精密测控与系统第二章系统的数学模型

1、曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院精密测控与系统精密测控与系统曹佃国曹佃国曲师大电气信息与自动化学院曲师大电气信息与自动化学院tel: 3981133-mail: 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院第2章 系统的数学模型数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和方框图和信号流图信号流图状态空间模型状态空间模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院数学模型有什么用？1940年7月1日,美国华盛顿州建成当时位居世界第三的悬索结构Tacoma Narrows 大桥，设计可以抗60米秒的大风，同年11月7日，在19米

2、秒的风吹下整体塌毁曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的时域模型 微分微分/差分方程差分方程 如何判定系统的阶数如何判定系统的阶数 静态的线性特性与动态的线性特性有什么关系？静态的线性特性与动态的线性特性有什么关系？ 系统的机电等效系统的机电等效 离散信号的基本运算离散信号的基本运算曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的时域模型微（差）分方程 建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。线性定常系统线性定常系统)(),(nxtx)(),(nyty)()(00txdtdbtydtdaMkkkkNkkkk )()(00knxbknyaMkkNkk

3、 连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统满足初始松弛条件的前提下，上述方程所表示的系统满足初始松弛条件的前提下，上述方程所表示的系统是线性的、定常的、因果的是线性的、定常的、因果的问题问题这种系统的这种系统的阶次是多少？阶次是多少？曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统的动态特性测控系统的动态特性 Dynamic characteristics of a systemDynamic characteristics of a system静态响应静态响应)()(xfxyBAxxf)(传感器的动态响应传感器的动态响应零阶零阶一阶一阶)()(0tXtKxT 011)(sKsT线性特性

4、线性特性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统的动态特性测控系统的动态特性 Dynamic characteristics of a systemDynamic characteristics of a system动态响应动态响应二阶二阶2002202)(sQsKsT曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统中的动态特性 比例环节比例环节P（放大环节）（放大环节）)()(tKrtc零阶系统零阶系统典型例子典型例子运算放大器、齿轮变速箱、电位器、测速发电机等KsG)(传递函数传递函数曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统中的动态特性 积分环节（积分环节（I） 微分环节（微分环节（

5、D）)()(trdttdcT一阶系统一阶系统ssG/1)(传递函数传递函数dttrTtct)(1)(0或或dttdrTtc)()(一阶系统一阶系统TssG)(传递函数传递函数1)(TssG或有时或有时曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统中的动态特性 惯性环节（一阶惯性环节（一阶RC电路）电路） 振荡环节振荡环节)()()(trtcdttdcT一阶系统一阶系统TsTssG111)(000传递函数传递函数)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT二阶系统二阶系统222222121)(nnnssTssTsG传递函数传递函数曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统中的动态特性

6、 延迟环节延迟环节 实际上是差分方程实际上是差分方程 指数响应特性指数响应特性)()(trtc零阶系统零阶系统sesG)(传递函数传递函数曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院测控系统的动态特性测控系统的动态特性 Dynamic characteristics of a systemDynamic characteristics of a system动态响应与静态响应特性有区别动态响应与静态响应特性有区别 系统中存在储能元件系统中存在储能元件 惯性元件 (质量、电感)容性元件 (电容, 热容, etc.) 考虑到物理系统输入-输出间的因果关系，其数学模型的阶次等于系统中独立储能元件的个数动态响

7、应特性参数动态响应特性参数 动态误差响应速度 (响应时间, 时间常数, 延迟时间)响应带宽曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院动态特性与静态特性间的关系动态特性与静态特性间的关系Linearity?Linearity?)()(00111txbtyadtydadtydannnnnn 可加可乘曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Static vs.DynamicStatic vs.Dynamic Linearity? Linearity?BAxxf)()()(00111txbtyadtydadtydannnnnn 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院小偏差线性化 组成系统的元件或多或少地存在着非线

8、性特性组成系统的元件或多或少地存在着非线性特性 实际意义上纯粹的线性系统是不存在的 对非本质的非线性特性非本质的非线性特性要进行线性化处理，既线性近似y小偏差线性化小偏差线性化若系统在工作点A附近很小的范围内工作，以A点处的切线来代替在范围内很小一端曲线曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院小偏差线性化 工作点不同，线性化系数不同工作点不同，线性化系数不同 必须在某一个工作点处进行，工作点不同则线性化的结果也不一样 线性化的条件是在工作点附近的小范围内，满足小偏差的条件 只能针对非本质非线性特性进行 线性化的结果是得到工作点附近（邻域）变量增量y、 x的线性方程式，习惯上仍写成x、y曹佃国 20

9、10年秋曲师大自动化学院系统的时域模型 微分微分/差分方程差分方程 如何判定系统的阶数如何判定系统的阶数 静态的线性特性与动态的线性特性有什么关系？静态的线性特性与动态的线性特性有什么关系？ 系统的机电等效系统的机电等效 离散信号的基本运算离散信号的基本运算曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的时域模型 微分微分/差分方程差分方程 系统的机电等效系统的机电等效 机电等效方法在测控系统中有什么用？机电等效方法在测控系统中有什么用？ 离散信号的基本运算离散信号的基本运算曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院试证明图试证明图(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统所示的机、电系统是相似系统(即即两

10、系统具有相同的数学模型两系统具有相同的数学模型)。 图图2 2- -2 2 机机电电相相似似系系统统B B1 1B B2 2K K1 1K K2 2X Xr rX Xc c( (a a) ) 机机械械系系统统R R2 2C C2 2R R1 1C C1 1U Ur rU Uc c( (b b) ) 电电气气系系统统例例曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院基本公式电容以电荷形式储存能量电容以电荷形式储存能量阻碍两端电压发生突变电感以电压形式储存能量电感以电压形式储存能量阻碍流过电流发生突变弹性力以位移形式储存能量弹性力以位移形式储存能量阻尼器不储存能量，但消耗能量阻尼器不储存能量，但消耗能量kF

11、 电流经过导致电阻发热电流经过导致电阻发热IRV 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院c2c2cr1cr1XBXK)X-X(B)X-(XK rrcXKBXKKBB1121c21X)(X)(输入为输入为XrXr，输出为，输出为XcXc，根据力平衡，可列出其运动方程根据力平衡，可列出其运动方程式式机械网络机械网络曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院 c11ciURU c22c11UCUCrc2c121UUU)i(R RrUidtCiRidtCiR112211电气网络电气网络i曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院1)211 (21)211 (RCCRRUcCCUri利用利用、求出求出rrccUCUR

12、UCCURR1121211)11()(代入代入将将两边微分得两边微分得比较两个金色的公式，可得出如下机比较两个金色的公式，可得出如下机- -电相似系统电相似系统rrcXKBXKKBB1121c21X)(X)(曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院机-电相似 机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机械系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统研究机械系统.提供了方便。提供了方便。曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院热-电等效表 4-1

13、热学与电学系统之间的对照关系 系统 参量 元件 静态定律 动态定律 电学系统 i, V R, C, L VCq/ iRV 热学系统 Q, T TR, c, - TcQ/ TQRT 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院机-电相似1940年7月1日,美国华盛顿州建成当时位居世界第三的悬索结构Tacoma Narrows 大桥，设计可以抗60米秒的大风，同年11月7日，在19米秒的风吹下整体塌毁曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院卡门涡街效应导致受迫振荡断裂时纵向变形断裂时纵向变形 4 feet断裂时风速断裂时风速 42 mph大桥谐振频率大桥谐振频率 = f0 0.2Hz曹佃国 2010年秋曲师大

14、自动化学院简单的串联模型模拟电压输入 vin(t) 大桥路面纵向变形（1V=1 foot)模拟电压输出 vo(t) 大桥路面纵向变形（1V=1 foot) 断裂时纵向变形断裂时纵向变形 4 feet断裂时风速断裂时风速 42 mph大桥谐振频率大桥谐振频率 = f0 0.2HzLC1LRRj)j (VLRj)j (VBA2inBo曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院简单的串联模型选择：RB=1， RA=9.5阻尼系数 （缺）选择：L=20H =0.209 Q=2.39 C=31.66mFLC1LRRj)j (VLRj)j (VBA2inBos/rad)2 . 0(2LC10LRR2BA0BAB

15、0in0oRRR)j (V)j (V曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院简单的串联模型 0.05Hz 纵向变形约纵向变形约0.44 ft 0.1Hz 纵向变形约纵向变形约1.07 ft 0.2Hz 纵向变形约纵向变形约3.77 ft曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院更接近实际的机电等效模型 空气动力学分析：阻尼系数 与风速（单位：mph）有关U00013. 000460. 0风速U35mph阻尼系数为负！二阶扭转振动曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院更接近实际的机电等效模型二阶扭转振动二阶扭转振动0) t (dt) t (d2dt) t (d20022阻尼系数 与风速有关断裂时风速断裂时风

16、速 42 mph断裂时扭转角度断裂时扭转角度 12到达断裂时间到达断裂时间 45min02200 2002 2)2 . 0)(2()2 . 0)(2)(U00013. 00046. 0(2 579. 1)U00033. 001156. 0( 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院579. 1)U00033. 001156. 0( ) t (v 1V 1deg/s2dtvCR1v1RF1C dtvv) t (v1V 1deg/sdtvv) t (v1V 1deg曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院更接近实际的机电等效模型U00013. 000460. 0U00033. 001156. 0)2 .

17、0)(2)(2(20vRREERR) t (v1fwind2f02200 579. 1)2 . 0(2RR2201f0wind2f2EERR因此，因此，Rf=R2=1，R1=0.634时，该电路可时，该电路可模拟大桥的扭转振动模拟大桥的扭转振动曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院更接近实际的机电等效模型 仿真计算初始条件：仿真计算初始条件： （0）=1deg风速=20mph风速=35mph风速=42mphT=2700s（45min)时断裂断裂时扭转角度断裂时扭转角度 12.5曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院更接近实际的机电等效模型 Laplace变换模型0s2s20020579. 1s )

18、U00033. 001156. 0(s2曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院现在的 Tacoma Narrows BridgeOldNewOldNew曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Tacoma Narrows BridgeCould it have been avoided?an engineering failure曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的时域模型 系统的机电等效系统的机电等效 机电等效方法在测控系统中有什么用？机电等效方法在测控系统中有什么用？优点？缺点？优点？缺点？关键点？关键点？曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的时域模型 微分微分/差分方程差分方程 系统

19、的机电等效系统的机电等效 离散信号的基本运算离散信号的基本运算 有限冲激响应滤波器有限冲激响应滤波器 无限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院个序列左移个序列右移knxknxnyknxknxny)( )()()( )()(21kknkxnxnxknnxkxknx )()()()( )()()()(可表示为整个序列的值表示为在时刻离散信号的一种常见的表达方式离散信号的一种常见的表达方式离散信号的基本运算（离散信号的基本运算（1 1）曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散信号的基本运算（离散信号的基本运算（2 2） )()()()()()(2121nxnxnynx

20、nxnx)(*)()()()(2121nxnxkxknxnyk 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散离散系统主要参数及特性（系统主要参数及特性（1）)()()()()()()()()(21212211nynynxnxTnynxTnynxTny则：，如果)()()()(knxTknynxTny则：如果曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散离散系统主要参数及特性（系统主要参数及特性（2）同时满足线性和移不变性的系统称为线性移不变系同时满足线性和移不变性的系统称为线性移不变系统，即统，即LSI系统系统(Linear Shift Invariant)LSI系统的一个重要特性，是它的输入与输出序系

21、统的一个重要特性，是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系列之间存在着线性卷积关系设设x(n)是线性非移变系统的输入，是线性非移变系统的输入，y(n)是对应的是对应的输出。当输入为输出。当输入为(n)时，则输出为系统的单位冲时，则输出为系统的单位冲激响应激响应曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSILSI系统与线性卷积系统与线性卷积kknkxnx )()()(系统输入系统输入线性非移变线性非移变 系统输出系统输出 )()()()(kknkxTnxTny)(*)()()( )()()(nhnxknhkxknTkxnykk曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散卷积的计算离散卷积的计算)(*)

22、()()()(nhnxknhkxnyk曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散卷积的计算（图解）离散卷积的计算（图解）x(k)h(k)1.卷2.移2.移3.积曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院离散卷积运算规律：离散卷积运算规律：(1)交换律交换律 )(*)()(*)()()()()()(nxnhnhnxmhmnxknhkxnymk实际计算卷积时，固定较长的序列，卷实际计算卷积时，固定较长的序列，卷-移移-积较短的序列积较短的序列曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院(2)结合律结合律级联系统的特性级联系统的特性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院(3)分配律分配律并联系统的特性并联系统的特性曹

23、佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSILSI系统的线性放大特性系统的线性放大特性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSILSI系统的加和特性系统的加和特性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSILSI系统的非移变特性系统的非移变特性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSILSI系统通过正弦信号系统通过正弦信号 输入纯粹单频正弦信号，输出纯粹单频正弦信号输入纯粹单频正弦信号，输出纯粹单频正弦信号 输出信号幅值有变化 输出信号相移有变化 频率及波形保持不变曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院)(nx)(nxT)(ny单位延迟单位延迟x(n)b(0)x(n-1)y(n)x(n-2)b(2)b

24、(1)离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程)2()2() 1() 1 ()()0()(nxbnxbnxbny曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院)2()2() 1() 1 ()()0()(nxbnxbnxbny单位冲激响应：单位冲激响应：)2()2() 1() 1 ()()0()(nbnbnbnh202)2(1) 1 (0)0(00)(nnbnbnbnnh单位冲激响应有限长单位冲激响应有限长有限冲激响应（有限冲激响应（Finite Impulse Response, FIR)系统系统曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院无限冲激响应（无限冲激响应（Infinite Impulse Res

25、ponse, IIR)系统系统)() 1()(nxnayny)() 1()(nnahnh02) 1 (1)0(01)0() 1(00)(2nanaahnaahnahnnhn由于包含了由输出到输入的反馈，因此单位冲激响应由于包含了由输出到输入的反馈，因此单位冲激响应无限长无限长0) 1(h初始条件：曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院IIR FIRt0tktk+1tk+2tk+3Used dataUsed dataUsed dataUsed dataUsed dataUsed dataUsed dataUsed datatktk+1tk+2tk+3FIR vs. IIR曹佃国 2010年秋曲师大

26、自动化学院FIR vs. IIRIIR优点优点较少的内存及计算量，就可获得较好的滤波效果缺点缺点有反馈可能不稳定数字计算位数有限可能导致噪声DSP实现有难度相位非线性FIR优点优点很容易实现线性相位无反馈，稳定DSP容易实现缺点缺点较大的内存及计算量，才能获得较好的滤波效果延迟时间长曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院小结小结 连续时间系统最基本的数学模型是它的连续时间系统最基本的数学模型是它的微分方程式微分方程式 离散时间系统最基本的数学模型是它的离散时间系统最基本的数学模型是它的差分方程式差分方程式 信号通过系统，输出信号为输入信号与信号通过系统，输出信号为输入信号与系统单位冲激响应函数的

27、卷积系统单位冲激响应函数的卷积曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院第2章 系统的数学模型数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和方框图和信号流图信号流图状态空间模型状态空间模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(jjststdsesFjtfdtetfsF)(21)()()(0连续时间系统的频域模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院nnnnmmmmasasasabsbsbsbsGsXsY 11101110)()()(nnnnmmmmajajajabjbjbjbjG)()()()()()

28、()(11101110系统系统微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数拉拉氏氏变变换换与与反反变变换换傅氏变换与反变换傅氏变换与反变换pjjs ps 图1-6图1-6)x(t)bpbpbp (btyapapapamm-mmnnnn 11101110 )()(dtdp 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院玩具火车：玩具火车：火车头火车头1+车厢车厢1 火车仅沿单方向运动，希望通过控制，使火车启动/停止平稳且运行速度稳定。火车头质量： M1车厢质量：M2M1与M2通过弹簧连接，弹簧刚度系数k火车引擎拉力：F滚动摩擦系数 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院112111)(xgMxxkFxM

29、 222122)(xgMxxkxM 建立物理模型，根据牛顿定律建立物理模型，根据牛顿定律 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院定义输入量：定义输入量：F 输出量：火车头速度输出量：火车头速度 1xv112111)(xgMxxkFxM 222122)(xgMxxkxM )()()()()(1121121sgsXMsXsXksFsXsM)()()()(2221222sgsXMsXsXksXsM玩具火车例曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院kgsMsMskXsX22212)()()()(1122221sXgsMkgsMsMkksMsF)()(2)()()()(21221212213212221MMg

30、ksgMMkMkMgsMMsMMkgsMsMsFssXsFsY曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院玩具火车参数 M1 = 1 kg M2 = 0.5 kg k = 1 N/sec F= 1 N = 0.002 sec/m g = 9.8 m/s2 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Matlab程序num=M2 M2*u*g k;den=M1*M2 2*M1*M2*u*g M1*k+M1*M2*u*u*g*g+M2*k M1*k*u*g+M2*k*u*g; step(num,den) 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院由于因果信号及因果系统的抽样响应由于因

31、果信号及因果系统的抽样响应h(n)在在n0时恒为时恒为零，因此实际的物理信号对应的都是单边零，因此实际的物理信号对应的都是单边Z变换变换nnznxzX)()(0)()(nnznxzX离散时间系统的频域模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院)()()()()(snsnsssnTtnTxnTttxnTx对对x(t)抽样抽样)()()()()()()()(sssTsnTsstsnsstsnsstsseXenTxdtenTtnTxdtenTtnTxdtenTxsX曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院令：令：ssTez 1sTnznxzX)()(与与Z变换变换定义相同定义相同js拉普拉斯变量：拉普拉斯

32、变量：f2连续系统连续系统/信号的信号的角频率（角频率（rad/s)令：令：sTersTjrez 离散系统离散系统/信号的信号的圆周频率（圆周频率（rad)r=1对应对应s平面平面的虚轴，的虚轴，z平面平面的单位圆的单位圆曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院s-planes-planez-planez-planej0Im(z)Re(z)4222432s0对应关系曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院对应关系 s平面的平面的j 轴映射为轴映射为z平面上的单位圆平面上的单位圆 仅当仅当s在在j 轴上取值或轴上取值或Z变换在单位圆上取值时，变换在单位圆上取值时，F.T/L.T/Z.T之间才可以互相演变

33、之间才可以互相演变 由由s平面到平面到z平面的映射不是唯一的平面的映射不是唯一的ssffT/2 轴上的轴上的2 所对应的实际频率为采样频率所对应的实际频率为采样频率fs曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Z变换与系统性质变换与系统性质 在在Z平面单位圆上计算出的系统函数就是系统的频率响应平面单位圆上计算出的系统函数就是系统的频率响应 一个一个LSI系统稳定的充分必要条件是系统函数系统稳定的充分必要条件是系统函数H（z）的收）的收敛区域包含单位圆敛区域包含单位圆 一个一个LSI系统因果的充分必要条件是系统函数在系统因果的充分必要条件是系统函数在 也收敛也收敛 一个稳定的因果系统的系统函数的收敛区

34、域应包含一个稳定的因果系统的系统函数的收敛区域应包含1 |z| 一个稳定因果系统的系统函数的全部极点必须在单位圆内一个稳定因果系统的系统函数的全部极点必须在单位圆内曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性 21zzzH 21jjeezH 12111zzH-3-2-101230.511.52abs(H)-3-2-10123-1-0.500.51Wangle(H)-10-8-6-4-202468100.511.52Periodicity of the frequency response of a discrete-time systemabs(H)-10-8-

35、6-4-20246810-1-0.500.51Wangle(H)曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.5/H()-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-202468/|H()|, dB数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性频率轴以频率轴以 为单位为单位曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Z Z变换的性质变换的性质线性（Linearity）)()()()(2121zbXzaXnbxnax延迟（Delay or shifts）)()()()( zXzmnxzXnxm卷积（Convolution）

36、)()()( )()()(zXzHzYknxkhnyk微分（Differentiation）dzzdXznnxzXnx)()()()( 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院LSI系统的频域模型hnxnyn0)()(nnjjenheH频率响应频率响应0)()(nnznhzH传递传递/转移函数转移函数NkMrrnxrbknykany10)()()()()(差分方程差分方程knhnxknhkxny)()()()()(卷积关系卷积关系曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院差分方程与传递函数akk0Nyn k bkxnkk0M差分方程差分方程H(z) Y(z)X(z)bkzkk0Makzkk0N传递函数传

37、递函数零点零点使分子多项式等于零的使分子多项式等于零的z值值极点极点使分母多项式等于零的使分母多项式等于零的z值值曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院FIR系统差分方程系统差分方程z-1z-1z-1xkSykh0h1h2hN-110 Nmmkxmhky没有反馈，永远稳定！没有反馈，永远稳定！ )1(110 1 1 0 )(NNkkkkzNhzhhzkhzkhzH曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院IIR系统差分方程系统差分方程存在反馈，需要考虑存在反馈，需要考虑稳定性稳定性曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院线性相位 设一个离散时间系统的幅频特性等于设一个离散时间系统的幅频特性等于1，而相，而

38、相频特性具有线性相位（相移与频率成正比）：频特性具有线性相位（相移与频率成正比）：keHj)(argjkeXjjeXeHjjjjjeeeXeeXeXeHeYjjj)(arg)(arg)(arg)()()()()(kzzXzY)()()()(knxny曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统不失真测量条件系统不失真测量条件 设测试系统的输出设测试系统的输出y(t)y(t)与输入与输入x(t)x(t)满足关系满足关系 y(t)=Ay(t)=A0 0 x(t-tx(t-t0 0) ) 该系统的输该系统的输出波形与输入信出波形与输入信号的波形精确地号的波形精确地一致，只是幅值一致，只是幅值放大了放大了

39、A A0 0倍，在倍，在时间上延迟了时间上延迟了t t0 0而已。这种情况而已。这种情况下，认为测试系下，认为测试系统具有不失真的统具有不失真的特性。特性。t tA Ax(t)x(t)y(t)=Ay(t)=A0 0 x(t)x(t)y(t)=Ay(t)=A0 0 x(t- tx(t- t0 0) )时域条件时域条件曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院概念概念:为什么老人不爱听年轻人的音乐？为什么老人不爱听年轻人的音乐？传递函数传递函数:测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况。测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况。A曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院零相位LSI系统H(z) e2 j 2

40、ej 32eje2j 2cos(2) 4cos()3差分方程？相位？因果？差分方程？相位？因果？曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院线性相位LSI系统) 3)cos(4)2cos(2()232()()(22222jjjjjjdeeeeeezHzzH差分方程？因果？相位？差分方程？因果？相位？曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院线性相位LSI系统)5cos(.3)5 . 1cos(4)5 . 2cos(2()2332(3332)(5 . 25 . 25 . 15 .5 .5 . 15 . 25 . 254320jjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeezH曹佃国 2010年秋曲师大

41、自动化学院思考 FIR 的缺点是什么？曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院概念h(t)T0-T0t理想的滤波器是不可能实现的曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院第2章 系统的数学模型数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和方框图和信号流图信号流图状态空间模型状态空间模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院+ + +H H( (s s) )- -+ +R R( (s s) )E E( (s s) )B B( (s s) )N N( (s s) )打打开开反反馈馈)(1sG)(2sGC(s)开环传递函数开环传递函数 假设假设N(s)=0

42、N(s)=0 主反馈主反馈信号信号B(s)B(s)与误差信号与误差信号E(s)E(s)之比。之比。)()()()()()()(21sHsGsHsGsGsEsB闭环传递函数闭环传递函数 Closed-loop Transfer FunctionClosed-loop Transfer Function 假设假设N(s)=0N(s)=0，输出信号，输出信号C(s)C(s)与输入信号与输入信号R(s)R(s)之比。之比。开环传递函数前向通路传递函数1)()(1)()()(sGsHsGsRsC曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院玩具火车闭环响应G(s)F(s)sX1(s)()(2)(212212122

43、1321222MMgksgMMkMkMgsMMsMMkgsMsMsG曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院玩具火车闭环响应)()(2)(2122121221321222MMgksgMMkMkMgsMMsMMkgsMsMsGkMMgksgMgMMkMkMsMgMMsMMkgsMsMsGsGsFssX)()()2()(1)()()(2122212122213212221曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院玩具火车闭环响应Time (sec.)AmplitudeStep Response05101500.20.40.60.811.21.4From: U(1)To: Y(1)曹佃国 2010年秋曲师大自

44、动化学院 小结小结 方框图表示了系统的输入和输出变量之间的因果关系以及系统内部变量所进行的运算。是控制工程中描述复杂系统的一种有效方法。 要求熟练掌握实际物理系统方框图的绘制方法及其简化。曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院第2章 系统的数学模型数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和方框图和信号流图信号流图状态空间模型状态空间模型曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间模型1、基本概念基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、传递矩阵、传递矩阵曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院1

45、、基本概念 状态状态 状态变量状态变量 状态向量状态向量 状态空间状态空间曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间表达式基本概念运动微分方程运动微分方程)()()(tfkxtxbtxm 系统传系统传递函数递函数假定：系统输入为假定：系统输入为f（t），输出为），输出为x（t），解方程），解方程二阶微分方程，需要2个初始条件才能得到唯一解系统的状态需要两个变量才能描述重写系统的运动微分方程)()( , )(000txtvtx)( , )(21txxtxxmfmbmkxxtxxxtxx21221)( )( 系统的输出1)(xtxy曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间表达式基本概念 微分

46、微分/差分方程差分方程 由物理模型推导出数学模型的起点 一阶微分一阶微分/差分方程差分方程 更方便、简单、容易用计算机计算 状态空间表达式状态空间表达式 一阶微分/差分方程组（矩阵） 高阶变量用多个变量表示（向量） 方程组的解是向量 是时间的函数 含有确定系统动态过程的全部信息 称为系统的状态变量 在多维空间表达系统动态变化轨迹211212101010 xxyfxxxxdtdmmbmkmfmbmkxxtxxxtxx21221)( )( 1)(xtxy)()()(tfkxtxbtxm 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态：状态：已知未来输入情况下，对确定未来行已知未来输入情况下，对确定未来行

47、为所必要且充分的变量集合为所必要且充分的变量集合确定系统运动状况的最少数目的一组变量。只要确定系统运动状况的最少数目的一组变量。只要知道了这组变量在知道了这组变量在 时的值，以及时的值，以及 时系统的输入时系统的输入 ，那么系统在，那么系统在 时的时的运动状况就可以完全确定。运动状况就可以完全确定。系统在系统在 时刻初始条件的总合时刻初始条件的总合 就是系统在就是系统在 时的状态时的状态0tt)(),( ),(00201txtxtxn0t0tt)(tu0tt0tt曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院简单机械系统的状态（例）系统在系统在 t=0 时刻的状态时刻的状态:)0()0( , )0(xv

48、x)( , )(tvtx系统在系统在 t 0 时刻的状态（运动状况）：时刻的状态（运动状况）： 单纯从输入量F(t0,)无法确定M在t0以后的运动状况 除非知道x(t0)与v(t0) x(t0)与v(t0)是该系统的过去历史总结，可以作为系统的状态运动微分方程运动微分方程)()()(tfkxtxbtxm 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院（2)系统响应和系统状态之间的关系系统响应和系统状态之间的关系y(t)u(t)00 )(),()(tttutxty )(),()(000tutxty000201 )(),(,),(),()(tttutxtxtxtyn0tt 在在时时任意时刻任意时刻 )(),

49、()(tutxty在任意时刻在任意时刻t，系统的响应，系统的响应y(t)完全可以由该瞬时的系完全可以由该瞬时的系统状态统状态x(t)和该瞬时的系统输入和该瞬时的系统输入u(t)确定确定)(,),(),(00201txtxtxn)(0tx曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院l定义：定义：l构成控制系统状态的变量，即能完全描述系构成控制系统状态的变量，即能完全描述系统行为的最小变量组中的每一个变量。统行为的最小变量组中的每一个变量。状态变量并非唯一状态变量并非唯一选用的状态变量不一定在物理上能观能控选用的状态变量不一定在物理上能观能控在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量在最优控制中，通常

50、选用物理上能观能控的状态变量如果完全描述控制系统的最小变量组为如果完全描述控制系统的最小变量组为n个变量个变量 x1(t), x2(t), x3(t), , xn(t)则该系统就有则该系统就有n个状态变量个状态变量（3)状态变量状态变量曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院简单机械系统的状态（例）状态变量状态变量:用状态变量表达的系统用状态变量表达的系统:运动微分方程运动微分方程)()()(tfkxtxbtxm )()(21txxtxxmfmbmkxxxxx21221 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院（4)状态向量状态向量l设系统状态变量为设系统状态变量为x1(t), x2(t), x3(t

51、), , xn(t), 那么这那么这n个状态变量所组成的个状态变量所组成的n维向量，就叫维向量，就叫做状态向量。做状态向量。)()()()()(321txtxtxtxtxn曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院（5)状态空间状态空间定义：以状态变量定义：以状态变量x1(t), x2(t), x3(t), , xn(t)为坐标轴构成的为坐标轴构成的n维空间维空间 状态空间中的每一个点，对应于系统的某一特定状态状态空间中的每一个点，对应于系统的某一特定状态 系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间中的一个系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间中的一个点来表示点来表示 如果给定了初始时刻如果给定了初始时

52、刻t0的状态的状态x(t0)和和t t0 时的输入函时的输入函数，随着时间的推移。数，随着时间的推移。x(t)将在状态空间中描绘出一将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为条轨迹，称为状态轨迹状态轨迹。曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、传递矩阵曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院2、状态空间表达式状态方程：状态方程：系统的系统的r个输入变量为个输入变量为u1(t), u2(t), ur(t) m个输出变量为个输出变量为y1(t), y2(t), ym(t), 系统的状态变量为系统的状态变量为 x

53、1(t), x2(t), , xn(t)把系统的状态变量与输入变量之间的关系用一组把系统的状态变量与输入变量之间的关系用一组一阶微一阶微分方程分方程来描述，即为系统的状态方程来描述，即为系统的状态方程rnrnnnnnnnrrnnrrnnububxaxaxaxububxaxaxaxububxaxaxax112211212122221212111112121111曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态方程状态方程矩阵形式矩阵形式rnrnrnnnnnnnnuubbbbxxxaaaaaaaaaxxxdtd111112121222211121121rnRuRxtutBtxtAtx ，)()()()()

54、( 没有输出变量！没有输出变量！曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院系统的输出方程系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式称为系统的输出方程表达式称为系统的输出方程状态方程和输出方程总合起来，构成对系统动态行为状态方程和输出方程总合起来，构成对系统动态行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式的完整描述，称为系统的状态空间表达式mRytutDtxtCty ，)()()()()(曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间表达式)()()()()()(tDutCxtytButAxtxdtd状态方程状态方程 输出方程输出方程 状态空间状态空间表达

55、式表达式 121)()()()(nntxtxtxtx121)()()()(rrtutututu121)()()()(pptytytyty状态向量状态向量 状态变量状态变量 r- input p- output nnArnBnpCrpD121)0()0()0()0(nnxxxx曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院112111)(xgMxxkFxM 222122)(xgMxxkxM 222122211121111/ )(/ )(gvMxxkvvxMFgvMxxkvvx状态方程状态方程曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院1xy输出方程曹佃国 2010年秋曲师大自动

56、化学院玩具火车参数 M1 = 1 kg M2 = 0.5 kg k = 1 N/sec F= 1 N = 0.002 sec/m g = 9.8 m/s2 曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院Matlab程序A= 0 1 0 0; -k/M1 -u*g k/M1 0; 0 0 0 1; k/M2 0 -k/M2 -u*g; B= 0; 1/M1; 0; 0; C=0 1 0 0; D=0;t=0:0.1:300;step(A,B,C,D,1,t)曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院l系统输入量引起系统内部的变化系统输入量引起系统内部的变化状态方程状态方程l系

57、统内部的变化引起系统输出量的变化系统内部的变化引起系统输出量的变化输出方程输出方程曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、传递矩阵、传递矩阵曹佃国 2010年秋曲师大自动化学院)()()(sUsGsY)()()()()()()()()()()()()()()(2121222211121121susususGsGsGsGsGsGsGsGsGsysysypmpmmppm当当p=m=1p=m=1时，传递矩阵时，传递矩阵G(s)成为单输入输出系统的传递成为单输入输出系统的传递函数。因此，传递矩阵函数。因此，传递矩阵G(s)也叫广义传递函数。也叫广义传递函数。G(s)Y(s)U(s)G(s)Y(s)U(s)图图1 1- -1 18 8H(s)B(s)E(s)+-mpsHpmsGpsEpsBmsYpsU反馈通道传递矩阵前向通道传递矩阵误差信号向量反馈信号向量输出信号向量输入信号向量: )(: )(1: )(1: )(1: )(1: )()()()()()()()()()()(sYsHsUsGsBsUsGsEsGsY)()()()()(sUsGsYsHsGI（2）闭环系统的