一阶微分方程的初等解法

1、二、二、 本章教学内容本章教学内容2.1 变量分离方程与变量变换2.2 线性微分方程与常数变易法2.3 恰当微分方程与积分因子2.4 一阶隐式微分方程与参数表示yxyedxdy221 ,dyxydxxyeye先看例子：上两个例子有个共同的特点: 方程右端的函数都可以表的函数与的函数的乘积的形式.示为xy定义1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,称为变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2 . 2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1

2、y的某一原函数)(xf.) 1 . 2(),()2 . 2(的解就为所确定的函数由cxy) 1 . 2()()(yxfdxdy两边积分得02写成将时当) 1 . 2(,0)(y注注1 1 常数c必须保证(2.2)式有意义.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必须予以补上的通解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在yyyy注注2 2解例1dyxdxy ydyxdx ydyxdxC 2222yxC 分离变量:两边积分:求解方程得:所以通解为:22xyC其中2CC是任意正常数。例2求微分方程dyxydx的所有解.解解: :, y方程两边同除以 再积分1dyxdxcy积分得:211ln

3、2yxc得再将常数记为从上式中解出,cy212xyce. 0c故方程的所有解为:212,xycec为任常数0y 另外也是方程的解.解:分离变量得()mmNrdtdNNN N两边积分得:解得:例300(1),( ),( )0mdNNrN N tNN tdtN求解人口增长的logistic模型mdNdNNNNlnln()mrtcNNN为任意常数c1mrtNNce其中cce时,0NN代入得:得特解0tt若将初值条件0()01 (1)mr t tmNNNeN01rtmNceN例4求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解:将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得:1)(lnc

4、dxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为1)(cdxxpey练习1P42 1.(4); 1 齐次方程)5 . 2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug的方程称为齐次方程,求解步骤:方程化为引入新变量作变量代换,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原二、可化为变量分离方程类型二、可化为变量分离方程类型形如例5求解方程tan.dyyydxxx解: 这是齐次方程

5、,yux令,变量分离得tandudxux则dyduxudxdx ,于是,tanduxuuudx,即tanduudxx,两边积分得此外,方程还有解1ln |sin| ln |uxc ,这里为任意常数.sin0,u 1c整理得sinucx1cce 其中若上式允许0c 则也包含了解sin0,u 故通解为sinucx代回原来变量,的原方程的通解为:sinycxx这里为任意常数.c例6求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,

6、0)ln(,)(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为2ln() ,ln()0,0,ln()0 xxcxcyxcxdxudu22ln() ,ln()0yxxcxc另外,还有解0.u 及0.y 或练习2P42 1. (6); 2 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论此时方程化为(1)111222abckabc的情形,dykdx有通解,ykxc c为任意常数则方程化为令,22ybxaudxdu1222kucabucdxdyba22是变量分离方程111222abckabc(2)的情形1122abab(

7、3)的情形12,c c若全为零,直接作变换yux可将方程化为变量分离方程，进而求其通解1112220,0a xb yca xb yc).0 , 0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为1122()a XbYdYYgdXa Xb YX求解此齐次方程再作代回原变量即得原方程的解12,c c若不全为零,则解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu 求解04变量还原05例7求微分方程13dyxydxxy

8、的通解.解:解方程组1030 xyxy 1,2,xy得1,2xXyY令代入方程得dYXYdXXY得令,XYu 211 2dXuduXuuXYXY11两边积分得:22lnln(21)Xuuc 代回原变量,得222.YXYXc于是22(21),Xuuccce 其中22(2)2(1)(2)(1).yxyxc此外,222YXYXc2(21)0,uu即也是解, 所以原方程的通解为:22262,yxyxyxcc为任意常数练习3P42 2. (3); 注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbya

9、xfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM三、应用举例三、应用举例例8、电容器的充电和放电 如图所示的RC电路,开始时电容C上没有电荷,电容两端电压为零,把开关S合上”1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端电压 逐渐升高。经过相当时间后,电容充电完毕,再把开关S合上”2”,这时电容开始了放电过程.找出充、放电过程中，电容C两端的电压 随时间 的变化规律.解:cuRIE对于充电过程,由基尔霍夫第二定律,有,