第三章 线性方程组new

1、11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11112122122212,nnmmmmnAaaaAaaaAaaa 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb 线性方程组线性方程组Axb 考虑再学 方程对应一个向量再学方程间方程间的关系的关系向量间向量间的关系的关系 向量组构成矩阵再学矩阵的性质矩阵的性质和运算和运算 教学内容和基本要求教学内容和基本要求 21021125cxAxbAxb ,APA bPbAxbPAxPbAxb ,A b ,A b .设设A Rn n , 则则

2、有非零解有非零解 |A|=0.设设A Rm n, 则则有非零解有非零解 r(A)n有非零解有非零解 A不可逆，退化，奇异不可逆，退化，奇异.设设A Rn n , 则则 只有零解只有零解 |A| 0. A可逆，非退化，非奇异可逆，非退化，非奇异.123123123(1)0(1)0(1)0 xxxxxxxxx 对系数矩阵对系数矩阵A作初等作初等变换变换, 化为阶梯阵化为阶梯阵.当当或或 = 时时, r(A)3, 当当且且 时时, r(A)=3, 注注1 1：基础解系是：基础解系是解向量组的解向量组的极大无关组极大无关组， 所以基础解系所以基础解系不唯一不唯一， 且任意两个基础解系且任意两个基础解系

3、等价等价； 注注2：解向量组的解向量组的秩秩是基础解系含有的向是基础解系含有的向 量的个数，即量的个数，即. .B123412341234 0223 20773 0 xxxxxxxxxxxx 1 1 1 12 2 3 2 7 7 3 1 1 1 0 1/50 0 1 4/50 0 0 01210,011212113411/510, (,R).04/50 1xxccc cxx 101/5 4/52112121222212nnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa 121100,010001n 21aa 31aa 1naa 12000,000naaa 1r A 10a 是是Ax = 0

4、 的解的解. 12120ttABA B BBAB ABAB 证明：证明： r Bnr A 12,tBBB可由可由Ax = 0的基础解系线性表示的基础解系线性表示.12,tBBB r Ar Bn 例例4. A Rs n, B Rn t. 若若AB=0, 则则 r(A)+r(B) n. r(A)n ()|An|=0 ()1 1 1 11 1 1 31 1 2 0 1 1/2 3 1/2 1/21 1 0 10 0 1 20 0 0 0 0 2/ 1 3213 0 432143214321xxxxxxxxxxxx1212341210 0,01 0,R.xxccxxc c 10121/21/2 321

5、321321)(13)(10)(1xxxxxxxxx对增广矩阵对增广矩阵(A, b)作初等作初等变换变换, 化为阶梯阵化为阶梯阵.本质是解向量组的极大无关组本质是解向量组的极大无关组, 秩为秩为n-r(A)初等行变换初等行变换 1212,nnAB 极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价,且含有相同个数且含有相同个数(秩秩)的向量的向量.命题：如果命题：如果中任意中任意个个无关的向量均为无关的向量均为的极大无关组的极大无关组. 12,siii 12,siii 初等行变换初等行变换 1212,nnAB 12,siii 12,siii 121211,ssii

6、iiiiAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 初等行变换初等行变换 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 对应的原矩阵的列对应的原矩阵的列也是原矩阵也是原矩阵的的极大无关组极大无关组；初等行变换初等行变换 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12121212ssjiisijiisikkkkkk 12,siii 12,siii 对应的原矩阵的列对应的原矩阵的列也是原矩阵也是原矩阵的的极大无关组极大无关组； 初等行变换初等行变换,AA(阶梯阵阶梯阵)若要将若要将非主列非主列用极大无关组用极大无关组线性表示

7、线性表示, 则要化则要化成成行最简形矩阵行最简形矩阵. 对应的原矩阵的列对应的原矩阵的列也是原矩阵也是原矩阵的的极大无关组极大无关组；2 1 1 1 21 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9A 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9A 10104011030001300000 本质是解向量组的极大无关组本质是解向量组的极大无关组, 秩为秩为n-r(A)1. 设设A是是6 5矩阵矩阵, 若若Ax= 的解空间是的解空间是2维的维的, 则则AT x= 的解空间是的解空间是 维的维的; 32. 设设x R3, r(A)=2, 是是Ax=b的解的解,

8、123, 123(1,1,1) ,(2,4,6)TTAx=b 20r AAx 的基础解系有的基础解系有1个解向量个解向量 23120A 0,2,4T 0,2,41,1,1,TTkkR Ax=b假若假若k1 + k2( 1+ ) + k3( 2+ ) = 0, 即即k1 = k2 = k3 = 0. 则则(k1 + k2 + k3) + k2 1 + k3 2 = 0.于是于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0,所以所以 , 1+ , 2+ 线性无关线性无关. 下证下证 , 1, 2线性无关线性无关.否则否则 能由能由 1, 2线性表示线性表示, 从而从而 是线性方程组是线

9、性方程组Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 所以所以 , 1+ , 2+ 线性无关线性无关. 下证下证 , 1, 2线性无关线性无关.否则否则 能由能由 1, 2线性表示线性表示, 从而从而 是线性方程组是线性方程组Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 11010 ,1111ab 2111101001011001A 所以所以r(A) = 1, 因而因而 = 1. 此时，此时，211111010000001000 0111 1012 11010 ,1111ab 不存在更多的线性无关的解向量不存在更多的线性无关的解向量, 试确定这时参试确定这时参数数 及及a的值的值, 并求这时并求这时Ax = b的

10、通解的通解.2. 若在若在Ax = b的解集中存在的解集中存在两个线性无关的解向量两个线性无关的解向量, 但但若在若在Ax = b的解集中存在两个线性无关的解的解集中存在两个线性无关的解向量向量, 但不存在更多的线性无关的解向量但不存在更多的线性无关的解向量, 则则Ax =0的基础解系中只有一个线性无关的解向量的基础解系中只有一个线性无关的解向量. 所以所以r(A, b) = r(A) = 2. 此时此时 = 1. 1111013/2,020 1010 1/211110002aA baa = 2, 02/ 12/3101321cxxx11113120,132k 1111103/41/43120

11、011/43/4132000Akk 13/41/4,10 21/43/401 秩秩(A) = 2.3. 问是否存在秩大于问是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 为什么为什么?3113 4004B 11113120,132k 秩秩(A) = 2.3. 问是否存在秩大于问是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 为什么为什么? 1, 2由于任何一个满足由于任何一个满足AM = O的矩阵的矩阵M的的列向量组列向量组都可以由都可以由 1, 2线性表示线性表示, 因而不存在秩大于因而不存在秩大于2的矩阵的矩阵M使得使得AM = O. 所以这样的矩阵所以这样的矩阵M的秩一定的秩一定 2. 填空题选择题：作为课