考研数学三(线性代数)模拟试卷试题141

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷141(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、 选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则A与B的秩( )（分数：2.00） A.必有一个为零 B.均小于n  C.一个小于n，一个等于n D.均等于n解析：解析：因AO，BO，故r(A)1，r(B)1又AB=O r(A)n，否则r(A)=n，则A可逆，有A 1 AB=O，即B=O，这与BO矛盾，故必有r(A)n，同理有r(B)n，故只有B

2、正确3.设有向量组 1 =(1，1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是( )（分数：2.00） A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 ， 4  C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 2 ， 4 ， 5解析：解析：由下列矩阵的初等行变换：A= 1 T 5 T 知 1 ， 2 ， 4 是一个极大无关组或用排除法：因 3 =3 1 + 2 5 =2 1 + 2 ，故A、C、D组都是线性相关的，因而只有B正确4.设 1 =(a 1

3、，a 2 ，a 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T 则3条平面直线a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 2 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中a i 2 +b i 2 0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00） A. 1 ， 2 ， 3 线性相关 B. 1 ， 2 ， 3 线性无关 C.秩r( 1 ， 2 ， 3 )=秩r( 1 ， 2 ) D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 线性无关 解析

4、：解析：题设3条直线交于一点 联立线性方程组x 1 +y 2 + 3 =0有唯一解(x，y) T 由该非齐次线性方程组有唯一解 ( 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 1 ， 2 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 线性相关，即知D正确注意C中的条件只保证了方程组有解，但不能保证解是唯一的，故C不对二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)5.（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：a n +(1) n+1 +b n ）解析：6.设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t= 1（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析

5、：在条件下必有|A|=0(否则|A|0，则A可逆，用A 1 左乘AB=O两端，得B=O，这与BO矛盾)， t=37.设矩阵B=，已知矩阵A相似于B，则秩(A2E)与秩(AE)之和等于 1（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P 1 AP=B， P 1 (A2E)P=P 1 AP2E=B2E，即A2E与B2E相似，故有r(A2E)=r(B2E) 同理得r(AE)=r(BE) 故r(A2E)+r(AE)=3+1=48.若向量组 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 线性相关，则= 1（分数：

6、2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：1或2）解析：解析：由行列式| 1 2 3 |=(1) 2 (+2)=0， =1或=29.设 1 ， 2 为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵B=A 1 x 1 x 1 T 有两个特征值为 1（分数：2.00）填空项1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ）解析：解析：Bx 1 =Ax 1 1 x 1 (x 1 T x 1 )= 1 x 1 1 x 1 =0=0x 1 ，设x 2 是A属于 2 的特征向量，则Bx 2 =Ax 2 1 x 1 (x 1 T x 2 )=Ax 2 1

7、x 1 0=Ax 2 = 2 x 2 ，故B有特征值0和 2 三、 解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设行列式已知1703，3159，975，10959都能被13整除，不计算行列式D，试证明D能被13整除（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4列，则所得行列式第4列每个元素都有公因子13)解析：12.设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A2E) 1 A )解析：设n阶方阵A、B满足A+B=A

8、B（分数：4.00）(1).证明：AE为可逆矩阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由ABBA=O，(AE)B(AE)=E，(AE)(BE)=E，即知AE可逆；)解析：(2).当B=时，求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=E+(B+E) 1 (或A=B(BE) 1 )解析：13.已知3阶方阵A=(a ij ) 3×3 的第1行元素为：a 11 =1，a 12 =2，a 13 =1(A * ) T 其中A * 为A的伴随矩阵求矩阵A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A * ) T 知A 11 =7，A 12 =5，A 13 =4， |A|=a 11 A

9、 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =1，又由AA * =|A|E=E， A=(A * ) 1 )解析：14.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且()可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得向量组 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法否则对()中每个向量 j ，向量组 j ， 2 ， r 都线性相关 j 可由 2 ， r 线性表出 ()可由 2 ， r 线性表出 ()可由 2 ， r 线性表出 1 可由 2 ， r 线性表出，这与()线性无关矛盾)解析：15.若齐次线性方程组Ax=0

10、的解都是齐次线性方程组Bx=0的解，则有r(A)r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设方程组Ax=0及Bx=0都是n元方程组，则由题设条件有nr(A)nr(B)，所以有r(A)r(B)解析：已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)（分数：4.00）(1).a、b为何值时，不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=1且b0)解析：(2).a、b为何值时，可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合并写出该表示式（分数：

11、2.00）_正确答案：(正确答案：当a1时，可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一地线性表示为：= 3 +0 4 ；当a=1且b=0时，可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示为：=(2c 1 +c 2 ) 1 +(1+c 1 2c 2 ) 2 +c 1 3 +c 2 4 (c 1 ，c 2 为任意常数)解析：16.设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设B、X按列分块分别为B=b 1 b 2 b p X=x 1 x 2 x p ，则AX=B， Ax 1 Ax 2 Ax p =b 1 b 2 b p

12、Ax j =b j (j=1，2，p)，故AX=B有解 Ax j =b j (j=1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组Ax j =b j 有解的充要条件可知，AX=B有解 r(A)=r(A b j )(j=1，2，p) r(A)=rA b 1 b 2 b p =rA B)解析：17.设 1 ， 2 ， k (kn)是R n 中k个线性无关的列向量证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以 1 ， 2 ， k 为其前k列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取齐次线性方程组 的基础解系 1 ， nk ，则可证明 1 ， k ， 1 ， nk 线性无关： 设 1 1 + k k + 1 1 + nk

13、 nk =0，两端左乘( 1 1 + k k ) T ，并利用 i T j =0(i=1，k；j=1，nk)，得( 1 1 + k k ) T ( 1 1 + k k )=0，即 1 1 + k k =0， 1 1 + k k =0，而 1 ， k 线性无关， 1 = k =0， 1 1 + nk nk =0，又 1 ， nk 线性无关， 1 = nk =0，于是证得 1 ， k ， 1 ， nk 线性无关，令矩阵P= 1 k 1 nk ，则P为满秩方阵，且以 1 ， k 为其前k列)解析：设矩阵A=与矩阵B=相似（分数：4.00）(1).求a，b的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案

14、：A的特征值为2，2，b，由2+2+b=1+4+a，2×2×b=|A|=6(a1)，a=5，b=6；)解析：(2).求一个可逆矩阵P，使P 1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：)解析：18.设A= ，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P 1 AP为对角矩阵并求出P和相应的对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA| =(+1) 2 (1)一0，得A的全部特征值为 1 = 2 =1， 3 =1故A可对角化 A的属于2重特征值 1 = 2 =1的线性无关特征向量有2个 方程组(EA)X=0的基础解系含2个向量 3r(EA)=2 r(EA) =

15、0当k=0时，可求出A的对应于特征值1，1；1的线性无关特征向量分别可取为 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故得 )解析：19.设矩阵A= ，B=P 1 A * P，求B+2E的特征值和特征向量，其中A * 为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B+2E 的特征值为 1 = 2 =9， 3 =3对应于特征值9的全部特征向量为k 1 (1，1，0) T +k 2 (2，0，1) T ；对应于特征值3的全部特征向量为k 3 (0，1，1) T )解析：20.求一个正交变换，化二次型f(x 1 ，x 2 ，x

16、 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 化f成f=9y 3 2 )解析：21.设 1 、 n 分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 证明： 1 f(X) n ，maxf(X)= n =f(X n )，minf(X)= 1 =f(X 1 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T )，使

17、得X T AX 1 y 1 2 + n y n 2 n (y 1 2 +y n 2 )= n Y 2 = n X 2 = n X T X，当X0时，有X T X0，上面不等式两端同除X T X，得f(X)=X T AXX T X n ，又f(X n )=X n T AX n X n T X n =X n T n X n X n T X n = n ，故maxf(X)= n =f(X n )类似可证minf(X)= 1 =f(X 1 )解析：设A是n阶实对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).存在实数c，使对一切xR n ，有|x T Ax|cx T x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设A的特征值为 1 ， 2 ， n 令c=max| 1 |