买房卖房最优化问题数学建模

1、实用标准文档芜湖买房租房最优化问题摘要摘要对于很多人来说，买房还是租房是困扰很多人的问题。从租售比的角度 看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在 泡沫，因此比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房 价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因 此应该买房。买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金 的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每 月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。

2、当这两个净现值相 等时，买房与租房没有区别。那么到底应该买房还是租房呢？请你以芜湖市为背景，建立相应的数学模型解决问题。对于问题一，本文通过分析售价租金比（PR）、月还款额与月可支配收入之 比（AY）、长期利率水平（i）等指标与买房决策之间的对应关系，初步构建出买 房租房的决策模型。当租房买房决策值 （X）较低时,是买房的较好时机,而X 值较高，暂不买房较为明智。对于问题二，首先比较买房投资之后房屋的租金收入与用买房的钱做其他投资 所得的收入哪种更大；再比较购买房屋是一次性支付房费还是先付首付然后用首付 剩余的钱去做投资，哪种方案更经济：最后比较房屋价格上涨之后，卖房差额的盈 利与出租房屋所得

3、的租金比较，哪种方案更合适。通过这些比较，从而做家庭住房 投资决策。根据问题一二的研究，写出建议书。关键词：比较思想，多目标决策分析法，累加求和，SAS1、问题的重述住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题， 主要原因是近几年住宅 的价格上涨太快。但从最近的新闻中，我们却不难发现，多地松绑限购火速救市。 而对于大多数人，买房则是一种刚性需求。根据调查显示，市场上置业需求最明 显的特征是首次置业，户型面积90平以下、总价150万以内，单价1-2万/卅。买房还是租房，于是成了困扰很多人的问题。从租售比的角度看，目前北上广（北 京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此对大部

4、分年轻 人来讲，比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有 看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金 的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每 月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。 当这两个净现值相 等时，买房与租房没有区别。那么到底应该买房还是租房呢？以芜湖市为背景，建立数学模型，解决下面问 题：问题一 ：从一个居住者的角度，分析在芜湖市租房和买房哪个

5、合算。问题二.：请从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考 虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置 率等），建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。问题三：根据你们建模分析的结果，给正受到买房还是租房所困扰的人们写 一份建议书。2、问题的分析关于买房与租房的争论自从住房制度改革开始， 到房地产业房、地产市场逐 步发展，再到房价飞速上涨与徘徊的今天就从来没有停止过。尤其是 2003年以 后，由于房价快速上涨和人们买房意识的觉醒， 使大量城市居民遭遇了购房难的 尴尬，包括政府官员、专家学者和普通公众都开始思考租房与买房的利弊得失。 然而，至今人们对到

6、底该租房与买房依然是莫衷一是， 人们在茫然中不断作出自 己的抉择。从世界角度来看，拥有自己的房子对于刚成家立业的年轻人来说都是一个梦 想。在德国，初次购房或建房者的平均年龄高达 42岁；在美国，52%勺首次购房 者年龄在31岁；在比利时，许多人都是在35岁之后开始买房。年轻人选择租房最多的是德国。德国联邦统计局数据表明：有77%勺年轻人的家庭是“租房族”。多年来德国政府对自有房产采用重税手段压缩炒房者利润， 一定程度上抑制了买房消费，相比高额的房产税负，低廉的房租使不少年轻人选 择租房。美国年轻人租房理由很简单。美国大学不要求学生一定住在学校里， 由 于校外租房比住校便宜一些，大学生养成了租房

7、习惯，毕业后也不愿回父母家居 住。经济不宽裕又想追求自由的年轻人选择几个人合租的情况在美国比比皆是。 比利时等一些欧洲国家的年轻人大约在35岁以后才能积蓄起买房贷款的资本（有储蓄才给放贷）。日本年轻人艰苦奋斗10年左右基本能攒齐购房的首付。可 见，对于世界各国的年轻人来说，买房都不是一件容易的事情。相比昂贵的房子， 租房住是最佳的选择。著名经济学家叶檀在接受采访时提到，如果大家都买不起房子，都去租房， 租房市场就会水涨船高。租房者所承担的成本就相应提高了，尤其在青年人热衷 于选择的大趋势，租房标准就会提高。如果说租房价格提高会打压商品房的价格， 这也是不现实的。从中国文化来看，从绝对需求量来看

8、，如果一旦达到他可以购 房了，他还会去购房，因为租房是一个相对来说比购房更没有保障的市场。因为它就面临着不断跟房主溢价，甚至有的地方现在出现了一月一议的情况。 跟你购 房二手房市场随地起价是一样的。如果租房市场非常供不应求，成了一个卖方市 场的话，房主就会提价，又要靠政府的保障，比如一年一签或者半年一签，由政 府来规定，半年之内房价不准动。正因为我们看到随时都需要政府保障的话，就可以看到租房市场是处在非常不安全的境地。于是，在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房 屋进行投资。买房既然是一个很重要的决策就需要一个投资策略，诸如房地产投 资理财的好处和缺点、决定房产价格的因素

9、、怎样买房卖房、怎么样利用房地产 周期、怎样做房东、怎样对房产的成本和风险评估等等如果我们能在房产理财中 考虑应用这些知识，从而使我们将来的投资决策和理财更成功， 进而避免出现负 资产和在次贷危机中被迫放弃房产。就投资人来说，综合考虑研究目的和各变量的数据可得性， 首先，从住宅的 消费品属性出发，收入代表家庭的购买力，但是各人的收入差距决定了不同的资 本投资方式，资金较为充足的，选择现金购房的方式；负担不起高额的房价的， 就选择贷款的形式进行。其次，在错综复杂的投资背景下，购房同时也会有一定 的投资风险。有的人为了规避短期内房产价格波动所带来的风险， 选择了相对长 期的投资，还有的人，对于房地

10、产市场价格波动的周期比较自信，选择了风险较大的短期投资，以追求在短时间的利益最大化。就投资利润来讲，如果选择房地产投资获取利润可以通过租房或者卖房。卖 房对房屋的折旧率小，是一种可以一次性获得较多的收益的投资； 找中介和自己 联系客源是租房的两种基本方式，选择中介可以规避因季度或租房者不足带来的 风险，但其利润相对较低，自己选择客源可以获得高利润但也要面临高风险，政策的出台也会对房租的价格产生影响； 先租后买也是许多人的选择，这种方式房 屋折旧率大，但其优势在于可以在房屋尚未卖出时获取房屋的最大价值。另一种方式是选择非房地产投资，分为以下几类：股票基金类投资、商业银行存款国家 债券类投资、期货

11、投资、其他类型投资。股票基金类投资风险最大利润最高，商 业银行存款债券类无风险但利润也最低，期货投资和其他类投资居中。3. 模型的假设模型的基本假设:1. 家庭余钱为50万，购买100m2的房子，出租20年，并且在购房之后把余 款存入银行；2. 当前房屋均价为4000元/ mi ；3. 房屋折旧率与使用年限的关系为：房屋租赁后每年折旧5%但如果不使用该房屋则不计算折损；4. 储蓄利率为3.25%,三年期国债利率为5.18%,贷款利率为6.8%;5. 短期内不考虑通胀及银行利率调整的影响；房租每年15600元。4. 符号说明4.1 （问题一）X租房买房决策值或买房指数；PR-售价租金比；AY购房

12、月还款额与月可支配收入之比；i 长期利率水平4.2 （问题二）丫：余钱可利用存款C:房屋的价值h：市场房屋价格的年变化情况，即变化率，取 h>0A:家庭每年出租房屋租金收入i :银行储蓄利率q：贷款利率a：房屋每年折旧率x :投资者购房时房屋价格I :售房价格m国债利率r:房产税k :房屋每年增值率5. 模型建立5.1问题一：5.1.1租房与买房的优缺点比较租房还是买房的优缺点是相对来说的。对于资金足够充足且想要一个家的居住者 来说，其选择一定是买房，无所谓买房的缺点。在本模型里，我们研究的群体是 资金有限的居住者。下表是对他们的买房与租房的优缺点对比。买房租房1.拥有房地产的所有权，可

13、1.只需拎包入住，工作变以随意装修、买家具。不用动没有处置房产的麻烦。忍受房东催缴房租、搬家可以较灵活地选择适合自等；己的住房；2.可保证稳定长期的居住2.储蓄资金有很好的流动条件；性，可以进行其他形式的3.心理上的满足感和安全投资，获取相应收益；优点感；3.不用担心能否拿上房产4.享受房地产升值带来的证；效益；4.不必承担未来可能出现5.有较好的抵抗通货膨胀的房屋维修费用和有关的的能力，将来可以出租、转税收，也不必担心房价下让，家庭的保值资产。6.孩子可以就近入托、入学。跌。缺点1. 需要负担可能出现的不 动产税和遗产税等；2. 负担房屋维修及其他管 理费用；3. 面临房地产价值下降的 风险

14、；4. 变现能力差；5. 环境改善的余地较小；6. 面临由于利率提高导致 的月还款的增加。7. 无法还贷，那么你可能会 失去你的房子。8. 买房之后可能会出现与 其他业主或物业的纠纷1. 可能遭受频繁搬家的麻烦；2. 没有足够的安全感，总 有受制于人的被动感；3. 难以在短时间内寻找到 满意的可租居所；4. 可能面临租金不断上涨 的风险；5. 未来房价上涨更加无力 买房；6. 只能拥有房屋的使用 权。5.1.2影响居住者租房买房决策的因素分析5.121 购房月还款额与月可支配收入之比购房的行为极大的程度上，取决于居住者的收入状况。一般来说，在居住者 购房能力有限的情况下，多数居住者会选择向银行

15、借贷来支付高额的房价。但是 居住者不能将每月所有的收入全拿来还贷款，因此银行的放贷利率也会极大地影 响居住者的消费行为。若商业银行贷款利率超过居住者的承受范围时，居住者会 选择放弃购房，而选择租房。若每月购房还款额与月可支配收入之比在居住者的 接受范围内，居住者会选择购房，放弃租房。当然不同的居住者可以承受的每月 购房还款额与月可支配收入之比都是不同的，收入高的居住者，其比例要小，收 入低的居住者，其比例要大。5.1.2.2 售价租金比购房也是一种消费行为，居住者更多的时候会选择物美价廉的房屋，那么售 价租金比就是衡量房屋物美价廉的指标。售价租金比是指研究样本中单套房产在自由买卖市场成交时的总

16、价与该套房产在自由租赁市场成交时的月租金之间的比 率，是用来判断某一区域房地产是否存在价值泡沫的一个衡量指标，也是用来判断某一区域是否具有投资价值的普遍标准。同时也可作为市场个体做出买房租房 决策的参考指标。按照国际成熟市场的衡量标准来看，售价租金比在200: 1300: 1是比较合理的，如果售价租金比超过300,表明房产的泡沫较大，投资风险较高, 不适宜投资持有和购买；如果售价租金比低于200,表明房产的价值还没有完全 挖掘，有一定的投资潜力，是较佳的购买时机。例如芜湖弋江区一套住宅，2014 年4月底市场价格为48万元，而月租金仅为1300元，此时售价租金比为480000 -1300= 3

17、69: 1,远远超过以上合理区间。这样的时期不适合购入住房。而此时 的业主可能会由于高售价带来近期利益而抛售房产，增加市场上的供给，在一定 幅度内房价会出现平抑或者下降。另外，市场中存在的投机炒作的行为极可能导 致售价租金比偏离正常区间，诱发房地产泡沫。5.1.2.3 利率水平长期良好的经济发展可以拉动居住者的需求，使他们更加急迫地想要购买房 子。房子作为一种土地资源是有限的。越早拥有一套属于自己的房子，不仅能极 大地提高生活质量，也是一种省钱的方式。基于各种成本的增加，房子的内在价 值一定会上升。所以，居住者购房会受未来预期的宏观经济影响。利率又是调控 宏观经济的有效杠杆，当前的利率水平将会

18、间接地影响房价的水平。禾冷水平降 低，说明社会投资环境良好，风险降低，刺激社会消费与投资，此时一方面人们 会提取银行储蓄购买住房，同时由于抵押贷款的低融资成本及其易得性也会刺激 家庭的购买。此时住房租金会下降，而售价上升。相反地，经济过热期利率水平 提高时，会抑制一定的购房需求，而原有的投资者也可能由于想获得稳定而又较 高的利息收入而出售原有住房。此时售价会逐渐走低，而租金开始上涨。仍然引 用上文的例子，该业主如果继续持有住房用于出租，不考虑空置损失时每年租金 收益为1300X12= 15600元,而其将住房以40万元的价格出售后,按一年期存 款利率4.14%来计算,每年可获得的利息收入为 4

19、80000X 4.14% X 95% = 15732 元（注：扣除5%的利息税），已经超过了每年的租金收益。5.1.3租房买房决策模型的初步构建与应用依据以上的分析，可以进行租房买房决策模型的初步构建，公式为：X=D (PR, AY, i)上式中各个参数的取值均为当居民需要做出购房租房决策时所面对的真实数据，其中的售价、租金以及月还款额数值均应取自同一套住房或相对类似的住 房之间。当利率水平下降时，住房价格会上升,PR和AY会增大,居民不适合在 这样的时机买房。因此进一步将模型建立为以下公式：X=PR< AY i。可以看出,X值与PR和AY值成正比,与i值成反比,进而得出X值越大, 居民

20、越不适合买房，对于一些住户群体来讲，租房更合适、更安全。选取两组数 据来进行对比，PR、AY和i的取值分别为：第一组200: 1, 1/3, 4% ; 第二组 300: 1, 1/2, 2% 。运用上述模型分别计算X值：X1= 200 < 1/3 - 4% = 1667X2= 300 X 1/2 - 2% = 7500很显然，第一种情况下计算出的X值较低，是买房的较好时机，而第二种 情况下计算出的X值较高，暂不买房较为明智。5.2问题二：5.2.1、首先比较买房投资之后房屋的租金收入与用买房的钱做其他投资所 得的收入哪种更大：房屋的价值C=x*s*(1+r)=4000*100*(1+0.

21、6%) =402400 元；20年后所得收益为：C*(1- a k)20 +20A-C=402400*(1-5% 8%)20 +20*15600-402400=636378 元;再考虑用这些钱做投其他资：A、存入银行利息为：402400*(1 3.25%)20 -402400=360485元；B、用来买国债所得利息为：402400*5.18%*20=416886元；经比较，投资房屋收益大。522、比较购买房屋是一次性支付房费还是先付首付然后用首付剩余的钱 去做投资，哪种方案更经济：一次性支付房费，价钱为：C=x*s*(1+r)=4000*100*( 1+0.6%) =402400 元；采用分期

22、付款形式，首付30%分8年付清；即为 402400*30%=120720元；余钱为：500000-120720=379280 元；将余钱存入银行所得利息为：379280*(1 3.25%)20 -379280=339773元;将余钱用来买国债所得利息为：379280*5.18%*20=392934元;等额本金还款法第一年需付房贷:402400/8+402400*6.8%=77663元；第二年需付房贷：402400/8+( 402400-77663)*6.8%=72382 元；第三年需付房贷：402400/8+( 402400-77663-72382)*6.8%=67460 元；第四年需付房贷：

23、402400/8+( 402400-77663-72382-67460)*6.8%=62872 元；第五年需付房贷：402400/8+( 402400-77663-72382-67460-62872)*6.8%=58597 元；第六年需付房贷：402400/8+( 402400-77663-72382-67460-62872-58597)*6.8%=54612 元;第七年需付房贷：402400/8+( 402400-77663-72382-67460-62872-58597-54612)*6.8%=50899元；第八年需付房贷：402400/8+( 402400-77663-72382-674

24、60-62872-58597-54612-50899)*6.8%=47438 元；总的房贷为 491923元，这样由于分期付款而多付的其钱为：491923(402400-120720) =210243 元；比较知，储蓄和买国债的利息收入均大于 210243元，所以应选择分期付款， 并把余钱进行投资。5.2.3、比较20年之后，卖房差额的盈利与出租房屋所得的租金比较，哪种方案更合适。对于投资者来说，其主要收益为房产升值和房租两部分主要成本为首付本金的机会成本、按揭的债务成本、外加房屋持有成本、房 屋折旧成本等根据问题一知，房屋租金收入为：C*(1- a k)20 +20A-C=402400*(1

25、- 5% 8%)20 +20*15600-402400=636379 元；20年后房子的价值增值量为：C*(1 k)20 -C=402400*(1 8%)20 -402400=1473169 元；比较得，选择20年后卖房更合适。6. 模型的分析6.1买房和租房对房地产市场的最终影响虽然买房和租房的过程以及最终所获取的权益是有差异的，但是这两种方式 对房地产市场的最终影响基本是一致的。因为，从宏观市场的角度来分析，居民 通过买房或租房满足了自己当前的居住需求，而最终用来满足这些需求的供给就是市场上住房供给的两大组成部分，即新建住宅和二手住宅。因此，这两种看似不同的住房需求从图 2可以看出，居民决

26、定通过买房或 租房来解决自己的住房需求并不能改变房地产市场中的供求关系，也不会进而对房价产生大的影响。因此，一些政府官员和学者以期通过提倡居民租房来缓解房地产市场中的 供求矛盾无疑是缘木求鱼。对于微观的市场个体而言，购买和租赁之间是存在着 替代关系的，但对于宏观市场而言，租赁和购买的实质是一样的，只是实现需 求的方式不同而已。由于房地产产品的供给弹性较小，因此对房地产市场与价格影响至关重要 的因素就是需求。需求总量的增加与减少，需求类型与结构的改变都会迅速影响 房地产价格的走势。从图2可以看到，居民在购买住宅的时候内在的需求是不一 样的，其一是自用性需求，也就是直接用于自己居住，包括第一套住房

27、和第二 套住房的购买；其二是投资性需求，即购买者以未来的出租经营为目的而实施 的投资行为。但是，投资与投机从来就不能完全地分开，因此还有第三种需求，即投机 型需求，购买者在短时间的持有之后通过再售转手获取收益 ，也就是通常所说 的炒房。这三类需求的变化共同影响着房地产市场的走势。6.2模型的优点和存在的不足：在本文中，我们使用了比较的方法直观的给出了那种决策对住房投资者是正 确的选择，并且此模型具有以下的优点：1通过合理的假设将原本复杂的房产与资金的投资趋于简单化，简化的计算，减少计算的复杂度；2、如今买房子的认识越来越多，本文所最后的决策方式可以为投资房产的买房者作为参考，具有很高的使用价值

28、。但是本文也有如下的缺点：1、房产政策瞬息万变，本方法不可能对未来没有颁布得政策的投资进行分析和决策；2、鉴于国家近几年来的持续的加息政策，银行的利率和国债的回报率都不是固定不变的，所以本模型存在一定得误差；3、通货膨胀对近几年的资金回报率也有着一定的影响，但是本文没有考虑这个对投资者的影响。7. 建议书目前先租房后买房的“梯度住房消费”模式已成为一种流行的住房时尚，同 时也是市场经济社会中最被提倡的住房消费观念。 专家认为，对于三类人来说租 房是更为理性的选择。1. 初入职场的年轻人目前购房群体中有不少刚进入职场的大学毕业生。由于这部分毕业生刚刚进 入职场，没有过多的资本积累，大多数都是通过

29、父母提供购房首付的形式买的房 子。就目前情况来看，刚毕业的大学生，月收入 1500元左右，扣除生活费用和 其他花销，落在手头上的钱所剩无几。按照房屋租赁价格，还是租房、尤其是合 租比较划算。如果把父母辛辛苦苦积攒下用来养老的钱， 花费在提高自己居住品 质上，无论在道义还是风险上都是讲不通的。2. 工作流动性大的人群不知何时起，换工作、跳槽成为了一种流行趋势，而且大有愈演愈烈之势。更有甚者，把不跳槽一直呆在一个固定单位视为一种无能的行为。由于这类人的流动性较大，所以他们更适宜租房。假如在工作尚未固定时购买房子，一但工作 变动，可能造成新单位离居住地较远的情况， 就会产生一笔不小的交通花费。 选

30、择租房的话，就不会有这笔花费。况且没有了带不动的固定资产，减轻了不少的 负担，可以一心一意发展自己的事业。3. 收入不稳定的人群银行利率的不断上调，从紧货币政策的实施，使不少人切身体验到了贷款的 巨大压力。对于这类人来说，买房还须谨慎，如果不考虑自身经济情况，盲目地 贷款购房，很有可能让自己背上重重的房贷躯壳， 成为痛苦的房奴。况且买房也 不是一朝一夕的事情，是人生的一件大事。先有了稳定的收入，再作购房打算也 不迟。8.参考文献1 杨继瑞.促进住房租赁消费的思考和对策J.消费经济,2007( 1).2 蔡晓钰,陈忠，蔡晓东，等.租赁还是购置：个人住房投资的时机选择问题J.系统工程学报，2006

31、( 3).3 向肃一,龙奋杰中国城市居民住房支付能力研究J.城市发展研究,2007( 2).4 技术经济学概论吴添祖，虞晓芬，龚建立主编。北京，高等教育出版社。2003。财务管理学邵军，程春梅主编。沈阳，东北大学出版社。.2009。9附录SAS软件调用原始数据?从2006年2月借起，20年(240个月)还清、每月2000元，还贷利息名义年率6%最多能借多少元？最近5年还贷情况，在编辑器窗口上写SAS程序(SAS命令)proc loan start=2006:2;fixed life=240 rate=6 payme nt=2000 schedule=5; run;Fixed Rate Loa

32、n SummaryLoa n No. 1Down payme nt279161.540.00 Prin cipal Amou ntIn itializatio n0.00TotalIn terest6.0000%TotalPayme nt6.1678%PayIn tervalMONTHLY0.00Poi nts200838.39 Nominal Rate479999.93 Effective RateMONTHLYCompou ndingNo. of Payme nts240 No. of Compou ndings240StartDateFEB2006 End DateFEB2026上表（表

33、头Fixed Rate Loan Summary ）说明最多能借 279161.54元，共 还利息200838.39元。Rates and Payme nts for Loa n No. 1Date Nomi nal Rate Effective RatePayme ntFEB20066.0000%6.1678%2000.00上表(表头 Rates and Payments for Loan No. 1)说年明名义利率是 6%实际月利率是6%/12=0.5% 实际年利率是=6.1678%Loa n Repayme nt ScheduleLoa n No. 1?Prin cipalBegi nningEndingIn terest?DateOutsta ndingPayme ntPayme ntRepayme ntOutsta nding?FEB2006279161.540.000.000.00279161.54?MAR2006279161.542000.001395.81604.19278557.35?APR2006278557.352000.001392.79607.21277950.14?MAY2006277950.142000.001389.7561