2-3控制系统的复域数学模型

1、2022-4-142-2控制系统的复域数学模型1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(4) 2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型(1) 2-2 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型(1) 2-3 控制系统的结构图控制系统的结构图(2)2022-4-142-2控制系统的复域数学模型2复复 习（习（1）1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t （3 3）单位斜

2、坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ss2022-4-142-2控制系统的复域数学模型3复复 习（习（2）（2 2）微分定理微分定理3 3 L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质线性性质（3 3）积分定理积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理初值定理（7 7）终值定理终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()

3、(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 2022-4-142-2控制系统的复域数学模型41. 传递函数的定义传递函数的定义(1)()()(sRsCsG rbrbrbrbcacacacammmmnnnn 1)1(1)(01)1(1)(0.)(.)()(11101110sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm )(.)(.11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn niimjjpszsKsG11*)()()( 211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTs

4、TsTssssKsGv 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数： 首首1 1标准型：标准型： 尾尾1 1标准型：标准型：2022-4-142-2控制系统的复域数学模型52. 传递函数的性质传递函数的性质 传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的系统的固有特性固有特性，与输入信号的类型和大小无关。，与输入信号的类型和大小无关。 只适用于只适用于线性连续定常系统线性连续定常系统。 传递函数仅

5、描述系统的传递函数仅描述系统的单输入单输入/ /单输出单输出特性。不同特性。不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同的物理量之间对应的传递函数也不同。不同的物理量之间对应的传递函数也不同。 传递函数表达式中各项系数为实数，且是传递函数表达式中各项系数为实数，且是有理真有理真分式分式，m mn，n为系统的阶数。为系统的阶数。 零初始条件，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系零初始条件，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数：统的传递函数：G(s) = L g(t) 。 传递函数是系统性能分析的最简形式之一。传递函数是系统性能分析的最简形式之一

6、。学习目标学习目标 传递函数的求取：传递函数的求取： 能够根据：能够根据： （1）系统的时域微分方程（组），写出）系统的时域微分方程（组），写出 系统的传递系统的传递函数。（拉氏变换）函数。（拉氏变换） （2）系统的时域输入输出信号，写出系统的传递函）系统的时域输入输出信号，写出系统的传递函数。（拉氏变换）数。（拉氏变换） 时域输出响应的求取：时域输出响应的求取： 零初始条件下，能够根据传递函数和输入（时域零初始条件下，能够根据传递函数和输入（时域/复域），写出系统的时域输出响应。例如单位脉冲响应复域），写出系统的时域输出响应。例如单位脉冲响应。（拉氏反变换）。（拉氏反变换） 能够对传递函数的

7、形式进行变换：能够对传递函数的形式进行变换：首首1型，尾型，尾1型，并写型，并写出增益。出增益。2022-4-1462022-4-147例题例题1 1：RLCRLC无源网络，输入无源网络，输入 ；输出；输出)(tui)(tuo)()()()(tututRidttdiLio dttduCtio)()( )()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo 消去中间变量，得：消去中间变量，得：零初始条件零初始条件: :(0)(0) 0oouu200002( )( )( )( )( )1( )( )1iiLCs UsRCsUsUsUsUsG sUsLCsRCs已求得系统的微分方程形式为:

8、22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt2( )1( )( )Y sG sF smsfsk零初始条件零初始条件: :例题例题2 2：机械位移系统，输入：机械位移系统，输入F(t)F(t)；输出；输出y(t)y(t)2022-4-142-2控制系统的复域数学模型9例题例题3：系统单位阶跃输入及零初始条件：系统单位阶跃输入及零初始条件下输出响应为：下输出响应为：2( )1ttc tee 求系统的传递函数。求系统的传递函数。部分分式法部分分式法 一般，象函数一般，象函数F(sF(s) )是复变量是复变量s s的有理代数公式，即的有理代数公式，即1011111( )(

9、)( )mmmmnnnnB sb sb sbsbF sA ssa sasa101112( )()()()mmmmnb sb sbsbF sssssss 通常通常m n，a1 , , an； b0 , , bm 均为实数均为实数。首先将首先将F(s)的分母因式分解，则有：的分母因式分解，则有：式中式中s1 , , sn是是 A(s) = 0的根，称为的根，称为F(s)的极点。的极点。分两种情况讨论：分两种情况讨论： （1 1） A(s) = 0无重无重根。根。10111212112( )()()() ()()()()mmmmnnniinib sb sbsbF sssssssccccsssssss

10、s式中式中ci 是待定常数，称为是待定常数，称为F(s)在极点在极点si 处的留数。处的留数。lim()( )iiisscss F s1111( )( )()inns tiiiiicf tLF sLc ess（2 2） A(s) = 0有重有重根。设有根。设有r 个重根个重根 s1 ，则：，则：111211111( )( )() ()() ()()()()rrnnrirri riB sF sssssssccccssssssss 1(1)1(1)1lim()( )1!rrrrssdcssF srdslim()( )iiisscss F s i = r+1, , n11121211( ) ( )

11、(1)!(2)!ins ts trrrrii rf tLF sccttctcecerr 111lim()( )rsscssF s121lim()( )rssdcssF sds1(2)31(2)1lim()( )2!rssdcssF sds2022-4-142-2控制系统的复域数学模型13例题例题4：系统单位阶跃输入：系统单位阶跃输入r(t)=1(t)时，零时，零初始条件下输出响应为：初始条件下输出响应为：2( )1ttc tee 求系统的单位脉冲响应。求系统的单位脉冲响应。2022-4-142-2控制系统的复域数学模型14sssss2344)G(23 例题例题5 5：已知：已知将其化为首将其化

12、为首1 1、尾、尾1 1标准型，并确定其增益。标准型，并确定其增益。解解: :sssssG23)1(4)(23 2 K)12321(124)(2 sssssG首首1 1标准型标准型尾尾1 1标准型标准型增益增益)2)(1()1(4 ssss)1)(121()1(2 ssss2022-4-142-2控制系统的复域数学模型153.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数(1)(1)21221121221121221121221111*) 12() 1() 12() 1(1) 12() 1() 12() 1()()()(nllllnjjmkkkkmiinllllnjjmkkkkmiinjjmii

13、sTsTsTssssKsTsTsTssssKpszsKsG2022-4-142-2控制系统的复域数学模型163.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数(2)(2)比例环节比例环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节)()(tKxty KsXsYsGsKXsY )()()()()( dttxty)()(ssXsYsGsXssY1)()()()(1)( )()()(txtydttdyT 11)()()()()()( TssXsYsGsXsYsTsY2022-4-142-2控制系统的复域数学模型173.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数(3)(3)振荡环节振荡环节纯微分环节纯微分环节一阶微分一阶微分)()()(2)(222txtydttdyTdttydT 121)()()()()()(2)(2222 TssTsXsYsGsXsYsTsYsYsT dttdxty)()( ssXsYsGssXsY )()()()()()()()(txdttdxty 1)()()()()()( ssXsYsGsXssXsY 2022-