人教版高中数学选修部分知识点总结

1、WORD式-专业学习资料-可编辑高二数学选修2 1知识点第一章常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p,则q”形式的命题中的P称为命题的条件，q称为 命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题 .其中一个 命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若P,则q"，它的逆命题为“若q,则P” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否 命题.中一个命题称为

2、原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若P,则q"，则它的否命题为“若P,则飞” 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为 逆否命题.其中一个命题称为原命题， 另一个称为原命题的逆 否命题.若原命题为“若P,则q"，则它的否命题为“若q,则P” 6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题直真真真真假假直假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2 )两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系.7、若p= q ,则p是q的充分条件，q是p的必

3、要条件.若pu q,则p是q的充要条件(充分必要条件)8、用联结词“且”把命题 p和命题q联结起来，得到一个新 命题，记作pAq.当p、q都是真命题时，pAq是真命题；当p、q两个命题中 有一i个命题是假命题时，p八q是假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题， 记作p,q .当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时， pq是假命题.对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作 p.若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是 真命题.9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ v”表示.含有全称量词

4、的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立"，记作“ VxM , p(x .短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“寸表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”，记作“为WM , p(x f .10、全称命题p： VxM , p(x它的否定p ：三xM ,p(x).全 称命题的否定是特称命题.第二章圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点Fi , F2的距离之和等于常数(大于FiF2 )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点， 两焦点的距离称为椭圆的焦距.12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦

5、点在y轴上图形令J1标准方程22与+ *=1（aAb>0 ） a by x-2 +2 = 1 （ a > b a 0） a b范围-a-x-aJ=L_b-y-b-bxbJ=L_aya顶点A1（-a,0）、&口,0）B1（0f）、B2（0,b）A1（0,-a）、%（0）IM-b,0）、B2（b,0）轴长短轴的长=2b长轴的长=2a焦点FKp0）、F2（c,0）Fj0,-c hF2（0,c）焦距|F1F2 =2c(c2 =a2b2 )对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率c匚 b2 _ _/e = - =11 2 (0 < e < 1)准线方程22aax = 

6、7;-y = ±"-13、设M是椭圆上任一点，点 M到Fl对应准线的距离为di , 点M到F2对应准线的距离为d2,则学="=e.d1d214、平面内与两个定点Fi, F2的距离之差的绝对值等于常数（小于IF1F2D的点的轨迹称为双曲线. 这两个定点称为双曲 线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形£7° V、O-*J标准方程22x y.-7 -7 =1 (a >0, b > 0 ) a2 b222-y7 -2 =1(a a 0,b a 0 ) a b范围x - -ax

7、- a , y 三 Ry-aya x三 R顶点A1 ( -a,0 卜 A2(a,0)A1(0，-a)、A2(0,a)轴长虚轴的长二2b实轴的长=2a焦点E（p0）、F2（c,0）F1(0,-chF2(0,c)焦距|F1F2 =2c(c2 =a2 +b2)对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率吒二唇心1)准线方程2 ax = ± c2 a y = ± c渐近线方 程by = ±x aay = ± x b16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.17、设M是双曲线上任一点，点 M到Fl对应准线的距离为di, 点M到F2对应准线的距离为d2,则也=

8、 Mfd=e.did218、平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的 轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线 l称为抛物线的准线.19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,即|AB|=2p.20、焦半径公式：若点P(xo,y° )在抛物线y2 =2px( p>0)上，焦点为F ,则PF =x0+p ； 若点P(xo, yo )在抛物线y2 = -2px( p>0 )上，焦点为F ,则 阳=-xo +-； 2若点P(x0,yo )在抛物线x2 =2py( p a0)上，焦点为F ,则PF =yo+：； 若点P

9、(x0,yo )在抛物线x2 = -2py(p a0)上，焦点为F ,则 乎二-y0 2 .21、抛物线的几何性质：标准力2y = 2 px2y = -2 px2x = 2 py2x = -2 py程(p >0)(p A。)(p > 0 )(p > 0)第三章 空间向量与立体几何22、空间向量的概念：(1 )在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.(2 )向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.(3 )向量大的大小称为向量的模(或长度)，记作AB'.(4模(或长度)为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单 位向量.(5方

10、向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记 作-a.(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量.23、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形 法则.即：在空间以同一点。为起点的两个已知向量a、b为 邻边作平行四边形oacb,则以。起点的对角线1s就是a与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法 则.（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空 .* 间任取一点。，作方=a, ob'=b，则一， BA =a -b .24、实数，与空间向量a的乘积九a是一个向量，称为向量的 数乘运算.当人下0时，力与a方向

11、相同；当儿0时，舄与a方 向相反；当九=。时，儿a为零向量，记为0 .九a的长度是a的长 度的区倍.25、设九，为实数，a, b是空间任意两个向量，则数乘运 算满足分配律及结合律.分配律：九（a + b ）=儿,+尢b ；结合律：九（点）=（刘）3.26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何 向量都共线.27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a,b（b#0）, a b的充要条件是存在实数九，使a=短.28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.29、向量共面定理：空间一点 p位于平面abc内的充要条件 是存在有序实数对x

12、, y ,使不=x£十忌;或对空间任一定 点。，有浸= + xM+y7C ;或若四点p, A, B, C共面，则 t r .OP =xOA+ yOB+ zOC（x + y+ z =1）.30、已知两个非零向量a和b,在空间任取一点。，作益=a, OB =b ,则ZAOB称为向量a, b的夹角，记作a,b,两个向量 夹角的取值范围是：（a,bw0,M.I31、对于两个非零向量a和b,若，a,b）=;,则向量a,1互相 垂直，记作a-Lb .32、已知两个非零向量a和b,则：| b：cos"b称为a , b的数量 积，记作a b ,即a,b=iakbcosqa,b）.零向量与任

13、何向量的数量b等于a的长度a与b在a的方向上的投影ibcosa,b）的乘积.34、若a, b为非零向量，e为单位向量，则有a e=iacos£e)；(2 )a _Lb a b =0 ;a 7山乂同向)(3)a b = f .一 aII alb a与b反向'a a 二信2 , a =Va a ;4 cos a, b 口;(5)ab 引ab.35、 向量数乘积的运算律：（1） a'b=b'a ；2 a b=.ab =，b；3 a b c = a c b c .j , k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任-学习资料分享向量P ,存在有序实数组x,y,z,使得P=x

14、：+yj+zk ,称x? , yj , zk为向量在：，j, k上的分量.37、空间向量基本定理：若三个向量a, b, c不共面，则对空间任一向量P ,存在实数组x, y,z,使得P = x： + yb+zC.38、若三个向量a, b, c不共面，则所有空间向量组成的集 合是pip = x，+ yb+zc,x, y, z w R.这个集合可看作是由向量a , b , c生 成的，4,b,c称为空间的一个基底，a, b, c称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.39、设工，;为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量 (称它们为单位正交基底)，以二的公共起点。为原 点，分别以

15、工的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立 空间直角坐标系Oxyz .则对于空间任意一个向量P , 一定可以把它平移，使它的起点与原点。重合，得到向量 葭 = P .存在有序实数组1x,y,z),使得p =x0+ye2+ze3 .把x , y, z称作向 量P在单位正交基底I, %, e3下的坐标，记作p=(x,y,z).此 时，向量P的坐标是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z ).一5 一、.,一,.40、设 a =8,4 ), b 二小墨工)，则(1 )a+b = (x+x2, % + y?, z+z2). s J 2 ,、(2 )a -b =(xi -x2,yi -丫2,4-z

16、2 ).(3 )短=(九/&%/2 ).(4 )a b =22 +丫佻 +z (5 )若：、b 为非零向量，贝U a -Lb：b=0仁 x1x2 + y1y2+z1z2 = 0 .仪*尸讪叭/ 4 J(6)右 b=0)贝LI abu a=?bu x1=，的，y = Ky2,4 = Kz2.7 ）：| a = a a = x x28 cos 2, b = a '22%乙.a bX1X2yiy2 Z1Z2lalb"Xi2y； - zi2x2y2 z2(9)A(K,yi,Zi),B=(X2,y2,Z2),则d 三二上三=2 - x x -2 y 1y2z 1z41、在空间中

17、，取一定点口作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量 8来表示.向量。户称为点p的位置向量.42、空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点a以及 一个定方向确定.点a是直线上一点，向量a表示直线I的方 向向量，则对于直线I上的任意一点P,有' =1，这样点A和 向量a不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示由直线 上的任意一点.43、空间中平面 Q的位置可以由u内的两条相交直线来确 定.设这两条相交直线相交于点。，它们的方向向量分别为a, b . P为平面a上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得0 D=xa+yb,这样点。与向量a, b就确定了平面a的位置.44、直线垂直

18、口，取直线的方向向量a,则向量a称为平面 口的法向量.45、若空间不重合两条直线a, b的方向向量分别为a, b,贝U a/b二 a/b-a = 'b (九 uR), a_Lbu a_Lbu ab=0.46、若直线a的方向向量为a,平面口的法向量为n,且aa, 贝f a1 = a/:u a -L n an=0, a -L a a，£u anu a = 'n.47、若空间不重合的两个平面 P的法向量分别为a, b,则 c / : = a/b =a =，ub, ot_l_Pu a_l_bu a,b=0.48、设异面直线a, b的夹角为6,方向向量为a, b,其夹角为九则有

19、cos 二I平面«的法向量为n,贝f有 sin0 = cos*1 n1与"所49、设直线1的方向向量为：， 成的角为日，与n的夹角为邛,50、设I, 於是二面角a1，的两个面a, P的法向量，则向量nl, n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小.若 T T二面角P的平面角为6 ,则cos0| = nn .八叫51、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AE的模计算.52、在直线1上找一点p,过定点a且垂直于直线1的向量为n,T叫T . PA n则定点A到直线1的距离为d = PA侬必川=- .53、点p是平面京外一点，a是平面支内的一定点，n为平面«的

20、一个法向/ ,则点P到平面T 4的距离为数学选修2-2知识点总结、导数1 .函数的平均变化率为.：y_ f_ f(X2)- f (xi)f (xi. ：x)- f (xi)x x x2- xilx注1:其中取是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念：函数y = f(x)在x = x。处的瞬时变化率是 旦上型?("个一”")，则称函数y = f(x)在点x。处可导，并把这 个极限叫做y = f(x)在x。处的导数，记作f(xo)或y'|xm ,即 f'(xo)= lim 2=lim f(x0 x)

21、-f(x0).J。xX . J。xX3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数 的几何意义是切线的斜率。4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际 成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分y =cy'=。-n .*y = x (n= N ), n y' = nxn4tn n xx dx n +1x ，.y = a (a>0,a¥1)x -y' = a In ax x._a_j a dx -In ax y =e1xy' =eexdx = exy =loga x(a >0,a =1,x a。)1 y'

22、;- xln ay = In x11 y = x1Ldx = In x xy =sin xy' = cosxfcosxdx =sin xy =cosxy' = sin xfsin xdx = -cosx6、常见的导数和定积分运算公式 ：若f(x), g(x )均可导(可积)， 则有：和差的导数运 算f (x)±g(x) = f (x)士g (x)积的导数运算PR1''f (x) g(x) = f (x)g(x) 土 f (x)g (x) 特别地：Cf (x)'=Cf'(x)商的导数运算(*f (x) _ f (x)g(x)- 一 g(x

23、) 一Ig(r t一 1 1寺别地：l;jg(x)l, fxSg(x)，0) x)f,_-g'(x)一g2(x)复合函数的导 数yx' = yu 鼠微积分基本定理JFbaf(xdx=(其中yx)=f(x)和差的积分运 算J*bbb1f1(x)± f2(x)dx= ( f1(x)dxt f f2(x)dx aaabb上口心山 k kf(x)dx = kj f(x)dx(k为常数) 寺别地：，ata积分的区间可 加性Jbf (x)dx= j acbf(x)dx+J f(x)dx (其中a<c< b) ac6 .用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f

24、'(x)令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.令f'(x)<0, 解不等式，得x的范围，就是递减区间；注:求单调区间 之前一定要先看原函数的定义域。7 .求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4)用函数的 导数为。的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正 右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在

25、这个根处无极值8 .利用导数求函数的最值的步骤：求f(x)在Kb】上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在Ja,b】上的极值；将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求 的最值点；9 .求曲边梯形的思想和步骤：后斗|近似代碎 丽小向(“以直代曲”的思想)10 .定积分的性质 根据定积分的定义，不难得由定积分的如下性质：性质 111dx=b-aa性质5若f(x)至0, xW a,b】则/f(x)dx至0 a推广：bbbafi x ±f x ± lit fm x( dx=2a f x dx

26、± Ja f x dx±|l|土 Ja fm x (o LZK 、 bc1c2b推广：f(x)dx = j f(x)dx，i f(x)dx HI f(x)dx aaqCk11定积分的取值情况：定积分的值可 个L 尸 尸对n能取正值，也可能取负值，还可能是二 N L0.可(l )当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值一且等于x轴上方的图形面积；(2)当对应的曲边梯形位于 x轴 下方时，定积分的值取负值，且等于 x轴上方图形面积的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于 x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0_,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积

27、.12 .物理中常用的微积分知识(1)位 移的导数为速度，速度的导数为加速 度。(2)力的积分为功推理与证明知识点13 .归纳推理的定义：从个别事实 中推演由一般性.的结论，像 这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体.，由个别到一般.的推理。14 .归纳推理的思维过程, 一I"""实验、观察 I概括、推广猜测一般性结论大致如图：111 115 .归纳推理的特点：归纳推理的前提是几个已知的特殊 现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推 理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻 辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳

28、推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想， 可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提生问 题。16 .类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方 面的相似或相同，推演由它们在其他方面也相似或相同，这 样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。11 11»17 .类比推理的思维过程观察、比较联想、类推推测新的结论18 .演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结 论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新 结论的推理过程。演绎推理是由一般 到特殊的推理。 " " 19 .演绎推理的主要形式：三段论20 .“三段论”可以

29、表示为：大前题：M是P小前提：S是M 结论：S是P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小 前提，它指生了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性 原理，对特殊情况做由的判断。21 .直接证明是从命题的条件或结论由发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法 和分析法。22 .综合法就是“由因导果”，从已知条件由发，不断用必要 条件代替前面的条件，直至推由要证的结论。23 .分析法就是从所要证明的结论由发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。 要注意叙述的形式：要证 A,只要证B, B应是A成立的充 分条件.分析法和综合法常结

30、合使用，不要将它们割裂开。24反证法：是指从否定的结论由发， 经过逻辑推理，导由矛 盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证 明方法。25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设由发，经过推理论证，得由矛盾；（3）从矛盾判定假设不正磷.，即所求证命题正确。26常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都 成立存在x使不成 立至多有一个至少有两个对任意x不成 立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或qp 旦q至多有n个至少有n+1个p且qp或飞27.反证法的思维方法：正难则反 28.归缪矛盾（1）与已

31、知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、 定义矛盾;（3）自相矛盾. / 29 .数学归纳法（只能证明与正整U有关的数学命题）的步 3H（1）证明：当n取第二个值叫8川”）时命题成立；（2）假设当n=k （kSN*,且knno）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.由（1）, （2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数 n都正确.注:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正 确性的证明。数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如 a+b 1.的数叫做复数，其中i叫虚数单 位，a叫实部，b叫虚部，数集C=a+bi|a,bWR叫做复数集。 规定：a+bi=c+diu a=C且b=d，强调

32、：两复数不能比较大小，只有相等或不相等31 .数集的关系：实数（b=0）一复数Z41fA.I 一般虚数（a#0）虚数（b#0）4纯虚数（a =0）32 .复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对 应。33 .复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + bi,都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定。由于有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面 直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来哀示复数的平面叫做复平面、x轴叫做实轴、y轴叫做虚轴。实轴上的点都相示实数，除了原点外、虚轴上的 点都表示纯虚数。34 .求复数的模（绝对值）与复数

33、z对应的向量OZ的模r叫做复 数z =a + bi的模（也叫绝对值）记作z或a+bi。由模的定义可知： z = a + bi| 7a2 十b235 .复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：4 =a+bi与z2 =c + di ,贝U乙土z? =a±c+ （b土d）i。注： 复数的力口、 减法运算也可以按向帛 的加、减法来进行。 复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd )+(ad+bc)i。复数的除法法则:a+bi _(a+bi)(c-di)_ac+bd jc_adiH中 c_di 叫 c di (c di)(c - di)c2 d2c2 d2 八做实数化因子

34、36.共辗复数：两复数a+bi与a-bi互为共辗复数，当b#0时，它们叫做共轲虚数 常见的运算规律 z =|z|;(2)z+z=2a,z-z=2bi;，一、2 II22.2,、一 ，、一(3)z z =|z =|z| =a +b ;(4) z =z;(5) z =z y zw R/c. 4n 1.4n：；24nH3.4n：4(6)i=i,i - -1,i- -i,i =1；21 i1-i-i;百,1-i二i, 一1 i设金=/詈是1的立方虚根，贝f 1十十伊2 =0 ,.,3n1 =,3n2 3n.3=1高中数学选修2-3知识点总结 第一章计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完

35、成它有N类办法，在第一类办法中有 Mi种不同的方法，在第二类办法中有 M2种不同的方法， ，在第N类办法中有Mn种不同的方 法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+ +MN种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N个步 骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有 M2不同的 方法，做第N步有Mn不同的方法.那么完成这件事共有N=M 1M2.MN种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取 m(m < n)个元素，投骐的一个排列4、排列数:一定顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取由 m个元素 ,n!A = n(n -1) (n - m 1)(m=n,n,m N)

36、(n - m)!5、组合：从n个不同的元素中任取 m(m Wn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取由 m个元素的一个组合。6、组合数：靖嚏Wf)mm!mnum.C n _C n；Cm；一Lnm(n)7m)!c m.m m 、 C n C n -Cmn -1n 0 n 1 n J2n_2,2rn，rn,n(a +b) =Cna +Cna b+Cna b +Cna b +Cnb8、0项0 : Tf=Cnan,br(r=0, 1 n)第二章随机变量及其分布知识点：1、随机变量：如果随机试验可能由现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化， 那么 这样的变量叫做随机变量.

37、随机变量常用大写字母 X、Y等 或希腊字母 E、n等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中， 对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列由，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3、离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量 X可能取的值为 X1 ,X2,.,Xi ,XnX取每一个值 Xi(i=1,2,)的概率P(FXi) =Pi,则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列XxrX2 Xi, XnPPiP2 Pin v -i4、分布列性质p i >0, i =1 ,2,： p 1 + p 2 + -+p n= 1 .5、二点分布：如果随机变量 X的分布列为

38、:p p q其中0<p<1 , q=1-p ,则称离散型随机变量 X服从参数p的二点分布6、超几何分布：一般地，设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取 n(n WN)件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量, 其中 m = minM , n> ,旦 nw N,M w N,n,M, N w N则它取值为k时的概率为P(X =k)=Ck n kM CN -MCN(k =0,1,2,|,m)1条件概率：对任意事件 A和事件B,在已知事件 A发生 的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A), 读作A发生的条件下B的概率2公式：P(B| A)=

39、 P(AB),p(A)0.P(A)3相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生 的概率没有影 响，这样的两个事件叫做相互独立事件。P(A B) =P(A) P(B)4 n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互 独立的一种试验11、二项分布：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数 系一个随机变量.如果在一次试验中某 事件发生的概率是 p,事件A不发生的概率为q=1-p，那么 k k n _k在n次独立重复试验中P(-=k)=Cnpq (其中k=0,1, ,n,q=1-p)于是可得随机变量汕勺概率分布如下:01« V *k« V Vnp

40、 I- 广1北 k M-Jc这样的随机变量 板从二项分布，记作士B(n, p),其中n,小勺概率分布为p为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量I*2*pPlP2 ，Pi则称 E E= xlpl +x2p2 + + xnpn + 为小勺数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望.是离散型随机变量。13、方差：D( 9=(X 1-E y Pl+(X2-E 92 P2 + (Xn-E92Pn 叫随机变量 部勺均方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：期望方差两点分布EE=pD E=pq , q=1-p二项分布，EB (n,p )EE=npD E=qE Fnpq (q=1-p )15

41、、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数1-22)-f (x) - e 、-, x (一二，二),2 二二的图像，其中解析式中的实数 人。(。>0)是参数，分别表示总 体的平均数与标准差.则其分布叫正态分布 记作：N(N,Q),f( x )的图象称为正态曲线。16、基本性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交.曲线关于直线x= 口对称，且在x="时位于最高点.当时x<曲线上升；当时x>曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时， 以x轴为渐近线，向它无限靠近.当N一定时，曲线的形状由。确定.。越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散；。越小，曲线越“瘦高”，表示

42、总体 的分布越集中.当挑目同时，正态分布曲线的位置由期望值 以来决定.正态曲线下的总面积等于 1.17、3仃原贝U:从上表看到，正态总体在 伊-2仃出十2。 以外取值的概率只有4.6%,在 伊-3。, N+3。)以外取值的概率只有 0.3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的第三章统计案例知识点：1、独立性检验假设有两个分类变量 X和Y,它们的值域分另为XI, X2和yi, y2,其样本频数列联表为：y1y2总计X1aba+bX2cdc+d总a+b+a+b+计cdc+d若要推断的论述为 Hi: “X与Y有关系”，可以利用独

43、立 性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给由这 种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算由随机 变量KA2的值(即 K的平方)K2 = n (ad - bc) 2 /(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中 n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X 与Y有关系”成立的可能性越大。K2<3.841 时，X 与 Y 无关；K2>3.841 时，X 与 Y 有 95% 可能性有关；K2>6.635 时X与Y有99%可能性有关 2、回归分析1、回归直线方程？ = a+bx1% xy" x' y 其中b二n'、x2 -C x2

44、) n% (xx)(y y)_ SP、(xx)2, SSx2、r检验性质：（1） I r | W1, | r |并且越接近于1,线性相关程度越强，I r I越接近于 0,线性相关程度越弱;（2） | r | >r 0.05,表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系；| r | wro.05,我们没有理由拒绝原来的假设, 这是寻找回归直线方程毫无意义！高中数学选修4-5知识点1、不等式的基本性质（对称性）a b- b a（传递性）a b,b c= a c（可加性）a b- a c b c（同向可加性）ab, cd=ac b d(异向可减性)ab, c : d = a - c b -

45、 d3)(可积性) a b, c 0 = ac bca . b, c ：二 0 = ac :二 bc(同向正数可乘性)a b 0,c d 0= ac bd（异向正数可除性） a b 0,0 :二 c :二 d= a - c d（平方法则）a >b >0= an >bn(n e N,且 n>1)（开方法则）a >b >0=小An6（n W N,且n>1）（倒数法则）a b 0=1;a :二b < 0=11 a ba b2、几个重要不等式a2+b2至2ab（a, bR）,（当且仅当a=b时取"="号）变形公22a b式：ab .2

46、（基本不等式）瞪之倔（a, bwR+）,（当且仅当a = b时取到等号）.2变形公式：a + 旌 2-a b ab < a-2 l,.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” （三个正数的算术一几何平均不等式）ba若ab< 0,Wb+-<-2（当仅当a=b时取等号）a b令 bbm/ a n一：二：二 1 <aam b na-bc >Vabc （a> b cw R4）（当且仅当 a = b = cEhf取到等号） 3平均不等式：国名呼南孚2, (a,bwR+,当且仅a b2.2当 a = bEhf取"

47、="号).(即调和平均E几何平均E算术平均工平方平均)变形公式:, a b ab .,2哥平均不等式：22.22a b2 , 2 (a b);a b .222221 ,、2a1 a2. an 一(a1 a2 an).n二维形式的三角不等式：X；v1X22V-.(Xi-X2)2(yi-丫2)2(Xi,yi,X2, y2 R).二维形式的柯西不等式：(a2 +b2)(c2 +d2)之(ac+bd)2(a, b,c, d R R).当且仅当 ad =bc时,等号成立.三维形式的柯西不等式：2222222(ai a? a3 )(bi b2 4 ) - (abi a2b2 a3b3).一般形式

48、的柯西不等式：(a： %2 . an2 )(匕2 b22 . bn2) 一(abi a2b2 anbn)2.向量:形式的柯西不等式：设NW是两个向量，则 口用举的，当且仅当是零向量， 或存在实数k,使工建时，等号成立.排序不等式(排序原理) ：设为央2 W. Man,“ <b2 MMbn为两组实数.伞。,cn是匕也,.,4 的任一排列，则aibn +a2bn 4 + *anb1 工 aici + a2c2，+ anci aib1 + a2b2 + + anbn.序和舌L和等于顺序和琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f（x），对于定义域中任意两点X, X2（Xi =

49、X2）,有f（）M513或f（匕）至313.则称f（x）为凸（或凹）函 2222数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法;其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如（a 2）2 4 （a 2）2；将分子或分母放大(缩小)加 1 .111如 k2 k(k -1)， k2 k(k 1)， 3A , 2/ (Y N*,k>1)等.、一 k 一 k 、, k 122- 12 = < .2 M k /k . k . k v k15、一元二次不等式的解法6、高次不等式的解法：穿根法

50、 .分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇 穿偶切）,结合原式不等号的方向，写由不等式的解集7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（“或工”时同理）fTx) 0 = f (x) g(x) . 0 g(x)f(x) 0= f(x) g(x) .0 g(x) - - g(x)=0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解,f (x) a(a 0)=f(x)-0_2f(x) a/、f (x) - 0 f(x) : a(a 0)2f(x) <a2或黑0_f(x) 0.f (x) g(x) = g(x) -0 f(x) g(x)2_f(x)

51、-0.f (x) ； g(x) = g(x) 0 f(x) ”g(x)2_ f(x) -0.f (x). g(x) = g(x) -0f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式、诀窍在于从 .当 a >1 时，af Aag(x)u f (x) >g(x)当 0<a<1 时，af(x)Aag(x)u f (x) < g(x) 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法f(x) 0当 a >1 时，loga f (x)loga g(x)u <g(x)>0f(x) g(x)f(x) 0当 0 <a <1 时，loga

52、 f (x) >loga g(x)u <g(x)>0 f (x):二 g(x)规律：根据对数函数的性质转化 .11、含绝对值不等式的解法：定义法:a(a")a =4a (a < 0)平方法：f(x) < g(x):= f2(x) < g2(x).同解变形法，共同解定理有: xau -a -x -a(a -0); x au x 至a或x - -a(a -0); f(x) Mg(x) = -g(x) M(x)-g(x) (g(x)-0) f(x)| 之g(x)U f (x)之g(x)或f(x) <-g(x) (g(x) >0)规律：关键是去

53、掉绝对俏的符号 .12、含有两个(或两个以上)绝对俏的不等式的解法：13、含参数的不等式的解法解形如ax2+bx+c>。且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式ax2+bx+c >。的解集是全体实数(或恒成立)的条件 是：当 a=0时=b=0,c>0;a 0当a,0时二*:：0.不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 2=0时=b = 0,c<0;当a#0时ni；：0. f(x)<a 恒成立 = f (x)max <a;f(x)a恒成立 u f(x)max <a; f(x)>a®Mj/l u f (x)min A a;f(x)之a恒成立 « f(x)min.a.15、线性拆划问题二元一次不等式所哀示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax+By + C = 0的同一侧的所有点的坐标代入 Ax + By+C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往 往只需在