高级农业经济学第9讲：G函数与国民经济分析

1、孙中才孙中才中国人民大学农村发展研究所 100872 北京孙中才孙中才l G函数为国民经济分析提供了一个新的逻辑起点。从利润函数出发，进一步讨论了运用G函数进行国民经济分析的便利性。其中，主要阐述GNP函数内在的技术分析层次，并以简单的进出口分析为例，较为详细地介绍了具体模型的结构及其主要特征。l关键词：关键词：GNP函数；超越对数形式；替代分析 l G函数概念的产生，给经济学宏观领域的研究提供了新的起点。这主要是因为：利润函数，作为G函数分析的起点，以其明确的结构，对经济运行机制进行了更加明确的概括，为宏观经济运作展示了更加清晰的轮廓Debreu, 1959。而G函数分析过程中所涉及的市场调

2、节、市场失灵和资源禀赋等概念，似乎与宏观经济的结构可以有更直观的联系，观察结果也可以有更贴切的拟合Kohli 1978。l 容易理解，就宏观经济来说，利润函数的l最直观表示就是国民收入函数（Gross National Product Function）GNP函数。资料表明，自从运用数学对偶理论，以Hotelling引理和Shephard引理的形式确立了G函数的概念之后，经济学领域即展开了不断深入的有关研究。在经济理论研究方面，除了对利润函数所表征的基本概念继续深入探索之外，还对这种函数的基本性质，从数学和经济学两个方面进行了严格化研究，为有关模型形式的选取奠定了坚实的基础Diewert, 1

3、973；Christensen et al., l1973；Harrigan, 1997；Gopinath et al., 2000。这些探索，基本上都是针对宏观对象的，因而，研究结果直接导致了G函数在国民经济研究领域里的长足进步。由利润函数的基本结构出发，在国民经济领域里，进一步完善了价格、可变数量和因子禀赋的确切含义，为市场调节与非市场调节的概念提供了精确的定义。从生产可能性集合的性质出发，通过对供给函数与需求函数方程组特征的考察，探明了GNP函数应具有的经济专业化的和数学严格化的特性，确立l了超越对数函数（Transcendental Logarithmic Function, Tran

4、s-log Function）作为其基本的函数形式。l 对照F函数，G函数的基本出发点利润函数，在函数结构上更直观地反映了对市场成分与资源禀赋的关注。可能由于对市场概念的敏感和对已有贸易模型的熟知，在利润函数引入国民经济研究领域之后，有关经济学家便将其迅速地运用到了有关国际贸易的供给与需求的研究方面，并结合以往成熟的研究结果，有l效地引伸到了技术的转换和替代方面，促进了效率测度的精确化，也促进了有关计量和实证研究的发展。文献表明，迄今为止，在涉及国际贸易的数理分析和测度计量中，G函数已经成为最得力的模型之一Harrigan, 1997；Gopinath et al., 2000；孙中才，200

5、5。之所以如此，主要是因为，利润函数能够容纳多种不同的价格，从而可以表征不同的市场，而进口与出口恰恰可以表示为不同的价格，从而能够使有关分析容易地得以深入。l 本文从利润函数出发，进一步阐明运用G函数进行国民经济分析的便利性（阐述的焦点是这种模型内在的技术分析层次），并以简单的进出口分析为例，较为详细地介绍具体模型的结构及其主要特征。 对于国民经济体来说，它的基本行为可以初始性地写为： s. t. ，这里， -最终产品向量， ； -最终产品的价格向量， ； -禀赋 的凸性生产可能性集合，其中， 。 Maxpxs )(vYxIRxp,JRvx),.,(21Ixxxx p),.,(21Ipppp

6、)(vYv),.,(21Jvvvv 这个模型的解将是GNP的最大值，当 时。 只要这个利润函数 是二次连续可微的，即要求因子之间存在平滑的可替代性，并且至少因子有与产品一样多的数目（ ），那么，净产出供给的向量 就由 关于 的梯度来给出：);(),(vpGNPvpY),(vpIJ ),(vpx),(vppiipvpvpx),(),(Ii,.,2 , 1l 如前所述，这里定义 和 ，（ ）的符号则取决于是产出还是投入。若是产出为“+”，若是投入为“-”。并把需要由最终产品“纳税”的物品，如污染物和进口，视为投入，符号为“-”。由此可以看出，凡是有定价的（或者说有价格的）物品，均可以归入经济决策的

7、变量 （ ）之中Debreu, 1959；Gorman, 1968。 Ip0Jv0ixIi,.,2 , 1ixIi,.,2 , 1l 这里的 （ ）也被称作可变数量（Variable Quantities），相应地， （ ）被称为固定数量（Fixed Quantities）或者固定投入（Fixed Inputs）。l 从 出发，即可以对国民经济体的情况展开分析。分析的焦点为其内在的技术结构。为简单起见，在以下表述中，在非必要的情况下，我们仍然一般地称其为 函数，即利润函数。 ixIi,.,2 , 1jvJj,.,2 , 1);(),(vpGNPvpY 是一个有约束的利润函数，从生产决策的角度来

8、看，它也是一种技术表示： 如果在 和 点上， 对于 的分量是可微的，那么，根据Hotelling定理的扩展，可以得出： （1） 0,);( :max);(pTvxxpvpx*p*vp);();(*vpvpxp这里， -一阶微分算子， 。 由此，如式（1）所示，可变数量 为 关于的分量的一阶微分（梯度）的向量。 类似地，如果这个有约束的利润函数 ，在 和 点，对于 的分量是可微的，那么，可以导出： （2）这里， - 向量的影子价格向量， 。 pvpp);(*xp*p*vvvvpv);(*);();(*vpvpvv),.,(21Jl 对于这个有约束的利润函数，我们可以写出它的Hessian矩阵为：

9、2222vvvppvppvvvppvppHl这里， -二阶微分矩阵。l 由此，可以将替代矩阵 定义为：l l （3）l 这里， 和 ，即分别为对角线矩阵。 211111111vvvvpvpvvpvpppppvvvppvppmnSSS);(vpdiagpp);(vpdiagvv 矩阵 体现着经济体内全部的投入-产出数量之间的替代效应关系。其中， 的元素为可变数量之间转换的偏弹性， 的元素为固定投入之间替代的反偏弹性。 和 的元素则是可变数量与固定数量和固定数量与可变数量之间的替代弹性，它们体现着可变的与固定的这两种数量之间的替代强度，因而，有时也被称作强度弹性（Diewert, 1974）。容易

10、理解，这个Hessian矩阵的对称性直接暗含了 的对称性。SppvpvvpvS 根据弹性的定义，我们可以写出可变数量的价格弹性和固定数量的需求弹性矩阵 为： （4） 另外，也根据弹性的定义，可以把可变数量的价格弹性与固定数量的需求弹性 写为： Eln/lnln/lnln/lnln/lnkjhjkihivvvppvppmnvpvxpxEE.,.,1,.,1,.,1,JIIkjIhiJInmEvpvpEvvvvpvpvpppp1111l并由此得出：l （5）l容易表明， （6）和 （7） vpvpEvvvpvpvpvppp1iimimixpSJIm ,.,1Ii,.,1jjmjmjvSJIm ,.

11、,1.,.,1JIIjl 这里的式（4）与式（5）是等价的，但前者是直接的考察，而后者则是反映了顾及替代强度的考察。l 文献表明，对于国民经济来说，内在替代强度和因子之间弹性的探索，始终是研究的焦点孙中才，2005。而在有关的考察中，式（4）和式（5）各有长处，因而，式（3）、式（4）和式（5）成了很受重视的分析工具。l 同时，由式（4）、（6）和（7）可以看出，如果初始的模型选择为对数形式的，那么，可l变数量的价格弹性和固定数量的需求弹性，将呈现为各自价值占利润的份额的函数，也就是说，如果表示国民经济收入的GNP函数选择为一种对数形式的话，那么，它的市场价格的弹性和固定投入的需求弹性，将可以

12、用各自价值占GNP份额的形式来得出。这对于有关分析来说，会带来不小的便利。l 事实表明，在最近的30多年时间里，有关研究的一个重要方面，是在不断地完善生产可能性集合、转换函数和利润函数的定义，同时，l也进一步的确立了各种函数的具体形式。并在经验性探索中，有效地验证了它们的特性。其中，对于 函数具体形式的探索，成为总体努力的主导方面孙中才，2005。 l 根据经济学的理论研究结果，为满足生产可能性集合和技术转换的要求， 函数要满足以下6个条件Diewert, 1973：l1） 是非负的； 2） 于 是线性齐次的，即对于所有的 ， ； 3） 于 是凸的和连续的，对于所有固定的 ； 4）于 是线性齐

13、次的，即对于所有 ， ； 5） 于 是非增的，对于所有固定的 ；和6） 于 是凹的和连续的，对于所有固定的 。 p0);();(vpvppJv0v0);();(vpvpvpvp 同时,为便于分析， 函数的形式最好还能提供上述式（6）和式（7）所需要的便利。为此，人们通过有效的探索，将选择的目光逐步集中到了这样的函数形式上，即： （8） 0lnlnln | 1/2lnlnlnln |1/2ln |ln |iijjihihijijjkjkpvpppvvvIhi,.,1,JIIkj, 1,l 这是一个超越对数函数。它的优点主要有二：一个是，它能够事先在一定程度上限制各个替代弹性的符号或大小，符合有约

14、束的利润函数的基本要求；另一个是，它的对数形式可以提供上述的分析所需要的便利。它的具体结构是一种对数的Taylor级数的二阶展开，很符合经济理论分析的要求Gopinath et al., 2000。l 由于Young定理暗含着，有约束的利润函数的Hessian矩阵是对称的，这里要求有： 而 函数要满足其条件2）和4），既满足在价格和固定投入上的线性齐次性，意味着：hiihkjjk1i1j 0ih 0jk0iij0jij 由式（8）可以得出： （9） （10）， |lnlnlnlnjijhihiiiivpxppkjkjijjjjjvpvvln|lnlnIhi,.,1,JIIkj, 1, 式（9）

15、即为国内第 种产品（或者说第 个部门）净产值占GNP的份额，符号为“+”；若为投入，则是中间产品，符号为“-”；式（10）为国内第 种资源禀赋 净支出的价值占GNP的份额，因为 的符号均为“-”，所以该式为“-”。 超越对数函数的长处之一是很容易计算出经济体内的各个替代弹性，而由此再计算价格和需求的弹性也就很容易了。对于式（8），有： iijjvjvl （11） l l （12）22)(1hhiiihhihiihxpxpppppIhi,.,1,hi iiiiiiiiiixpxppp2222)(1Ii,.,1 （13） （14）22)(1kkjjjkkjkjjkvvvvvvJIIkj, 1,kj

16、 jjjjjjjjjjvvvv2222)(1JIIj, 1l 有了式（11）-（14），再根据式（5），便可以容易地计算出式（4）中的市场价格的弹性和固定投入的需求弹性：l （15）l （16）ihhihiihxxpp)(Ihi,.,1,hi iiiiiiiixxpp12Ii,.,1 （17） （18）jkkjkjjkvv)(JIIkj, 1,kj jjjjjjjjvv12JIIj, 1l 类似式（8）这种函数形式，在20世纪70年代得到了比较深入的探索，在理论上得到了证明，并在实际数据的支持方面开展了试验Diewert, 1973；1974。在此之前，结合生产可能性集合这个概念，关于国际贸易

17、的研究，便对利润函数所涉及的出口与进口价格的区分，国内可变数量与固定投入的定义，以及部门生产技术特征的识别等，进行了有效的探讨，形成了一些纯理论的模型。例如，HOS模型（即Hecksher-Ohlin-Samuelson模型）便是其中之一 lKohli, 1978。这种模型把出口和进口视为两种可变数量（其中进口被看作是可变的投入），将新古典主义模型的两个要素（即初始投入）-国内劳动力和资本视为固定数量（即固定投入）。于是，含有出口与进口价格和劳动力与资本数量的利润函数便概念性地建立起来了。自然，它们不仅在因子构成方面符合利润函数的基本要求，如在 中， ； ，这里便有 ，而且也符合生产可能性集合

18、以及转换函数等概念的要求。后来，计量经济学),(vp),.,(21Ipppp ),.,(21Jvvvv IJ l家便依据这个模型，运用式（8）进行了测度试验，并取得了很好的效果，至今仍有不小的参考价值Kohli, 1978。当然，随着理论探索的不断深入和计算技术的大幅度提高，这样的模型不可避免地成为简单的了，而且，其中一些表述和定义也自然地带有初步探索时的粗略，例如，如果把初始投入的劳动力和资本的数量，定义为相应的存量，便会更为准确。 l 最近的30多年中，经济的理论研究和经验研究都有了很大的发展，为G函数研究带来了l重要的推动。从函数因子的构成方面来看，由于产品多样化和市场划分的发展，价格体

19、系的区别越发细致了。这给固定数量的定义和划分直接带来了挑战。从理论上讲，许多定义需要从更深的分析层次上给予阐述和证明，它们的可分性（Disaggregated）需要有更为精确的研究结果来支撑；从经验上讲，有关模型更需要开展积极的经验性研究和试验，以便实际验明理论假说的可能性。资料表明，今天，世界范围内的有关努力非常令人可喜。lChristensen, L., D. Jorgenson, and L. Lau (1973)，Transcendental Logarithmic Production Frontiers，Review of Economics and Statistics vol.

20、 55(1973)，28-45lDebreu, G. (1959), Theory of Value An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium M， J. Wiley and Sons，New York。lDiewert, W.（1973），Functional Forms for Profit and Transformation Functions J, Journal of Economic Theory, 6（1973）, 284-316.lDiewert, W. E. (1974) Applications of duality theory. In M. D. Intriligator and D. A. Kendrik, eds., Frontiers of Quantitative Economics, 2(Amsterdam: North-Holland)lGorman, W.（1968），Measuring the quantities of fixed factors, in：J. N. Wolfe( Ed.), Value, Capital and Growth: Papers in honor