三线合一证练习题复习

1、精品文档等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1,AD是ABC的角平分线，DE、DF分另是ABD和ACD的高。求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF,因为有12,所以只要证AEF为等腰三角形即可证明：DEAB,DFAC12,ADADRtAEDRtAFDAEAF又12AD垂直平分EF例2.如图2,ABC中，AB=AC,AD为BC边上的高，AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证:AB3AK分析：可考虑作DE/CK

2、交AB于E,因为M只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有是AD的中点，所以K是AE的中点，ABAC,ADBC,所以就想到用习题证明：过点D作DE/CK交BK于点EABBDAMAC,DC,MDADBCBEAKEKKEAKABKE3AKEB二.先连线,再用“三线合一”例3.如图3,在ABC中，A90一点，作PEAB,PFAC,垂足分别为求证：（1）DE=DF;（2）DEDF,ABAC,E、FD是BC的中点，P为BC上任分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为BDE或PDE的一边，DF为DFP或DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，

3、于是我们想到连结AD一试，这时容易发现AEDCFD或BDFADF问题得证。（2）欲证DEDF,只要证ADEADF90,即可但由（1）已证出ADECDF又ADFCDF90,故问题解决证明：连结AD。D是BC的中点BAC90,ABAC1八ADBDBC2DA平分BAC,ADBC一1一DABDACBAC452B45ABAC,PFAC,PEAB四边形PEAF是矩形PEFABPE45BBEPEAF又ABAC,ECF又EADFCD45,ADDCAEDCFDDEDF(2)AEDCFD习题ADECDF又ADFCDF90ADFADE90即DEDF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”ADB90,M、N分别为AB、

4、CD例4.如图4,已知四边形ABCD中，ACB的中点，求证：MNCDAM图4分析：由于MN与CD同在MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证MCD为等腰三角形，由于MD、MC为RtADB、RtACB斜边AB上的中线，因此1MDMC-AB,所以，问题容易解决。2证明：连结DM、CMACBADB90,M是AB的中点-1DMCMAB2CMD是等腰三角形又N是CD的中点，MNCD例5.如图5,ABC中，BC、CF分别平分于F,求证：EF/BCABC和ACB,AEBE于E,AFCF分析：由BE平分ABC、AEBE容易想到：延长AE交BC于M,可得等腰BMA,E为AM的中点；同理可得等腰CAN,5是AN的

5、中点，故EF为AMN的中位线，命题就能得证。证明：延长AE、AF分别交BC于M、N12,AEBEBAM为等腰三角形即ABMB,AEEM同理AFFNEF为AMN的中位线EF/MN,EF/BC习题-、证明角相等【例1】已知：如图1,在ABC中，ABAC,BDAD于D.求证：BAC2DBC.【分析】作出等腰ABC的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC等于其中任一部分即可.【证明】作BAC的平分线AE,则有1 2%BAC.ABAC,12,，AEBC（三线合一）.，2C90.又BDAD,2 DBC.BAC2DBC.【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地

6、构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决.二、证明线段相等【例2】（2009汕头）如图2,ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到巳使CECD,过点D作DMBE,垂直为M.求证：BMEM【分析】在BDE中，DMBE.如果能证得DBDE,由“三线合一”就可得出BMEM.【证明ABC是等边三角形，D是的AC中点，ABCACB60,BD平分ABC（三线合一）.DBC30.又CECD，-ECDE.30.DBCE30又ACBECDE,E2ACBDBDE,又.DMBE，.二BMEM（三线合一）.【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也

7、可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多.因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决.三、证明直线垂直习题【例3】（2009义乌）如图3,在正ABC中，AD右作正ADE.请判断AC、DE的位置关系，并给出证明.【分析】在正ABC中，由“三线合一”知CAD30.而4ADE也是正三角形，于是有FAEDAECAD603030,这样就得AF是正4ADE的角平分线，再由“三线合一”得ACDE.【证明】在正ABC中，ADBC,CAD30（三线合一）.BC于点D,以AD为一边向在正ADE中,FAEDAECAD603030,

8、，AF是DAE的平分线.ACDE（三线合一）【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直:（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线.,则与的关系式为图1例1.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是分析：如图1,AB=AC,BD，AC于D,作底边BC上的高AE,E为垂足，则可知/1EAC=/EAB，又/EAC90ZC,Z90/C,所以2，-一1/EAC,1。1,一八一BC,E在ABC外,22例2.已知：如图2,4ABC中，AB=AC,CEXAE于E,CE求证：/ACE=/Bo习题图2分析：欲

9、证/ACE=/B,由于AC=AB,因此只需构造一个与RtAACE全等的三角形,即做底边BC上的高即可。证明：作ADXBC于D,AB=AC,1 -BD-BC21 .又.CEBC,2BD=CE。在RtAABD和RtAACE中，AB=AC,BD=CE, RtAABDRtAACE(HL)。/ACE=/B例3.已知：如图3,等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD,DMLBC于M,求证：M是BE的中点。分析：欲证M是BE的中点，已知DMLBC,因此只需证DB=DE,即证/DBE=ZE,根据等边4ABC,BD是中线，可知/DBC=30°,因此只需证/E=30°。证明：联结BD,.ABC是等边三角形， ./ABC=ZACB=60°CD=CE, ./CDE=/E=30°BD是AC边上中线，BD平分/ABC,即/DBC=30° ./DBE=/E。DB=DE又;DM±BE,DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。习题练习11 .如图4,墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=A