空间谱估计基本原理学习教案

1、空间空间(kngjin)谱估计基本原理谱估计基本原理第一页，共66页。第1页/共66页第二页，共66页。第2页/共66页第三页，共66页。第3页/共66页第四页，共66页。第4页/共66页第五页，共66页。第5页/共66页第六页，共66页。第6页/共66页第七页，共66页。第7页/共66页第八页，共66页。第8页/共66页第九页，共66页。第9页/共66页第十页，共66页。第10页/共66页第十一页，共66页。00( )j()()j( )( )e()()ettiittiis tu ts tu t()( )()( )iiu tu ttt00()( )jj()( )e( )ettiiis tu t

2、s t 以阵列的某一阵元为参考阵元，则第l个阵元接收(jishu)通道的信号为1( )()( ) 1,2,Nlli ililix tg s tn tlM第11页/共66页第十二页，共66页。0 10 20j111111j2222 11j11( )( )e( )( )( )( )e( )( ) ( )( )( )( )eiiMiNNiiiiiiiNNiiiiiiiMMNNMiiiMiiiigs ts tx tn tgs ts tx tn txtntgs ts t 0 110 120 10 210 220 20102012 -j-j-j11-j-j-j22 -j-j-j( )( )( )( )ee

3、e( )eee( )eee( )NNMMMNMMNn tn tnts tn tstn tntstt X( )( )ttASN第12页/共66页第十三页，共66页。0 10200exp( j)exp( j) 1,2, 22 exp( j)iiiMiciNf a可见，一旦求得阵元间的延迟就会得到导向(do xin)矢量阵A。1( coscossincossin )xyzc第13页/共66页第十四页，共66页。1sinkikiyc(1,2,)kx kM(1,2,)iiN1(coscossincos)kikiikiixyc阵元的位置(wi zhi)信号入射方位角和俯仰角(,)(1,2,)kkxykM(

4、 ,)(1,2,)iiiN ()coscosM21kiiir kc骣 骣-琪 =-桫桫r 为圆半径(bnjng)第14页/共66页第十五页，共66页。数大于阵元数L M。第15页/共66页第十六页，共66页。HHHHHSNEEERXXASSANNAR ARHH2SNSRAR ARAR AI对R进行(jnxng)特征分解有HH1121, , diag ,MiiiMMi RUUe eUee特征值满足关系2121NNM定义 相对应的特征向量矩阵为2S1N1diag, diag,NNMIS12N12 , NNNMUeeeUeee第16页/共66页第十七页，共66页。 HHH2H1111HHHSNSNS

5、SSNNNNMNMiiijiiiiiiiijNijNRe ee ee ee eUU UUU UU U=+=+=+=+=+邋邋1212span , span NNeeeeee=SNSNp由入射信号(xnho)的导向矢量张成空间与信号(xnho)子空间为同一个空间1212span span NNeeeaaa=S Sp信号子空间与噪声子空间正交，且有HHHHHSSNNSSNN0, , iA eU UU UIU UIU UI=+=第17页/共66页第十八页，共66页。H11LiLRXX=HCBFH( )( )( ) ( )PaRaaa=第18页/共66页第十九页，共66页。第19页/共66页第二十页，

6、共66页。HSN11, , LiLRXXUU=由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间(kngjin)不能完全正交，即HN( )0QaU=因此，实际DOA估计是以最小优化搜索实现的，即HHMUSICNNargmin( )( )aU U a=而定义MUSIC算法的空间谱为MUSICHHNN1( )( )PaU U a=HMUSICHHNN( ) ( )( )( )PaaaU U a=HHNNMUSICH( )( )argmin( ) ( )aU U aaa=第20页/共66页第二十一页，共66页。121NNMp根据(gnj)性质 ，有HHSSNNU UU UI+=MUSICHHSS1 ( )() (

7、 )PaIU Ua=-理论上，利用信号子空间和噪声子空间估计参数是一致的，但实际应用时两者估计性能有差别p线阵的信号参数搜索范围为 ，而面阵的范围为 90 ,90 -鞍 180 ,180 -鞍p随着扫描角度的变化，当导向矢量属于信号子空间时，Q是一个趋于零的值，而当导向矢量不属于信号子空间时， Q是一个不为零的值，所以，P在信号源方向上会产生很尖的“谱峰”，而在其他方向上相对平坦第21页/共66页第二十二页，共66页。第22页/共66页第二十三页，共66页。第23页/共66页第二十四页，共66页。第24页/共66页第二十五页，共66页。第25页/共66页第二十六页，共66页。HHHWMUSIC

8、NNNNargmin( )( )aU U WU U a=pMVM算法(sun f)，最小方差算法(sun f)H11HHMVMNNNNargmin( )( ), aR aRU U WU U-=pMEM算法，最大熵算法H111/2H11MEM00NN0argmin( )() ( ), ()aR u R u aWU UR u-=pMNM算法，最小模算法HHHHTH1MNMNNNNNN00NN0argmin( )( ), ()aU U WU U aWU U u u U U u-=第26页/共66页第二十七页，共66页。第27页/共66页第二十八页，共66页。第28页/共66页第二十九页，共66页。第

9、29页/共66页第三十页，共66页。0( )( ) 1,2, iis ts tin=112200( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nns ts ttttts tts tts tXASNANANA N轾轾犏犏犏犏犏犏=+=+=+=+犏犏犏犏犏犏臌臌式中，是复常数(chngsh)矢量，s0(t)为生成信源p数据协方差矩阵的秩降低，信号子空间的维数小于信源数，信号子空间“扩散”到噪声子空间，导向矢量与噪声子空间不完全正交，无法正确估计信号源方向p解相干预处理：降维处理和非降维处理第30页/共66页第三十一页，共66页。基本(jbn)思想是将均匀线列阵分成若干个相互重叠

10、的子阵列，若子阵的阵列流形相同，则子阵列的协方差矩阵可以平均。T112T2231T11T11 mmkkkm kpppmp XxxxXxxxXxxxXxxx01j( )( ) ( )( ) 1,2,( )e, (1) sin/ 2sin, 1,2,liNlliilililiiiitttlMldcdiN xasna第31页/共66页第三十二页，共66页。(1)( )( )( )kkkttmXADSN1212jj(1)TjjjT11( )( ) () ()( )1 e ediage e e( ) iiNmmmmNmmikkkm ktnnn AaaaaDN于是，子阵k的数据(shj)协方差矩阵为 H(

11、1)(1)H2S( )( )kkkkkmmmERX XADR DAI前向平滑修正的协方差矩阵为 f(1)(1)HH2S11fH2S11()ppiiimmiimmppRRADR DAIA R AI第32页/共66页第三十三页，共66页。第33页/共66页第三十四页，共66页。第34页/共66页第三十五页，共66页。第35页/共66页第三十六页，共66页。第36页/共66页第三十七页，共66页。第37页/共66页第三十八页，共66页。1exp(j)( )exp(j2)exp(j(1)uuMua轾犏犏犏犏=犏犏犏犏-犏臌M12exp()2exp( 2)2exp( (1)MMMMF轾犏犏犏犏犏犏犏犏=

12、犏犏犏犏犏犏犏犏-犏臌Mjjj可见，导向矢量是傅氏变换的一种形式，只是因子不同(b tn)，则第n次快拍数据的傅氏变换为1H0( , )( )exp(j)( ) ( )MkMkf u nx nkuunax-=-=上式表明，导向矢量其实是一个波束形成器，主瓣指向u=sin。第38页/共66页第三十九页，共66页。定义周期(zhuq)为u=2的 M M的波束形成矩阵，每列表示波束主瓣指向 ，共有M个波束形成器，各主瓣指向间隔为2/M222(0)()(2)(1)MMMMMWaaaa轾骣骣鼢珑犏=-鼢珑鼢珑犏桫桫臌KMM sin(2 /),1,1uk MkM=-L 1222(1)(1)mmmBMMMM

13、Taaa轾骣骣骣鼢珑犏=+-鼢珑鼢珑犏桫桫桫臌KMB 满足(mnz)HT TI=经过波束空间变换后的输出H( )( )nnyT x=对应的协方差矩阵为HHH2SHH2HHH2SSH2S()yyxxRT R TTAR AI TT AR A TT TT AR A TIBR BI=+=+=+=+HHH11( )() ( )()NNBT AT aT abb=KK 第39页/共66页第四十页，共66页。U%NHH11( )( )( )( )PbU U baTU U T a=% % %B -M U SICHHHNNNNp有很多取T的方法，可以(ky)考察两个相邻信号的分辨力，注意满足正交化第40页/共66

14、页第四十一页，共66页。第41页/共66页第四十二页，共66页。第42页/共66页第四十三页，共66页。第43页/共66页第四十四页，共66页。H(1) T( )( ) 1, , ( )1 iMf zziNMzzze pp-=+=KK当z=exp(j)，即多项式的根正好位于单位(dnwi)圆上时，p(z=exp(j)是空间频率为的导向矢量。恰好是信号的导向矢量，且与噪声子空间正交，于是HH1T1HNNNN( )( )( )( )()( )Mf zzzf zzzzpU U ppU U p-= 注意，多项式的阶数为2(M-1），也就是说有M-1对根，且每对根互为共轭关系，其中有N个根正好分布在单位

15、圆上。实际中，接近单位圆上的根即可，对等距均匀线阵ULAarcsinarg 1,2iiziNd骣=桫K 第44页/共66页第四十五页，共66页。第45页/共66页第四十六页，共66页。第46页/共66页第四十七页，共66页。第47页/共66页第四十八页，共66页。第48页/共66页第四十九页，共66页。11111111jj212222jj ( ) () ( )e ()ediage e(2|sin)/NNNNkkXaaSNA SNASNXaaSNA SNASN第49页/共66页第五十页，共66页。1122XNAXSASNXNA2HHHHSNSSSNNN1miiiiERXXAR ARe eU UU

16、 U=+=+H在理想条件下，X的协方差矩阵及其特征(tzhng)分解，注意矩阵的维数有特征值的关系21212NNm同样特征向量张成两个子空间，且Sspanspan ( )UA=因此，存在一个唯一的非奇异矩阵T，使得S1SS2( )UATUATUAT轾轾犏犏=犏犏臌臌有特征向量张成的子空间与阵列流形A张成的子空间相等，即S1S2spanspan ( )spanUAU=第50页/共66页第五十一页，共66页。1S2S1S121UU T TU AA-=如果(rgu)阵列流形A是满秩矩阵，则1TT-=的特征值组成的对角阵一定等于，矩阵T的各列就是矩阵的特征向量，只要得到就可以得到信号的入射角。如何求得

17、？第51页/共66页第五十二页，共66页。2S2S1S2S2minUU UU=+VV 定义(dngy)并展开2S1S2HHHHHHS2S2S2S1S1S2S1S1()fU UU UU U U U U U 对求导并令其等于0，可得HHS1S2S1S1d ()220df U UU U 当子阵的信号子空间的维数等于信号源数时，有唯一的最小二乘解H1HLSS1S1S1S2S1S2()()U UU UUU当子阵的信号子空间不满秩时，有很多解，存在相干信号源第52页/共66页第五十三页，共66页。S1S1S2S2S2S1S2S1()1( )()0z UUUUUUUUUUTLS的解等价于下式，也就是(jis

18、h)寻找一个酉矩阵F与U正交2min ()0zUUU定义矩阵S12S1S2UU|UF可以从下面的特征分解中得到HHS12S12UUEE11122122EEEEE令12N22EEEEN是由对应特征值为0的特征向量构成的矩阵，它属于噪声子空间第53页/共66页第五十四页，共66页。1S12S1S2S11S22212|00FUFUUU FU FFATFATF如果(rgu)令 ，则112FF-= -1TT-=说明的特征值就是的对角线元素(yun s)。于是有1TLS1222E E-= -第54页/共66页第五十五页，共66页。H2111S1H2HH2222S21S1H2HH2121S21S1H2TH2T212S11S1RA R AIRA R AIAR AIRA R AZA R AZRA R AZAR AZ000100010Z降噪后，有2H11111S12HH22221S12HH12121S12TH21211S1CRIA R ACRIAR ACRZA R ACRZAR AHH11121S1H11211S1HH22121S1HH22211S1()()()()IIC