九年一贯课程纲要推动资料 统计与机率

1、九年一貫課程綱要推動資料 統計與機率文件編碼：部編-國中-機統(D)-SCS版本編碼：SCS2.02出版時間：民國95年1月2日出版單位：中正大學數學系 2 問：九年一貫數學學習領域機率與統計國 中階段的教學目標為何？ 答：1、理解統計的意義， 2、理解機率的意義， 3、認識各種簡易統計方法。 註國小階段之教育目標則為： 能報讀簡單統計圖形(長條圖、折線圖、 圓形圖)並理解其概念。 3 問：統計的意義為何？ 答：經由數據(某一變數之量度值)探索某一 群體之資訊。 注意：我們需要的是整個群體展 現之 圖像，而數據(Data)則為 個體特徵之量度值。 說明：國中教學中之群體是針對原 始資料(樣本)

2、，不涉及母 體。 4【例1】 由甲書店各類書籍之銷售量數據了解讀者之喜好， 做為行銷之依據。 a. 所有到甲書店買書的讀者所買之書籍是群體 ，書籍的種類是變數。 b. 書 籍 種 類1.文藝小說2.各國文學3.推理科幻4.自然文學5.武俠小說6.翻譯小說7.繪本文學8.影視小說9.古典文學10.民間文學11.歷史小說12.旅行文學13.奇幻小說 銷 售 數 量(本)1585621175301142351311125104931872055 【例2】 由全班數學成績數據了解學生之學習狀況。 a.全班同學是群體，數學成績是變數。 b. 數學成績表 座號12345678成績5653575354545

3、85座號910111213141516成績8545555555656565座號1718192021222324成績6575753585858545座號252627282930成績4535858585856 問：如何表現群體之資訊？ 答：群體資訊的重點在相互間之比較， 或群體展現之型態，可用變數 的次數分配圖，或相對次數分配圖 表現之。7名詞解釋 一.次數： 群體中變數等於某一值之計數。 【例1續】讀者所買之書籍(群體)中，書籍種類(變數)為 推理科幻類者有 211 本，則 211 即為購買推 理科幻類書籍之次數。 【例2續】全班同學(群體)中，數學成績(變數)考 65 分 的有 5 人，則 5

4、 即為同學數學考65分之次 數。8二、相對次數：群體中變數等於某一值之次數除以群體之總個數。 【例1續】該月銷售總數為 2319，則 211/2319 即為 購買推理科幻類書籍之相對次數。 【例2續】全班共有 30 人，故 5/30 即為班上數學考 65 分之相對次數。 9變數類型之影響 一、變數為類別資料（如：書籍種類）時，其(相對)次數分配圖被稱為長條圖，又因為類別資料無一定之順序，故所做之圖不唯一。 【例1續】 書籍種類銷售數量之次數分配圖10 二、變數為(有序)數值資料時，其(相對)次數分配圖被稱為直 方圖。 【例2續】 數學成績之次數及相對次數表 分數5 15253545556575

5、85次數1 0 0453539相對次數1/30 0/30 0/304/305/303/305/303/309/3011【例2續】整數直方圖：成績(相對)次數分配圖注意：相對次數分配圖與面積和為 1 之機率分佈圖不同0.000.050.100.150.200.250.300.350 102030405060708090100分數相對次數12 問：九年級學統計的層次為何？答：類別資料的各種表示法在六年級以前 已討論過，九年級的統計學習是針對 (有序)數值資料，所以現在我們只針 對有關(有序)數值資料的統計方法做 討論。年級三四五六項目資料長條圖折線圖圓形圖折線圖(有序資料)圓形圖工作整理分組報讀製

6、作報讀製作13教學項目壹(9-d-01)製作直方圖及其折線圖以觀察有序數值資料之三項群體特徵：(1)中心位置(center)0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000123456機率14(2)型態(對稱或偏斜及離群值)0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000123456機率0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000123456機率0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000

7、123456機率15(3)變異狀況(variability)0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000.4000012345678機率16 問：中山國中三年一班有30人，數學考試的 成績只有少數相同，畫出的次數分配圖 中大部分次數都是1，根本看不出訊息， 要怎麼辦呢？ 答：我們可以用分組的方式，來顯現直方圖 的近似型態，由於只是近似 ，故表 示法不唯一，當使用不同之分組方式時 ，結果就會不同。17座號123456789101112131415成績56435783643448283485255586465座號1617181920212223

8、24252627282930成績686970743580808045473384848589 【例3】三年一班數學成績之整數直方圖及 Dot Plot三年一班數學成績表18 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 三年一班各組成績次數表及相對次數表【例3續】 分組(1)：始點為0；組距為20成績相對次數1900.050.10.150.20.250.30.350.40521385572100成績相對次數 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖【例3續】 分組(2) ：始點為5；組距為17 三年一班不同分組法的各組成績次數表相對次數表024681012052

9、1385572100成績次數898920 三年一班不同分組法的各組成績次數表相對次數表 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖分組分數0-1011-2021-3031-4041-5051-6061-7071-8081-90次數100453539相對次數1/300/300/304/305/303/305/303/309/30 【例3續】 分組(3)：始點為0；組距為100123456789100 102030405060708090100成績次數0.000.050.100.150.200.250.300.350 102030405060708090100成績相對次數21【例3

10、續】 三種三年一班成績相對次數分配圖 未分組 分組(1)成績相對次數00.050.10.150.20.250.30.350.40521385572100成績相對次數0.000.050.100.150.200.250.300.350 102030405060708090100成績相對次數 分組(2) 分組(3)8922 問：如何分組才對？答：這是一個很難的問題，通常要靠經驗 及嘗試錯誤才能決定，亦無所謂之正 確答案，故不宜在國中教授。本教材 只針對已分組好的資料做製圖與解讀 之工作。23 問：何謂折線圖？為何需要折線圖？ 答：折線圖是用來還原有序數值資料分佈圖 (直方圖)原有之連續形式(即：sm

11、oothing) 的圖形，由前述之分組方式可看出，例如由 21分到40分之次數都被視為是4，相對次數 均被視為是0.13，但實際上21分到40分之次 數應為連續變化，以直線連接直方圖相鄰兩 區間中點之資料值(如：10分與30分的點)， 即成為折線圖。2400.050.10.150.20.250.30.350.40521385572100成績相對次數【例續】 三年一班各組成績次數分配圖及折線圖(分組1) (分組2) 00.050.10.150.20.250.30.350.4020406080成績相對次數10089(分組3) (未分組)0.000.050.100.150.200.250.300.3

12、50 102030405060708090100成績相對次數25教學項目貳(9-d-02；9-d-03)將資料排序以了解個體在群體中相對地位之情形。【例續】序號12345678910成績533 35 35364344454748序號11121314151617181920成績52555864 646568697074序號21222324252627282930成績7880 80 80828384 84858926 問：如何知道個體在群體中之相對位置？答：用百分位數(Percentile)與百分率 (Percentage)或百分等級Percentile Rank；PR) 。基本上就是排名次。27

13、 問：何謂百分位數(Percentile)與百分率 (Percentage)？ 答：累積相對次數分配以百分率為縱軸之單位 時，分配圖上某一點橫軸之讀值為百分位 數，縱軸之讀值為百分率，表示有百分之 多少(百分率)的資料比該百分位數小或相同 。 注意：百分等級(Percentile Rank；PR) 是百分率整數化之結果，如何 做將說明於後。28 問：何謂累積相對次數分配？答：累積相對次數分配圖又被稱為 經驗分配圖，作法為由零開始 由左而右橫畫直線，當橫軸遇到樣 本點時，圖形即向上跳躍其相對次 數之高度。29【例4】原始資料為21，23，23，26，28，33之累積相對次數分配圖 01/63/6

14、4/65/61021 23283326資料 21 23 26 28 33次數 1 2 1 1 1相對次數1/6 2/6 1/6 1/6 1/6累加相對次數1/6 3/6 4/6 5/6 6/6累積相對次數分配圖 次數表30 【說明】原始樣本資料之百分位數有明確之定義 1.至少有 P% 之觀察值(樣本)小於 或等於t 2.至少有 (100-P)% 之觀察值(樣本) 大於或等於t定義1 Galton；1885 百分率(Percentage) P 之樣本 百分位數(Percentile) t 符合：參考資料：Kendalls Advanced Theory of Statistics，P.5031【

15、例4續】01/63/64/65/61021 23283350%75%2675百分位數 = 28 5/6 0.83 0.75 2/6 0.33 0.2550百分位數 = 23 3/6 = 0.5 0.5 5/6 0.83 0.550百分位數 = 24.5 3/6 = 0.5 0.5 3/6 = 0.5 0.550百分位數 = 26 4/6 0.66 0.5 3/6 = 0.5 0.532 問如何求百分位數答百分位數之求法可利用累積百分率圖 反求之，即：由緃軸之百分率p的位置作 一水平線與圖中之階梯狀線相交，由交集 做鉛直線取得之橫軸之區間，若反求之值 為唯一解，則為其百分位數。前例中75百 分位

16、數為28；若反求之值不唯一，則取中 點，前例中50百分位數可為23,26中之 任何值，其取法不唯一，我們取中點24.5 為50百分位數。 33答我們亦可用下述公式求p百分位數： (1) p % 總次數 a (2) 若a 非整數，取其整數部分再加1，以k 代表之，則由小到大之第k個資料為p 百分位數。 (3) 若a為整數，令k=a，則由小到大之第k個 資料與第(k+1)個資料之平均值為p 百 分位數。 34【例3續】 三年一班成績之百分位數計算 (1) 90% 3027 第27個84 第28個84 90百分位數=(84+84)/284 (2) 75% 30=22.5 第23個80 75百分位數=

17、80 (3) 50% 30=15 第15個64 第16個65 50百分位數=(64+65)/264.5 (4) 25% 307.5 第8個45 25百分位數=45 (5) 10% 303 第3個35 第4個35 10百分位數=(35+35)/23535【例3續】10%25%75%90%3545646584三年一班成績累計百分率圖 36 問：何謂百分等級(Percentile Rank)？(非國中教材) 答：(1) 百分等級用於樣本數很大時(如：國中基測之考生人數)。 (2) 百分等級是由樣本值(如：某生之考試成績)出發，去求 該生在全體中之排名(由小(低分)到大(高分)，並以百分 率表示排名(

18、如：1000人中排名倒數56之百分率為5.6，即 ：5.6%) 。 (3) 由於等級(名次)需為整數，所以百分等級是將百分率整數 化之結果。 (4) 百分等級形同將全體分成100組，同一組內之差異被忽視(如：1000人中排名倒數第50名到第59名的百分等級都是5)。 (5) 百分率變為整數的方法(如：四捨五入、去掉小數或無條件 進位)是依據能夠保證成績低於或等於該樣本點的百分率 一定小於或等於(百分等級)%。 37 問：如何求百分等級？答：(1)要注意兩個問題 a.總數不能被100整除時之處理。 b.同分者被分到不同之等級之處理。 (2)公式之一 若樣本值(某考生得分)為S，則S相對之百分等級

19、PR算法為 11n100PNPRP分數低於S之人數+(分數為S的人數)/ 2總人數將 四捨五入取整數註由於同分者造成不能完全排序之問題(Partial ordering) ，故PR之算法不唯一，但因為PR原就是一種概算值，所以 問題不大。參考資料：International Encyclopedia of Statistics；P.77938教學項目參(9-d-04 9-d-08)用二個量測數據去了解整體 方法一： 用特徵值 如：中心、離度、離群值 方法二： 用簡易圖形綜合上述特徵值 如： 盒狀圖 39【方法一說明】對一個(相對)次數分配而言，最重要的特徵值有三項， (1) 代表值：中心 (2

20、) 分散程度：離度 (3) 異常狀況：離群值(非國中教材) 若以百分位數表示法視之，則可以 (1)中位數(50百分位數)表示中心。 (2)全距(即：最大值減最小值)及四分位距(即：75百分位數 減25百分位數)表示離度。 (3)10百分位及90百分位表示離群值。(非國中教材) 若僅看中心與離度，則百分位數可進一步簡化為四分位數。40 25百分位數、 50百分位數及75百分位數又分別被稱為第四 分位數(Q1)，第2四分位數(M) 及第3四分位數(Q3)，但二者 並不完全相同。 (a) 慣用求Q1、 M、 Q3 之方法： (a.1) 若總數 N 為奇數，則取排序後之第 個為中位數(M)12N (a

21、.2) 若總數 N 為偶數，則取排序後之第 及第 個數 之平均值為中位數(M) (a.3) 不包含中位數，小於中位數之資料的中位數為第1四分 位數(Q1) (a.4) 不包含中位數，大於中位數之資料的中位數為第3四分 位數(Q3)2N12N四分位數的求法：41【例】 N=5 數據 21 23 28 30 31 求值 Q1=22 M=28 Q3=30.5 （1/5 = 0.2 0.25） N=6 數據 19 21 23 28 30 31 求值 Q1=21 M=25.5 Q3=30 N=7 數據 19 21 23 28 30 31 32 求值 Q1=21 M=28 Q3=31 N=8數據18 19

22、 21 23 28 30 31 32 求值 Q1=20 M=25.5 Q3=30.542(b)用樣本百分位求25、50、75百分位數( 法) 【例續】1N43N求法Q1MQ35(4k+1)四分222830.5百分2328306(4k+2)四分2125.530百分2125.5307(4k+3)四分212831百分2128318(4k+0)四分2025.530.5百分2025.530.5(c)二者比較44 Q1 (22)1/5 = 0.2 0.7525百分位數(23)2/5 = 0.4 0.254/5 = 0.8 0.75(c)二者比較(續) (N=5) 21、23、28、30、31 Q3 (30

23、.5)4/5 = 0.8 0.751/5 = 0.2 0.752/5 = 0.4 0.2545【例3續】 四分位數之計算 (a.1) N = 30為偶數，N/2 = 15 第 15 個數 = 64，第 16 個數 = 65 M = (64+65)/2 = 64.5 (a.2) 不包含M，小於M之資料有 15 個，為奇數 (15+1)/2 = 8 ， Q1 =第 8 個數 = 45 (a.3) 不包含M，大於M之資料有 15 個，為奇數 15+(15+1)/2 = 23 Q3 =第 23 個數 = 80 46【例3續】 四分位數之計算(若去掉考 5 分者) (a.1) N = 29為奇數，(29

24、+1)/2 = 15 M = 第 15 個數 = 65 (a.2) 不包含M，小於M之資料有 14 個，為偶數 第 7 個數 = 45 ，第 8 個數 = 47 Q1 =(45+47)/2 = 46 (a.3) 不包含M，大於M之資料有 14 個，為偶數 第(15+7)個數 = 80 ，第(15+8)個數 = 80 Q3 = (80+80)/2 = 8047最小數Q1MQ3最大值54564.58089【例3續】 中位數：64.5 全距 ：89584 四分位距 ：804535 若去掉考5分者(剩29人) 中位數：65 全距 ：893356 四分位距 ：804634 最小數Q1MQ3最大值33 全

25、距與四分位距之比較48【方法二說明】 五數綜合之盒狀圖(Box Plot) 【例3續】 盒狀圖： 五數：最小數第1四分位數中位數第3四分位數最大數符號：minQ1MQ3max數值：54564.5808949【例3續】另一種盒狀圖(Box Plot) (非國中教材) 五數 ： 10百分位 Q1 M Q3 90百分位 數值 ： 35 45 64.5 80 84 盒狀圖： 50 問：不是平均數才是中心之量度嗎？ 答：各種特徵值量度之方式本來就不唯一， 如前述表示離度之量度有全距、四 分位距及高中才會學到的標準差；而一 般表示中心的量度，則有：平均值 、中位數與眔數，其中平均值是指總和 的平均，而眔數

26、則為出現次數最高之值 。 51【例3續】 (1) 中位數是排名中間之值，故不受異常大(或小)值影響， 如：買房子的人可視地區房價之中位數為一典型房屋 售價參考值。 (2) 平均值與總和有關，故極受異常大(或小)值影響， 如：房屋銷售員是依銷售總價抽佣金，故應以房價之 平均值計算銷售一屋之典型收入估計值。 (3) 眔數表現的是佔最大比例的數，當眔數之相對次數超 過1/2時，就極具代表性。 如：蓋房子的人要選擇為大多數人接受之房屋造價， 故應以地區房價之眔數值做為典型參考依據。l三個數不同，該用那個代表中心呢？平均數中位數眔數61.8(63.8)64.5(65)80(80)註括號中為去掉考 5 分

27、者52教學項目肆 (9-d-09) 機率為事件發生可能性之量度值，若假設 可能發生狀況之機率 均相等(equally likely) ，事件之機率可定義為頻度比。 定義 (1) 稱所有可能產生之結果所成之集合為樣本空間。 (2) 稱欲量測發生率之結果所成之集合為事件 。 (3) 假設樣本空間中每一元素發生之機率均相等(equally likely) ，則定義事件 之機率為( )AP A 集合中之元素個數樣本空間中之元素個數機率之數學定義與基本計算AA53 問：三年一班有30位同學(群體)，其中20位 是男生，10位是女生，若由班上隨機 抽出一位同學，抽中男生之機率為多少？【說明1】群體之個數比

28、答： 20/30 2/3 (1) 抽一位同學之可能結果有30種，這30種結 果構成樣本空間。 (2) 隨機抽即：機率相等假設。 (3) 我們欲量測發生率的結果為男生，故20個 男生所成之集合為事件 。 A54【說明2】 系統之發生率 問：擲一公平之骰子（系統），偶數點出現 之機率為何？ 答：3/6 = 1/2 (1) 擲骰子可能發生之情況有6種，即： 123456點， 故樣本空間 =1,2,3,4,5,6。 (2) 公平之骰子即機率相等假設。 (3) 我們欲量測發生率的是偶數點，故事 件 =2,4,6A55 答：用一種工具，叫樹狀圖， 及機率之乘法律和加法律。 問：較複雜之狀況，如何算機率？5

29、6 【例】擲兩枚一面為白色一面為黑色之公平圓幣，問會出現 哪些結果？及各種結果發生之機率為何？ 擲第一枚可能之結果 擲第二枚可能之結果 最終可能之結果機率結果之另一 種表述法機率1/4 二次白色1/41/4 一次白色 一次黑色1/21/41/4二次黑色1/4樣本空間相等 事件1/21/21/21/21/21/257教學項目伍 (9-d-10)(選擇教學) 用實驗說明抽樣的不確定性及隨機性概念 【例7】中山國中共有學生3600位，其中1200位為女生， 2400位為男生，男生佔總人數之比例為 = 2/3。 若由中山國中隨機抽出360位同學做為樣本， 算出這360位同學中有270位為男生，佔樣本總數 之比例為 = 3/4。我們可以透過 = 3/4，去猜 測(或了解) 值為何嗎？ pppp58母體與樣本【例7續】 (不變的) 母體：中山國中之全部學生(3600人) 。