2.2圆锥曲线的参数方程

1、2.2圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程（一）椭圆的参数方程（一）椭圆的参数方程【教学目标】 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。选择适当的参数方程，求最值。 情感态度与价值观：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 【重点与难点】 重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法，选择适当的参数方程求最值。 难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程，正确使用参数式来求解最值问题。 为为参参数数） (sincosryrx为为参参数数）

2、 (sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a, b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？012222babyax椭圆为参数sincosbyax的意义?椭圆的参数方程椭圆的参数方程参考参考 设：设：22cossin1cossinxyabM如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a, b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的

3、交点,过点过点A作作ANOx,垂足为垂足为N,过点过点B作作BMAN,垂足为垂足为M,xOyANB设以设以Ox为始边，为始边，OA为终边的角为为终边的角为，点点M的坐标是的坐标是(x, y)。那么点那么点A的横坐标为的横坐标为x，点，点B的纵坐标为的纵坐标为y。由于点由于点A, B均在角均在角的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:yNMxON)(sincos为参数为参数的参数方程为的参数方程为 byaxM这是中心在原点这是中心在原点O,焦点在焦点在x轴上的椭圆的参数方程。轴上的椭圆的参数方程。 0,2 )|OA|cos acos 为参数sincosbyax|OB|sin b

4、sin OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1bya2222 x椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :xyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是MOX=M椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=, 不是不是MOX=.为参数sincosbyax【练习练习】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数

5、方程化为普通方程2264100(4)1yx22925(3)1yx探究 椭圆规是用来画椭圆的一种器械椭圆规是用来画椭圆的一种器械, ,它的构造如下它的构造如下你能说明椭圆规你能说明椭圆规构造原理吗构造原理吗? ?设M(x,y)，则有ABMxyab x=acos y=bsin ( 为参数为参数)是椭圆的参数方程是椭圆的参数方程例例1、在椭圆在椭圆 上求一点上求一点M，使，使M到直到直 线线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小. 并求出最小距离。并求出最小距离。14922yx为参数,sin2,cos3yx解：因为椭圆的参数方程为所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)10cos551 51

6、054sin53cos5 510sin4cos30d当-0=0时,d取最小值54sin,53cos 00其中.58sin2sin2,59cos3cos30058,59位于当点M点M与直线x+2y-10=0的距离取小值)(sin2cos3为参数为参数 yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233( yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy 练习、练习、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形，求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。 练练习习 已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴与坐标轴正半轴的两个交点正半轴的两个交点,在第一象限的

7、椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四使四边形边形OAPB的面积最大的面积最大.中中点点轨轨迹迹方方程程。上上各各点点连连线线的的为为参参数数和和椭椭圆圆、求求定定点点)(sincos)0 ,2(3 byaxa 144)(2222 byaax得得上述的方程消去参数，上述的方程消去参数，),(yxM点点连连线线的的中中点点为为解解：设设定定点点与与椭椭圆圆上上的的)(2sin2cos2为参数为参数则则 byaax 的坐标为的坐标为，则点，则点的倾斜角为的倾斜角为为原点为原点，上一点，且在第一象限上一点，且在第一象限为参数为参数是椭圆是椭圆、POOPyxP3)()(sin32cos44

8、)1554,554( 、B)3 , 4( 、D( )B),3 , 2( 、A),3,32( 、C5154sin32,554cos4 yx33tan3 OPkOP的倾斜角为的倾斜角为解：解： 3cos4sin32 xykOP又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且点且点又又P, 1cossin22 552sin,55cos （二）双曲线的参数方程（二）双曲线的参数方程类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究双曲线的参数方程0, 012222babyax以原点以原点O为圆心，为圆心，a,b(a0,b0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C1,C2.MOAABB设设A为圆为圆C1上任一点上任一

9、点,作直线作直线OA,过点过点A作圆作圆C1的切线的切线AA 与与x轴交于点轴交于点A ,过过C2与与x轴的交点轴的交点B作圆作圆C2的切线的切线BB 与直线与直线OA交于点交于点B .过点过点A ,B 分别作分别作y轴轴,x轴的平行线轴的平行线A M,B M交于点交于点M设设Ox为始边为始边,OA为终边的角为为终边的角为 ,点点M的坐标是的坐标是(x,y)A( ), B( ),A( )x, 0b, yacos,asin.sin,cos,sin,cosaaxAAaaOA0 AAOA 0sincoscos2aaxacosax MOAABBsec,seccos1ax 则记因为点因为点B在角在角 的

10、终边上的终边上,由三角函数的定义有由三角函数的定义有bytantanby 点点M的参数方程为的参数方程为为参数tansecbyax0,2),且,MOAABB 有什么意义有什么意义? ?参数参数 是点是点M对应的圆的半径对应的圆的半径OA的旋转角的旋转角(称为点称为点M的的离心角离心角)sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2 )22通常规定且，。说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的的倾斜角不同倾斜角不同. 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒与三角恒等式等式 相比较而得到，

11、所以双曲线的相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换参数方程的实质是三角代换.22221xyab22sec1tan baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程seccosaa例例 1 如图如图,设设M为双曲线为双曲线0,1222babyax上任意一点上任意

12、一点,O,O为原点为原点,过点过点M作双曲线两渐近线的平行线作双曲线两渐近线的平行线,分别与分别与两渐近线次于两渐近线次于A,B两点两点.探求平行四边形探求平行四边形MAOB的面的面积积,由此可以发现什么结论由此可以发现什么结论?解解:双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xaby设设M为双曲线右支上一为双曲线右支上一点点,其坐标为其坐标为(asec ,btan )直线直线MA:sectanaxabbytansec2axAtansec2axBabAOxtan,则设MAOB的面积为22tan2 2sincos4tansec 2sincoscos sin2|222222MAOBababaaaxx

13、OBOASBAMAOB的面积恒为定值222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例 、已知圆上一点与双曲线上一点，求 、两点距离的最小值例例2),tan,sec( aaB)tan,sec( aaA 则则222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程, 画出方程的曲线画

14、出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:的两个焦点坐标。的两个焦点坐标。、求双曲线、求双曲线 tan34sec323 yx( 2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为4（三）抛物线的参数方程（三）抛物线的参数方程抛物线的参数方程回顾以时刻t作参数的抛物线的参数方程x=100ty=500gt2gtt10000,且为参数一般的抛物线的参数方程又是怎样?M(x,y)Oxyy2=2pxM M( (x,yx,y) )为抛物线上除顶为抛物线上除顶点外的任意一点点外的任意一点, ,以射线以

15、射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作 取取 为参数求抛物线的参数方程为参数求抛物线的参数方程tanxy为参数 tan2tan22pypx不包括顶点 则有如果令, 00 ,tan1tt为参数tptyptx2,22t=0t=0时时, ,由参数方程表示的点是抛物线的顶点由参数方程表示的点是抛物线的顶点(0,0)(0,0)t(-,+)时时,参数方程表示整条抛物线参数方程表示整条抛物线.t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数点连线的斜率的倒数.)0(22 ppxy1, 0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即),(,yxBAM的坐

16、标分别为的坐标分别为解：设点解：设点)0,)(2 ,2(),2 ,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2 ,2(),2 ,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 则则)(2),(2(122122ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因为因为三点共线，三点共线，且且BMAyptxptMB,)2 ,2(222 , 0, OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx, 0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxAM 的轨迹方程的轨迹方程这就是点这就是点即即Mxpxyx)0(0222 )2)

17、(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化简，得化简，得02)( xpxyy.42pAOB的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p 轴对称时，轴对称时，关于关于，即当点，即当点当且仅当当且仅当xBAtt,21 2121212121212121,1,)(,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直线的斜率是所在直线

18、的斜率是则弦则弦所对应的参数分别是所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点上异于原点的不同两点为参数为参数、若曲线、若曲线212221212122221ttptptptptkMM 的轨迹方程。的轨迹方程。的中点，求点的中点，求点为线段为线段点点，上的动点，给定点上的动点，给定点为抛物线为抛物线、设、设PMMPMxyM002)0 , 1(22 C练习练习，和和别是别是两点对应的参数方程分两点对应的参数方程分解：由于解：由于2121,ttMM的坐标分别为的坐标分别为和和则可得点则可得点21MM，)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptMptptM。平平分分线线段段所所以以抛抛物物线线的的顶顶点点的的中中点点为为原原点点因因为为DEODE),0 , 0(),2 ,2)(2 ,2(,222121ptptptptBA的的坐坐标标分分别别为为证证明明：设设点点)2,2(222ptptC