工程热力学：基本方程组的数值求解

1、基本方程组的数值求解Sgraddivudivt)()()(0:(|),0(|),0(|),0(|),0(|),0(|),0PpEEWWSSNNTTBBEeeeWwwwNnnnSsssTtttBbbbPEWSNTBPpaaaaaaabwhereaD A PCaD A PCaD A PCaD A PCaD A PCaD A PCaaaaaaaaS V 0000/PpcPpVx y zaVtbS Va ,0EeeaDC EWWEewPWPEewwexppxppppxppxp/22wens002200WEPWEPweuuuuuuuuxu次要影响，可忽略相邻速度修正值次要影响，可忽略相邻速度修正值所引起

2、，为速度修正的间接影响所引起，为速度修正的间接影响 这是由于这是由于 不满足连续性方程，不满足连续性方程，如果用如果用 去确定新的系数并开始下去确定新的系数并开始下一次的迭代，会影响迭代收敛速度，并且会使代一次的迭代，会影响迭代收敛速度，并且会使代数方程组前的系数关系数方程组前的系数关系 得不到保证。得不到保证。Pnbaa000,uvwp,u v wp, ,u v wp, ,u v w四、差分格式四、差分格式1 1差分方程的要求差分方程的要求l 在计算数学中，为评价差分格式，提出了在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性相容性、稳定性稳定性、耗散性耗散性、色散性色散性等原则，并发展了一系列的

3、分析方法等原则，并发展了一系列的分析方法l 为了容易理解，这里从物理的为了容易理解，这里从物理的真实性真实性、收敛性收敛性及解的及解的精度精度几方面进行讨论几方面进行讨论 差分方程可以写为差分方程可以写为 (5)(5) 式中，取和号下的指数式中，取和号下的指数nbnb表示表示P P点周围的结点。对一维问点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。nbnbnbPPbBB1 1）物理上的真实性）物理上的真实性差分方程的系数要同号差分方程的系数要同号：上述差分方程中，：上述差分方程中，Bnb和和BP要同号要同号在控制面上，通量要保

4、持一致在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。守恒。nbnbnbPPbBB2 2）迭代求解的收敛性）迭代求解的收敛性l 对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒巴勒（Scarborough）指出：

5、指出：所有结点的差分方程，其系数之和需满足所有结点的差分方程，其系数之和需满足 （6）至少有一个结点，系数之和满足至少有一个结点，系数之和满足 （7） 对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的要的nbPnbBB1/nbPnbBB1/3 3）解的精确性）解的精确性l 要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格差分网格外，恰当地选择外，恰当地选择差分格式差分格式也是重要的因也是重要的因素之一。素之一。2 2对流项和扩散项的差分对流项和扩散项的差分l 很多差分格式的系数都与参数很多差分格式的系数都与参数 、 的比的比值值Peclet数数 有关有关l数表示了数表示了对流对流与与扩散扩散作用的作用的相对大小相对大小l 当当 数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而通过扩散向上游传递的下游的信息则几乎等于零通过扩散向上游传递的下游的信息则几乎等于零l 如果输运系数为粘性系数，则如果输运系数为粘性系数，则PecletPeclet数即为