微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课

1、2022-4-142 曲面的第一基本形式1.1.第一基本形式；第一基本形式；2.2.曲面上曲线的弧长；曲面上曲线的弧长；3.3.曲面上两方向的交角；曲面上两方向的交角；4.4.正交曲线网和正交轨线；正交曲线网和正交轨线；5.5.曲面域的面积；曲面域的面积；6.6.等距变换和保角变换等距变换和保角变换. .复习复习1.1.曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式222GdvFdudvEduI .式式称为曲面的第一基本形称为曲面的第一基本形22,vvuurGrrFrE .量量称为曲面的第一类基本称为曲面的第一类基本2.2.曲面上曲线的弧长曲面上曲线的弧长 10222ttdtdtdvGdtdvdtduF

2、dtduEs3.3.曲面上两方向的夹角曲面上两方向的夹角222222)(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdu 推论推论. 0)()()1( vGdvudvvduFuEdu 方方向向互互相相垂垂直直切切曲曲面面在在一一点点的的两两个个由由下下式式确确定定：曲曲线线的的交交角角经经过过同同一一点点的的两两条条坐坐标标 )2(EGF cos. 0)()()3( FS坐坐标标网网是是正正交交网网曲曲纹纹的的曲曲面面4.4.正交曲线网与正交轨线正交曲线网与正交轨线命题命题1 1曲曲面面上上的的曲曲线线网网)0(0),(),(2),(222 ACBdvvuCdudvvu

3、BduvuA是是正正交交网网）（*02 GAFBEC命题命题2 2曲曲线线族族)0(0),(),(22 BAdvvuBduvuA是是正正交交轨轨线线族族的的微微分分方方程程. 0)()( vAGBFuAFBE DDdudvFEG2 5.5.曲面域的面积曲面域的面积6.6.等距变换等距变换定义定义之之间间的的一一个个变变换换，与与曲曲面面)()(SS一一条条曲曲线线的的长长度度不不变变，如如果果它它保保持持曲曲面面上上任任意意换换则则称称这这个个变变换换为为等等距距变变).(或或保保长长变变换换.价价的的曲曲面面这这两两个个曲曲面面称称为为等等距距等等定理定理.,形形式式它它们们有有相相同同的的

4、第第一一基基本本经经过过适适当当选选择择参参数数等等距距变变换换两两个个曲曲面面之之间间的的变变换换是是证：证：”“)(C)(C),(: )(vurrS ),(: )(vurrS )(),(tvturr )(),(tvturr )(0tA)(.1tB )(0tA)(.1tB 10222ttABdtdtdvGdtdvdtduFdtduEs 10222ttBAdtdtdvGdtdvdtduFdtduEs,II ,GGFFEE ,BAABss .等等距距变变换换故故两两曲曲面面之之间间的的变变换换是是”“)(C)(C),(: )(vurrS ),(: )(vurrS )(),(tvturr )(),

5、(tvturr )(0tA)(1tB)(0tA)(1tB 10222ttABdtdtdvGdtdvdtduFdtduEsBAttsdtdtdvGdtdvdtduFdtduE 10222.II 即即),(vu P P),(vu等等距距)(d).,( bat 222GdvFdudvEdu 222dvGdudvFduE .:恒成立恒成立对任意的对任意的dvdu,GGFFEE 注注,在等距变换下不变在等距变换下不变内蕴量和内蕴性质内蕴量和内蕴性质由此定理可知，曲面的由此定理可知，曲面的.也称为等距不变量也称为等距不变量例：例：,sin,cos:)(avvuvurS 求求正正螺螺面面解：解： vuG,:

6、,sincosh,coscosh:)(tataatarS 与与悬悬链链面面 20 ,: tG.之之间间的的一一个个等等距距变变换换的的第第一一基基本本形形式式为为：正正螺螺面面)(S.)(2222dvauduI ),(S对对于于悬悬链链面面1 ,sinsinh,cossinh atatrt 0 ,coscosh,sincosh ataatar ,cosh1sinh222atatrEt , 0 rrFt,cosh222atarG 的的第第一一基基本本形形式式为为：悬悬链链面面)(S22222coshcosh datadtatI .)(2222dvauduI 22222)sinh()cosh( d

7、ataaatad vataucosh令令)( 2020vtu，则则有有2222)(dvauduI . II 即即.)()(*)之之间间的的一一个个等等距距变变换换与与式式给给出出了了故故SS2.6 保角变换保角变换定义定义之之间间的的一一个个变变换换，与与曲曲面面)()(SS的的交交角角相相等等，如如果果使使曲曲面面上上对对应应曲曲线线则则称称这这个个变变换换).(或或保保形形变变换换或或共共形形变变换换为保角变换为保角变换定理定理.例例它它们们第第一一基基本本形形式式成成比比保保角角变变换换两两个个曲曲面面之之间间的的变变换换是是证：证：”“，若若第第一一基基本本形形式式成成比比例例., 0

8、),(2IIvu 则则,222GGFFEE 即即是是任任意意两两对对对对应应曲曲线线，与与及及与与设设)()()()(2211CCCC, 与与对对应应交交角角分分别别为为)(1C)(1C),(: )(vurrS ),(: )(vurrS )(2C)(2C 222222)(cosvGvuFuEdvGdudvFduEvdvGudvvduFuduE 222222)(vGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdu cos ,0 . ”“)(1C)(1C),(: )(vurrS ),(: )(vurrS )(2C)(2C P)(d)( P)(d)( 保保角角 0)()(0)()(dv

9、vGuFduvFuEdvvGuFduvFuE 即即 0)(0)(vGdvudvvduFuEduvdvGudvvduFuduE 不不全全为为零零，vu ,0 GdvFduFdvEdudvGduFdvFduE0)()()(22 dvGFGFdudvGEGEduFEFE的的任任意意性性得得：由由dvdu,. 0, 0, 0 GFGFGEGEFEFE, 0),(2 vuGGFFEE .2II 即即推论推论: :.保保角角变变换换曲曲面面间间的的等等距距变变换换必必为为注注变换变换两曲面间一定存在保角两曲面间一定存在保角)1().(小小范范围围内内)(证证明明略略.)2(的某种近似、相似性的某种近似、相

10、似性保角变换保持对应图形保角变换保持对应图形例：例：.平平面面的的一一个个保保角角变变换换证证明明球球极极投投影影是是球球面面到到证证: :OxyzP.P.uv),(zyx) 0 ,(yxP .) 0 ,(yx易易见见：vPOxcos vPOysin uOPPPzsin uOPPOcos 而而uuRcossin2 球球面面的的参参数数表表示示为为： uRzvuuRyvuuRx2sin2sincossin2coscossin2)20 ,20( vuvuRvPOxcostan2cos 又又vuRvPOysintan2sin 平平面面的的参参数数表表示示为为：,0sintan2costan2 zvuRyvuRx易易计计算算出出：球球面面的的第第一一基基本本形形式式为为),cossin(4222222udvuduRd