三角函数总结大全(整理好的)

1、三角函数（一）任意角的三角函数及诱导公式1. 任意角的槪念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一 条射线由原来的位置绕着它的端点0按逆时针方向旋转到终止位置03,就形成角&。 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，03叫终边，射线的端点O叫做叫Q的顶点。为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转 所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。2. 象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外） 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角

2、的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k n （kez）,即 p e 0 | p=2kn + a , kez）,根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都 相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如a e a=竺。6 6 6 63. 弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 rad ,或1弧度，或1（单 位可以省略不写）。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-口，- 2口等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由 角的

3、旋转方向来决定。角a的弧度数的绝对值是：阀=,其中，I是圆心角所对的弧长，r是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住180=灯曲。弧度与角度互换公式：ad = !=57 18 ;1 =丄 (rad)o弧长公式：/=lalr (&是圆心角的弧度数)；扇形面积公式:180S = I r = - a r2 o2 2/xrcota = ; seca =;4三角函数的定义：以角。的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a 的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为 r(r = yj x I2 +1 y I2 = yjx2 + y2 0), 那么sina = ; cosa =

4、丄； tan a =; rrx利用单位圆定义任意角的三角函数，设&是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Pgy),那么：a1IIIIIIVsina+COSa+tana+X(1) y叫做a的正弦，记做sin a ,即cot a+sina = y ；(2) x叫做a的余弦，记做cos a ,即cosq = x ；(3)丄叫做a的正切，记做tana,即tana = (xO) oxx5. 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值上对于第一、r二象限为正(，0,/(),对于第三、四象限为负(y0);余弦值丄对于第一、四 r象限为正(x0“0),对于第二、三象限为负

5、(xv0“0);正切值上对于第一、三象X限为正同号)，对于第二、四象限为负(x,y异号)说明：若终边落在轴线上，则可 用定义求出三角函数值。6. 三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用 三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意： 这个单位长度不一定就是1厘米或1米)。当角a为第一象限角时，则其终边与单位圆必 有一个交点P(x,y),过点P作PM丄x轴交;i轴于点M ,根据三角函数的定义： I MP l=l y l=l sin al; IOM

6、曰 xl=l cos a I。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角&的终边不在坐标轴时，以0 为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标这样，无论那种情况都有OM =x = cosa同理，当角&的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与，轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴 反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的横坐标。这样，无论那种情况都有MP=y = sinao像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做 有向线段

7、。如上图，过点A（l,0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于，轴，设它与&的终边交于 点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段Q4、AT f我们有Vtana = AT =x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM. AT,分别叫做角a的正弦线、余弦 线、正切线，统称为三角函数线。6 同角三角函数关系式sin2 d+cos2 6?=1 （平方关系）；、山& 二tan a （商数关系）； tan sin a cos a = V2 t2 -同理可以由sin a cos a或sin a cos a推出其余两式。7. 诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限S诱导公式一 ：

8、sin(a + 2;r) = sina , cos(a + 2Rr) = cosa ,其中 丘乙诱导公式二：sin(180 +a) = -sin a ;cos(180 +a) = - cos a诱导公 式三：sin(-a) = -sina ;cos(-a) = cos a诱导公式四：sin(180 -a) = sina ;cos(180 一a) = -cosa,诱导公式五：sin(360 - a) = - sin a ;cos(360 - a) = cos aaji - a7r+aX _a2kn + a(k e Z)7t _a2s i ns i 2sinasinas i nasinaCOS a

9、cosCOSQcosacos acosacos as i(1) 要化的角的形式为k180 土a(为常整数)；(2) 记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3) sin(kn + a) = (1)ksina ； cos(kn + a) = ( 1)kcos a (kez);(4)sin(x + *cos7t0, o 0）最大值是A + B 9最小值是B-A,周期是T =,频率是/ =,相位是血+ 0,初相 CD2龙是0；其图象的对称轴是直线血+ 0 =炽+彳伙wZ）,凡是该图象与直线y = B的交点都是该2图象的对称中心。6. 由y=sinx的图象变换出y=sin（ a）x+ cp的图象一般有

10、两个途径，只有区别开这两 个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪 种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化， 而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y=sinx的图象向左0）或向右V0 =平移I 0）,便得y=si n （ cux- cp）的图象。CO途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的丄倍（30）,再沿x轴向左0）或向CD右（0o）或向右l）y = sin（x + 0）的图象到原来的厶纵坐标不变）得“sin（处+

11、0）CO /、丹纵坐标伸长（A1）或缩短（OA 得）=人Sin（亦+ （p）向上伙0）或向下伙 + 0）+ R图象先伸缩后平移y = sinx的图象纵坐标伸长（A1）或缩短（OvAvl）、_ A .为原來的a倍（横坐标不变）得y = Asin尢y = Asinx的图象横坐标伸长（OK1）或缩短（少1）到原來的丄（纵坐标不变）CO得 y 二 Asin(ox)向左(00)或向右(0）或向下伙0） 平移W|个单位长度得 y = Asin(a)x +(p) + k 图象例1将心讥的图象怎样变换得到函数7心加的图象.解:（方法一）把y = sin.v的图象沿X轴向左平移彳个单位长度，得尸sin右+吕的图

12、象； 将所得图象的横坐标缩小到原来的丄，得y = sin2x + H的图象；将所得图象的纵坐标伸长2I4丿到原来的2倍，得y = 2sin|2x + 的图象；最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度 得到_y = 2sin| 2a+ +1的图象.（方法二）把）的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sinA-的图象；将所得 图象的横坐标缩小到原来的丄，得y = 2sin2x的图象；将所得图象沿x轴向左平移卫个单位 2X长度得y = 2sin2|x + jj的图象；最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到 y = 2sinj 2x + +1 的图象.说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的.由

13、y = sin2x的图象向左平移三个单位长度得到的函数图象的解析式是v = sin2 x + -而不是y = sin 2x4- ,把丫 = $山x +即的图象的横坐标缩 I 8丿8；I 4丿小到原来的丄，得到的函数图象的解析式是y = sin 2x + 1而不是y = sin2x + .24）4丿对于复杂的变换，可引进参数求解.例2 将）=sin2x的图象怎样变换得到函数y = cos； 2x -扌；的图象.分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数.解 :y = sin 2x = cost - 2x根据题意，有2a-2/- = 2a-，得“248所以将y = sin2x的图象向左平移兰个单位长度

14、可得到函数y = cos2引的图象.84；5.由y=/lsin（d?x+）的图象求其函数式：给出图象确定解析式产力sin（9対炉）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（一0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。8. 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注 意久的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；9. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成y = Asin(Qr + )、y = Acos(tyx+0) ”的形式，在利用周期公式，另 外还有图像法和定义法。10. 五点法作/=/4sin (的简图：五点取法是设0

15、3)&申，由x取0、仝、口、空、2ti来求相应的x值及对应的卩值,2 2再描点作图。(三) 三角恒等变换1 .两角和与差的三角函数sin(tz P) = sinacos/?cosorsinp ； cos0) = cosacos0车sinasin/7 ； tan(a0)=-山上“ -。1 + tan a tan 02. 二倍角公式sin2a = 2sinacosa ; cos2a = cos2 a-siir a = 2cos2 a- = 1 -2sin2 a ;tan2a = - W o1-tan a3. 三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同 角；三角公式的逆用等。(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数 尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函 数。(1)降幕公式.1 . c，1 -cos2 c, b + ca, c + a b, a_b c, b_c 1, 泌=3, cos心宀。sinB b2hc5. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公