新人教A版选修2-2：1.7定积分的简单应用

1、§ 1.7定积分的简单应用：教学目标 知识与技能目标1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点 曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1.计算由两条抛物线y2 x和y

2、 x2所围成的图形的面积【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积 的差得到。(0,解：y x x 0及x 1,所以两曲线的交点为 2y x0）、（1, 1）,面积 S=Vxdxx2dx,所以003 1 c 1/_2. ,2 3x1S= （x -x ）dx-x2-=-0330 3【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1 .作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.分基本定理求定积分。巩固练习 计算由曲线y x3 6x和y x2所围成的图形的面积.例2.计算由直线y x 4,曲线y 必以及x轴所围图形的面积 S.分析：首先画出草图（图 1.7

3、 2 ）,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S和S2.为了确定出被积 函数和积分的上、下限，需要求出直线 y x 4与曲线y J2X的交点的横坐标，直线y x 4与x轴的交点.解：作出直线y x 4,曲线y J2X的草图，所求面积为图 1.7 2阴影部分的面 积.解方程组y ,2x, y x 4得直线y x 4与曲线y J2x的交点的坐标为（8,4）.直线y x 4与x轴的交点为（4,0）.因此，所求图形的面积为 S=S+S2I 48 2xdx84(x 4)dx2啦2 8-x |4 32(x4)2 14403由上面的例题可以发现

4、，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.22例3.求曲线y sin x x 0,与直线x 0, x 3322 3答案：s= 3 sin xdxcosx |o3 一02练习1、求直线y 2x 3与抛物线y x2所围成的图形面积。3答案：S= i(2x+3- x2)dx (x2 3x)|31323,x轴所围成的图形面积。2、求由抛物线y x2 4x 3及其在点M (0, 3)和N (3, 0)处的两条切线所围成的图形的面积。略解： y/ 2x 4,切线方程分别为 y 4x 3、y 2x 6 ,则所求图形的面积为X4-2 O2X)/du

5、X 2 K3 -22X6)9 一 4=33d3、求曲线y log 2 x与曲线y log 2(4 x)以及x轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为1s= 0【g(y)f(y)dy1(4 2 2y )dyo(4y2 2y 10g 2e)04 21og 2 e4、在曲线y2 ，x (x 0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112试求：切点A的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为 (x0,x02),则切线方程、, 一2.为y 2x°x xo ,切线与x轴的交点坐标为x0(万，0)冬 cx0 c,则由题可知有S 2 x2dxx0 (x2 2x0x0-2A2、

6、xo )dxxxo11212X01 ,所以切点坐标与切线方程分别为A(1,1), y2x 1f (x)与直线X1、定积分的几何意义是：在区间a,b上的曲线ybx b以及x轴所围成的图形的面积的代数和，即f(x)dx Sx轴上方一Sx轴下方.a因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数y sin x x 0,2 的图像与x轴围成的 图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：(1) 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2) 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限;(3) 确定被积函数；

7、(4) 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：(1) x型区域：由一条曲线y f(x)(其中f(x) 0与直线x a, x b(a b)以及x轴所围成的b曲边梯形的面积：S= f(x)dx (如图(1)； a由一条曲线 y f(x)(其中f(x) 0与直线x a, x b(a b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积:bS= f(x)dx = abf(x)dx (如图(2);a由两条曲线 y f(x), y g(x)(其中f(x) g(x)与直线x a, x b(a b)所围成的曲边梯形的面积:bS= | f (x) g(x)|dx (如图(3)； a(

8、2) y型区域:由一条曲线 yf(x)(其中x 0)与直线y a, y b(a b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf (x)得 xbh(y),然后利用 S= h(y)dy求出(如图(4)；a由一条曲线y f(x)(其中x 0)与直线y a, y b(a b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf (x)先求出xbbh(y),然后利用 S= h(y)dy= h(y)dy求出aa(如图(5)；由两条曲线yf (x), y g(x)与直线 y a, y b(ab)所围成的曲边梯形的面积，可由y f(x), y g(x)先分别求出x h1(y),x h2(y),然后利用bS= | h1(y)

9、h2(y)|dy 求出(如图(6)；图(6)2 .求平面曲线的弧长设曲线AB方程为y f(x)(a x b),函数f(x)在区间a,b上可导，且f'(x)连续, 则曲线AB的弧长为b .2l a，1 f (x) dx.3 .求旋转体的体积和侧面积由曲线y f (x),直线x a, x b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴 旋转而成的旋转体体积为b2V af(x) dx.a其侧面积为S侧 2 bf(x) j-f'(x)2dx.a(二)、定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数 v=v (t) ( v0)在时间区间a,b上

10、的定积分，即bs a v(t)dt例4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 3所示.求汽车在这1 min行驶的路程.解：由速度时间曲线可知:3t,0 t 10,v(t) 30,10 t 401.5t 90,40 t 60.因此汽车在这1 min行驶的路程是：104060s 3tdt 30dt ( 1.5t 90)dt010403 2 10_4032_60_-t |o30t|io( -t90t) |401350(m)24答：汽车在这1 min 行驶的路程是1350m .2.变力作功一物体在恒力 F (单位：ND的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移(单位：m),则力F所作的功为 W=F

11、s.探究如果物体在变力 F(x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x)相同的方向从x =a移动到x=b (a<b),那么如何计算变力 F(x)所作的功 W呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题.可以得到bW F(x)dxa例5.如图1 7 4 ,在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功.解：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F ( x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度x成正比，即F ( x ) = kx ,其中常数k是比例系数.由变力作功公式，得到1 1 2 l 12W kxdx x2|0 kl2(J

12、)0221 2答：克服弹力所作的功为-kl2J .2例6. A、B两站相距7.2km, 一辆电车从 A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点， 这一段的速度为1.2t(m/s),至ij C点的速度为24m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶，从 D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.2t ) m/s,在B点恰好停车，试求(1) A C间的距离；(2) B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(v>0)在时间区b间a,b上的定积分，即S= v(t)dta20o on略解：(1)设 A到 C 的时间为 t1 则 1.

13、2t=24, t1=20(s),则 AC= 0 1.2tdt 0.6t2 |20 240(m)(2)设 D到 B 的时间为 t21 则 24-1.2t 2=0, t 21=20(s),20则 DB= ° (241.2t) dt 0.6t2 |20 240(m)(3)CD=7200-2 240=6720(m),则从 C到 D的时间为 280(s),则所求时间为 20+280+20=320 (s)例3:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长 6cm需做功(A )A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J6略解：设F kx ,则由题可得k 0.01 ,所以做功就是求定积分0.01xdx 0.18。0练习：四：课堂小结本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用， 以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种