复变函数论第4章第1节ppt课件

1、第四章第四章 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示 前面两章我们分别用微分和积分的方法研前面两章我们分别用微分和积分的方法研究了解析函数的性质究了解析函数的性质, , 本章我们将用级数的方本章我们将用级数的方法研究解析函数的性质法研究解析函数的性质. . 把解析函数表示为级数不仅有理论意义把解析函数表示为级数不仅有理论意义, , 而而且有实际意义且有实际意义( (如傅立叶变换如傅立叶变换DFTDFT，Z-Z-变换等变换等), ), 而某些应用问题也常常用到级数而某些应用问题也常常用到级数. . 本章首先介绍复数项级数本章首先介绍复数项级数; ; 然后讨论复变函然后讨论复变函数项级数数项级数

2、, , 着重讨论幂级数及其收敛性问题；之着重讨论幂级数及其收敛性问题；之后研究解析函数展开成泰勒级数；最后研究解后研究解析函数展开成泰勒级数；最后研究解析函数零点的孤立性和惟一性问题析函数零点的孤立性和惟一性问题. .1 1、复数项级数、复数项级数2 2、一致收敛的复函数项级数、一致收敛的复函数项级数1 复级数的基本性质复级数的基本性质3、解析函数项级数、解析函数项级数对对于于复复数数项项无无穷穷级级数数 1nn,21 n定义定义4.14.1)1 . 4(nns 21设设. )( 部分和部分和ns若复数列若复数列,s存在有限极限存在有限极限即即,limssnn ,)1 . 4(s收敛于收敛于则

3、称复数项无穷级数则称复数项无穷级数为级数为级数并称并称 s1 1、复数项级数、复数项级数，的和的和)1 . 4( 1nns，无无极极限限若若复复数数列列), 2 , 1( nsn.)1 . 4(发发散散级级数数1 . 4定理定理)1 . 4(211 nnn 则称则称nnniba 设设, ), 2 , 1( n，为实数为实数及及nnba的的充充要要条条件件为为：收收敛敛于于则则复复级级数数ibas )1 . 4(.11babannnn及及分别收敛于分别收敛于及及实级数实级数 记作记作 n 21. )1(1 1的收敛性的收敛性考察级数考察级数 nnin解解 1 11 nnnna因因为为 1121

4、nnnnb所以原级数发散所以原级数发散. 例例1 1说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理4.1),发散发散,收敛收敛则可得则可得由复数列的柯西收敛准由复数列的柯西收敛准复复数数列列的的柯柯西西准准则则：), 2 , 1( niyxznnn复复数数列列0 有有极极限限的的充充要要条条件件是是：时时，恒恒有有当当NnN , 0.), 2 , 1(| pzznpn2 . 4定理定理收收敛敛的的充充要要条条件件为为：复复级级数数)1 . 4(1 nn对任对任,0 给给, )( NN存存在在正正整整数数为为时时且且使使当当pNn 任任何何

5、正正整整数数时时，有有.|21 pnnn特别地，特别地，,1 p若若取取.|1 n则则必必有有收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn , 0lim nn 3 . 4定理定理：收收敛敛的的一一个个充充分分条条件件为为复复级级数数)1 . 4(1 nn.|1收收敛敛级级数数 nn注意注意 ,1的的各各项项都都是是非非负负的的实实数数由由于于 nn 应用正项级数的审敛法判定其收敛性应用正项级数的审敛法判定其收敛性.所以可所以可2 . 4定定义义，收敛收敛若级数若级数 1|nn称称则则原原级级数数 1nn为为，非非绝绝对对收收敛敛的的收收敛敛级级数数称为称为.条件收敛条件

6、收敛；绝对收敛绝对收敛4 . 4定理定理)1(的的各各项项可可以以任任意意一一个个绝绝对对收收敛敛的的复复级级数数重重排排次次序序，性性，而而不不致致改改变变其其绝绝对对收收敛敛亦不致改亦不致改.变其和变其和)2(两两个个绝绝对对收收敛敛的的复复级级数数 ns21 ns21可可按按下下列列对对角角线线法法1 2 3 1 2 3 21 12 22 32 31 23 11 13 33 :)(级级数数柯柯西西积积得得出出乘乘积积 11 )(1221 )(1121 nnn 11)1(nnkknk .s s 也也绝绝对对收收敛敛于于 定义定义4.34.3设设复复变变函函数数项项级级数数 )()()(21

7、zfzfzfn，上上有有定定义义的的各各项项均均在在点点集集 E)2 . 4(上存在一上存在一且在且在 E, )(zf个函数个函数, zE 上的每一点上的每一点对于对于均均收收级级数数)2 . 4(, )(zf敛于敛于的的和和函函数数，为为级级数数则则称称)2 . 4()(zf记作记作. )()(1 nnzfzf2 2、一致收敛的复函数项级数、一致收敛的复函数项级数)()(1zfzfnn ”语语言言来来描描述述就就是是：若若用用“N,0Ez 以以及及给给定定的的对对任任给给 ,0 N时，时，当当Nn 有有,| )()(|zSzfn 一一般般地地说说，而且依而且依不仅依赖于不仅依赖于上述正整数上

8、述正整数N. ),(zNNz ：赖赖于于：无无关关有有关关而而与与只只与与一一种种重重要要的的情情形形是是zN, )(NN 即所谓即所谓一致收敛性：一致收敛性：定义定义4.44.4上上有有一一个个如如果果在在点点集集对对于于级级数数E, )2 . 4(),(zf函数函数,0 使对任何给定的使对任何给定的N存在正整数存在正整数),(N 时，时，当当Nn ,Ez 对对一一切切的的均有均有.| )()(|zSzfn ).()2 . 4(zfE 上一致收敛于上一致收敛于在在则称级数则称级数定定就就是是利利用用上上述述定定义义的的否否证证明明不不一一致致收收敛敛的的方方法法,形形式式 即即有有如如下下定

9、定义义：4. 4 定义定义)()(1zfEzfnn上不一致收敛于上不一致收敛于在点集在点集 )2 . 4()()()(21 zfzfzfn，对任何正整数对任何正整数某个某个0,00 N整数整数 ，时时Nn 0使使总有某个总有某个,0Ez .| )()(|0000zSzfn 5 . 4定理定理)(柯柯西西一一致致收收敛敛准准则则充要充要上一致收敛于某函数的上一致收敛于某函数的在点集在点集级数级数E)2 . 4(:条件是条件是,0 任给任给, )(NN 存存在在正正整整数数使当使当,时时Nn 均均有有对对一一切切,Ez zfzfpnn | )()(|1. ), 2 , 1( p)2 . 4()()

10、()(21 zfzfzfn5 . 4 定定理理)()(1zfEzfnn上不一致收敛于上不一致收敛于在点集在点集 ，对任何正整数对任何正整数某个某个0,00 N,0n整数整数 ，时时Nn 0有有及及某某个个正正整整数数总总有有某某个个,00pEz 使当使当.| )()()(|0002010000zfzfzfpnnn 充充分分条条件件，可可得得出出一一致致收收敛敛的的一一个个由由柯柯西西收收敛敛准准则则,即即级数准则：级数准则：强强优优)(, ), 2, 1( nMn若若有有正正数数列列有有使对一切使对一切,Ez nnMzf | )(|), 2, 1( n收敛，收敛，而且正项级数而且正项级数 1n

11、nM则则复复函函数数项项级级数数.)(1上绝对收敛且一致收敛上绝对收敛且一致收敛在集在集 Ezfnn 的的称称为为复复函函数数项项级级数数正正项项级级数数)(11zfMnnnn .优级数优级数注：注： 优级数准则是一个被广泛应用的方法优级数准则是一个被广泛应用的方法. . 因因为它把判别复函数项级数的一致收敛性转化为为它把判别复函数项级数的一致收敛性转化为判别正项级数的收敛性；另外，优级数准则同判别正项级数的收敛性；另外，优级数准则同时还可以判定绝对收敛性时还可以判定绝对收敛性. .别别法法强强级级数数准准则则亦亦即即比比较较判判)(魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法2例例级数级数 nzzz

12、21rz |在在闭闭圆圆.)1(上一致收敛上一致收敛 r.0 nnr优级数优级数因为上述级数有收敛的因为上述级数有收敛的下述两个定理和数学分析中相应的定理平行下述两个定理和数学分析中相应的定理平行. .6 . 4定理定理,)(1上上连连续续的的各各项项在在点点集集设设级级数数Ezfnn , )(zf并且一致收敛于并且一致收敛于则和函数则和函数 1)()(nnzfzf.上上连连续续也也在在 E7 . 4定理定理,)(1上上连连续续的的各各项项在在曲曲线线设设级级数数Czfnn , )(zfC 上上一一致致收收敛敛于于且且在在可可以以逐逐项项积积分分：则则沿沿 C并并.)()(1 nCnCdzzf

13、dzzf定义定义4.54.5内，内，定义于区域定义于区域设函数设函数Dnzfn), 2, 1()( ,)2 . 4(收收敛敛内内任任一一有有界界闭闭集集上上一一致致在在若若级级数数D则称则称内内此此级级数数在在 D.内闭一致收敛内闭一致收敛)2 . 4()()()()(211 zfzfzfzfnnn8 . 4定理定理内内闭闭一一致致收收敛敛在在圆圆级级数数RazK |:|)2 . 4(的的充充要要条条件件为为：,R 只要只要对任意正数对任意正数)2 . 4(级数级数.|:|上上一一致致收收敛敛在在闭闭圆圆azK 证证必要性必要性.内内的的有有界界闭闭集集就就是是因因为为KK 充分性充分性在在闭闭圆圆级级数数已已知知对对任任意意)2 . 4(,R 上上一一致致收收敛敛， |:|azK内内任任意意有有界界闭闭集集，而而圆圆 K,上上都都可可包包含含在在某某个个 K.|:|)2 . 4(内内闭闭一一致致收收敛敛在在从从而而级级数数RazK 例如，例如， 几何级数几何级数 nzzz21,1|时此级数收敛时此级数收敛当当 z.但不一致收敛但不一致收敛,2知知而由例而由例.1|内内是是内内闭闭一一致致收收敛敛的的它它在在单单位位圆圆 z,显然显然内内闭内内闭内一致收敛的级数必在内一致收敛的级数必在在区域在区域DD,一致收敛一致收敛.但其逆不成立但其逆