曲边梯形的面积课件_新人教A版选修2-2 (2)

1、1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用

2、四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法当分点越来越密时，当分点越来越密时，即分割越来越细时，即分割越来越细时，矩形面积之和趋近于矩形面积之和趋近于曲边梯形的面积，求曲边梯

3、形的面积，求矩形面积之和的极限矩形面积之和的极限值，此极限值即为曲值，此极限值即为曲边梯形的面积。边梯形的面积。（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取极限取极限 oxy(3)(3)求和求和以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形的面积。的面积。xOy2xy =（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix =每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，轴的垂线，从而得到从

4、而得到n个小曲边梯形，个小曲边梯形，他们的面积分别记作他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 ni1nin1n2nn 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当记近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,1,.222= = n1n2ninnxOy2xy =ni1x.,2, 1111, ,1,.2ninnixnifSSSSniniiiii =则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上在区间这样如左图边地代替小曲边梯形的曲 nnixnifSSSnininiinn111,23211

5、1=为图中阴影部分的面积由求和n1n1n102=n1n1n2 22231n21n1 = 61n2n1nn13=.n211n1131=.n211n1131SSSn=的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn= = =从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限 55 . 1 图图oy2xy =1xy2xy=1xoy2xy=1xoy2xy=1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1 ,

6、 0的等分数的等分数区间区间nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情情况况又又怎怎样样作作为为近近似似值值的的函函数数值值处处取取任任意意吗吗这这个个值值也也是是若若能能求求出出的的值值吗吗用用这这种种方方法法能能求求出出处处的的函函数数值值点点上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端区区间间在在如如果果认

7、认为为函函数数中中近近似似代代替替在在探探究究 = = xy2xy =nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin=(过剩近似值) n1n2ninnxOy2xy=不足近似ni1nin1n2nn 612113=nnnn.2111131=nn .31lim,1,12= =xfSfninixxfniinii都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积值的方法求出其面积似代替、求和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地abxy xfy = =

8、o af bf15.1 图图1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxf=nini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习探究思考2( )2v

9、tt= -+O Ov t t12汽车以速度V 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s=vt :n,1n1 , 01个小区间将它分成点个分上等间隔地插入在时间区间分割.n1n1init,n, 2 , 1ini,n1ii,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0= = 其长度为个区间为记第,S,S,S:1 ,n1n,n2,n1,n1, 0n21 的路程分别记作上行驶把汽车在时间段.SSn1ii=则显然有 .2n1in1ivn1i,2ttv,ni,n1i,t,n222 = = 处函数值左端点不妨认为它近似地等于数近似地等到于常的值变化很小函数上在区间很小时即很大当近似代替就是汽车在时从物理意义看 ,于是以匀速代变速即在局部范围内作匀速行驶处的速度认为它近似地以时刻不妨上时间速度变化很小间段, ,2n1in1ivn1i,)n,2, 1i (ni,n1i2 = = tnivSSii=1n12n1i2 =.n,2, 1in2n1n1i2 = =n1i2n2n1n1i2n1n1in1n1n1022 = tn1ivSS3n1in1iin=得由求和21n21n12223 = 261n2n1nn13=.2n211n1131=的近似值从而得到S.2n211n1131SSn= = =n1innnnn1ivn1limSlimS,S2n211n1131S,0t,n4从而有趋向于时趋向于即大趋向于无