第12.2节 一阶常系数线性差分方程

1、一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为.)(1tfayytt (1)(1) 其中其中a 为非零常数，为非零常数，f(t )为已知函数此方程对应的齐次方程为已知函数此方程对应的齐次方程为为.01 ttayy(2)(2) 由常系数线性差分方程通解结构定理知，一阶常系数非由常系数线性差分方程通解结构定理知，一阶常系数非齐次线性差分方程的通解是由该方程的一个特解以及相应齐齐次线性差分方程的通解是由该方程的一个特解以及相应齐次方程通解的和构成次方程通解的和构成. .将方程将方程(2)(2)改写为改写为,1ttayy .2 , 1 ,0 t 假设在初始时刻时函数的取值为任意常

2、数，假设在初始时刻时函数的取值为任意常数，即即 ，则通过逐次迭代可得则通过逐次迭代可得aCayy 01Caayy212)( Caayy323)( 由此归纳可得齐次方程由此归纳可得齐次方程(2)(2)的通解为的通解为,)(ttaCy ., 2 , 1 , 0 t(3) Cy 0 例例1 1 求方程求方程 的通解以及满足初始条件的通解以及满足初始条件 的特解的特解 ttCy 41（C为任意常数）为任意常数） 由由 40 y得得,4 C 因此所求的特解为因此所求的特解为.414141 ttty041 ttyy解解 将此方程变形为将此方程变形为 ，因此，因此 ，由公式，由公式(3)(3)知原方程的通解

3、为知原方程的通解为0411 ttyy41 a40 y 第第1 1步步 求相应齐次线性方程求相应齐次线性方程(2)(2)的通解的通解;)(tyc第第2 2步步 求非齐次线性方程求非齐次线性方程(1)(1)的一个特解的一个特解 ;)(ty 第第3 3步步 写出非齐次线性方程写出非齐次线性方程(1)(1)的通解的通解 .)()(tytyyct 上面已经讨论了齐次线性差分方程上面已经讨论了齐次线性差分方程(2)(2)通解通解 的具体的具体求法，下面进一步讨论如何寻找非齐次线性方程求法，下面进一步讨论如何寻找非齐次线性方程(1)(1)的一个的一个特解特解 )(tyc)(ty二、一阶常系数非齐次线性差分方

4、程的通解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 将方程将方程(1)(1)变形为变形为)(1tfayytt ., 2 , 1 , 0 t假设在初始时刻函数的取值为假设在初始时刻函数的取值为0 0，即，即 ，则有，则有)0()0(01ffayy )1()0()()1(12ffafayy )2()1()()0()()2(223ffafafayy 00 y 一般地，由数学归纳法可证得一般地，由数学归纳法可证得)1()2()()1()()0()()(21 tftfafafatytt 10)1()(tkkktfa(4)(4) 为非齐次方程为非齐次方程 的一个特解，因此其通的一个特解，因此其通解为解为)(1

5、tfayytt 10)1()()()(tkktktfaaCty（C为任意常数）为任意常数） 例例2 2 差分方程差分方程 的通解的通解 解解 由于由于 ，因此齐次方程，因此齐次方程 的通解为的通解为31 a0311 ttyytcCty)31()(1 （ 为任意常数）为任意常数）1C 由由(4)(4)可求得非齐次方程的一特解为可求得非齐次方程的一特解为 101101)91(33)31()(tkkttkktkty)13()31(8121 tt 因此原方程的通解为因此原方程的通解为1211381)31()13()31(81)31( ttttttCCytttyy3311 其中其中 为任意常数为任意常数

6、831 CC 事实上，迭代法提供了一种应用计算机软件通过编程事实上，迭代法提供了一种应用计算机软件通过编程求解一阶非齐次线性差分方程特解的算法，而且对非齐次求解一阶非齐次线性差分方程特解的算法，而且对非齐次项项 f (t)的函数类型没有任何限制性的要求但如果要求出的函数类型没有任何限制性的要求但如果要求出一阶非齐次线性差分方程特解的解析表达式，针对某些特一阶非齐次线性差分方程特解的解析表达式，针对某些特定形式的函数定形式的函数 f (t)，用迭代法求其特解就很不方便，计算，用迭代法求其特解就很不方便，计算非常复杂，因此下面进一步介绍另一种简便、有效的求特非常复杂，因此下面进一步介绍另一种简便、

7、有效的求特解方法解方法待定系数法待定系数法 下面就函数为多项式、指数函数、正弦下面就函数为多项式、指数函数、正弦、余弦函数等不同余弦函数等不同 情况，分别讨论求方程的特解的具体方法情况，分别讨论求方程的特解的具体方法情形情形1 1 为为 t 的多项式函数的多项式函数 设设 为关于为关于t的的 m 次多项式，则方程次多项式，则方程(2)(2)相应地变为相应地变为mmtttbtbbayy 101 (5)(5) .0 a)(tfmmtbtbbtf 10)(上式等价于上式等价于mmtttbtbbyay 10)1(（ ）. 0 a 假如假如 是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得)(ty.)1(10m

8、mtttbtbbyay (6) 如果如果 可以为多项式，那么可以为多项式，那么 就是比就是比 低一次低一次的多项式，因此可设特解的待定式为的多项式，因此可设特解的待定式为)(ty)(ty )(ty( () ) 11)(1010atBtBBtatBtBBtymmmm例例3 3 求差分方程求差分方程的通解的通解 解解 首先可求得齐次方程首先可求得齐次方程 的通解为的通解为 （C为任意常数）为任意常数）又由于又由于 ，因此可设非齐次方程特解的待定式，因此可设非齐次方程特解的待定式为为 ，代入原方程，得，代入原方程，得231 ttyy031 ttyytcCty3)( 13 aAty )(,23 AA即

9、即 ，故，故 为原方程的一个特解为原方程的一个特解1 A1)( ty 因此原方程的通解为因此原方程的通解为.13)()( tctCtytyy例例4 4 求差分方程求差分方程 的通解的通解ttyytt5321 解解 首先可求得齐次方程首先可求得齐次方程 的通解为的通解为 （C为任意常数）为任意常数）. .01 ttyyCtyc )( 由于由于 ，因此可设非齐次方程特解为，因此可设非齐次方程特解为 代入原方程，得代入原方程，得1 a.)(2210tbtbbty ( () ).53)() 1() 1() 1(222102210tttbtbbttbtbbt 比较两端多项式的系数，有比较两端多项式的系数

10、，有,1, 1,2210 bbb 因此可求得原方程的一个特解为因此可求得原方程的一个特解为,2)(23tttty 故原方程的通解为故原方程的通解为tttCtytyyct2)()(23 ( (C为任意常数为任意常数).).情形情形2 2 为指数函数为指数函数)(tf 设设 ，其中，其中b、d为非零的常数，且为非零的常数，且d1, ,这时方这时方程程(1)(1)相应地变为相应地变为 . . tbdtf )(tttbdayy 1 假如此方程具有指数形式的特解假如此方程具有指数形式的特解 ，代入原方程，代入原方程得得tAdty )(,)(ttbddaAd 因此可设特解的待定式为因此可设特解的待定式为

11、00)(daAtddaAdtytt例例5 5 利用待定系数法求例利用待定系数法求例2 2的通解的通解 解解 首先可求得齐次方程首先可求得齐次方程 的通解为的通解为 （C为任意常数）；为任意常数）；0311 ttyytcCty 31)(因为因为 ，所以设特解的待定式为，所以设特解的待定式为 ， 代入原方程得代入原方程得tAty3)( 0 da,333131tttAA 解得解得则原方程的一个特解为则原方程的一个特解为,381383)(1 ttty,83 A故原方程通解为故原方程通解为1381)31()()( ttctCtytyy（C为任意常数）为任意常数） 情形情形3 3 为正弦为正弦余弦型三角函

12、数余弦型三角函数.sincos211tbtbayytt )(tf(5)(5) 设设 为方程为方程(5)(5)的一特解，其的一特解，其中中 , , 为待定常数将其代入方程为待定常数将其代入方程(5)(5)中，得中，得tAtAty sincos)(21 2A1A,sincos)sincos()1(sin)1(cos212121tbtbtAtAatAtA 化简上式得化简上式得taAAAtaAAA sin)cossin(cos)sincos(221121 .sincos21tbtb 设设 ，其中，其中 、 、 为常数，为常数， 且且 ， 与与 不同时为零这时方程不同时为零这时方程(1)(1)变为变为t

13、btbtf sincos)(21 1b2b0 1b2b比较等式两边同类项的系数，得方程组比较等式两边同类项的系数，得方程组.)(cossinsin)(cos221121 baAAbAaA .sin)cos(1sin)cos(1122211 babDAbabDA 若若 时，则改设特解的待定式为时，则改设特解的待定式为 ( (其中其中 、 为待定常数为待定常数), ), 将其将其代入方程代入方程(5)(5)中，得中，得)sincos()(21tAtAtty 0sin)(cos22 aD1A2A对此方程组，若对此方程组，若 时，有时，有0sin)(cos22 aD,sincossincos2121t

14、btbtAatAa 比较等式两边同类项的系数有比较等式两边同类项的系数有 ,2211 bAabAa解得解得 .2211 abAabA综上所述，非齐次方程综上所述，非齐次方程(5)(5)特解的待定式为特解的待定式为,0)sincos(0sincos)(2121 DtAtAtDtAtAty 其通解为其通解为,0,)sincos(0,)sincos()(2121 DtabtabtCDtAtAaCytt 其中其中 ,sin)(cos22 aD,sin)cos(1211 babDA .sin)cos(1122 babDA tbtf cos)( tAtAty sincos)(21 tbtf sin)( )sincos()(21tAtAtty 例例6 6 已知级数已知级数 的通项为的通项为求其部分和序列的通项求其部分和序列的通项 1nnU2sin32cos2nnUn , 3 , 2 , 1 n.nS解解 根据前项部分和的定义知根据前项部分和的定义知,11211 nnnnnUSUUUUS 此式可变形为此式可变形为,2)1(sin32)1(cos211 nnUSSnnn2sin22cos31nnSSnn , 3 , 2 , 1 n(6)(6) 此等式是关于的一阶常系数非齐次线性差分方程，其中此等式是关于的一阶常系数非齐次线性差分方程，其中 且且,02sin)cos(22 aD,223