贝努利(Bernoulli)致牛顿的信中第一次提出微分方程

1、 1676年，贝努利(Bernoulli）致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具背背 景景 4.1 微分方程的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训 一、案例一、案例 我们已知曲线过点(1, 2)，且曲线上任一点M(x, y)处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程案例 1 曲线方程 对式（1）两边积分，得解设曲线方程为y=y(x),于是曲线在点M(x,y)处（1）d1dyxx又曲线过点（,），故有 12xy（2）ddyx切线的斜率为 根据题意有1dlnyxxCx将式（2）代入

2、上式，得 2ln 1C，即C=2.故所求曲线方程为2lnxy 一质量为m的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程. 案例2 自由落体运动 解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始下落点,y轴铅直向下.设在时刻t质点的位置为y(t),由于质点只受重力mg作用,且力的方向与y轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程为 即: gdtyd22mgtymma22dd方程两边同时积分，得: 上式两边再同时积分，得 :21221CtCgty其中 是两个独立变化的任意常数 21C,C1ddygt Ct一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程微分方程中未知函数的最

3、高阶导数的阶数，称为微分方程的阶xxy1dd例如，案例1中的微分方程是一阶微分方程；gty22dd案例2中的微分方程是二阶微分方程 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 中，函数 是微分方程 的解。 lnyx Cd1dyxx通解例如，在案例1中， 是微分方程 的lnyx Cd1dyxx 任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，在案例1 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的21212ygtC tC22ddygt通解在案例2中， 是微分方程 的通解.为 ，满足初始条件的特解为 21xy2ln x

4、y 在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为d1dyxx初始条件在案例中，方程 的初始条件利用微分方程解决实际问题的一般步骤如下：第一步 建立反映实际问题的微分方程；第二步 按实际问题写出初始条件；第三步 求出微分方程的通解；第四步 由初始条件确定所求的特解 练习1列车制动 三、进一步的练习三、进一步的练习 列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.4m/s2，问开始制动后要经过多长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解 记列车制动的时刻为t=0，设制动后ts列车行驶了s m.由题意知,制动后列车行驶的加速

5、度等于-0. 422d0.4dst（1） 二阶微分方程初始条件为当t=0时，s=0，d20dsvtm/ s2 ，即将方程（1）两端同时对t积分，得 1d0.4,dsv ttCt (2)式(2)两端对t再积分一次，得,2 . 0212CtCts (3)其中C1，C2都是任意常数，把条件当t=0时，d20dst , (4）20.220stt 速度方程为（5）d0.420dsvtt 代入式（2），得C120把t=0时，s=0代入式（3），得C2 0于是，列车制动后的运动方程为因为列车刹住时速度为零，在式（5）中，令v=0, 解0=-0.4t+20 ,得列车从开始制动到完全刹住的时间为再把t=50代入式（4）,得列车在制动后所行驶的路程为 st505.02020.2502050500(m)s 1曲线方程 已知曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为cos