1.3.2函数的极值与导数(2)

1、1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数【教学目标教学目标】 知识与技能：知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤。 过程与方法：过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 【重点与难点重点与难点】 重点：重点：求可导函数的极值 难点：难点：对极大、极小值概念的理解函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对x0附近的所有点，都有附近的

2、所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点 yxO探究：探究： 极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论: 极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的. 即即: f (x)=0aby= =f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)

3、=0 （1）函数的极值是就函数在某一点函数的极值是就函数在某一点附近的小区间附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（3）极大值极大值不一定不一定比极小值大比极小值大（4）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0例：例：y=x3理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点(2)(2)极值点极值点是自变量的值，是自变量的值，极值极值指的是函数值指的是函数值; ;探究探究: 极值点两侧函数图像单调性有何特点极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大

4、值极小值极小值即即: 极值点两侧单调性极值点两侧单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby= =f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究: 极值点两侧导数正负符号有何规律极值点两侧导数正负符号有何规律?x2 xxx2 2 f (x) f(x) xxx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，极值点

5、，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负

6、，则f(x)为极大值；为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值1yxx=xX1+0-0+( )fx( )f x所以，当所以，当x=-1时，函数的极大值是时，函数的极大值是-2， 当当x=1时，函数的极小值是时，函数的极小值是21,0 xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是不是22211( )1xf xxx= =，( ) 01f xx=时，x当 变化时，f(x),f(x)变化如下表极大值极大值极小值极小值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1

7、 (32xxxfxxxf=.3)( )4( ;126)( ) 3(33xxxfxxxf=解解: , 112)( ) 1 (=xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)(= xf.121=xx0f (x)( )f x+单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121=x.2449)121(=f解解: , 0273)( )2(2=xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321=xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) ( )f x+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当

8、当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf=.3)( )4( ;126)( ) 3(33xxxfxxxf=解解: , 0312)( ) 3(2=xxf令解得解得 . 2, 221=xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2=xxf令解得解得 . 1, 121=xx所以所以, 当当 x =

9、1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf=.3)( )4( ;126)( ) 3(33xxxfxxxf=思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。 （1）求函数）求函数 的解析式的解析式 （2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间 322f xaxbxx=2,1xx= = f x f x 2322fxaxbx=解：(1)( )2,1f xxx= =在取得极值，124203220abab=即11,32ab=

10、解得： 3211232fxxxx= 22)2fxxx=（ 0fx 由12xx 得：或 0fx 由21x得： ( 2,1)f x的单调递减区间为：( 2)0,(1)0ff=函数 的单调递增区间为(，)，(1，+). f x1)6()(23=xaaxxxf有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?思考思考2解析解析 :f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根, 0已知函数已知函数解得 a6或a0).0)(= = xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 练习练习3函数的性质函数的性质单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 x必要条件必要条件xyoxyo0 x0 x