高一数学人教A版必修1课件：311方程的根与函数的零点（第1课时）

1、3.1.1 方程的根与函数的零点第1课时中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 九章算术九章算术给出了一次方程、二次方程和正系数给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法。三次方程的求根方法。 19世纪世纪挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。般方程没有根式解。方程函数函数图象方程的根图象与x轴交点2230 xx223yxx2210 xx221yxx2230 xx223yxx121,3xx 121xx无实数根无实数根( 1,0),(3,0) (1,0)无交点无交点xyxy一、基础知识讲解一、基础知识讲解OxyOO0 0 0 上述

2、方程的上述方程的不相等的根的个数不相等的根的个数和对应的函数图象与和对应的函数图象与 x 轴轴交点的个数交点的个数相同。相同。 方程方程f(x)=0的实数根就是相应函数图象与的实数根就是相应函数图象与x轴的交点轴的交点的横坐标的横坐标. .方程根方程根的情况的情况函数函数图象图象图象与图象与x轴交点轴交点12(,0),(,0)xx1(,0)x无交点无交点二次方程的根和二次函数图象与二次方程的根和二次函数图象与x轴交点的关系轴交点的关系 判判别别式式0 0 0 12,xx12xx 没有实数根没有实数根有两个不等有两个不等的实根的实根有两个相等有两个相等的实根的实根一、基础知识讲解一、基础知识讲解

3、xyxyOxyOO函数函数 y=f(x) 的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点方程方程 f(x)=0 有实数根有实数根 方程方程f(x)=0的实数根就是相应函数图象与的实数根就是相应函数图象与x轴交点轴交点的横坐标的横坐标.2、有关函数与方程的三个等价关系：、有关函数与方程的三个等价关系：函数函数 y=f(x) 的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点1 1、零点的定义：、零点的定义： 对于函数对于函数 y=f(x) ，我们把使，我们把使 f(x)=0 的的 实数实数 x 叫做叫做函数函数 y=f(x) 的零点。的零点。函数函数 y=f(x) 有零点有零点一、基础知识讲解一、基础知识讲解思考：

4、思考：零点是不是一个点？零点是不是一个点？方程方程 f(x)=0 有实数根有实数根由此可见由此可见:确定确定函数函数y=f(x)的零点的零点的两种途径的两种途径(1)解方程解方程 f(x)=0； (2)画图求与画图求与 x 轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标零点不是点，是实数零点不是点，是实数231(1)20; (2)2logyxxyx 例例 、求求下下列列函函数数零零点点2200,xx解解：由由题题，令令125,4xx 解解得得：220yxx 函函数数的的零零点点为为_5,4 2( )yf x 例例 、已已知知函函数数图图象象如如下下，则则该该函函数数在在区区间间-5,5-5,5上上的的零零点

5、点为为_xyO5 44 54,0,4 零点不是零点不是点，是数点，是数三、基础知识讲解三、基础知识讲解函数函数y = x2- 2x - 3区间区间(a,b)有没有没零点零点f(a)f(b)的符号的符号（+ +或或- -）结论结论图象图象(-2 , 0)(0 , 2)(2 , 4)(4 , 5)有有没有没有有有没有没有- -+ +- -+ +则函数在则函数在区间区间(a,b)内有零点内有零点f(a)f(b) 0思考：思考：能充分保能充分保证有零点吗？证有零点吗？连续不断连续不断xyOxyOab1 2 3-2 -13、零点存在性定理：、零点存在性定理： 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间

6、a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0 ，那么函数，那么函数 y=f(x)在在区间区间 (a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在 c (a,b)，使得，使得 f(c) =0，这个这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根。的根。三、基础知识讲解三、基础知识讲解x-2-1012f(x)( )23xf xx练练习习1 1、已已知知函函数数的的图图象象是是连连续续不不断断的的曲曲线线，且且有有如如下下的的对对应应值值表表：则在下列哪个区间内函数则在下列哪个区间内函数 f(x) 一定存在零点一定存在零点 （ ）234 52 1105

7、( 2, 1) B.( 1,0) C.(0,1) D.(1,2)A . .B3、零点存在性定理：、零点存在性定理： 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0 ，那么函数，那么函数 y=f(x)在在区间区间 (a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在 c (a,b)，使得，使得 f(c) =0，这个这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根。的根。三、基础知识讲解三、基础知识讲解21 223( )ln( , )B ( , )C ( , )D ( ,)f xxxAeee练练习习2 2、的的

8、零零点点所所在在区区间间是是( )( )、B20lnxx方方程程的的根根所所在在的的区区间间是是_改改编编：_2( , )e确定确定函数零点函数零点途径：途径：(1)解方程解方程 f(x)=0； (2)画图求与画图求与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 (3)利用零点存在性定理判断利用零点存在性定理判断3、零点存在性定理：、零点存在性定理： 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0 ，那么函数，那么函数 y=f(x)在在区间区间 (a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在 c (a,b)，使得

9、，使得 f(c) =0，这个这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根。的根。思考思考1：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上是一条连续不上是一条连续不断的曲线，且在区间断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有内有零点，是否一定有f(a) f(b)0 ？三、基础知识讲解三、基础知识讲解 2232,4(-2,4)( 2)(4)_0.yxxff在在区区间间上上连连续续，且且在在上上_零零点点，而而 xy-1 O 1 2 3 4存存在在不不一一定定3、零点存在性定理：、零点存在性定理： 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不

10、断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0 ，是否可以判断函数，是否可以判断函数y=f(x) 在在 (a,b) 内没有零点？内没有零点？ 2232,4( 2)(4)_0(-2,4)yxxff在在区区间间上上连连续续，且且在在上上函函数数_零零点点， 存存在在xy-1 O 1 2 3 4不不可可以以3、零点存在性定理：、零点存在性定理： 如果函数如果函数 y=f(x) 在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0,f(b)0,则函数则函数f(x) 在区间在区间(a,b)内（内（ ） A.一定有零点一定有零点 B

11、.一定没有零点一定没有零点 C.可能有两个零点可能有两个零点 D.至多有一个零点至多有一个零点C六、针对性练习六、针对性练习2221223( )()() ()_f xxxxx 3 3、的的零零点点个个数数为为4函数函数 y =f (x) 有零点有零点函数函数 y =f (x) 的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点2 2、三个等价关系：、三个等价关系：方程方程 f (x)=0 有实数根有实数根3 3、零点存在性定理、零点存在性定理000( ),( ),( , ),( ),( ). , ( )( )( , )yf xyf xca bf cca bf af ba bf x 连连续续不不如如果果函函

12、数数在在区区间间上上的的图图象象是是的的一一条条曲曲线线 并并且且有有那那么么 函函数数即即存存在在使使得得这这个个也也就就是是断断在在区区间间内内有有零零点点方方程程的的根根七、课堂小结七、课堂小结1 1、函数的零点：对于函数、函数的零点：对于函数 y=f (x) ，使，使 f (x)=0的的实数实数x叫做叫做函数函数y=f (x)的的零点零点 4 4、判判断断函函数数零零点点个个数数方方法法：(1)转转化化为为解解方方程程，方方程程的的不不相相等等的的即即是是函函根根的的个个数数零零数数点点个个数数；(2)x交交点点利利用用函函的的个个数数数数图图象象：函函数数图图象象与与 轴轴即即是是函函数数零零点点个个数数；( )()(3.f af b 的的符符号号利利用用零零点点存存在在性性定定理理，即即，结结合合函函数数单单调调性性再再七、课