中国石油大学大学离散数学》期末复习题及答案

1、离散数学期末复习题一、填空题(每空2分，共20分)1、 集合 A 上的偏序关系的三个性质是、 和。2、一个集合的备集是指。3、集合 A=b,c , B=a,b,c,d,e,贝U A?B=。4、集合 A=1,2,3,4 , B=1,3,5,7,9,则 A?B=。5、若A是2元集合，则2A有 个元素。6、集合 A=1,2,3 ,A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。7、设 A=a, b,c,d , 则 I A I =。8、对实数的普通加法和乘法， 是加法的哥等元， 是乘法的 帚等兀。9、设 a,b,c是阿贝尔群 G,+的元素，贝U -(a+b+c尸。10、一个图的哈

2、密尔顿路是 。11、不能再分解的命题称为 ,至少包含一个联结词的命题称为 。12、命题是 o13、如果p表小王强是一名大学生，则 1p表布。14、与一个个体相关联的谓词叫做 。15、量词分两种： 和 o16、设A、B为集合，如果集合 A的元素都是集合 B的元素，则称 A是B的。17、集合上的三种特殊元是 、及。18、 设 A=a, b , 则p(A)的 四 个 元 素 分 别是：, , , 。19、代数系统是指由 及其上的 或 组成的系统。20、 设L,*1,*2是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满 足、,并且*1和*2满足,则称L,*1,*2是 格。21、集合 A=a,

3、b,c,d , B=b ,则 A B=。22、设 A=1,2,贝U I A I =。入度 deg-(v)表示23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以。24、一个图的欧拉回路是 。25、不含回路的连通图是 。26、不与任何结点相邻接的结点称为 。27、 推 理 理 论 中 的 四个推是、二、判断题(每题2分，共20分)1、空集是唯一的。2、对任意的集合 A , A包含A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G中，与顶点v关联的边数称为点 v的度数，记作deg(v)。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何

4、一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设(A,* )是代数系统，aCA,如果a*a=a,则称a为(A, *)的等哥元。9、设f: A - B, g: B - C。若f, g都是双射，则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、<0,1,2,3,4,MAX,MIN> 是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的

5、合取或析取不是一个重言式。20、设f: A - B, g: B - C。若f, g都是满射，则 g?f不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与 n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则 A(c):张三是个大学生。 126、设 F=<3,3>,<6,2>,贝U F =<6,3>,<2,6>。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f: A - B, g: B f C。若f, g都是单射，则 g?f也是单射。三、计算题(每

6、题10分，共40分)1、设 A=c,d, B=0,1,2,则计算 AXB, BXA。2、A = a,b,c , B = 1,2,计算 AXB。3、A = a,b,c,计算 AXA。4、符号化命题“如果 2大于3,则2大于4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“ 2是素数且是偶数”。7、设 A=a,b,c,d , R 是 A 的二元关系，定义为：R=<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>,写出A上二元关

7、系R的关系矩阵。8、设人=1,2,3,4 ,R是A 的二元关系，定义为：R=<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>, 写出A上二元关系R的关系矩阵。9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。12、求命题公式1(pAi q)的真值表。13、设 <2x+y, 5>=<10, x 3y> ,求 x, y。14、R1

8、、R2 是从1,2, 3, 4, 5至U2, 4, 6的关系，若 R1 = <1,2>, <3, 4>, <5, 6> , R2=<1,4>, <2, 6>,计算 domR1, ranR1, fldR1 , domR2, ranR2, fldR2。15、例：设 A=1,2, 3, 4, 5 , B=3, 4, 5, C=1,2, 3 , A 到 B 的关系 R=<x, y>|x+y=6 , B 到 C 的关系 S=<y, z>|y z=2,求 R?S。16、集合 A=a, b, c , B=1,2, 3, 4,

9、 5 , R 是 A 上的关系，S 是 A 到 B 的关系。R=<a, a>, <a, c>, <b, b>,_r、 T - T<c, b>, <c, c> , S=<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>,求 R?S, S ?R17、A=1,2, 3, 4, 5, 6 , D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合A=a,b,c , A上的关系R=<a,a>, <a,b>, <

10、b,c>,求R的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点 v0与v5之间的最短路径。20、分别用三种不M勺遍历方加出:下图中二叉树点的访问次序。建，赢飞嗯110彳20分)1、4若U S都是空集 去诉等的关系，证明 RC S是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。3、P-Q, n QMR, n R, n Sp; n s4、在群<G,*>中，除单位元e外，不可能有别的哥等元。5、设R和S是二元关系，证明：(RC S)-1=R-1CS-16、证明：(QAS)-R)A(S-(PVR) = (S A (P-Q) 一R.7、设I是整数集合，k是正整数

11、，I上的关系R=<x, y>|x, y C I,且xy可被k整除，证明R是等 价关系。8、证明(p - q)-r)y (n q A p) V r)9、证明(PVQ) A(P-R) A(Q - SSVR10、证明 P一 n Q, QVn R, RAn S= n P11、证(？x)(P(x) VQ(x)(?x)P(x) 一 (三x)Q(x)12、证明定理：设<G, ? >是群，对于任意 a, bCG,则方程a?x=b与y?a=b ,在群内有唯一解。离散数学复习题参考答案一、填空题(每空1分，共20分)1、集合A卜的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传I弟性。2、一个集合

12、的哥集是指该集合所有子集的集合。3、集合 A=b,c , B=a,b,c,d,e,则 A?B=a,b,c,d,e。4、集合 A=1,2,3,4 , B=1,3,5,7,9,则 A?B=1,3。5、若A是2元集合，则2A有4 个元素。6、集合 A=1,2,3 , A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= J3_ 。7、设 A=a, b,c,d,则 I A I = 4。8、对实数的普通加法和乘法，0_是加法的哥等元，1_是乘法的哥等元。9、设 a,b,c是阿贝尔群 G,+ 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图

13、中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。13、如果p表示王强是一名大学生，则 p表示王强不是一名大学生。14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。15、量词分两种：全称量词和存在量词。16、设A、B为集合，如果集合 A的元素都是集合 B的元素，则称 A是B的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设A=a, b,则p(A)的四个元素分别是：空集，aL,也_, a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。20、设L,*1,*2是代数系统，

14、其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且 *1和*2 满足吸收律,则称L,*1,*2是格。21、集合 A=a,b,c,d , B=b ,贝U A B= a, c,d 。22、设 A=1,2,贝U I A I = 2_o23、在有向图中，结点 v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度 deg-(v)表示以v为终点的边 的条数。24、一个图的欧技回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理视则是的称指定视则(US视则)、全称推广视则 (UG视则)、存在指定视则

15、 (ES规则)、存在推广规则 (EG规则)。二、判断题(每题2分，共20分)1、2、3、X。4、1 5、1 6、X。7、1 8、9、X。10、111、X。12、Vo 13、X。14、1 15、1 16、X。17、Vo 18、1 19、X。20、X。21、22、Vo 23、X。24、1 25、26、X。27、1 28、11、空集是唯一的。2、对任意的集合 A , A包含Ao3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3 和 1,2,2,3 是同一集合。5、图G中，与顶点v关联的边数称为点 v的度数，记作deg（v）。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一

16、命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,* ）是代数系统，aCA,如果a*a=a,则称a为（A, *）的等哥元。9、设f: A-B, g: BfC。若f, g都是双射，则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、 <0,1,2,3,4,MAX,MIN> 是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析

17、取不是一个重言式。20、设f: A-B, g: BfC。若f, g都是满射，则 g?f不是满射。21、集合1,2,3,3 和 1,2,3 是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A 表示“是个大学生”， c 表示“张三”，则 A（c） ：张三是个大学生。126、设 F=<3,3>,<6,2>,贝U F =<6,3>,<2,6>。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f: A-B, g: B-C。若f, g都是单射，则 g?f也是单射。三、计算题（每题10 分，

18、共 40 分）1、 设 A=c,d,B=0,1,2，贝UA X B=<c,0>,<c,1>,<c,2>,<d,0>,<d,1>,<d,2>, B X A=<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d> 。2、A = a,b,c , B = 1,2 , AXB = a,b,c x1,2 = <a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>

19、3、A = a,b,c , AXA = a,b,c x a,b,c = <a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a,>,<c,b>,<c,c>。4、符号化命题“如果 2 大于3，则2 大于4。”。设 L(x,y) ： x 大于 y,a： 2,b： 3,c： 4,则命题符号化为L(a,b) - L(a,c)。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。设F(x) ： x是兔子。G(x): x是乌龟。H(x,y) ： x比y跑得快。该命题符号

20、化为：？ x? y(F(x) A G(y)fH(x,y) 。6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。设F(x) ： x是素数。 G(x) ： x是偶数。a：2,则命题符号化为F(a)AG(a)。7、设A=a,b,c,d ， R 是 A 的二元关系，定义为：R=<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a> ，写出A 上二元关系R 的关系矩阵。解：R 的关系矩阵为：8、设人=1,2,3,4 ,R是A 的二元关系，定义为：R=<1,1>,&l

21、t;1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>,写出A 上二元关系R 的关系矩阵。解：R 的关系矩阵为：9、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。deg(v1) = 3, deg+(v1) = 1, deg-(v1) = 2; deg(v3) = 3, deg+(v3) = 2, deg-(v3) = 1;deg(v2) = deg+(v4) = deg-(v2) = 0;10、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。答：deg(v1) = 3, d

22、eg+(v1) = 2, deg-(v1) = 1;deg(v4) = 2, deg+(v4) = 1, deg-(v4) = 1;入度和度数。deg(v3) = 5, deg+(v3) = 2, deg-(v3) = 3;deg(v4) = deg+(v4) = deg-(v4) = 0;deg(v2) = 3, deg+(v2) = 2, deg-(v2) = 1;11、设无向图G 如下所示，求它的邻接矩阵。deg(v5) = 1, deg+(v5) = 0, deg-(v5) = 1;12、求命题公式（p八q）的真值表pqqpAq（pAq）0010101001101101100113、设

23、 <2x+y, 5>=<10, x 3y> ,求 x, y。解：由定理列出如下方程组：求解得x=5, y=0。14、R1、R2 是从1,2, 3, 4, 5至U2, 4, 6的关系，若 R1=<1,2>, <3, 4>, <5, 6> , R2=<1,4>,<2, 6>,计算 domR1, ranR1, fldR1 , domR2, ranR2, fldR2。解：domR1=1,3, 5 , ranR1=2, 4, 6 , fldR1=dom R1 U ran R1=1,2, 3, 4, 5, 6;domR2=

24、1,2 , ranR2=4, 6 , fldR2=dom R2 U ran R2=1,2, 4, 6。15、例：设 A=1,2, 3, 4, 5 , B=3, 4, 5, C=1,2, 3 , A 至U B 的关系 R=<x, y>|x+y=6 , B 到 C 的关系 S=<y, z>|y z=2,求 R?S。解：R=<1,5>, <2, 4>, <3, 3>, S=<3, 1>, <4, 2>, <5, 3>,从而 R?S=<1,3>, <2, 2>, <3, 1&g

25、t;或者因 <1,5> R, <5, 3> C S,所以 <1,3> C R?S；因 <2, 4> C R, <4, 2> C S,所以 <2, 2> C R?S;因 <3, 3>CR, <3, 1>CS,所以 <3, 1> C R?S；从而 R?S=<1,3>, <2, 2>, <3, 1>16、集合 A=a, b, c , B=1,2, 3, 4, 5 , R是 A 上的关系，S是 A 到 B 的关系。R=<a, a>, <a,

26、c>, <b, b>, <c, b>, <c, c> , S=<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>,求 R?S, S ?RR?S=<a, 1>, <a, 4>, <a, 5>, <b, 2>, <c, 2>, <c, 4>, <c, 5>(R?S)-1=<1, a>, <4, a>, <5, a>, <2, b>, <

27、2, c>, <4, c>, <5, c>R 1=<a, a>, <c, a>, <b, b>, <b, c>, <c, c>,1S =<1, a>, <4, a>, <2, b>, <4, c>, <5, c> 1S ?R 1=<1, a>, <2, b>, <2, c>, <4, a>, <4, c>, <5, a>, <5, c>。解：1是A17、A = 1

28、,2, 3, 4, 5, 6 , D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极 大元。18、设集合A=a,b,C , A上的关系R=<a,a>, <a,b>, <b,c>,求R的自反、对称、传递闭包。r(R尸<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c> s(R尸<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>19、求下图中顶点 v0与v5之间的最短路径。V0解：如IV图所示 V7与v5之闽的最短路径为：v

29、0, v1, v2, v4 , v3, v5先根遍历7 ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历:t(R尸<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>DHEBIJFKGCA四、证明题(每题10分，共20分)1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明 RS是A上的等价关系。证明：VaC A,因为R和S都是A上的等价关系，所以 xRx且xSx。故x R'n S x。从而R1S是自反的。V a,b A, aR°Sb,即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以 bRa且bSa。故b RS a。从而R

30、S是对称的。V a,b,c A, a R°S b且 b R°S c,即 aRb, aSb, bRc 且 bSc。因为 R 和 S都是 A 上的等价关系，所以aRc且aSc。故a R, S c。从而RS是传递的。故RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。设：H(x) ：x是人。M(x) ：x是要死的。s：苏格拉底。本题要证明：(Vx)(H(x) 一M(x) A H(s); M(s) 证明：(E)(H(x)- M(x)PH(s) 一M(s)USH(s)P(4)M(s)、 3、P-Q, n Q VR, n R, n SVP=n S证明：(

31、1) n R前提前提(2) n Q R(3) n Q(1), (2)(4) P - Q前提(5) n P(3) , ( 4)(6) n S P前提(7) n S(5) , ( 6)4、在群<G,*>中，除单位元 e外，不可能有别的哥等元。因为 e?e=e,所以 e 是哥等元。设 awG 且 a?a=a,贝U有 a=e?a=(a 1 ?a)?a=a 1?(a?a)=a ?a=e, 即 a=e。5、设R和S是二元关系，证明：(Rc S)-1=R-1S-1证明： ：.所以.：.6、证明：(Q AS) - R)A (S 一 (PV R) = (S A (P - Q) 一 R.证明：左边：(

32、Q A S)一R) A (S一(PV R)=(n (0 S)V R)A (n SV (PV R)=(n QVn SV R)A (n SV PV R)=(n QVn SV R)A (n SV PV R)右边：(SA(P-Q)-R=n (S (n PV Q) V R=(n S/(PAn Q)V R=(S V R)ASV PVR)所以(Q AS) - R)A (S 一 (PV R) = (SA (P-Q) 一 R.7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R = <x, y>|x, y C I,且x-y可被k整除, 证明R是等价关系。证明：(1)对任意的x C A,有x x=0可被k整除。所以<x, x> £ R,即R具有自反性。(2)对任意的 x, y A , <x, y> C R,即 x y 可被 k 整除，设 x y=km ,则 yx=km, 显然y-x可被k整除。所以<y, x> C R,即R具有对称性。设x, y, z C A ,若秘y> C