广州市一模理科数学试题及答案

1、绝密启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷-、选择题：本小题共 12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。22（1）

2、受数（1 +i） +- 的共轲复数是1 i(A) 1+i(B) 1 -i(C) -1 +i( D) -1-i(2)若集合 M =x x <1,N =y y = x2, x <1,则(A) M =N(B) MEN(C) N 工 M(D) M AN =0（3）已知等比数列an的各项都为正数r 1-，且a3,一8启4成等差数列2则a_0的值是a4 a6(A) 5-123 - .52（4）阅读如图的程序框图.若输入n = 5,则输出k的值为(A) 2(B)(C) 4(D) 52 x(5)已知双曲线C : xy a2y4=1的一条渐近线方程为 2x +3y = 0 , F2分别10是双曲线C

3、的左，右焦点，点P在双曲线C上，且PR =7,则PF?等于(A) 1(B) 13(C) 4或10(D) 1 或 13(A)(B)(C)(D)(7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为(A)15(B)TT3211(D)51622x y 一(8)已知 巳下2分别是椭圆C:-2+1T=1(a>b>0 )的左，右焦点，椭圆C上存在点Pa b使/F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(9)已知p : 5 >0,e -a <1成

4、立，q :函数f (x )= -(a -1 )是减函数，则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖月需.若三棱锥P - ABC为鳖腌,PA，平面ABC ,P A= A B 2, AC = 4 ,三棱锥P - ABC的四个顶点都在球 O的球面上，则球O的表 面积为(A) 8n(B) 12n(C) 20n(D) 24n(11)若直线y=1与函数f (x ) = 2sin 2-的图象相交于点 PjxyJ Q(x2, y2 ),且x1 -x2

5、 =,则线段PQ与函数f (x )的图象所围成的图形面积是3(A) +V3(B) -+T3(0 空十732 (D) - +V3-233330 3 c 312016k (12)已知函数f (x )=x -x + x+则£ f . 的值为248,kd2017(A) 0(B) 504(C) 1008(D) 2016第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共 4题，每小题5分。(13)已知a =1, b = J2,且a _L(ab),则向量a与向量b的夹角是.n(14)(3-x )的展开式中各项

6、系数和为 64,则X3的系数为 .(用数字填写答案)21"x<0(15)已知函数f(x)=12 ,若f(a22则实数a的取值范围是 1log2x, x>0,(16)设Sn为数列an)的前n项和，已知a1 =2,对任意p,qw N ,都有ap汹=ap + aq,Sn 60,*则f(n)=莉一n N)的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。如图，在 ABC中，点P在BC边上，ZPAC(17)(本小题满分12分)(I )求/ACP；(n)若/ APB的面积是 亚3,求sin/BAP.2(18)(本小题满分12分)近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“6

7、1硼间，某网购平台白销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出 200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为 0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.(I )根据已知条件完成下面的2M2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品淞1息80对商品不满意合计200(n )若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 X ,求X的分布列和数学期望 EX .2附： K2=

8、里史一四J (其中 n = a+b+c+ d为样本容量)a b c d a c b d2P(K2 >k )0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635(19)(本小题满分12分)如图1,在直角梯形 ABCD中，ADBC, AB ± BC , BD，DC ,点E是BC边的 中点，将 ABD沿BD折起，使平面 ABDL平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如 图2所示的几何体.(I)求证：ABL平面ADC；(n)若AD =1,二面角CAB D的平面角的正切值为 J6 ,求二面角B - AD - E的余弦值.(20)(本小题满分12

9、分)2过点P(a,-2 )作抛物线C：x =4y的两条切线，切点分别为 A(x1,yj B(x2,y2).(I )证明：X|X2十% V2为定值；(n )记 PAB的外接圆的圆心为点 M ,点F是抛物线C的焦点，对任意实数a,试 判断以PM为直径的圆是否恒过点 F ?并说明理由.(21)(本小题满分12分)a已知函数f x ;： = ln x - a 0 .x(I )若函数f (x )有零点，求实数a的取值范围；21(n )证明：当 a 之一，b>1 时，f(lnb)> 一 eb请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修4一

10、4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为X=3-t'(t为参数).在以坐标原点为极点 y =1 t,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C : P =2V2cosie - I.,4(I )求直线l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数 f (x ) = |x + a 1 + x 2a .(I )若f (1 )<3 ,求实数a的取值范围；(n)若 a5：1,xwr ,求证：f(x)之2.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明：1

11、 .本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分.、选择题(1) B C(3) A C(8) A(9) B、填空题(4) B(5) D(6) D(10) C(11) A(12) B(13 ) -(14) -540(1

12、5 ) JooU 收收)(16 )空422三、解答题(17)解：(I )在 APC 中，因为/PAC =60：PC =2,AP+AC=4, 2_ 2_2_由余弦定理得 PC =AP +AC -2 AP AC cosz PAC , 1分-222所以 2 =AP 4- AP -2 AP 4 - AP cos60 ,2整理得 AP 4AP+4=0, 2 分解得AP=2. 3分所以AC = 2 . 4分所以 APC是等边三角形 5分所以/ACP=60.口 6 分(n)法1:由于/APB是 APC的外角，所以/APB =120 口 7分，一 一 3.3 13 3因为 APB的面积是 ,所以一AP PB

13、sin / APB = 所以PB=3. 9分在 APB 中，AB2 =AP2 + PB2 -2 AP PB cos/APB-2，=23 2 2 3 cos120= 19,所以 AB = .19.10分AB在 APB中，由正弦定理得sin. APBPBsin BAP11分所以 sin BAP =3sin1203 .57,1938法2:作AD _L BC ,垂足为D ,因为 APC是边长为2的等边三角形，所以 PD =1,AD =、3, PAD =30 .因为 APB的面积是 逑,所以1 AD PB =12分9分所以PB =3.所以BD -4.在 RtA ADB 中,AB = ；：BD2 AD2

14、= 19,10分所以 sin . BADBD 4-AD 、3,cos BAD .AB .19所以 sin BAP =sin BAD -30二sin BAD cos30 -cos BAD sin3011分(18)解:(I) 2M2列联表:4,3、,31=t=父f=父一19219 23.573812分对服务满意对服务不满意合计对商品淞1息8040120对商品不满意701080合计150502002分22 20080 10 40 70K2 二11. 111,1 50 50 1 20 80因为 11.111a6.635,所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系” 4分(n)每次

15、购物时，对商品和服务都满意的概率为2 ,且X的取值可以是0, 1 2, 3.5 6分P X =0 =、2J54一；_一 一 2P X =2 =C3e：j_3L55125P X =3 =C3,屋一5512510分X的分布列为:X0123P27543681251251251251251211分12分12分27 154 c 36 c 869以 EX =0X 十1M十2 M+ 3M=.125125125125 5或者：由于 X B %,2 I,则 EX =3父2=6.55 5(19)解：(I )因为平面 ABD，平面BCD ,平面ABD P平面BCD = BD ,又BD，DC，所以DC，平面ABD.

16、1分因为AB u平面ABD ,所以DC，AB. 2分又因为折叠前后均有 AD ± AB , DC n AD = D , 3分所以AB，平面ADC. 4分(n )由(I)知AB，平面ADC ,所以二面角C AB D的平面角为/ CAD .5分 又DC，平面ABD , AD u平面ABD，所以DC，AD .CD -依题思tan/CAD= = J6 . 6分AD因为AD=1,所以CD =J6.设 AB=x(x>0),则 BD = Jx2 +1 .依题,sA ABD匕BDC,所以幽=CD，即取一.7分AD BD 1, x2 1解得 x=五，故 AB = 6, BD=m,BC=JBD2

17、+CD2 =3. 8 分法1：如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz,则D(0,0,0),B(J3,0,0),C(0,n,0),9分ADE的法向量m = (x, y,z)设平面-DE =0, T-DA =0,J3x + 76得( 22|晶石X T I 3y =0,z = 0.令 x =氓，得 y = -73, z所以 m =(<,6,-<3,-<3).10分-ln m所以 cos < n, m >=-I n| |m|11分由图可知二面角 B-AD -E的平面角为锐角,1所以二面角BADE的余弦值为212分法2 ：因为DC，平面 ABD , 过点E作EF DC交B

18、D于F , 则EF，平面ABD.AD仁平面ABD , EF ± AD.F作FG，AD于G ,连接GE ,9分2因为 所以 过点(20)解:(I )法1：由21 2x =4y彳导y = X，所以y11=一 X.所以直线PA的斜率为一22241 21 2因为点A (x1, y1川B (x2, y2)在抛物线C上，所以yi = - Xi , y2 = - X2.121八所以直线PA的方程为y彳入=-X1(x-X1). 1分因为点P(a,-2堆直线PA上，1 212所以 _2 _彳 X =5为(a _X1 ),即 x1 _2axi -8 = 0. 2分同理，x2 -2ax2 8 = 0. 3

19、 分一、2所以X1,X2是方程x 2ax8 = 0的两个根.所以XX2=T. 4分12 121 2又 y1y2 = 4 X1 '4 X2 = 16 (X1X2 ) =41 5 分所以X1X2 +%丫2 = 口为定值. 6分法2：设过点P(a,2 )且与抛物线C相切的切线方程为y + 2 = k(x a), 1分,y+2=kfxa, 一 ,口 2由2' '消去 y得x 4kx+4ka+8=0,X =4y,由 A=16k2 4(4ak+8) = 0,化简得 k2ak2 = 0. 所以 k1k2 = -2 .42,口 12 .1由 x =4y ,得 y = - x，所以 y

20、= x.42所以直线PA的斜率为k1 =1 %，直线PB的斜率为k2 =1X2.2214分5分6分7分所以一x1x2 = -2,即 x1x2 = -8.4p121212又y1y2-X2X1X2 =4,4416所以X1X2 + y1y2 = -4为定值.y1 -22 x1 a(n)法1 ：直线PA的垂直平分线方程为 y-1-=X-1- 1,2X12122由于 y1 = - x1 , Xj -8 = 2ax1,所以直线PA的垂直平分线方程为 y-也=2 ,x-X二a 8分4x1 I 2 J. w同理直线PB的垂直平分线方程为 y-ax2 = -'x-2a |' 9分4x2 I 2

21、；- 3a2由解得x= a y =1 2 ,2，所以点M3,lW心 210分抛物线C的焦点为F (0,1 ),则MF =11分-3 3a2 3a2由于MF PF =0, 22T T所以MF _ PF.12分所以以PM为直径的圆恒过点 F. 3另法：以PM为直径的圆的方程为 x-a lx a2. 一 ，a(y + 2) y -1 -2；O 0.11分把点F(0,1 y弋入上方程，知点F的坐标是方程的解.所以以PM为直径的圆恒过点 F. 12分法2：设点M的坐标为(m,n),_2222则 PAB的外接圆方程为(x m) +(y n) = (m a) +(n + 2),由于点 A x,% ,B x2

22、, y2 在该圆上，2222则(x1_m) +(y1一n) =(m a) +(n+2),2222x2 -m jy2 -n = m-a ：i r n 2 .两式相减得(x1 -x2 八1 +x2 2m)+(y1 y2 N y + y2 -2n )=0,7分1212由(I )知 xI +x2 =2a,x1x2 = -8, y1 =- X , y =x2，代入上式得443 (x1-x2 )(4a-4m+a +4a-2an)=0, 8 分3当 x1#x2 时，得8a -4m + a -2an=0,T假设以PM为直径的圆恒过点F ,则MF _L PF,即(m,n1姓a,3)=0,得 ma-3(n-1 )

23、 = 0, 9 分31 2八由解得 m=a,n=1十一a , 10分2231 2 )所以点 M .一a,1+ a 1 11 分<22 )当 X)= X2 时，则 a = 0,点 M (0,1).12分所以以PM为直径的圆恒过点 F.(21)解:g(1 )法1：函数f (x)=ln x+的定义域为(0,代).X, a zh r r 1 a x -a八由 f (x ) = ln x +_,得 f (x)=r = 1 分xxx x因为 a >0,则 xw (0,a )吐 f'(x )<0； xw (a,+无)时，f x)>0.所以函数f (*诈(0,3)±单

24、调递减，在(a,让单调递增. 2分当 x=a 时， f (x )皿=m a+1 . 3 分1当In a +1 WO,即0 <a W 时，又f (1 )=ln1 +a =a >0,则函数f (x)有零点.4分 e1所以实数a的取值范围为io,-.I 'e 一法2：函数f (x)=lnx+9的定义域为(0,十望). xa由 f (x )= In x + = 0,得 a = -xln x 1分令 g (x )=xlnx ,则 g'(x )=_(ln x+1).gx)>o；g'(x)<o.1当 x JO,一< e所以函数g(x近 Gjl上单调递增，

25、在,1，+s 1上单调递减. 2分I e；Ve )1 1111故x = 一时，函数g (x画得最大值 g 一 二 In _ =_ . e.e Je e eo*1因而函数f (x ) = lnx+4有零点，则0<a W_ xe(11所以实数a的取值范围为|oj .I 'e -(n )令 h(x )=xln x+a ,则 h'(x )=ln x+1.11当 0<x<-时，f'(x )<0;当 x >一时，f x ) > 0.所以函数h（x ）在i0 1 1上单调递减,在口 十五上单调递增,ee1.1当* = 一时， h(x) =一-+a

26、. 6 分ee2 一11f一于是，当a之_时，h(x )之_+a >-. 7分ee e令 中(x)=xe&,则中'(x)=e& -xe- =e&(1 x).当 0<x<1 时，f'(x )>0;当 x>1 时，f'(x)<0.所以函数中（x近（0,1）上单调递增，在（1,收 让单调递减1当x=1 时，/(x»ax=r,1 o当x>0时，干(x)E-. e显然，不等式、中的等号不能同时成立2,.故当 x>0, a 之一时，xlnx+axe . e因为b>1,所以lnb>0.10分所以 lnb ln lnb ra lnbeb11分. . a 11所以 ln (ln b )+ >-,即 f (ln b )>- lnb bb12分(22