3 个D. 2 个/乃、c2、如图，A B是4X 5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是三角形是等腰三角形的格点A.B.C.D.3、如图1是

10、我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,1,图中使以A、B C为顶点的将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,的外围周长是A. 76B.72C. 68D.52得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车4、下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（A. a=1.5 , b=2, c=2.5B. a： b:C. /A+/B=/ CD. / A: / B: / C=3: 4: 55、在 ABC中，AB=15 BC=14 AC=13 求 ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.作 jQLBC 于 Z）, 设5D =工，用等工 的代数式表示

11、CQ根据勾股定理，利用利用勾胶是理求 出的长，再计算三角形面积 4D作为“桥梁、建立方程模型求出x6、中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了 “勾股圆方图”，开创了 “以形证数”的思想方法.在图1中，小正方形 ABC而面积为1,如果把它的各边分别延长一倍得到正方形 ABCD,则 正方形ABCD的面积为 ;再把正方形 A1B1CQ的各边分别延长一倍得到正方形 AaRQD2 （如图2）,如 此进行下去，得到的正方形 AnBnGD的面积为 （用含n的式子表示，n为正整数）.课后反击1、如图1

12、是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点 A, B在围成的正方体上的距离是（）上一A. 0 B . 1_LC.二D.三-图1图22、在 ABC中，/ A / B、/C的对边分别是 a、b、c,则下列条件中不能判断是直角三角形的是（）A./ A=Z B- /CB./ A: / B:/ C=1: 1 : 2C.a： b: c=4：5：6D.a2 - c2=b23、三角形的三边长为 a, b, c,且满足（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形4.在四边形 ABCD, AB=AD=8 Z A=60

13、 , / D=150 ,四边形周长为32,求BC和CD的长度.C5、在 ABC中，BC=a AC” AB=c,设c为最长边，当 a2+b2=c2时， ABC是直角三角形；当 a2+b2wc2时, 利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究 ABC的形状(按角分类).(1)当 ABC三边分别为 6、8、9时，4ABC为_三角形；当 ABC三边分别为 6、8、11时，ABE 三角形.(2)猜想，当a2+b2 c 2时， ABC为锐角三角形；当a2+b2 c 2时， ABC为钝角三角形.(3)判断当a=2, b=4时， ABC的形状，并求出对应的 c的取值范围.直击中考1、2006?临沂】4ABC中

14、，BC=a AC=b AB=c.若/ C=90 ,如图1,根据勾股定理，贝U a2+b2=c2.若 ABC不是直角三角形，如图 2和图3,请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.图1图2S32、2016?东湖区】我们运用图（I）中大正方形的面积可表示为（a+b）2,也可表示为c3+4（ab）,即（a+b）22=c2+4 （ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c：这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据2图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”.b 鼻（i）（ii）（in）（1）请你用图（n）（2002年国际数学家大会会标）的面积表

15、达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为 a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c）.（2）请你用（出）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y） 2=x2+4xy+4y2.Summary-Embedded)归纳 总结重点回顾.一、2221、勾股定理：a b -c2、勾股定理的证明；3、勾股定理的逆定理： 若三角形的三条边满足两边的平方等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。其中第三边所对的角是直角。4、勾股数名师点拨 K1 J1、掌握常见的证明；2、明确直角边，斜边指的是那条边。学霸经验 本节课我学到我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：年

16、 级辅导科目:八年级(上)课时数：3数学学科教师：授课主题第02讲-勾股定理的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；学会已知两边求第三边的长度；会求最短路径。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂体系搭建/ 利用三角形三边关系判定垂直1己知两边求第三边勾股定理的应用一匚 解决实际问题、立体图形的最短路径问题二、知识梳理1、直角三角形的判定222直角二角形的判定：若二角形的二边满足a +b =c ,则这个三角形是直角三角形。2、勾股定理的应用(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知三角形的一边及另外两边

17、的关系求未知边3、勾股定理的实际应用在实际问题中，借助勾股定理求直角三角形的三边长。4、立体图形的最短路径问题在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，而是应该将其展成平面图形,利用平面图形中线段的性质确定最短路线。典例分析考点一：解直角三角形例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是(A. 5mB. 12mC. 13mD. 18m例2、如图所示，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠墙AC上,这时梯子下端 B与墙角C距离为1.5

18、米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得 BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了米.两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到例3、在一个广场上有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米,另一棵树的树梢，至少飞了米.例4、一个零件的形状如图所示，已知ACL AB, BC BD, AC=3cm AB=4cm BD=12cm求CD的长.例5、阅读：如图1,在直角 ABC中，/ C=90 , AC, BC为直角边，AB为斜边，设 BC=a AC=b AB=G则 a2+b2=c2,例如,AC=8, BC=q 贝U可得 AB=,. 0 )是一个非负数。3、平方根的概念(1) 一般地，如果一个数 x的平方等于a，即x2

19、=a ,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做 二次方根)。(2) 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根。(3) 开平方的概念：求一个数 a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。4、ja2 与(2 (a0)的性质(4) 4a = |a| ,即当 a 至0时，Va7 = a ；当 a 0)的平方根： .例3、已知一个正数的平方根是 2x和x - 6,这个数是 例4、若/就=2,则2x+5的平方根是例5、一个正数的 x的平方根是2a - 3与5-a,求a和x的值.考点三：算术平方根例1、计算(-)0-1=()2A. - 1B. -2C. - 2D. - 32

20、例2、下列等式正确的是()A 4B后也C卬-京-3例3、已知： 后于行与依西互为相反数,求(x+y) 2016的平方根.例4、已知a, b满足蚀._ 4+|b - 23|=0 ,解关于x的方程(a+2) x+4b=2 - a.例5、我们来看下面的两个例子：09X4)2=9X4, (乂血)2=()2 然(71)2=9X4，M X 4和近X F都是9X4的算术平方根，而 9X4的算术平方根只有一个，所以49乂4西X/4，W5X7)(VsxVf)2= (Vs) Zx (听产二5乂 745X 7和江 乂曲都是5x 7的算术平方根，而5X 7的算术平方根只有一个，所以 (填空)(1)猜想：一般地，当 a

21、0, b0时，也与。*乂五之间的大小关系是怎样的?(2)运用以上结论，计算： 76dx 225的值例 6、设 ai=22 02, a2=42 22, a3=62 42,(1)请用含n的代数式表示an (n为自然数)；(2)探究an是否为4的倍数，证明你的结论并用文字描述该结论；(3)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”(如：1, 16等)，试写出ai, a2,an这些数中，前4个“完全平方数”.RPractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1.在卜列实数中：0,-3.1415, y, 丝，0.343343334 无理数有()7A. 1个B. 2个C. 3

22、个D. 4个2.如果一个正数的平方根为2a+1 和 3a 11,贝U a=()C. 2D. 9A. 1B. 13.西的平方根是（A. 81)B. 土3C. - 3D. 34.化简3上的值为（A. 4)B.一4C. 4D. 25.已知:+ (b+3) 2=0,则（a+b） 2016的值为（）A. 0B.2016C. - 1D. 16 .在： ,0, 3.14,-加，-V64, 7.151551（每相邻两个“1”之间依次多一个“ 5”）中,75, .整数集合, 分数集合无理数集合7 .已知一个正数的两个平方根是x - 7和3x - 1 ,则x的值是8 .若正数m的两个平方根分别是a+2与3a -

23、6,则m的值为9 .如果小的平方根等于土 2,那么a=10 .已知 J2l+4y-5+|2x 3|=0 . (1)求 x, y 的值；(2)求 x+y 的平方根.11 .已知a, b为实数，且(b-1) VT=0，求 a2015-b2016 的值12 .若5a+1和a - 19是数m的平方根，求 m的值.课后反击1.下列各数是无理数的是（）A. 0B. - 1C.:D.72.64的平方根为（A. 8)B. 8C. - 8D. 4A. a=2B. a2C. a2D. a0)的性质(1) /a2 = |a| ,即当 a 之0时，Va2 = a ；当 a b 0返瓜；(2) abu底取。典伤吩析力考

24、点一：立方根的概念例1、- 8的立方根是()A.2B. - 2 C. 2D.-加例2、若a、b均为正整数，且 a/ll, b 炳，则a+b的最小值是()A. 6B. 7C. 8D. 9例3、若牛标是一个正整数，满足条件的最小正整数n=例5、已知m+2的算术平方根是 4, 2m+n+1的立方根是 3,求m - n的平方根.(3)求 x 值：(3x+1) 2=16；(4) (x- 2) 3- 1=-28.考点二：实数大小比较例1、在下列实数中，-3,加,0, 2, - 1中，绝对值最小的数是（A. - 3B. 0C. &D. 一 1(2) (-&) 2-| 1-731+2-573例2、4旧，钝痂，

25、15三个数的大小关系是（）A. 4/14 15V226B . V226 15/14C. 4/14V226, 15V226b）斗皿一例3、对任思两个头数 a, bE义两种运算：a b= 什 ,a?b=,并且te义运算顺序仍b右 arC b）晨看 b.）然是先做括号内的， 例如（-2）3=3, （- 2） ?3=- 2, （- 2）3） ?2=2,那么（加2） ?第泞等于（）A.二B. 3C. 6D. 3 ，例4、先比较大小，再计算.（1）比较大小：小与3, 1.5与会;（2）依据上述结论，比较大小：2M与日（3）根据（2）的结论，计算：|a-干| -|炉-2行| .例5、观察下列一组等式，然后解

26、答后面的问题：（Vs+1）（V2D=1, t3+V2）CV3 -V2）=1, j（V4W3）CV4 _V3）=1,（V5W4）（V5 -V4）=1,（1）观察上面的规律，计算下列式子的值.（V2+1 V3+V2 V4+V3+ /2012+i/2011（，J，2012+1）（2）利用上面的规律，试比较与，诵一。五的大小.考点三：估算无理数的大小例1、估计近+1的值在（）A.2到3之间B.3至IJ 4之间C.4到5之间D.5至IJ 6之间例2、判断2代-1之值介于下列哪两个整数之间？（）A.3, 4B.4, 5C. 5, 6D.6, 7例3、若a、b分别是岳、洞的整数部分，则a+b的平方根是 例4

27、、综合运用：（1）已知 a- 1=V11, 求a2+的值.aa3（2）已知a是4+*而的小数部分，b是-企+5的小数部分，c是（-蓝+2） 一1的整数部分，求a2c-b2c的值.RPractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击卜列叙述中，不正确的是（A.绝对值最小的实数是零C.平方最小的实数是零B.算术平方根最小的实数是零D.立方根最小的实数是零2.A. 3B. - 3C. - 2D. 23.下列实数中 ,A. WC. | -3|兀），| - 3| , 3中，最大的是（）B.一（一兀）D. 34.已知a、b为两个连续整数，且 a V20 - V59.已知：2x+3y 2的平方根为

28、土 3, 3xy+3的立方根为-2,求的平方根.10.已知实数X、y满足石一 16+1 k - 2y+4 |=0,求 2x - -y 的立方根. 311.设 A= V6+V2, B=Vs+73,试比较 A, B 的大小.a+2b+3c的平方根.课后反击1 .下列说法正确的是（）A. 9的倒数是-!9C. 9的立方根是32 .设a是小于1的正数，且A. a bC. a=b3 .给出四个数0, V3,兀，A. 0C.兀B. 9的相反数是-9D. 9的平方根是3bWa,则a与b的大小关系是（）B. a bD,不能确定-1,其中最小的是（）B,如D. - 14 . V17-2的值在（）A. 1和2之间

29、B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间5 .若 a2=64,贝 U =/=.6 .已知x+2的平方根是土 2, 2x+y+7的立方根是3,则x2+y的立方根为 .7 .从特殊到一般”是数学上常用的一种思维方法.例如，你会比较20112012与20122011的大小吗？ 我们可以采用如下的方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小： （填4、之或=） 12 21, 23 32, 34 43, 45 54, 56 65,（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1） n （n为正整数）的大小关系：当 n 时，nn+1 （n+1） n;（3）根据上面的猜想，可以知道：201120122012

30、2011 （填 多、之或=）.8.已知x的两个平方根分别是 2a- 1和a- 5,且- y - 2=3，求x+y的值.9 .如果AJ 2b+A瓦是a+3b的算术平方根，B=区一一 丫的1 a2的立方根.试求：A-B的平方根.10 .已知&二位一近1，比较a, b的大小.11 .已知m, n分别表5 -沂的整数部分和小数部分，则 2m+n=.12 .已知a+2是1的平方根，3是b-3的立方根，注的整数部分为c,求a+b+c的值.直击中考 &13 120167W野】比较大小：Vn+1 - Vn Vn - n- i （填,或 之）2.12010加州（1）用 之“、父或=填空：V1 点，血V3（2）由

31、以上可知：|1 -加尸.|次-的| =.（3）计算：11 加|+|亚-夷|+|炳-5|+ +142009 -、2010| （结果保留根号）Summary-Embedded）归纳 总结重点回顾 31、立方根的概念： 一般地，如果一个数 x的立方等于a,即x =a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。2、立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2） 0的立方根是0； （3）负数的立方根是负数。3、开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中 a叫做被开方数。4、估算：（1）用估算法确定无理数的大小； （2）用估算的方法比较数的大小注意：（1） a b 0M;（2） ab。孤娓 。

32、名师点拨-注意：（1）每一个数a有且只有一个立方根，记为 吗，读作“三次根号 a”；（2）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（3）开平方时，被开方数 a是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0；（4） （Va ） =a , 3/a3 = a 。学霸经验 工，本节课我学到我需要努力的地方是! Lh学科教师辅导讲义学员编号：年 级：八年级（上）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第05讲-实数与一次根式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解实数的分类；? 掌握实数的性质及应用；? 掌握二次根式的概念、性质及运算。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂体系搭建相反数 绝升值倒数五、知识梳理1、实数的概念及